高等數(shù)學(xué)(下)課后習(xí)題答案

./高等數(shù)學(xué)〔下習(xí)題七1.在空間直角坐標(biāo)系中,定出下列各點(diǎn)的位置：A<1,2,3>;B<-2,3,4>;C<2,-3,-4>;D<3,4,0>;E<0,4,3>;F<3,0,0>.解：點(diǎn)A在第Ⅰ卦限；點(diǎn)B在第Ⅱ卦限；點(diǎn)C在第Ⅷ卦限；點(diǎn)D在xOy面上；點(diǎn)E在yOz面上；點(diǎn)F在x軸上.2.xOy坐標(biāo)面上的點(diǎn)的坐標(biāo)有什么特點(diǎn)？yOz面上的呢？zOx面上的呢？答:在xOy面上的點(diǎn),z=0;在yOz面上的點(diǎn),x=0;在zOx面上的點(diǎn),y=0.3.x軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)有什么特點(diǎn)？y軸上的點(diǎn)呢？z軸上的點(diǎn)呢？答：x軸上的點(diǎn),y=z=0;y軸上的點(diǎn),x=z=0;z軸上的點(diǎn),x=y=0.4.求下列各對(duì)點(diǎn)之間的距離：〔1〔0,0,0,〔2,3,4；〔2〔0,0,0,〔2,-3,-4；〔3〔-2,3,-4,〔1,0,3；〔4〔4,-2,3,〔-2,1,3.解：〔1<2><3><4>.5.求點(diǎn)〔4,-3,5到坐標(biāo)原點(diǎn)和各坐標(biāo)軸間的距離.解：點(diǎn)<4,-3,5>到x軸,y軸,z軸的垂足分別為〔4,0,0,〔0,-3,0,〔0,0,5.故.6.在z軸上,求與兩點(diǎn)A〔-4,1,7和B〔3,5,-2等距離的點(diǎn).解：設(shè)此點(diǎn)為M〔0,0,z,則解得即所求點(diǎn)為M〔0,0,.7.試證：以三點(diǎn)A〔4,1,9,B〔10,-1,6,C〔2,4,3為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形.證明：因?yàn)閨AB|=|AC|=7.且有|AC|2+|AB|2=49+49=98=|BC|2.故△ABC為等腰直角三角形.8.驗(yàn)證：.證明：利用三角形法則得證.見圖7-1圖7-19.設(shè)試用a,b,c表示解：10.把△ABC的BC邊分成五等份,設(shè)分點(diǎn)依次為D1,D2,D3,D4,再把各分點(diǎn)與A連接,試以,表示向量,,和.解：11.設(shè)向量的模是4,它與投影軸的夾角是60°,求這向量在該軸上的投影.解：設(shè)M的投影為,則12.一向量的終點(diǎn)為點(diǎn)B〔2,-1,7,它在三坐標(biāo)軸上的投影依次是4,-4和7,求這向量的起點(diǎn)A的坐標(biāo).解：設(shè)此向量的起點(diǎn)A的坐標(biāo)A<x,y,z>,則解得x=-2,y=3,z=0故A的坐標(biāo)為A<-2,3,0>.13.一向量的起點(diǎn)是P1〔4,0,5,終點(diǎn)是P2〔7,1,3,試求：〔1在各坐標(biāo)軸上的投影；〔2的模；〔3的方向余弦；〔4方向的單位向量.解：〔1<2><3>.<4>.14.三個(gè)力F1=<1,2,3>,F2=<-2,3,-4>,F3=<3,-4,5>同時(shí)作用于一點(diǎn).求合力R的大小和方向余弦.解：R=〔1-2+3,2+3-4,3-4+5=〔2,1,415.求出向量a=i+j+k,b=2i-3j+5k和c=-2i-j+2k的模,并分別用單位向量來表達(dá)向量a,b,c.解：16.設(shè)m=3i+5j+8k,n=2i-4j-7k,p=5i+j-4k,求向量a=4m+3n-p在x軸上的投影及在y軸上的分向量.解：a=4<3i+5j+8k>+3<2i-4j-7k>-<5i+j-4k>=13i+7j+15k在x軸上的投影ax=13,在y軸上分向量為7j.17.向量r與三坐標(biāo)軸交成相等的銳角,求這向量的單位向量er.解：因,故,〔舍去則.18.已知兩點(diǎn)M1〔2,5,-3,M2〔3,-2,5,點(diǎn)M在線段M1M2上,且,求向徑的坐標(biāo).解：設(shè)向徑={x,y,z}因?yàn)?所以,故={}.19.已知點(diǎn)P到點(diǎn)A〔0,0,12的距離是7,的方向余弦是,求點(diǎn)P的坐標(biāo).解：設(shè)P的坐標(biāo)為〔x,y,z,得又故點(diǎn)P的坐標(biāo)為P〔2,3,6或P〔.20.已知a,b的夾角,且,計(jì)算：<1>a·b;<2><3a-2b>·<a+2b>.解：〔1a·b=<2>21.已知a=<4,-2,4>,b=<6,-3,2>,計(jì)算：〔1a·b;<2><2a-3b>·<a+b>；〔3解：〔1<2><3>22.已知四點(diǎn)A〔1,-2,3,B〔4,-4,-3,C〔2,4,3,D〔8,6,6,求向量在向量上的投影.解：={3,-2,-6},={6,2,3}23.設(shè)重量為100kg的物體從點(diǎn)M1<3,1,8>沿直線移動(dòng)到點(diǎn)M2〔1,4,2,計(jì)算重力所作的功〔長度單位為m.解：取重力方向?yàn)閦軸負(fù)方向,依題意有f={0,0,-100×9.8}s=={-2,3,-6}故W=f·s={0,0,-980}·{-2,3,-6}=5880<J>24.若向量a+3b垂直于向量7a-5b,向量a-4b垂直于向量7a-2b,求a和b的夾角.解:<a+3b>·<7a-5b>=①<a-4b>·<7a-2b>=②由①及②可得：又,所以,故.25.一動(dòng)點(diǎn)與M0<1,1,1>連成的向量與向量n=<2,3,-4>垂直,求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)為M<x,y,z>因,故.即2<x-1>+3<y-1>-4<z-1>=0整理得：2x+3y-4z-1=0即為動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程.26.