高中生數(shù)學逆向思維能力發(fā)展現(xiàn)狀的調(diào)查與分析

高中生數(shù)學逆向思維能力發(fā)展現(xiàn)狀的調(diào)查與分析

1逆向思維策略的應用現(xiàn)狀所謂思維，是指大腦客觀事物的性質、相互關系及其內(nèi)在規(guī)律的概括和反映。反向思維是指與傳統(tǒng)積極思維方向相反的思維過程，即通常被稱為“相反的想法”或“相反的想法”。數(shù)學的反向思維有兩個特點。（1）“反致性”，即反演思維，如反演思維、反演思維方法、反傳統(tǒng)思維方式和反序列轉化等。（2）“雙向性”，即反向交叉思維。在解決問題過程中，考慮到兩個對立的概念、算術和理性的交叉，我們可以將思維從方向轉到另一方向。前蘇聯(lián)心理學家克魯?shù)俅幕难芯勘砻鳎囱菟季S方式（從順向思想序列轉變?yōu)榉聪蛩季S序列）的能力是九個數(shù)學技能之一。具有這種數(shù)學技能的學生顯然能夠快速、敏銳地重建思維方向，并具有思維過程中可逆性的能力。對于那些沒有技能的學生來說，這個過程很難完成。于平教授認為，運用反向思維策略解決正思維中難以解決的問題。運用分析、反演法、反證法、同一法、相反、逆用變量和變量變換法是反向思維策略的具體應用。隨著時代的發(fā)展,為了求新求異,人們對許多問題的思考都是以逆向思維方式進行的,諸如投資理財、廣告策劃等.逆向思維作為創(chuàng)新思維的一種特殊形式,正變得與人們的生活息息相關.對于處在青少年階段的高中學生,其思維方式、方法和品質日趨成熟與穩(wěn)定,培養(yǎng)逆向思維能力,將有助于改善學生學習數(shù)學的思維方式,形成良好的思維品質,激發(fā)學生開拓創(chuàng)新精神,使學生將來能適應社會需要.當前國內(nèi)數(shù)學教育界,對逆向思維的研究,更多關注的是其在解題中的運用,偏重于理論層面的探討,實證研究寥寥可數(shù).有研究表明,四川省6年級小學生的數(shù)學逆向思維能力較差,約有20%的學生不能發(fā)現(xiàn)可以運用乘法分配律化簡并計算.那么目前高中生數(shù)學逆向思維能力的狀況如何?高中生在運用逆向思維策略解題時存在哪些薄弱點?文章試圖通過調(diào)查分析給出答案.2學習方法2.1有效試卷的提出隨機抽取揚州市不同層次的3所學校的高一、高二年級6個班的學生作為測試對象,剔除無效試卷,得到有效試卷304份,其中男生146人,女生158人.2.2建立個問題決定模型測試卷的目的是通過了解學生對數(shù)學逆向思維策略的掌握和運用,考察其逆向思維能力.經(jīng)查閱相關文獻,結合高中數(shù)學教學內(nèi)容,確定5個問題,分別涉及公式的逆用(問題1)、補集思想(問題2)、常量與變量換位(問題3)、找反例(問題4)、反證法(問題6),同時增加一道趣味問題(問題5),以提高測試卷的效度.正式測試前,選擇非樣本對象進行預測,根據(jù)測試結果降低了個別題目的難度.2.3測試和訪談.調(diào)查于2011年12月份展開,采取隨機整群抽樣的方法進行調(diào)查,測試時間50分鐘.為了測試和統(tǒng)計出較可靠的信息,在測試卷頭設置了統(tǒng)一的指導語,明確要求學生從相反或否定方面探索問題.測試結束后,在不同層次學校的學生中各隨機挑選5名學生就平時解題中對逆向策略的運用情況,以及測試中選擇相應解題策略的原因進行訪談.2.4思維和思維有利于測定思維過程一般分為3個基本原則,提出測試卷評估的重點是學生思維的可逆性和和雙向性,同時關注計算結果的正確性.