1.3.1函數(shù)的基本性質(zhì)

1.3函數(shù)的根本性質(zhì)觀察以下各個(gè)函數(shù)的圖象，并說(shuō)說(shuō)它們分別反映了相應(yīng)函數(shù)的哪些變化規(guī)律：1.觀察這三個(gè)圖象，你能說(shuō)出圖象的特征嗎？2.隨x的增大，y的值有什么變化？1.3.1單調(diào)性與最大〔小〕值請(qǐng)觀察函數(shù)y=x2與y=x3圖象，答復(fù)以下問(wèn)題：1.當(dāng)x∈[0，+∞)，x增大時(shí)，圖〔1〕中的y值；圖〔2〕中的y值。2.當(dāng)x∈(－∞，0)，x增大時(shí)，圖〔1〕中的y值；圖〔2〕中的y值。增大增大

增大減小

3.分別指出圖(1)、圖(2)中，當(dāng)x∈[0，+∞)和x∈(－∞，0)時(shí)，函數(shù)圖象是上升的還是下降的？

4.通過(guò)前面的討論，你發(fā)現(xiàn)了什么？結(jié)論：假設(shè)一個(gè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)圖象是上升的，那么函數(shù)值y隨x的增大而增大；假設(shè)一個(gè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)圖象是下降的，那么函數(shù)值y隨x的增大而減小。yx10x2xf(x1)f(x2)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮:

如果對(duì)于屬于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值x1,x2,當(dāng)x1＜x2時(shí),都有f(x1)＜f(x2),那么就說(shuō)f(x)在這個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)一.增函數(shù)根本概念yf(x1)f(x2)x10x2x設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮:如果對(duì)于屬于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值x1,x2,當(dāng)x1＜x2時(shí),都有f(x1)＞f(x2),那么就說(shuō)f(x)在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù)二.減函數(shù)三、單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間

如果函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù),那么就說(shuō)函數(shù)y=f(x)在這個(gè)區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性,這一區(qū)間叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.請(qǐng)問(wèn):在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象是__________,減函數(shù)的圖象是__________.(填“上升的〞或“下降的〞)想一想：如何從一個(gè)函數(shù)的圖象來(lái)判斷這個(gè)函數(shù)在定義域內(nèi)的某個(gè)單調(diào)區(qū)間上是增函數(shù)還是減函數(shù)？

如果這個(gè)函數(shù)在某個(gè)單調(diào)區(qū)間上的圖象是上升的，那么它在這個(gè)單調(diào)區(qū)間上就是增函數(shù)；如果圖象是下降的，那么它在這個(gè)單調(diào)區(qū)間上就是減函數(shù)。1.函數(shù)y＝f(x)，x∈[0，3]的圖象如下圖．Oxy123區(qū)間[0，3]是該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間嗎？概念辨析增函數(shù)、減函數(shù)的三個(gè)特征：〔1〕局部性：也就是說(shuō)它肯定有一個(gè)區(qū)間。區(qū)間可以是整個(gè)定義域，也可以是其真子集，因此，我們說(shuō)增函數(shù)、減函數(shù)時(shí)，必須指明它所在的區(qū)間。如y=x+1(X∈Z)不具有單調(diào)性〔2〕任意性：它的取值是在區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量，決不能理解為很多或無(wú)窮多個(gè)值。〔3〕一致性增函數(shù)：x1<x2f(x1)<f(x2)減函數(shù)：x1<x2f(x1)>f(x2)例1.以下圖是定義在閉區(qū)間[-5,5]上的函數(shù)y=f(x)的圖象,根據(jù)圖象說(shuō)出y=f(x)的單調(diào)區(qū)間,以及在每個(gè)單調(diào)區(qū)間上,y=f(x)是增函數(shù)還是減函數(shù)?解:函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間有[-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5],其中y=f(x)在區(qū)間[-5,-2),[1,3)上是減函數(shù),在區(qū)間[-2,1),[3,5]上是增函數(shù).例題剖析分析：按題意，只要證明函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)即可。例2：物理學(xué)中的玻意耳定律〔k為正常數(shù)〕告訴我們，對(duì)于一定量的氣體，當(dāng)其體積V減小時(shí)，壓強(qiáng)p將增大。試用函數(shù)的單調(diào)性證明之。例3：證明函數(shù)f(x)=x3在R上是增函數(shù).證明：設(shè)x1,x2是R上任意兩實(shí)數(shù)，且x1<x2,那么f(x1)-f(x2)=x13-x23=(x1-x2)(x12+x1x2+x22)=(x1-x2)[(x1+x2)2+x22]因?yàn)閤1<x2，那么x1-x2<0又(x1+x2)2+x22>0所以f(x1)-f(x2)<0即f(x1)<f(x2)故f(x)=x3在R上是增函數(shù).取值變形定號(hào)結(jié)論通過(guò)觀察圖象，先對(duì)函數(shù)是否具有某種性質(zhì)做出猜測(cè)，然后通過(guò)邏輯推理，證明這種猜測(cè)的正確性，是研究函數(shù)性質(zhì)的一種常用方法。探究：畫(huà)出反比例函數(shù)的圖象?！?〕這個(gè)函數(shù)的定義域I是什么？〔2〕它在定義域I上的單調(diào)性是怎樣的？證明你的結(jié)論。用定義證明函數(shù)的單調(diào)性的步驟:(1).設(shè)x1＜x2,并是某個(gè)區(qū)間上任意二值;(2).作差f(x1)－f(x2);(3).判斷f(x1)－f(x2)的符號(hào):(4).作結(jié)論.①分解因式,得出因式(x1－x2〕②配成非負(fù)實(shí)數(shù)和。③有理化。