設(shè)a=<-2,7,6>,b=<4,-3,-8>,證明：以a與b為鄰邊的平行四邊形的兩條對(duì)角線互相垂直.證明：以a,b為鄰邊的平行四邊形的兩條對(duì)角線分別為a+b,a－b,且a+b={2,4,-2}a-b={-6,10,14}又<a+b>·<a-b>=2×<-6>+4×10+<-2>×14=0故<a+b><a-b>.27.已知a=3i+2j-k,b=i-j+2k,求：<1>a×b;<2>2a×7b;<3>7b×2a;<4>a×a.解：〔1<2><3><4>.28.已知向量a和b互相垂直,且.計(jì)算：<1>|<a＋b>×<a－b>|；<2>|<3a＋b>×<a－2b>|.〔1<2>29.求垂直于向量3i-4j-k和2i-j+k的單位向量,并求上述兩向量夾角的正弦.解：與平行的單位向量.30.一平行四邊形以向量a=<2,1,－1>和b=<1,－2,1>為鄰邊,求其對(duì)角線夾角的正弦.解：兩對(duì)角線向量為,因?yàn)?所以.即為所求對(duì)角線間夾角的正弦.31.已知三點(diǎn)A<2,-1,5>,B<0,3,-2>,C<-2,3,1>,點(diǎn)M,N,P分別是AB,BC,CA的中點(diǎn),證明：.證明：中點(diǎn)M,N,P的坐標(biāo)分別為故.32.求同時(shí)垂直于向量a=<2,3,4>和橫軸的單位向量.解：設(shè)橫軸向量為b=<x,0,0>則同時(shí)垂直于a,b的向量為=4xj－3xk故同時(shí)垂直于a,b的單位向量為.33.四面體的頂點(diǎn)在<1,1,1>,<1,2,3>,<1,1,2>和<3,-1,2>求四面體的表面積.解：設(shè)四頂點(diǎn)依次取為A,B,C,D.則由A,B,D三點(diǎn)所確定三角形的面積為.同理可求其他三個(gè)三角形的面積依次為.故四面體的表面積.34.已知三點(diǎn)A<2,4,1>,B<3,7,5>,C<4,10,9>,證：此三點(diǎn)共線.證明：,顯然則故A,B,C三點(diǎn)共線.35.求過點(diǎn)<4,1,-2>且與平面3x-2y+6z=11平行的平面方程.解：所求平面與平面3x-2y+6z=11平行故n={3,-2,6},又過點(diǎn)<4,1,-2>故所求平面方程為：3<x-4>-2<y-1>+6<z+2>=0即3x-2y+6z+2=0.36.求過點(diǎn)M0<1,7,-3>,且與連接坐標(biāo)原點(diǎn)到點(diǎn)M0的線段OM0垂直的平面方程.解：所求平面的法向量可取為故平面方程為：x-1+7<y-7>-3<z+3>=0即x+7y-3z-59=037.設(shè)平面過點(diǎn)<1,2,-1>,而在x軸和z軸上的截距都等于在y軸上的截距的兩倍,求此平面方程.解：設(shè)平面在y軸上的截距為b則平面方程可定為又<1,2,-1>在平面上,則有得b=2.故所求平面方程為38.求過<1,1,-1>,<-2,-2,2>和〔1,-1,2三點(diǎn)的平面方程.解：由平面的三點(diǎn)式方程知代入三已知點(diǎn),有化簡(jiǎn)得x-3y-2z=0即為所求平面方程.39.指出下列各平面的特殊位置,并畫出其圖形：<1>y=0;<2>3x-1=0;<3>2x-3y-6=0;<4>x–y=0;<5>2x-3y+4z=0.解：<1>y=0表示xOz坐標(biāo)面〔如圖7-2<2>3x-1=0表示垂直于x軸的平面.<如圖7-3>圖7-2圖7-3<3>2x-3y-6=0表示平行于z軸且在x軸及y軸上的截距分別為x=3和y=-2的平面.<如圖7-4><4>x–y=0表示過z軸的平面〔如圖7-5<5>2x-3y+4z=0表示過原點(diǎn)的平面〔如圖7-6.圖7-4圖7-5圖7-640.通過兩點(diǎn)〔1,1,1,和〔2,2,2作垂直于平面x+y-z=0的平面.解：設(shè)平面方程為Ax+By+Cz+D=0則其法向量為n={A,B,C}已知平面法向量為n1={1,1,-1}過已知兩點(diǎn)的向量l={1,1,1}由題知n·n1=0,n·l=0即所求平面方程變?yōu)锳x-Ay+D=0又點(diǎn)〔1,1,1在平面上,所以有D=0故平面方程為x-y=0.41.決定參數(shù)k的值,使平面x+ky-2z=9適合下列條件：〔1經(jīng)過點(diǎn)〔5,-4,6；〔2與平面2x-3y+z=0成的角.解：〔1因平面過點(diǎn)〔5,-4,6故有5-4k-2×6=9得k=-4.〔2兩平面的法向量分別為n1={1,k,-2}n2={2,-3,1}且解得42.確定下列方程中的l和m:<1>平面2x+ly+3z-5=0和平面mx-6y-z+2=0平行;<2>平面3x-5y+lz-3=0和平面x+3y+2z+5=0垂直.解：〔1n1={2,l,3},n2={m,-6,-1}<2>n1={3,-5,l},n2={1,3,2}43.通過點(diǎn)〔1,-1,1作垂直于兩平面x-y+z-1=0和2x+y+z+1=0的平面.解：設(shè)所求平面方程為Ax+By+Cz+D=0其法向量n={A,B,C}n1={1,-1,1},n2={2,1,1}又〔1,－1,1在所求平面上,故A－B+C+D=0,得D=0故所求平面方程為即2x-y-3z=044.求平行于平面3x-y+7z=5,且垂直于向量i-j+2k的單位向量.解：n1={3,-1,7},n2={1,-1,2}.故則45.求通過下列兩已知點(diǎn)的直線方程：〔1〔1,-2,1,〔3,1,-1；〔2〔3,-1,0,〔1,0,-3.解：〔1兩點(diǎn)所確立的一個(gè)向量為s={3-1,1+2,-1-1}={2,3,-2}故直線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：或〔2直線方向向量可取為s={1-3,0+1,-3-0}={-2,1,-3}故直線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：或46.求直線的標(biāo)準(zhǔn)式方程和參數(shù)方程.解：所給直線的方向向量為另取x0=0代入直線一般方程可解得y0=7,z0=17于是直線過點(diǎn)〔0,7,17,因此直線的標(biāo)準(zhǔn)方程為:且直線的參數(shù)方程為：47.