每題學生得到的最高分是1分,表示思維過程體現(xiàn)可逆性和雙向性,并且計算完全正確;0.75分表示思維過程體現(xiàn)一定的可逆性和雙向性,過程比較完整,計算正確;0.5表示思維比較完整,體現(xiàn)一定的可逆性和雙向性,計算不正確:0.25表示思維過程不完整,僅僅體現(xiàn)部分的可逆性或雙向性,計算不正確;0分表示學生沒有答題.如果學生的回答沒有體現(xiàn)思維的可逆性和雙向性,即使答案正確仍為0分.所有數(shù)據(jù)采用SPSS17.0進行統(tǒng)計分析.3結果分析3.1不同逆向策略之間的比較高中生數(shù)學逆向思維能力的總體狀況如表1所示.測試卷總分6分,統(tǒng)計表明,最高分5分,最低分0.5分,平均分2.31分,處于中等偏下的水平.各逆向策略平均分由高到低依次為:公式的逆用(0.62)、補集思想(0.29)、常量與變量換位(0.26)、找反例(0.21)、反證法(0.15),可以發(fā)現(xiàn),從補集思想開始,學生的得分迅速下降.為了檢驗各策略之間是否存在顯著性差異,采用單因素方差分析對被試在5種逆向策略的得分進行比較.以5種逆向策略為自變量,分別用數(shù)字1～5來表示,依據(jù)測試卷評估標準計算出被試在各策略上的得分,命名為score,以score為因變量.將數(shù)據(jù)作方差齊性檢驗,因變量(score)的顯著性水平小于0.05,各逆向策略的方差為非齊性,因此采用方差不齊假設下的Tamhane法進行多重比較,結果見表2.多重比較結果顯示:公式的逆用與其它4種策略之間都存在顯著性差異,補集思想與反證法之間也存在顯著性差異,其它各逆向思維策略之間的差異不顯著.總的來說,學生對公式的逆用掌握的最好,其它逆向思維策略的掌握情況都不盡如人意,其中反證法最為薄弱.3.2普爾姆相關系數(shù)其中數(shù)學成績以被試期末數(shù)學統(tǒng)考成績?yōu)橹笜?結果如表3所示.從表3可看出,學生數(shù)學逆向思維能力與學習成績之間的皮爾遜相關系數(shù)為0.281,達到了Sig.<0.05的顯著性水平(Sig.=0.031),兩者的關系在統(tǒng)計學上具有顯著意義,但一般認為,相關系數(shù)的絕對值低于0.3時可以忽略自變量的影響.因此,總的來說,兩者之間基本不存在相關性.這表明目前的高中數(shù)學教學仍以正向思維訓練為主,逆向思維的培養(yǎng)沒有得到重視,兩者的發(fā)展不平衡.3.3男女學生找反例能力比較為考察學生數(shù)學各逆向思維策略在不同主效應下的差異和變化,引入性別作為特征變量進行獨立樣本t檢驗,結果如表4所示.從表4中可發(fā)現(xiàn),男生在找反例能力上極其顯著的高于女生,而女生對常量與變量換位的運用要好于男生,并且差異顯著.相比之下,男生更喜歡獨立思考,發(fā)表不同意見,思維更具有批判性,但女生具有較強的記憶力,對課堂教學內(nèi)容印象深刻.4學生的測試卷以上數(shù)據(jù)分析表明,除了公式的逆用,學生對其他逆向策略的運用都不盡如人意.那數(shù)據(jù)背后,學生的解答情況到底如何?有哪些特點?存在哪些典型錯誤?為了弄清這些問題,下面對學生的測試卷進行再分析.4.1要注重從反?，F(xiàn)象產(chǎn)生的學習方式.問題2:己知集合A={x|x2+3x-18>0},B={x|(x-k)(x-k-1)≤0},若A∩B≠Φ,求k的取值范圍是什么.題目正確率為29.6%,有62%的學生傾向于在解出A、B集合的范圍后,根據(jù)A∩B≠Φ直接跳步得到k<-6或k+1>3,但不少學生因此產(chǎn)生錯誤,如圖1.不可否認,此題難度不大,學生完全可以結合數(shù)軸上A集合的范圍跳步作答,但多數(shù)學生忽略指導語的提示,選擇直接作答,從中不難看出,學生受正向思維定勢的影響,缺少從反面思考問題的意識和習慣.