函數(shù)的奇偶性與周期性

第3節(jié)函數(shù)的奇偶性與周期性考試要求1結合具體函數(shù)，了解奇偶性的概念和幾何意義；2結合三角函數(shù)，了解周期性的概念和幾何意義1函數(shù)的奇偶性知識梳理奇偶性定義圖象特點偶函數(shù)如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有_______________，那么函數(shù)f(x)是偶函數(shù)關于____對稱奇函數(shù)如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有_______________，那么函數(shù)f(x)是奇函數(shù)關于____對稱f－＝fy軸f－＝－f原點2函數(shù)的周期性1周期函數(shù)：對于函數(shù)y＝f，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當取定義域內(nèi)的任何值時，都有______________，那么就稱函數(shù)y＝f為周期函數(shù)，稱T為這個函數(shù)的周期2最小正周期：如果在周期函數(shù)f的所有周期中________________的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f的______正周期f＋T＝f存在一個最小最小11如果一個奇函數(shù)f在原點處有定義，即f0有意義，那么一定有f0＝0 2如果函數(shù)f是偶函數(shù)，那么f＝f||2奇函數(shù)在兩個關于原點對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在兩個關于原點對稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性4對稱性的三個常用結論1若函數(shù)y＝f＋a是偶函數(shù)，則函數(shù)y＝f的圖象關于直線＝a對稱2若對于R上的任意都有f2a－＝f或f－＝f2a＋，則y＝f的圖象關于直線＝a對稱3若函數(shù)y＝f＋b是奇函數(shù)，則函數(shù)y＝f的圖象關于點b，0中心對稱診斷自測1判斷下列結論正誤在括號內(nèi)打“√”或“×”解析1由于偶函數(shù)的定義域關于原點對稱，故y＝2在0，＋∞上不具有奇偶性，1錯2由奇函數(shù)定義可知，若f為奇函數(shù)，其在＝0處有意義時才滿足f0＝0，2錯答案1×2×3√4√2新教材必修第一冊P84例6改編下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是 Ay＝2sin By＝2cos Cy＝|ln| Dy＝2－ 解析根據(jù)偶函數(shù)的定義知偶函數(shù)滿足f－＝f且定義域關于原點對稱，A選項為奇函數(shù)；B選項為偶函數(shù)；C選項定義域為0，＋∞，不具有奇偶性；D選項既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù) 答案B答案142020·濟南一中月考已知f＝a2＋b是定義在上的偶函數(shù)，那么a＋b的值是答案B52019·全國Ⅱ卷設f為奇函數(shù)，且當≥0時，f＝e－1，則當<0時，f＝ Ae－－1 Be－＋1 C－e－－1 D－e－＋1 解析由題意知，當<0時，f＝－f－＝－e－－1＝－e－＋1 答案D62020·衡水中學調(diào)研已知定義在R上的偶函數(shù)f，滿足f＋2＝f，當∈時，f＝e－1，則f－2017＋f2018＝________ 解析由f＋2＝f可知，函數(shù)f的周期為2，又f為偶函數(shù)，∴f－2017＋f2018＝f－2016－1＋f0＝f－1＋f0＝f1＋f0＝e－1 答案e－1角度1函數(shù)奇偶性的判斷【例1－1】判斷下列函數(shù)的奇偶性：考點一函數(shù)的奇偶性及其應用多維探究因此f－＝－f且f－＝f，∴函數(shù)f既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)∴函數(shù)f為奇函數(shù)3顯然函數(shù)f的定義域為－∞，0∪0，＋∞，關于原點對稱∵當<0時，－>0，則f－＝－－2－＝－2－＝－f；當>0時，－<0，則f－＝－2－＝2－＝－f；綜上可知：對于定義域內(nèi)的任意，總有f－＝－f成立，∴函數(shù)f為奇函數(shù)4顯然函數(shù)f的定義域為R，故f為奇函數(shù)規(guī)律方法判斷函數(shù)的奇偶性，其中包括兩個必備條件：1定義域關于原點對稱，這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先考慮定義域；2判斷f與f－是否具有等量關系，在判斷奇偶性的運算中，可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性的等價等量關系式f＋f－＝0奇函數(shù)或f－f－＝0偶函數(shù)是