求下列直線與平面的交點(diǎn)：<1>,2x+3y+z-1=0;<2>,x+2y-2z+6=0.解：〔1直線參數(shù)方程為代入平面方程得t=1故交點(diǎn)為〔2,-3,6.〔2直線參數(shù)方程為代入平面方程解得t=0.故交點(diǎn)為〔-2,1,3.48.求下列直線的夾角：〔1和；〔2和解：〔1兩直線的方向向量分別為：s1={5,-3,3}×{3,-2,1}=={3,4,-1}s2={2,2,-1}×{3,8,1}=={10,-5,10}由s1·s2=3×10+4×<-5>+<-1>×10=0知s1⊥s2從而兩直線垂直,夾角為.<2>直線的方向向量為s1={4,-12,3},直線的方程可變?yōu)?可求得其方向向量s2={0,2,-1}×{1,0,0}={0,-1,-2},于是49.求滿足下列各組條件的直線方程：〔1經(jīng)過點(diǎn)〔2,-3,4,且與平面3x-y+2z-4=0垂直；〔2過點(diǎn)〔0,2,4,且與兩平面x+2z=1和y-3z=2平行；〔3過點(diǎn)〔-1,2,1,且與直線平行.解：〔1可取直線的方向向量為s={3,-1,2}故過點(diǎn)〔2,-3,4的直線方程為〔2所求直線平行兩已知平面,且兩平面的法向量n1與n2不平行,故所求直線平行于兩平面的交線,于是直線方向向量故過點(diǎn)〔0,2,4的直線方程為〔3所求直線與已知直線平行,故其方向向量可取為s={2,-1,3}故過點(diǎn)〔-1,2,1的直線方程為.50.試定出下列各題中直線與平面間的位置關(guān)系：〔1和4x-2y-2z=3;〔2和3x-2y+7z=8;〔3和x+y+z=3.解：平行而不包含.因?yàn)橹本€的方向向量為s={-2,-7,3}平面的法向量n={4,-2,-2},所以于是直線與平面平行.又因?yàn)橹本€上的點(diǎn)M0〔-3,-4,0代入平面方程有.故直線不在平面上.<2>因直線方向向量s等于平面的法向量,故直線垂直于平面.<3>直線在平面上,因?yàn)?而直線上的點(diǎn)〔2,-2,3在平面上.51.求過點(diǎn)〔1,-2,1,且垂直于直線的平面方程.解：直線的方向向量為,取平面法向量為{1,2,3},故所求平面方程為即x+2y+3z=0.52.求過點(diǎn)〔1,-2,3和兩平面2x-3y+z=3,x+3y+2z+1=0的交線的平面方程.解：設(shè)過兩平面的交線的平面束方程為其中λ為待定常數(shù),又因?yàn)樗笃矫孢^點(diǎn)〔1,-2,3故解得λ=-4.故所求平面方程為2x+15y+7z+7=053.求點(diǎn)〔-1,2,0在平面x+2y-z+1=0上的投影.解：過點(diǎn)〔-1,2,0作垂直于已知平面的直線,則該直線的方向向量即為已知平面的法向量,即s=n={1,2,-1}所以垂線的參數(shù)方程為將其代入平面方程可得<-1+t>+2<2+2t>-<-t>+1=0得于是所求點(diǎn)〔-1,2,0到平面的投影就是此平面與垂線的交點(diǎn)54.求點(diǎn)〔1,2,1到平面x+2y+2z-10=0距離.解：過點(diǎn)〔1,2,1作垂直于已知平面的直線,直線的方向向量為s=n={1,2,2}所以垂線的參數(shù)方程為將其代入平面方程得.故垂足為,且與點(diǎn)〔1,2,1的距離為即為點(diǎn)到平面的距離.55.求點(diǎn)〔3,-1,2到直線的距離.解：過點(diǎn)〔3,-1,2作垂直于已知直線的平面,平面的法向量可取為直線的方向向量即故過已知點(diǎn)的平面方程為y+z=1.聯(lián)立方程組解得即為平面與直線的垂足于是點(diǎn)到直線的距離為56.建立以點(diǎn)〔1,3,-2為中心,且通過坐標(biāo)原點(diǎn)的球面方程.解：球的半徑為設(shè)<x,y,z>為球面上任一點(diǎn),則<x-1>2+<y-3>2+<z+2>2=14即x2+y2+z2-2x-6y+4z=0為所求球面方程.57.一動(dòng)點(diǎn)離點(diǎn)〔2,0,-3的距離與離點(diǎn)〔4,-6,6的距離之比為3,求此動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.解：設(shè)該動(dòng)點(diǎn)為M<x,y,z>,由題意知化簡(jiǎn)得：8x2+8y2+8z2-68x+108y-114z+779=0即為動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.58.指出下列方程所表示的是什么曲面,并畫出其圖形：〔1;〔2;〔3;〔4;〔5;〔6.解：〔1母線平行于z軸的拋物柱面,如圖7-7.〔2母線平行于z軸的雙曲柱面,如圖7-8.圖7-7圖7-8〔3母線平行于y軸的橢圓柱面,如圖7-9.〔4母線平行于x軸的拋物柱面,如圖7-10.圖7-9圖7-10〔5母線平行于z軸的兩平面,如圖7-11.〔6z軸,如圖7-12.圖7-11圖7-1259.指出下列方程表示怎樣的曲面,并作出圖形：〔1;〔2;〔3;〔4;〔5;〔6.解：〔1半軸分別為1,2,3的橢球面,如圖7-13.<2>頂點(diǎn)在〔0,0,-9的橢圓拋物面,如圖7-14.圖7-13圖7-14<3>以x軸為中心軸的雙葉雙曲面,如圖7-15.<4>單葉雙曲面,如圖7-16.圖7-15圖7-16<5>頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓錐面,其中心軸是y軸,如圖7-17.<6>頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)的圓錐面,其中心軸是z軸,如圖7-18.圖7-17圖7-1860.作出下列曲面所圍成的立體的圖形：<1>x2+y2+z2=a2與z=0,z=<a>0>;<2>x+y+z=4,x=0,x=1,y=0,y=2及z=0;<3>z=4-x2,x=0,y=0,z=0及2x+y=4;<4>z=6-<x2+y2>,x=0,y=0,z=0及x+y=1.解：〔1〔2〔3〔4分別如圖7-19,7-20,7-21,7-22所示.圖7-19圖7-20圖7-21圖7-2261.