正如心理學家N·R·F·梅伊爾在研究過去經(jīng)驗對于問題解決過程的作用時所指出的:“一個人不會解一道題,不是因為他不能找到一種解法,而在于他習慣的運算方法妨礙了他去想出恰當?shù)慕忸}方法.”4.2對計算錯誤的處理問題3:設不等式mx2-2x-m+1<0對于滿足-2≤m≤2的m值都成立,求x的取值范圍.此題的正確率為22.5%,圖2就是一名學生正確的答題過程.反觀學生的錯誤,主要有兩種:策略性錯誤(30%)和過程性錯誤(27%),前者是將m視為參數(shù)進行分離,后者是知道要將m和x換位,但在解題過程中出現(xiàn)錯誤,對第二鐘錯誤的分析發(fā)現(xiàn),除了計算錯誤,更多學生是沒有真正弄懂為什么要這樣做,對方法的運用還停留在記憶的層面,如圖3.比較發(fā)現(xiàn),兩鐘解法的區(qū)別在于對m“角色”的定位,前者將(x2-1)m-2x+1看成關于m的一次函數(shù),數(shù)形結合流暢地解決問題,而后者表面上也將函數(shù)整理成關于m的一次函數(shù)形式,甚至還畫出函數(shù)對應的直線圖像,但接下來卻沒有抓住m主變量的角色加以討論,解答的過程前后兩部分出現(xiàn)“斷鏈”,這說明學生還沒有建立起對這一方法的實質性理解.聯(lián)想到預測中的一道題:解關于x的方程█,全班54人沒有1人采用常量與變量換位的方法,即使能做對也都是通過因式分解得到█解出x,正式測試時刪去此題.看得出來,學生不善于解答此類問題,究其原因,主要是平時接觸較少,導致學生對這種常量與變量換位的思考方式很不適應,更深層次的原因在于學生靜態(tài)的數(shù)學觀抑制了思維的靈活性.所謂靜態(tài)的數(shù)學觀,即人們往往把數(shù)學等同于數(shù)學知識(特別是“事實性結論”)的匯集,用孤立的、靜止的和片面的觀點看待問題.它以一種不易察覺的方式影響學生的解題,學生對變量與常量的關系容易產(chǎn)生先入為主的印象,認為“數(shù)學就應該這樣”,這一點在隨后的訪談中也得到了證實.4.3圖像對逆向思維能力的影響問題4:設△ABC三邊長分別是a、b、c,且a+1/a=b+1/b=c+1/c,則此三角形一定是正三角形嗎?請說明理由.此題找個反例a=1/b,就能輕松否定結論,但僅有19%的學生做對,居然有53%的學生證明了此三角形一定是正三角形,如圖4.從證明過程中發(fā)現(xiàn),學生曾推出ab=1,但未作深入思考,很快又否定了.命題證明的心理分析表明,在命題檢驗中,人表現(xiàn)出強烈的證實傾向,即極力證實命題為真,而很少嘗試證偽,即不習慣用反例駁倒命題.研究過程中也印證了這一結論.出乎意料的是有學生通過畫函數(shù)圖像找到反例,如圖5.這可以說是一個意外收獲,但如果站在學生的角度分析,其實是情理之中的,因為看似輕松的反例,對沒有逆向思維習慣的學生來說是很難發(fā)現(xiàn)的,正是借助于直觀圖像才使得學生的思考有所依據(jù),推理得以進行.事實上,在對前兩題的分析過程中,也產(chǎn)生了這樣的深切感受,即如果學生在解答中借助于圖像往往會增加正確的機率.那學生頭腦中暴露出來的這一解法又能給教師的教學帶來哪些啟示呢?不妨先剖析一下學生的認知過程:在問題表征階段,包括理解題目的字面含義和識別題目的類型為探索型問題,模式識別階段.對題目中所給的材料a+1/a=b+1/b=c+1/c進行概括,發(fā)現(xiàn)熟悉的函數(shù)模型y=x+1/x,在長時記憶中提取相應的函數(shù)圖像,之前對函數(shù)圖像性質的了解幫助學生很快發(fā)現(xiàn)x=1/█和x=2時函數(shù)值相等,從而找到反例,實現(xiàn)解題的遷移,解題監(jiān)控貫穿整個的解題過程.