2017年遼寧省大連市高考數(shù)學(xué)一模試卷(理科)

./2017年省市高考數(shù)學(xué)一模試卷〔理科一、選擇題：本大題共12個小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．〔5分已知復(fù)數(shù)z=1+2i,則=〔A．5 B．5+4i C．﹣3 D．3﹣4i2．〔5分已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0},,則A∩B=〔A．{x|1＜x＜3} B．{x|﹣1＜x＜3}C．{x|﹣1＜x＜0或0＜x＜3} D．{x|﹣1＜x＜0或1＜x＜3}3．〔5分設(shè)a,b均為實(shí)數(shù),則"a＞|b|"是"a3＞b3"的〔A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．〔5分若點(diǎn)P為拋物線上的動點(diǎn),F為拋物線C的焦點(diǎn),則|PF|的最小值為〔A．2 B． C． D．5．〔5分已知數(shù)列{an}滿足an+1﹣an=2,a1=﹣5,則|a1|+|a2|+…+|a6|=〔A．9 B．15 C．18 D．306．〔5分在平面的動點(diǎn)〔x,y滿足不等式,則z=2x+y的最大值是〔A．6 B．4 C．2 D．07．〔5分某幾何體的三視圖如圖所示,則其體積為〔A．4 B． C． D．8．〔5分將一枚硬幣連續(xù)拋擲n次,若使得至少有一次正面向上的概率不小于,則n的最小值為〔A．4 B．5 C．6 D．79．〔5分運(yùn)行如圖所示的程序框圖,則輸出結(jié)果為〔A． B． C． D．10．〔5分若方程在上有兩個不相等的實(shí)數(shù)解x1,x2,則x1+x2=〔A． B． C． D．11．〔5分已知向量,,〔m＞0,n＞0,若m+n∈[1,2],則的取值圍是〔A． B． C． D．12．〔5分已知定義在R上的函數(shù)f〔x=ex+mx2﹣m〔m＞0,當(dāng)x1+x2=1時,不等式f〔x1+f〔0＞f〔x2+f〔1恒成立,則實(shí)數(shù)x1的取值圍是〔A．〔﹣∞,0 B． C． D．〔1,+∞二、填空題〔每題5分,滿分20分,將答案填在答題紙上13．〔5分現(xiàn)將5連號的電影票分給甲乙等5個人,每人一,且甲乙分得的電影票連號,則共有種不同的分法〔用數(shù)字作答．14．〔5分函數(shù)f〔x=ex?sinx在點(diǎn)〔0,f〔0處的切線方程是．15．〔5分我國古代數(shù)學(xué)專著《子算法》中有"今有物不知其數(shù),三三數(shù)之剩二,五五數(shù)之剩三,七七數(shù)之剩二,問物幾何？"如果此物數(shù)量在100至200之間,那么這個數(shù)．16．〔5分過雙曲線的焦點(diǎn)F且與一條漸近線垂直的直線與兩條漸近線相交于A,B兩點(diǎn),若,則雙曲線的離心率為．三、解答題〔本大題共5小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．〔12分已知點(diǎn),Q〔cosx,sinx,O為坐標(biāo)原點(diǎn),函數(shù)．〔1求函數(shù)f〔x的最小值及此時x的值；〔2若A為△ABC的角,f〔A=4,BC=3,求△ABC的周長的最大值．18．〔12分某手機(jī)廠商推出一次智能手機(jī),現(xiàn)對500名該手機(jī)使用者〔200名女性,300名男性進(jìn)行調(diào)查,對手機(jī)進(jìn)行打分,打分的頻數(shù)分布表如下：女性用戶分值區(qū)間[50,60[60,70[70,80[80,90[90,100頻數(shù)2040805010男性用戶分值區(qū)間[50,60[60,70[70,80[80,90[90,100頻數(shù)4575906030〔1完成下列頻率分布直方圖,并比較女性用戶和男性用戶評分的方差大小〔不計(jì)算具體值,給出結(jié)論即可；〔2根據(jù)評分的不同,運(yùn)用分層抽樣從男性用戶中抽取20名用戶,在這20名用戶中,從評分不低于80分的用戶中任意取3名用戶,求3名用戶評分小于90分的人數(shù)的分布列和期望．