求下列曲面和直線的交點(diǎn)：<1>與;<2>與.解：〔1直線的參數(shù)方程為代入曲面方程解得t=0,t=1.得交點(diǎn)坐標(biāo)為〔3,4,-2,〔6,-2,2.<2>直線的參數(shù)方程為代入曲面方程可解得t=1,得交點(diǎn)坐標(biāo)為〔4,-3,2.62.設(shè)有一圓,它的中心在z軸上,半徑為3,且位于距離xOy平面5個(gè)單位的平面上,試建立這個(gè)圓的方程.解：設(shè)〔x,y,z為圓上任一點(diǎn),依題意有即為所求圓的方程.63.建立曲線x2+y2=z,z=x+1在xOy平面上的投影方程.解：以曲線為準(zhǔn)線,母線平行于z軸的柱面方程為x2+y2=x+1即.故曲線在xOy平面上的投影方程為64.求曲線x2+y2+z2=a2,x2+y2=z2在xOy面上的投影曲線.解：以曲線為準(zhǔn)線,母線平行于z軸的柱面方程為故曲線在xOy面上的投影曲線方程為65.試考察曲面在下列各平面上的截痕的形狀,并寫出其方程.<1>平面x=2;<2>平面y=0;<3>平面y=5;<4>平面z=2.解：〔1截線方程為其形狀為x=2平面上的雙曲線.〔2截線方程為為xOz面上的一個(gè)橢圓.<3>截線方程為為平面y=5上的一個(gè)橢圓.<4>截線方程為為平面z=2上的兩條直線.66.求單葉雙曲面與平面x-2z+3=0的交線在xOy平面,yOz平面及xOz平面上的投影曲線.解：以代入曲面方程得x2+20y2-24x-116=0.故交線在xOy平面上的投影為以x=2z-3代入曲面方程,得20y2+4z2-60z-35=0.故交線在yOz平面上的投影為交線在xOz平面上的投影為習(xí)題八1.判斷下列平面點(diǎn)集哪些是開集、閉集、區(qū)域、有界集、無界集？并分別指出它們的聚點(diǎn)集和邊界：<1>{<x,y>|x≠0};<2>{<x,y>|1≤x2+y2<4};<3>{<x,y>|y<x2};<4>{<x,y>|<x-1>2+y2≤1}∪{<x,y>|<x+1>2+y2≤1}.解：<1>開集、無界集,聚點(diǎn)集：R2,邊界：{<x,y>|x=0}.<2>既非開集又非閉集,有界集,聚點(diǎn)集：{<x,y>|1≤x2+y2≤4},邊界：{<x,y>|x2+y2=1}∪{<x,y>|x2+y2=4}.<3>開集、區(qū)域、無界集,聚點(diǎn)集：{<x,y>|y≤x2},邊界：{<x,y>|y=x2}.<4>閉集、有界集,聚點(diǎn)集即是其本身,邊界：{<x,y>|<x-1>2+y2=1}∪{<x,y>|<x+1>2+y2=1}.2.已知f<x,y>=x2+y2-xytan,試求.解：3.已知,試求解：f<x+y,x-y,xy>=<x+y>xy+<xy>x+y+x-y=<x+y>xy+<xy>2x.4.求下列各函數(shù)的定義域：解：5.求下列各極限：解：<1>原式=<2>原式=+∞.<3>原式=<4>原式=<5>原式=<6>原式=6.判斷下列函數(shù)在原點(diǎn)O<0,0>處是否連續(xù)：<3>解：<1>由于又,且,故.故函數(shù)在O<0,0>處連續(xù).<2>故O<0,0>是z的間斷點(diǎn).<3>若P<x,y>沿直線y=x趨于<0,0>點(diǎn),則,若點(diǎn)P<x,y>沿直線y=-x趨于<0,0>點(diǎn),則故不存在.故函數(shù)z在O<0,0>處不連續(xù).7.指出下列函數(shù)在向外間斷：<1>f<x,y>=; <2>f<x,y>=;<3>f<x,y>=ln<1－x2－y2>; <4>f<x,y>=解：<1>因?yàn)楫?dāng)y=-x時(shí),函數(shù)無定義,所以函數(shù)在直線y=-x上的所有點(diǎn)處間斷,而在其余點(diǎn)處均連續(xù).<2>因?yàn)楫?dāng)y2=2x時(shí),函數(shù)無定義,所以函數(shù)在拋物線y2=2x上的所有點(diǎn)處間斷.而在其余各點(diǎn)處均連續(xù).<3>因?yàn)楫?dāng)x2+y2=1時(shí),函數(shù)無定義,所以函數(shù)在圓周x2+y2=1上所有點(diǎn)處間斷.而在其余各點(diǎn)處均連續(xù).<4>因?yàn)辄c(diǎn)P<x,y>沿直線y=x趨于O<0,0>時(shí)..故<0,0>是函數(shù)的間斷點(diǎn),而在其余各點(diǎn)處均連續(xù).8.求下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)：<1>z=x2y+; <2>s=;<3>z=xln; <4>z=lntan;<5>z=<1+xy>y; <6>u=zxy;<7>u=arctan<x-y>z; <8>.解：<1><2><3><4><5>兩邊取對(duì)數(shù)得故<6><7><8>9.已知,求證：.證明：.由對(duì)稱性知.于是.10.設(shè),求證：.證明：,由z關(guān)于x,y的對(duì)稱性得故11.設(shè)f<x,y>=x+<y-1>arcsin,求fx<x,1>.解：則.12.求曲線在點(diǎn)〔2,4,5處的切線與正向x軸所成的傾角.解：設(shè)切線與正向x軸的傾角為α,則tanα=1.故α=.13.求下列函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)：<1>z=x4+y4-4x2y2; <2>z=arctan;<3>z=yx; <4>z=.解：<1>由x,y的對(duì)稱性知<2>,<3><4>14.設(shè)f<x,y,z>=xy2+yz2+zx2,求解：.15.設(shè)z=xln<xy>,求及.解：16.求下列函數(shù)的全微分：<1>; <2>;<3>; <4>.解：<1>∵∴<2>∵∴<3>∵∴<4>∵∴17.求下列函數(shù)在給定點(diǎn)和自變量增量的條件下的全增量和全微分：<1><2>解：<1><2>18.利用全微分代替全增量,近似計(jì)算：<1><1.02>3·<0.97>2; <2>;<3><1.97>1.05.