方法小結(jié)取值變形定號(hào)結(jié)論同步練習(xí)1.討論函數(shù)f(x)=x+在(0,+∞)上的單調(diào)性.2.求函數(shù)f(x)=x+〔k>0〕在x>0上的單調(diào)性3.證明函數(shù)f(x)=-2x+1在R上是減函數(shù)作業(yè)習(xí)題1.3A組2函數(shù)最值畫(huà)出以下函數(shù)的草圖，并根據(jù)圖象解答以下問(wèn)題：1.說(shuō)出y=f(x)的單調(diào)區(qū)間，以及在各單調(diào)區(qū)間上的單調(diào)性；2.指出圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，并說(shuō)明它能表達(dá)函數(shù)的什么特征？(1)

(2)xyooxy2-1

1．最大值

一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：〔1〕對(duì)于任意的x∈I，都有f(x)≤M;〔2〕存在x0∈I，使得f(x0)=M那么，稱M是函數(shù)y=f(x)的最大值根本概念2．最小值

一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：〔1〕對(duì)于任意的x∈I，都有f(x)≥M;〔2〕存在x0∈I，使得f(x0)=M那么，稱M是函數(shù)y=f(x)的最小值2.函數(shù)最大〔小〕值應(yīng)該是所有函數(shù)值中最大〔小〕的，即對(duì)于任意的x∈I，都有f(x)≤M〔f(x)≥M〕．注意：1.函數(shù)最大〔小〕值首先應(yīng)該是某一個(gè)函數(shù)值，即存在x0∈I，使得f(x0)=M；例1.“菊花〞煙花是最壯觀的煙花之一.制造時(shí)一般是期望在它到達(dá)最高點(diǎn)(大約是在距地面高度25m到30m處)時(shí)爆裂.如果在距地面高度18m的地方點(diǎn)火，并且煙花沖出的速度是14.7m/s.(1)寫(xiě)出煙花距地面的高度與時(shí)間之間的關(guān)系式.(2)煙花沖出后什么時(shí)候是它爆裂的最正確時(shí)刻?這時(shí)距地面的高度是多少(精確到1m).例題剖析解:(1)設(shè)煙花在t秒時(shí)距地面的高度為hm,那么由物體運(yùn)動(dòng)原理可知：h(t)=-4.9t2+14.7t+18(2)作出函數(shù)h(t)=-4.9t2+14.7t+18的圖象(如右圖).顯然，函數(shù)圖象的頂點(diǎn)就是煙花上升的最高點(diǎn)，頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是煙花爆裂的最正確時(shí)刻，縱坐標(biāo)就是這時(shí)距地面的高度.

由于二次函數(shù)的知識(shí)，對(duì)于h(t)=-4.9t2+14.7t+18,我們有:

于是，煙花沖出后1.5秒是它爆裂的最正確時(shí)刻,這時(shí)距地面的高度為29m.例2.求函數(shù)

在區(qū)間[2，6]上的最大值和最小值．

求函數(shù)的最大(小)值的方法1.利用二次函數(shù)的性質(zhì)〔配方法〕求函數(shù)的最大(小)值2.利用圖象求函數(shù)的最大(小)值3.利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大(小)值

課堂練習(xí)1.函數(shù)f(x)=x2+4ax+2在區(qū)間(-∞，6]內(nèi)遞減，那么a的取值范圍是()A、a≥3B、a≤3C、a≥-3D、a≤-3D2.在函數(shù)f(x)=4x2-mx+1,在(-∞，-2]上遞減，在[-2,+∞)上遞增，那么f(x)在[1,2]上的值域____________.[21,39]3.設(shè)函數(shù)f(x)=x2-2x-3.3在區(qū)間[t，t+1]上的最小值為g(t)，求g(t)的解析式。解：f(x)=(x-1)2-4.3，對(duì)稱軸為x=1(2)當(dāng)0≤t≤1時(shí)，那么g(t)=f(1)=-4.3;(1)當(dāng)t>1時(shí)，那么g(t)=f(t)=t2-2t-3