19．〔12分如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD為正方形,PA⊥底面ABCD,AD=AP,E為棱PD中點(diǎn)．〔1求證：PD⊥平面ABE；〔2若F為AB中點(diǎn),,試確定λ的值,使二面角P﹣FM﹣B的余弦值為．20．〔12分已知點(diǎn)P是長軸長為的橢圓Q：上異于頂點(diǎn)的一個動點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),A為橢圓的右頂點(diǎn),點(diǎn)M為線段PA的中點(diǎn),且直線PA與OM的斜率之積恒為．〔1求橢圓Q的方程；〔2設(shè)過左焦點(diǎn)F1且不與坐標(biāo)軸垂直的直線l交橢圓于C,D兩點(diǎn),線段CD的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)G,點(diǎn)G橫坐標(biāo)的取值圍是,求|CD|的最小值．21．〔12分已知函數(shù)f〔x=〔x﹣2ex+a〔x+22〔x＞0．〔1若f〔x是〔0,+∞的單調(diào)遞增函數(shù),數(shù)a的取值圍；〔2當(dāng)時,求證：函數(shù)f〔x有最小值,并求函數(shù)f〔x最小值的取值圍．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22．〔10分已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中,以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),以x軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ,直線l的參數(shù)方程為〔t為參數(shù)．〔1求曲線C1的直角坐標(biāo)方程及直線l的普通方程；〔2若曲線C2的參數(shù)方程為〔α為參數(shù),曲線C1上點(diǎn)P的極角為,Q為曲線C2上的動點(diǎn),求PQ的中點(diǎn)M到直線l距離的最大值．[選修4-5：不等式選講]23．已知a＞0,b＞0,函數(shù)f〔x=|x+a|+|2x﹣b|的最小值為1．〔1求證：2a+b=2；〔2若a+2b≥tab恒成立,數(shù)t的最大值．2017年省市高考數(shù)學(xué)一模試卷〔理科參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共12個小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．〔5分已知復(fù)數(shù)z=1+2i,則=〔A．5 B．5+4i C．﹣3 D．3﹣4i[解答]解：∵z=1+2i,∴=|z|2=．故選：A．2．〔5分已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0},,則A∩B=〔A．{x|1＜x＜3} B．{x|﹣1＜x＜3}C．{x|﹣1＜x＜0或0＜x＜3} D．{x|﹣1＜x＜0或1＜x＜3}[解答]解：∵集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3},={x|x＜0或x＞1},∴A∩B={x|﹣1＜x＜0或1＜x＜3}．故選：D．3．〔5分設(shè)a,b均為實(shí)數(shù),則"a＞|b|"是"a3＞b3"的〔A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件[解答]解：由a＞|b|"能推出"a3＞b3",是充分條件,反之,不成立,比如a=1,b=﹣2,不是必要條件,故選：A．