否成立角度2函數(shù)奇偶性的應用又ft＋1－3為奇函數(shù)，所以它在區(qū)間上的最大值、最小值之和為0，也就是＝0，解得m＝－1，故f＝2－1≥0，則f－3＝－f3＝－23－1＝－7答案1C2－7規(guī)律方法利用函數(shù)奇偶性可以解決以下問題：1求函數(shù)值：將待求值利用奇偶性轉(zhuǎn)化為求已知解析式的區(qū)間上的函數(shù)值2求解析式：將待求區(qū)間上的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的區(qū)間上，再利用奇偶性的定義求出3求解析式中的參數(shù)：利用待定系數(shù)法求解，根據(jù)f±f－＝0得到關于參數(shù)的恒等式，由系數(shù)的對等性得方程組，進而得出參數(shù)的值4畫函數(shù)圖象：利用函數(shù)的奇偶性可畫出函數(shù)在其對稱區(qū)間上的圖象5求特殊值：利用奇函數(shù)的最大值與最小值之和為零可求一些特殊結構的函數(shù)值所以f一定不是偶函數(shù)；設f為奇函數(shù)，則由奇函數(shù)的定義知f－＋f＝0即當b＝1時，f為奇函數(shù)，當b≠1時，f為非奇非偶函數(shù)，所以f的奇偶性與a無關，但與b有關2由于f－＝f，即lne－3＋1－a＝lne3＋1＋a，化簡得2a＋3＝0∈R，則2a＋3＝0，考點二函數(shù)的周期性及其應用解析1因為f＋2π＝f，所以f的周期為2π2由題意，得f1＝f4＝11，f2＝5，f3＝8故f1＋f2＋f3＝24，所以f1＋f2＋f3＋…＋f100＝33×＋f33×3＋1＝803答案1C2803規(guī)律方法1注意周期性的常見表達式的應用2根據(jù)函數(shù)的周期性，可以由函數(shù)局部的解析式或函數(shù)值得到整個定義域內(nèi)的解析式或相應的函數(shù)值2因為當0≤<2時，f＝3－是R上最小正周期為2的周期函數(shù)，且f0＝0，則f6＝f4＝f2＝f0＝0又f1＝0，∴f3＝f5＝f1＝0，故函數(shù)y＝f的圖象在區(qū)間上與軸的交點有7個角度1函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性【例3－1】1已知奇函數(shù)f在R上是增函數(shù)，g＝f若a＝g－log251，b＝g208，c＝g3，則a，b，c的大小關系為 Aa<b<c Bc<b<a Cb<a<c Db<c<a考點三函數(shù)性質(zhì)的綜合運用多維探究解析1易知g＝f在R上為偶函數(shù)，∵奇函數(shù)f在R上是增函數(shù)，且f0＝0∴g在0，＋∞上是增函數(shù)又3>log251>2>208，且a＝g－log251＝glog251，∴g3>glog251>g208，則c>a>b2由已知得函數(shù)f為偶函數(shù)，所以f＝f||，由f>f2－1，可得f||>f|2－1|由f||>f|2－1|，可得||>|2－1|，兩邊平方可得2>2－12，整理得32－4＋1<0，規(guī)律方法1比較函數(shù)值的大小問題，可以利用奇偶性，把不在同一單調(diào)區(qū)間上的兩個或多個自變量的函數(shù)值轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上，再利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小；2對于抽象函數(shù)不等式的求解，應變形為f1>f2的形式，再結合單調(diào)性，脫去法則“f”變成常規(guī)不等式，如1<2或1>2求解角度2函數(shù)的奇偶性與周期性【例3－2】1多選題2020·濟南模擬已知定義在R上的奇函數(shù)f滿足f－4＝－f，且在區(qū)間上是增函數(shù)，則 Af2019＝f2017 Bf2019＝f2016 Cf2016＜f2019 Df2016＞f2018答案1AC2A解析1因為f滿足f－4＝－f，所以f－8＝f，所以定義在R上的奇函數(shù)f是以8為周期的函數(shù)，則f2016＝f0＝0，f2017＝f1，f2018＝f2，而由f－4＝－f得f2019＝f3＝－f－3＝－f1－4＝f1，又因為f在上是增函數(shù)，所以f2＞f1＞f0＝0，即f2019＝f2017，f2016＜f2019，故選AC2因為f是定義在R上的以3為周期的偶函數(shù)∴f5＝f－1＝f1<1規(guī)律方法1周期性與奇偶性結合的問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進行轉(zhuǎn)換，將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解滿足的關系fa＋＝fb－表明的是函數(shù)圖象的對稱性，函數(shù)f滿足的關系fa＋＝fb＋a≠b表明的是函數(shù)的周期性，在使用這兩個關系時不要混淆【訓練3】1角度1已知定義在R上的偶函數(shù)f在[0，＋∞上單調(diào)遞增， 若fln<f2，則的取值范圍是 A0，e2 Be－2，＋∞ Ce2，＋∞ De－2，e2 2角度2已知奇函數(shù)f的圖象關于直線＝3對稱，當∈時，f＝－，則f－16＝________ 解析1根據(jù)題意知，f為偶函數(shù)且在[0，＋∞上單調(diào)遞增， 則fln<f2?