可以看出在這一過程中,學生的概括能力、知識基礎(特別是圖像)和以往解題經(jīng)驗起到了關鍵性的作用,而這些正是來自他之前所受的正向的思維訓練.因此,正向思維與逆向思維并不完全對立,兩者的關系是辯證統(tǒng)一的,逆向思維能力的培養(yǎng)也不應該成為一個獨立系統(tǒng),而應該和正向思維訓練相結合,滲透在常5基于結論的學習建議通過以上的定量分析和定性分析,可得如下結論:(1)高中生數(shù)學逆向思維能力總體發(fā)展水平偏低,逆向思維能力與數(shù)學成績之間不存在相關性,各逆向思維策略得分由高到低依次為:公式的逆用、補集思想、常量與變量換位、找反例、反證法,其中公式的逆用與其它策略之間,補集思想與找反例之間均存在顯著性差異.男女生在逆向思維策略的運用上各有千秋,男生找反例的能力極其顯著優(yōu)于女生,而女生對常量與變量換位的運用顯著好于男生,其它方面不存在顯著性差異.(2)高中生缺少從反面考慮問題的意識和習慣,這在具體問題的定性分析中顯露無疑,學生在命題檢驗中傾向于證實命題為真,很少嘗試舉反例,這與心理學研究的結論是一致的.學生對常量與變量換位的策略存在理解上的障礙,接受起來沒有想象中簡單.定性分析還發(fā)現(xiàn),學生在正向思維訓練中所獲得的概括能力、知識基礎(特別是圖像)和解題經(jīng)驗保證了逆向思維順利進行,正逆兩種思維的關系辨證而統(tǒng)一,這糾正了研究者先前對兩種思維關系的片面認識,同時為教學提供了重要的啟示.基于研究所得結論,為提高學生的逆向思維能力,給出如下建議:(1)觀念保證.觀念指導行動,學生的數(shù)學觀就像一只無形的手指引著學習過程,深刻影響著學習的結果.要發(fā)展學生的逆向思維能力,教師首先要幫助學生實現(xiàn)由靜態(tài)數(shù)學觀向動態(tài)數(shù)學觀的轉變.所謂動態(tài)的數(shù)學觀,即數(shù)學體現(xiàn)著人類的發(fā)明與創(chuàng)造,數(shù)學是一個有內(nèi)部聯(lián)系的、動態(tài)發(fā)展的學科.一般認為,教師的數(shù)學觀會直接影響學生的數(shù)學觀,因此,要轉變學生的數(shù)學觀,教師自己首先要形成動態(tài)的數(shù)學觀,要不斷加強理論學習,開闊數(shù)學視野,并將自身的感悟融入教學實踐中,結合具體問題,培養(yǎng)學生用聯(lián)系的、運動變化的、辯證的觀點看待問題,潛移默化地影響學生的數(shù)學觀.(2)習慣養(yǎng)成.眾所周知,習慣的養(yǎng)成非一朝一夕的事.教師應將對學生逆向思維習慣的培養(yǎng),滲透在常規(guī)教學活動中,如在命題教學中,當正向探究結束后,要引導學生對原命題作逆向探究,或者引導學生構造反例駁倒似是而非的命題;在解題教學中,進行變式訓練,對調(diào)題目中條件和結論讓學生逆向探究等.這種經(jīng)常性的反方向思維運動有助于增強學生逆轉心理過程的能力,養(yǎng)成從反面思考問題的習慣.(3)方法培育.建構主義的學習觀認為,學習并非學生對教師所授予知識的被動接受,而是以其己有的知識和經(jīng)驗為基礎的主動建構.反復操練與強制灌輸無助于學生對逆向策略的理解和掌握,因此,教師在傳授逆向策略時,不妨可以運用一下“逆向策略”,即先順應學生的思維習慣,從正面解答,然后啟發(fā)引導學生變換角度逆向解答,并因勢利導讓學生對兩種方法做出比較,讓學生在思維的碰撞中體驗到逆向策略的妙處,自覺完成對思維方式的重構,舍得之間,方