4．〔5分若點(diǎn)P為拋物線上的動點(diǎn),F為拋物線C的焦點(diǎn),則|PF|的最小值為〔A．2 B． C． D．[解答]解：點(diǎn)P為拋物線上的動點(diǎn),F為拋物線C的焦點(diǎn),則|PF|的最小值為：．故選：D．5．〔5分已知數(shù)列{an}滿足an+1﹣an=2,a1=﹣5,則|a1|+|a2|+…+|a6|=〔A．9 B．15 C．18 D．30[解答]解：∵an+1﹣an=2,a1=﹣5,∴數(shù)列{an}是公差為2的等差數(shù)列．∴an=﹣5+2〔n﹣1=2n﹣7．?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn==n2﹣6n．令an=2n﹣7≥0,解得．∴n≤3時,|an|=﹣an．n≥4時,|an|=an．則|a1|+|a2|+…+|a6|=﹣a1﹣a2﹣a3+a4+a5+a6=S6﹣2S3=62﹣6×6﹣2〔32﹣6×3=18．故選：C．6．〔5分在平面的動點(diǎn)〔x,y滿足不等式,則z=2x+y的最大值是〔A．6 B．4 C．2 D．0[解答]解：根據(jù)不等式,畫出可行域,由,可得x=3,y=0平移直線2x+y=0,∴當(dāng)直線z=2x+y過點(diǎn)A〔3,0時,z最大值為6．故選：A．7．〔5分某幾何體的三視圖如圖所示,則其體積為〔A．4 B． C． D．[解答]解：由題意三視圖可知,幾何體是直四棱錐,底面邊長為2的正方形,一條側(cè)棱垂直正方形的一個頂點(diǎn),長度為2,所以四棱錐的體積．故選D．8．〔5分將一枚硬幣連續(xù)拋擲n次,若使得至少有一次正面向上的概率不小于,則n的最小值為〔A．4 B．5 C．6 D．7[解答]解：由題意,1﹣≥,∴n≥4,∴n的最小值為4,故選A．9．〔5分運(yùn)行如圖所示的程序框圖,則輸出結(jié)果為〔A． B． C． D．[解答]解：由程序框圖知,程序運(yùn)行的功能是用二分法求函數(shù)f〔x=x2﹣2在區(qū)間[1,2]上的零點(diǎn),且精確到0.3；模擬如下；m==時,f〔1?f〔=〔﹣1×＜0,b=,|a﹣b|=≥d；m==時,f〔1?f〔=〔﹣1×〔﹣＞0,a=,|a﹣b|=＜d；程序運(yùn)行終止,輸出m=．故選：B．10．〔5分若方程在上有兩個不相等的實(shí)數(shù)解x1,x2,則x1+x2=〔A． B． C． D．[解答]解：∵x∈[0,],∴2x+∈[,],方程在上有兩個不相等的實(shí)數(shù)解x1,x2,∴=,則x1+x2=,故選：C．11．〔5分已知向量,,〔m＞0,n＞0,若m+n∈[1,2],則的取值圍是〔A． B． C． D．[解答]解：根據(jù)題意,向量,,=〔3m+n,m﹣3n,則==,令t=,則=t,而m+n∈[1,2],即1≤m+n≤2,在直角坐標(biāo)系表示如圖,t=表示區(qū)域中任意一點(diǎn)與原點(diǎn)〔0,0的距離,分析可得：≤t＜2,又由=t,故≤＜2；故選：B．12．〔5分已知定義在R上的函數(shù)f〔x=ex+mx2﹣m〔m＞0,當(dāng)x1+x2=1時,不等式f〔x1+f〔0＞f〔x2+f〔1恒成立,則實(shí)數(shù)x1的取值圍是〔A．〔﹣∞,0 B． C． D．〔1,+∞[解答]解：∵不等式f〔x1+f〔0＞f〔x2+f〔1恒成立,∴不等式f〔x1﹣f〔x2＞f〔1﹣f〔0恒成立,又∵x1+x2=1,∴不等式f〔x1﹣f〔1﹣x1＞f〔1﹣f〔1﹣1恒成立,設(shè)g〔x=f〔x﹣f〔1﹣x,∵f〔x=ex+mx2﹣m〔m＞0,∴g〔x=ex﹣e1﹣x+m〔2x﹣1,則g′〔x=ex+e1﹣x+2m＞0,∴g〔x在R上單調(diào)遞增,∴不等式g〔x1＞g〔1恒成立,∴x1＞1,故選：D．