|ln|<2，即－2<ln<2，解得e－2<<e2，即的取值范圍是e－2，e22根據(jù)題意，函數(shù)f的圖象關于直線＝3對稱，則有f＝f6－，又由函數(shù)為奇函數(shù)，則f－＝－f，則有f＝－f6－＝f－12，則f的最小正周期是12，故f－16＝f－4＝－f4＝－f2＝－－2＝2答案1D22贏得高分高考中函數(shù)性質(zhì)“瓶頸題”突破函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性在高考中占有重要地位，不僅單獨考查，且常融合滲透于一體，考查性質(zhì)的綜合應用，如2019·全國Ⅰ卷·T11，2019·全國Ⅲ卷·T11，2018·全國Ⅱ卷·T11，2017·全國Ⅲ卷·T15等，著重考查利用函數(shù)性質(zhì)求值、比較大小、求解參數(shù)或解不等式【典例】一題多解2018·全國Ⅱ卷已知f是定義域為－∞，＋∞的奇函數(shù)，滿足f1－＝f1＋若f1＝2，則f1＋f2＋f3＋…＋f50＝ A－50 B0 C2 D50 解析法一∵f在R上是奇函數(shù)，且f1－＝f1＋ ∴f＋1＝－f－1，即f＋2＝－f 因此f＋4＝f，則函數(shù)f是周期為4的函數(shù)， 由于f1－＝f1＋，f1＝2， 故令＝1，得f0＝f2＝0， 令＝2，得f3＝f－1＝－f1＝－2，故f1＋f2＋f3＋…＋f50＝12×＋f1＋f2＝12×＋2＋0＝2答案C令＝3，得f4＝f－2＝－f2＝0，故f1＋f2＋f3＋f4＝2＋0－2＋0＝0，所以f1＋f2＋f3＋…＋f50＝12×0＋f1＋f2＝2思維升華1周期性、奇偶性與單調(diào)性結合解決此類問題通常先利用周期性轉(zhuǎn)化自變量所在的區(qū)間，然后利用奇偶性和單調(diào)性求解2對于選擇題、填空題，還常借助特殊性如法二，或函數(shù)圖象的幾何直觀進行優(yōu)化求解【訓練】2020·湖南百校大聯(lián)考已知定義在R上的奇函數(shù)f滿足當≥0時，f＝log2＋2＋＋b，則|f|>3的解集為 A－∞，－2∪2，＋∞ B－∞，－4∪4，＋∞ C－2，2 D－4，4 解析由題意，f0＝log22＋b＝0，解得b＝－1 所以f＝log2＋2＋－1，f2＝3，且在R上單調(diào)遞增，又|f|>3，所以|f|>f2，即f>f2或f<f－2，解得>2或<－2 答案A數(shù)學運算——活用函數(shù)性質(zhì)中“三個二級”結論數(shù)學運算是解決數(shù)學問題的基本手段，通過運算能夠促進學生數(shù)學思維的發(fā)展通過常見的“二級結論”解決數(shù)學問題，可優(yōu)化數(shù)學運算的過程，使學生逐步形成規(guī)范化、程序化的思維品質(zhì)，養(yǎng)成一絲不茍、嚴謹求實的科學精神類型1奇函數(shù)的最值性質(zhì)已知函數(shù)f是定義在區(qū)間D上的奇函數(shù)，則對任意的∈D，都有f＋f－＝0特別地，若奇函數(shù)f在D上有最值，則fma＋fmin＝0，且若0∈D，則f0＝0解析顯然函數(shù)f的定義域為R，∴g為奇函數(shù)，由奇函數(shù)圖象的對稱性知gma＋gmin＝0，∴M＋m＝min＝2＋gma＋gmin＝2答案2類型2抽象函數(shù)的周期性【例2】已知函數(shù)f為定義在R上的奇函數(shù)，當≥0時，有f＋3＝－f，且當∈0，3時，f＝＋1，則f－2023＋f2024＝ A3 B2 C1 D0 解析因為函數(shù)f為定義在R上的奇函數(shù)， 所以f－2023＝－f2023， 因為當≥0時，有f＋3＝－f， 所以f＋6＝－f＋3＝f，即當≥0時，自變量的值每增加6，對應函數(shù)值重復出現(xiàn)一次又當∈0，3時，f＝＋1，∴f2023＝f337×6＋1＝f1＝2，f2024＝f337×6＋2＝f2＝3故f－2023＋f2024＝－f2023＋3＝1答案C類型3抽象函數(shù)的對稱性【例3】已知定義在R上的函數(shù)f在[1，＋∞上單調(diào)遞減，且f＋1是偶函數(shù)，不等式fm＋2≥f－1對任意的∈恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是 A B－∞，－3∪∪[2，＋∞ 解析由于f＋1是偶函數(shù)，所以f－＋1＝f＋1， 因此函數(shù)y＝f的圖象關于＝1對稱 由f在上遞增 又∈， ①當m＋2≤1，即m≤－1時，fm＋2≥f－1對∈恒成立，則有m＋2≥－1對∈恒成立，∴－3≤m≤－1，②當m＋2>1，即m>－1時，fm＋2≥f－1＝f3－，則有m＋2≤3－對∈恒成立，則－1<m≤1，由以上知，實數(shù)m的取值范圍是答案A【例4】函數(shù)y＝f對任意∈R都有