解：<1>設(shè)f<x,y>=x3·y2,則故df<x,y>=3x2y2dx+2x3ydy=xy<3xydx+2x2dy>取x=1,y=1,dx=0.02,dy=-0.03,則<1.02>3·<0.97>2=f<1.02,0.97>≈f<1,1>+df<1,1>=13×12+1×1[3×1×1×0.02+2×12×<-0.03>]=1.<2>設(shè)f<x,y>=,則故取,則<3>設(shè)f<x,y>=xy,則df<x,y>=yxy-1dx+xylnxdy,取x=2,y=1,dx=-0.03,dy=0.05,則19.矩型一邊長a=10cm,另一邊長b=24cm,當(dāng)a邊增加4mm,而b邊縮小1mm時(shí),求對(duì)角線長的變化.解：設(shè)矩形對(duì)角線長為l,則當(dāng)x=10,y=24,dx=0.4,dy=-0.1時(shí),<cm>故矩形的對(duì)角線長約增加0.062cm.20.1mol理想氣體在溫度0℃和1個(gè)大氣壓的標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下,體積是22.4L,從這標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下將溫度升高3℃,壓強(qiáng)升高0.015個(gè)大氣壓,問體積大約改變多少？解：由PV=RT得V=,且在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下,R=8.20568×10-2,ΔV≈dv=-=故體積改變量大約為0.09.21.測(cè)得一物體的體積V=4.45cm3,其絕對(duì)誤差限是0.01cm3,質(zhì)量m=30.80g,其絕對(duì)誤差限是0.01g,求由公式算出密度的絕對(duì)誤差與相對(duì)誤差.解：當(dāng)V=4.45,m=30.80,dv=0.01,dm=0.01時(shí),當(dāng)v=4.45,m=30.80時(shí).22.求下列復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)或全導(dǎo)數(shù)：<1>求,；〔2z＝,x＝u＋v,y＝u－v,求,；〔3,y＝x3,求;〔4u＝x2＋y2＋z2,x＝,y＝,z＝,求.解：〔1<2><3><4>.23.設(shè)f具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),試求下列函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)：<1> <2><3>解：<1><2><3>24.設(shè)為可導(dǎo)函數(shù),證明：證明:故25.設(shè),其中f<u>為可導(dǎo)函數(shù),驗(yàn)證：.證明：∵,,∴26.,其中f具有二階導(dǎo)數(shù),求解：由對(duì)稱性知,27.設(shè)f是c2類函數(shù),求下列函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)：<1> <2><3>解：<1>,<2><3>28.試證：利用變量替換,可將方程化簡(jiǎn)為.證明：設(shè)故29.求下列隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)：<1>,求;<2>,求；<3>,求;<4>,求.解：<1>[解法1]用隱函數(shù)求導(dǎo)公式,設(shè)F<x,y>=siny+ex-xy2,則故.[解法2]方程兩邊對(duì)x求導(dǎo),得故<2>設(shè)∵∴<3>方程兩邊求全微分,得則故<4>設(shè),則30.設(shè)F<x,y,z>=0可以確定函數(shù)x=x<y,z>,y=y<x,z>,z=z<x,y>,證明：.證明：∵∴31.設(shè)確定了函數(shù)z=z<x,y>,其中F可微,求.解：32.求由下列方程組所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)：<1>求：<2>求：<3>其中f,g是類函數(shù),求<4>求解：<1>原方程組變?yōu)榉匠虄蛇厡?duì)x求導(dǎo),得當(dāng)<2>設(shè)故<3>設(shè)則故<4>是已知函數(shù)的反函數(shù),方程組兩邊對(duì)x求導(dǎo),得整理得解得方程組兩邊對(duì)y求導(dǎo)得整理得解得33.設(shè),試求解：由方程組可確定反函數(shù),方程組兩邊對(duì)x求導(dǎo),得解得所以方程組兩邊對(duì)y求導(dǎo),得解得所以.34.求函數(shù)在<2,-1>點(diǎn)的泰勒公式.解：故35.將函數(shù)在<1,1>點(diǎn)展到泰勒公式的二次項(xiàng).解：習(xí)題九1.求函數(shù)u=xy2+z3-xyz在點(diǎn)〔1,1,2處沿方向角為的方向?qū)?shù)。解：2.求函數(shù)u=xyz在點(diǎn)〔5,1,2處沿從點(diǎn)A〔5,1,2到B〔9,4,14的方向?qū)?shù)。解：的方向余弦為故3.求函數(shù)在點(diǎn)處沿曲線在這點(diǎn)的法線方向的方向?qū)?shù)。解：設(shè)x軸正向到橢圓法線方向l的轉(zhuǎn)角為φ,它是第三象限的角,因?yàn)樗栽邳c(diǎn)處切線斜率為法線斜率為.于是∵∴4.研究下列函數(shù)的極值：<1>z=x3+y3－3<x2+y2>; <2>z=e2x<x+y2+2y>;<3>z=<6x－x2><4y－y2>; <4>z=<x2+y2>;<5>z=xy<a－x－y>,a≠0.解：〔1解方程組得駐點(diǎn)為〔0,0,<0,2>,<2,0>,<2,2>.zxx=6x－6,zxy=0,zyy=6y－6在點(diǎn)〔0,0處,A=－6,B=0,C=-6,B2－AC=－36<0,且A<0,所以函數(shù)有極大值z(mì)<0,0>=0.在點(diǎn)〔0,2處,A=－6,B=0,C=6,B2－AC=36>0,所以<0,2>點(diǎn)不是極值點(diǎn).