二、填空題〔每題5分,滿分20分,將答案填在答題紙上13．〔5分現(xiàn)將5連號的電影票分給甲乙等5個人,每人一,且甲乙分得的電影票連號,則共有48種不同的分法〔用數(shù)字作答．[解答]解：甲乙分得的電影票連號,有4×2=8種情況,其余3人,有=6種情況,∴共有8×6=48種不同的分法．故答案為48．14．〔5分函數(shù)f〔x=ex?sinx在點(diǎn)〔0,f〔0處的切線方程是y=x．[解答]解：∵f〔x=ex?sinx,f′〔x=ex〔sinx+cosx,〔2分f′〔0=1,f〔0=0,∴函數(shù)f〔x的圖象在點(diǎn)A〔0,0處的切線方程為y﹣0=1×〔x﹣0,即y=x〔4分．故答案為：y=x．15．〔5分我國古代數(shù)學(xué)專著《子算法》中有"今有物不知其數(shù),三三數(shù)之剩二,五五數(shù)之剩三,七七數(shù)之剩二,問物幾何？"如果此物數(shù)量在100至200之間,那么這個數(shù)128．[解答]解：我們首先需要先求出三個數(shù)：第一個數(shù)能同時被3和5整除,但除以7余1,即15；第二個數(shù)能同時被3和7整除,但除以5余1,即21；第三個數(shù)能同時被5和7整除,但除以3余1,即70；然后將這三個數(shù)分別乘以被7、5、3除的余數(shù)再相加,即：15×2+21×3+70×2=233．最后,再減去3、5、7最小公倍數(shù)的整數(shù)倍,可得：233﹣105×2=23．或105k+23〔k為正整數(shù)．由于物數(shù)量在100至200之間,故當(dāng)k=1時,105+23=128故答案為：12816．〔5分過雙曲線的焦點(diǎn)F且與一條漸近線垂直的直線與兩條漸近線相交于A,B兩點(diǎn),若,則雙曲線的離心率為．[解答]解：雙曲線的漸近線方程為y=±x,設(shè)焦點(diǎn)F〔c,0,與y=x垂直的直線為y=﹣〔x﹣c,由可得A〔,；由可得B〔,﹣,再由,可得0﹣〔﹣=2〔﹣0,化為a2=3b2=3〔c2﹣a2,即為3c2=4a2,則e==．故答案為：．三、解答題〔本大題共5小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．〔12分已知點(diǎn),Q〔cosx,sinx,O為坐標(biāo)原點(diǎn),函數(shù)．〔1求函數(shù)f〔x的最小值及此時x的值；〔2若A為△ABC的角,f〔A=4,BC=3,求△ABC的周長的最大值．[解答]解：〔1∵,∴,∴當(dāng)時,f〔x取得最小值2．〔2∵f〔A=4,∴,又∵BC=3,∴,∴9=〔b+c2﹣bc．,∴,∴,當(dāng)且僅當(dāng)b=c取等號,∴三角形周長最大值為．18．〔12分某手機(jī)廠商推出一次智能手機(jī),現(xiàn)對500名該手機(jī)使用者〔200名女性,300名男性進(jìn)行調(diào)查,對手機(jī)進(jìn)行打分,打分的頻數(shù)分布表如下：女性用戶分值區(qū)間[50,60[60,70[70,80[80,90[90,100頻數(shù)2040805010男性用戶分值區(qū)間[50,60[60,70[70,80[80,90[90,100頻數(shù)4575906030〔1完成下列頻率分布直方圖,并比較女性用戶和男性用戶評分的方差大小〔不計(jì)算具體值,給出結(jié)論即可；〔2根據(jù)評分的不同,運(yùn)用分層抽樣從男性用戶中抽取20名用戶,在這20名用戶中,從評分不低于80分的用戶中任意取3名用戶,求3名用戶評分小于90分的人數(shù)的分布列和期望．[解答]解：〔Ⅰ女性用戶和男性用戶的頻率分布直方圖分別如下左、右圖：由圖可得女性用戶的波動小,男性用戶的波動大．〔Ⅱ運(yùn)用分層抽樣從男性用戶中抽取20名用戶,評分不低于80分有6人,其中評分小于90分的人數(shù)為4,從6人人任取3人,記評分小于90分的人數(shù)為X,則X取值為1,2,3,,,．