在點(diǎn)〔2,0處,A=6,B=0,C=－6,B2－AC=36>0,所以<2,0>點(diǎn)不是極值點(diǎn).在點(diǎn)〔2,2處,A=6,B=0,C=6,B2－AC=－36<0,且A>0,所以函數(shù)有極小值z(mì)<2,2>=-8.<2>解方程組得駐點(diǎn)為.在點(diǎn)處,A=2e,B=0,C=2e,B2-AC=-4e2<0,又A>0,所以函數(shù)有極小值.<3>解方程組得駐點(diǎn)為〔3,2,<0,0>,<0,4>,<6,0>,<6,4>.Zxx=－2<4y-y2>,Zxy=4<3－x><2－y>Zyy=－2<6x－x2>在點(diǎn)〔3,2處,A=－8,B=0,C=－18,B2－AC=－8×18<0,且A<0,所以函數(shù)有極大值z(mì)<3,2>=36.在點(diǎn)〔0,0處,A=0,B=24,C=0,B2－AC>0,所以<0,0>點(diǎn)不是極值點(diǎn).在點(diǎn)〔0,4處,A=0,B=-24,C=0,B2－AC>0,所以<0,4>不是極值點(diǎn).在點(diǎn)〔6,0處,A=0,B=-24,C=0,B2－AC>0,所以<6,0>不是極值點(diǎn).在點(diǎn)〔6,4處,A=0,B=24,C=0,B2－AC>0,所以<6,4>不是極值點(diǎn).<4>解方程組得駐點(diǎn)P0<0,0>,及P<x0,y0>,其中x02+y02=1,在點(diǎn)P0處有z=0,而當(dāng)〔x,y≠<0,0>時(shí),恒有z>0,故函數(shù)z在點(diǎn)P0處取得極小值z(mì)=0.再討論函數(shù)z=ue-u由,令得u=1,當(dāng)u>1時(shí),；當(dāng)u<1時(shí),,由此可知,在滿足x02+y02=1的點(diǎn)〔x0,y0的鄰域,不論是x2+y2>1或x2+y2<1,均有.故函數(shù)z在點(diǎn)〔x0,y0取得極大值z(mì)=e-1<5>解方程組得駐點(diǎn)為zxx=-2y,zxy=a-2x-2y,zyy=-2x.故z的黑塞矩陣為于是易知H〔P1不定,故P1不是z的極值點(diǎn),H〔P2當(dāng)a<0時(shí)正定,故此時(shí)P2是z的極小值點(diǎn),且,H〔P2當(dāng)a>0時(shí)負(fù)定,故此時(shí)P2是z的極大值點(diǎn),且.5.設(shè)2x2+2y2+z2+8xz-z+8=0,確定函數(shù)z=z<x,y>,研究其極值。解：由已知方程分別對(duì)x,y求導(dǎo),解得令解得,將它們代入原方程,解得.從而得駐點(diǎn).在點(diǎn)〔-2,0處,B2-AC<0,因此函數(shù)有極小值z(mì)=1.在點(diǎn)處,B2-AC<0,函數(shù)有極大值.6.在平面xOy上求一點(diǎn),使它到x=0,y=0及x+2y-16=0三直線距離的平方之和為最小。解：設(shè)所求點(diǎn)為P<x,y>,P點(diǎn)到x=0的距離為|x|,到y(tǒng)=0的距離為|y|,到直線x+2y-16=0的距離為距離的平方和為由得唯一駐點(diǎn),因?qū)嶋H問題存在最小值,故點(diǎn)即為所求。7.求旋轉(zhuǎn)拋物面z=x2+y2與平面x+y-z=1之間的最短距離。解：設(shè)P〔x,y,z為拋物面上任一點(diǎn).則點(diǎn)P到平面的距離的平方為,即求其在條件z=x2+y2下的最值。設(shè)F〔x,y,z=解方程組得故所求最短距離為8.拋物面z=x2+y2被平面x+y+z=1截成一橢圓,求原點(diǎn)到這橢圓的最長與最短距離。解：設(shè)橢圓上的點(diǎn)為P〔x,y,z,則|OP|2=x2+y2+z2.因P點(diǎn)在拋物面及平面上,所以約束條件為z=x2+y2,x+y+z=1設(shè)F〔x,y,z=x2+y2+z2+λ1<z-x2-y2>+λ2<x+y+z-1>解方程組得由題意知,距離|OP|有最大值和最小值,且.所以原點(diǎn)到橢圓的最長距離是,最短距離是.9.在第I卦限作橢球面的切平面,使切平面與三坐標(biāo)面所圍成的四面體體積最小,求切點(diǎn)坐標(biāo)。解：令∵∴橢球面上任一點(diǎn)的切平面方程為即切平面在三個(gè)坐標(biāo)軸上的截距分別為,因此切平面與三個(gè)坐標(biāo)面所圍的四面體的體積為即求在約束條件下的最小值,也即求xyz的最大值問題。設(shè),解方程組得.故切點(diǎn)為,此時(shí)最小體積為*10.設(shè)空間有n個(gè)點(diǎn),坐標(biāo)為,試在xOy面上找一點(diǎn),使此點(diǎn)與這n個(gè)點(diǎn)的距離的平方和最小。解：設(shè)所求點(diǎn)為P〔x,y,0,則此點(diǎn)與n個(gè)點(diǎn)的距離的平方和為解方程組得駐點(diǎn)又在點(diǎn)處Sxx=2n=A,Sxy=0=B,Syy=2n=CB2-AC=-4n2<0,且A>0取得最小值.故在點(diǎn)處,S取得最小值.即所求點(diǎn)為.11.已知平面上分別帶有質(zhì)量m1,m2,m3的三個(gè)質(zhì)點(diǎn),問點(diǎn)的位置如何才能使該質(zhì)點(diǎn)系對(duì)于p點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為最小。解：該質(zhì)點(diǎn)系對(duì)于p點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為解上式得駐點(diǎn)因駐點(diǎn)唯一,故轉(zhuǎn)動(dòng)慣量在點(diǎn)處取得最小值.*12.已知過去幾年產(chǎn)量和利潤的數(shù)據(jù)如下：產(chǎn)量x<千件>4047557090100利潤y<千元>323443547285試求產(chǎn)量和利潤的函數(shù)關(guān)系,并預(yù)測(cè)當(dāng)產(chǎn)量達(dá)到120千件時(shí)工廠的利潤。