所以X的分布列為X123P或．19．〔12分如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD為正方形,PA⊥底面ABCD,AD=AP,E為棱PD中點(diǎn)．〔1求證：PD⊥平面ABE；〔2若F為AB中點(diǎn),,試確定λ的值,使二面角P﹣FM﹣B的余弦值為．[解答]解：〔I證明：∵PA⊥底面ABCD,AB?底面ABCD,∴PA⊥AB,又∵底面ABCD為矩形,∴AB⊥AD,PA∩AD=A,PA?平面PAD,AD?平面PAD,∴AB⊥平面PAD,又PD?平面PAD,∴AB⊥PD,AD=AP,E為PD中點(diǎn),∴AE⊥PD,AE∩AB=A,AE?平面ABE,AB?平面ABE,∴PD⊥平面ABE．〔II以A為原點(diǎn),以為x,y,z軸正方向,建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣BDP,令|AB|=2,則A〔0,0,0,B〔2,0,0,P〔0,0,2,C〔2,2,0,E〔0,1,1,F〔1,0,0,,,,M〔2λ,2λ,2﹣2λ設(shè)平面PFM的法向量,,即,設(shè)平面BFM的法向量,,即,,解得．20．〔12分已知點(diǎn)P是長軸長為的橢圓Q：上異于頂點(diǎn)的一個動點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),A為橢圓的右頂點(diǎn),點(diǎn)M為線段PA的中點(diǎn),且直線PA與OM的斜率之積恒為．〔1求橢圓Q的方程；〔2設(shè)過左焦點(diǎn)F1且不與坐標(biāo)軸垂直的直線l交橢圓于C,D兩點(diǎn),線段CD的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)G,點(diǎn)G橫坐標(biāo)的取值圍是,求|CD|的最小值．[解答]解：〔1∵橢圓Q的長軸長為,∴．設(shè)P〔x0,y0,∵直線PA與OM的斜率之積恒為,∴,∴,∴b=1,故橢圓的方程為．〔2設(shè)直線l方程為y=k〔x+1〔k≠0,代入有〔1+2k2x2+4k2x+2k2﹣2=0,設(shè)A〔x1,y1,B〔x2,y2,AB中點(diǎn)N〔x0,y0,∴．∴∴CD的垂直平分線方程為,令y=0,得∵,∴,∴．=,．21．〔12分已知函數(shù)f〔x=〔x﹣2ex+a〔x+22〔x＞0．〔1若f〔x是〔0,+∞的單調(diào)遞增函數(shù),數(shù)a的取值圍；〔2當(dāng)時,求證：函數(shù)f〔x有最小值,并求函數(shù)f〔x最小值的取值圍．[解答]解：〔1f'〔x=ex+〔x﹣2ex+2ax+4a,∵函數(shù)f〔x在區(qū)間〔0,+∞上單調(diào)遞增,∴f'〔x≥0在〔0,+∞上恒成立．∴ex+〔x﹣2ex+2ax+4a≥0,∴,令,,∴,∴．〔2[f'〔x]′=x?ex+2a＞0,∴y=f'〔x在〔0,+∞上單調(diào)遞增又f'〔0=4a﹣1＜0,f'〔1=6a＞0,∴存在t∈〔0,1使f'〔t=0∴x∈〔0,t時,f'〔x＜0,x∈〔t,+∞時,f'〔x＞0,當(dāng)x=t時,且有f'〔t=et?〔t﹣1+2a〔t+2=0,∴．由〔1知在t∈〔0,+∞上單調(diào)遞減,,且,∴t∈〔0,1．∴,,∴f〔1＜f〔t＜f〔0,﹣e＜f〔t＜﹣1,∴f〔x的最小值的取值圍是〔﹣e,﹣1．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22．〔10分已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中,以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),以x軸正半軸為極軸,