解：在直角坐標(biāo)系下描點(diǎn),從圖可以看出,這些點(diǎn)大致接近一條直線,因此可設(shè)f<x>=ax+b,求的最小值,即求解方程組把<xi,yi>代入方程組,得解得a=0.884,b=-5.894即y=0.884x-5.894,當(dāng)x=120時(shí),y=100.186<千元>.13.求下曲線在給定點(diǎn)的切線和法平面方程：<1>x=asin2t,y=bsintcost,z=ccos2t,點(diǎn);<2>x2+y2+z2=6,x+y+z=0,點(diǎn)M0<1,-2,1>;<3>y2=2mx,z2=m-x,點(diǎn)M0<x0,y0,z0>.解：曲線在點(diǎn)的切向量為當(dāng)時(shí),切線方程為.法平面方程為即.〔2聯(lián)立方程組它確定了函數(shù)y=y<x>,z=z<x>,方程組兩邊對(duì)x求導(dǎo),得解得在點(diǎn)M0〔1,-2,1處,所以切向量為{1,0,-1}.故切線方程為法平面方程為1<x-1>+0<y+2>-1<z-1>=0即x-z=0.<3>將方程y2=2mx,z2=m-x兩邊分別對(duì)x求導(dǎo),得于是曲線在點(diǎn)〔x0,y0,z0處的切向量為,故切線方程為法平面方程為.14.t<0<t<2π>為何值時(shí),曲線L：x=t-sint,y=1-cost,z=4sin在相應(yīng)點(diǎn)的切線垂直于平面,并求相應(yīng)的切線和法平面方程。解：,在t處切向量為,已知平面的法向量為.且∥,故解得,相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為.且故切線方程為法平面方程為即.15.求下列曲面在給定點(diǎn)的切平面和法線方程：<1>z=x2+y2,點(diǎn)M0<1,2,5>;<2>z=arctan,點(diǎn)M0<1,1,>;解：〔1故曲面在點(diǎn)M0<1,2,5>的切平面方程為z-5=2<x-1>+4<y-2>.即2x+4y-z=5.法線方程為〔2故曲面在點(diǎn)M0<1,1,>的切平面方程為z-=-<x-1>+<y-1>.法線方程為.16.指出曲面z=xy上何處的法線垂直于平面x-2y+z=6,并求出該點(diǎn)的法線方程與切平面方程。解：zx=y,zy=x.曲面法向量為.已知平面法向量為.且∥,故有解得x=2,y=-1,此時(shí),z=-2.即〔2,-1,-2處曲面的法線垂直于平面,且在該點(diǎn)處的法線方程為.切平面方程為-1<x-2>+2<y+1>-<z+2>=0即x-2y+z-2=0.17.證明：螺旋線x=acost,y=asint,z=bt的切線與z軸形成定角。證明：螺旋線的切向量為.與z軸同向的單位向量為兩向量的夾角余弦為為一定值。故螺旋線的切線與z軸形成定角。18.證明：曲面xyz=a3上任一點(diǎn)的切平面與坐標(biāo)面圍成的四面體體積一定。證明：設(shè)F<x,y,z>=xyz-a3.因?yàn)镕x=yz,Fy=xz,Fz=xy,所以曲面在任一點(diǎn)M0<x0,y0,z0>處的切平面方程為y0z0<x-x0>+x0z0<y-y0>+x0y0<z-z0>=0.切平面在x軸,y軸,z軸上的截距分別為3x0,3y0,3z0.因各坐標(biāo)軸相互垂直,所以切平面與坐標(biāo)面圍成的四面體的體積為它為一定值。習(xí)題十1.根據(jù)二重積分性質(zhì),比較與的大小,其中：〔1D表示以〔0,1,〔1,0,〔1,1為頂點(diǎn)的三角形；〔2D表示矩形區(qū)域.解：〔1區(qū)域D如圖10-1所示,由于區(qū)域D夾在直線x+y=1與x+y=2之間,顯然有圖10-1從而故有所以〔2區(qū)域D如圖10-2所示.顯然,當(dāng)時(shí),有.圖10-2從而ln<x+y>>1故有所以2.根據(jù)二重積分性質(zhì),估計(jì)下列積分的值：〔1;〔2;〔3.解：〔1因?yàn)楫?dāng)時(shí),有,因而.從而故即而〔σ為區(qū)域D的面積,由σ=4得.<2>因?yàn)?從而故即而所以〔3因?yàn)楫?dāng)時(shí),所以故即而所以3.根據(jù)二重積分的幾何意義,確定下列積分的值：〔1〔2解：〔1在幾何上表示以D為底,以z軸為軸,以〔0,0,a為頂點(diǎn)的圓錐的體積,所以〔2在幾何上表示以原點(diǎn)〔0,0,0為圓心,以a為半徑的上半球的體積,故4.設(shè)f<x,y>為連續(xù)函數(shù),求.解：因?yàn)閒<x,y>為連續(xù)函數(shù),由二重積分的中值定理得,使得又由于D是以〔x0,y0為圓心,r為半徑的圓盤,所以當(dāng)時(shí),于是：5.畫出積分區(qū)域,把化為累次積分：〔1;<2><3>解：〔1區(qū)域D如圖10-3所示,D亦可表示為.所以<2>區(qū)域D如圖10-4所示,直線y=x-2與拋物線x=y2的交點(diǎn)為〔1,-1,〔4,2,區(qū)域D可表示為.圖10-3圖10-4所以〔3區(qū)域D如圖10-5所示,直線y=2x與曲線的交點(diǎn)<1,2>,與x=2的交點(diǎn)為<2,4>,曲線與x=2的交點(diǎn)為〔2,1,區(qū)域D可表示為圖10-5所以.6.畫出積分區(qū)域,改變累次積分的積分次序：〔1;<2>;<3>;<4>;<5>.解：〔1相應(yīng)二重保健的積分區(qū)域?yàn)镈：如圖10-6所示.圖10-6D亦可表示為：所以<2>相應(yīng)二重積分的積分區(qū)域D：如圖10-7所示.圖10-7D亦可表示為：所以<3>相應(yīng)二重積分的積分區(qū)域D為：如圖10-8所示.圖10-8D亦可看成D1與D2的和,其中D1：D2：所以.<4>相應(yīng)二重積分的積分區(qū)域D為：如圖10-9所示.圖10-9D亦可看成由D1與D2兩部分之和,其中D1：D2：所以<5>相應(yīng)二重積分的積分區(qū)域D由D1與D2兩部分組成,其中D1：D2：如圖10-10所示.圖10-10D亦可表示為：所以7.求下列立體體積：〔1旋轉(zhuǎn)拋物面z=x2+y2,平面z=0與柱面x2+y2=ax所圍；〔2旋轉(zhuǎn)拋物面z=x2+y2,柱面y=x2及平面y=1和z=0所圍.解：〔1由二重積分的幾何意義知,所圍立體的體積V=其中D：由被積函數(shù)及積分區(qū)域的對(duì)稱性知,V=2,其中D1為D在第一象限的部分.利用極坐標(biāo)計(jì)算上述二重積分得.<2>由二重積分的幾何意義知,所圍立體的體積其中積分區(qū)域D為xOy面上由曲線y=x2及直線y=1所圍成的區(qū)域,如圖10-11所示.圖10-11D可表示為：所以8.計(jì)算下列二重積分：〔1<2>D由拋物線y2=x,直線x=0與y=1所圍；〔3D是以O(shè)<0,0>,A<1,-1>,B<1,1>為頂點(diǎn)的三角形;<4>.解：〔1<2>積分區(qū)域D如圖10-12所示.圖10-12D可表示為：所示<3>積分區(qū)域D如圖10-13所示.圖10-13D可表示為：所以9.計(jì)算下列二次積分：解：〔1因?yàn)榍蟛怀鰜?故應(yīng)改變積分次序。積分區(qū)域D：0≤y≤1,y≤x≤,如圖10-14所示。圖10-14D也可表示為：0≤x≤1,x2≤y≤x.所以<2>因?yàn)榍蟛怀鰜?故應(yīng)改變積分次序。積分區(qū)域D分為兩部分,其中如圖10-15所示：圖10-15積分區(qū)域D亦可表示為：于是：10.在極坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分：<1><2>D為圓=1所圍成的區(qū)域；<3>D是由=4,=1,及直線y=0,y=x所圍成的在第一象限的閉區(qū)域；<4>D是由曲線=x+y所包圍的閉區(qū)域。解：<1>積分區(qū)域D如圖10-16所示：圖10-16D亦可采用極坐標(biāo)表示為：π≤r≤2π,0≤θ≤2π所以<2>積分區(qū)域D可用極坐標(biāo)表示為：0≤r≤1,0≤θ≤2π.所以：<3>積分區(qū)域D如圖10-17所示.圖10-17D可用極坐標(biāo)表示為：0≤θ≤,1≤r≤2.所以：<4>積分區(qū)域D如圖10-18所示,圖10-18D可用極坐標(biāo)表示為：所以：11.將下列積分化為極坐標(biāo)形式,并計(jì)算積分值：解：〔1積分區(qū)域D如圖10-19所示.圖10-19D亦可用極坐標(biāo)表示為：所以：<2>積分區(qū)域D如圖10-20所示.圖10-20D可用極坐標(biāo)表示為：于是：<3>積分區(qū)域D如圖10-21所示.圖10-21D也可用極坐標(biāo)表示為：.于是：<4>積分區(qū)域D如圖10-22所示.圖10-22D可用極坐標(biāo)表示為：于是:*12.作適當(dāng)坐標(biāo)變換,計(jì)算下列二重積分：<1>,其中D是由xy=2,xy=4,x=y,y=3x在第一象限所圍平面區(qū)域；<2><3>令x=v,x+y=u;<4><5><6>解：<1>積分區(qū)域D如圖10-23所示：圖10-23令xy=u,,則于是：<2>積分區(qū)域D如圖10-24所示。圖10-24令x+y=u,x-y=v,則且-1≤u≤1,-1≤v≤1.于是：〔3積分區(qū)域Dxy:0≤x≤1,1-x≤y≤2-x令x=v,x+y=u,則y=u-v積分區(qū)域Dxy變?yōu)镈uv:0≤v≤1,1≤u≤2.且于是<4>令x=arcosθ,y=brsinθ則積分區(qū)域D變?yōu)镈rθ：0≤θ≤2π,0≤r≤1,于是：<5>令x=rcosθ,y=rsinθ.即作極坐標(biāo)變換,則D變?yōu)椋?≤r≤3,0≤θ≤2π.于是：〔6積分區(qū)域D如圖10-25所示：D可分為D1,D2∪D3,D4四個(gè)部分.它們可分為用極坐標(biāo)表示為。圖10-25D1:0≤θ≤π,0≤r≤2sinθ,D2∪D3:0≤θ≤π,2sinθ≤r≤2,D4:π≤θ≤2π,0≤r≤2于是：13.求由下列曲線所圍成的閉區(qū)域的面積：<1>曲線所圍〔a>0,b>0;<2>曲線xy=a2,xy=2a2,y=x,y=2x所圍〔x>0,y>0.解：〔1曲線所圍的圖形D如圖10-26所示：圖10-26D可以表示為：所求面積為：<2>曲線xy=a2,xy=2a2,y=x,y=2x<x>0,y>0>所圍圖形D如圖10-27所示：圖10-27所求面積為令xy=u,,則于是14.證明：<1><2>,D為|x|+|y|≤1;<3>,其中D為x2+y2≤1且a2+b2≠0.解：〔1題中所給累次積分的積分區(qū)域D為a≤y≤b,a≤x≤y.如圖10-28所示：圖10-28D也可表示為a≤x≤b,x≤y≤b,于是：<2>令x+y=u,x-y=v,則,且-1≤u≤1,-1≤v≤1,于是<3>令,則當(dāng)x2+y2≤1時(shí),于是15.求球面x2+y2+z2=y2含在圓柱面x2+y2=ax部的那部分面積。解：如圖10-29所示：圖10-29上半球面的方程為,由得由對(duì)稱性知16.求錐面z=被柱面z2=2x所割下部分的曲面面積。解：由z2=x2+y2,z2=2x兩式消去z得x2+y2=2x,則所求曲面在xOy面上的投影區(qū)域D為：x2+y2≤2x,而故所求曲面的面積為.17.求底面半徑相等的兩個(gè)直交圓柱面x2+y2=R2及x2+z2=R2所圍立體的表面積。解：由對(duì)稱性知,所圍立體的表面積等于第一卦限中位于圓柱面x2+y2=R2的部分面積的16倍,如圖10-30所示。圖10-30這部分曲面的方程為,于是所求面積為.18.設(shè)薄片所占的閉區(qū)域D如下,求均勻薄片的重心。<1>D由所圍成；<2>D是半橢圓形閉區(qū)域：;<3>D是介于兩個(gè)圓r=acosθ,r=bcosθ<0<a<b>之間的閉區(qū)域。解：<1>閉區(qū)域D如圖10-31所示。圖10-31閉區(qū)域D的面積A為所求重心為.<2>因?yàn)殚]區(qū)域D對(duì)稱于y軸,所以=0,又閉區(qū)域D的面積。.所以：所求重心為.<3>閉區(qū)域D如圖10-32所示：圖10-32由于閉區(qū)域D關(guān)于x軸對(duì)稱,所以,又故所求重心為19.設(shè)平面薄片所占的閉區(qū)域D由拋物線y=x2及直線y=x所圍成,它在點(diǎn)〔x,y處的面密度ρ<x,y>=x2y,求該薄片的重心。解：閉區(qū)域D如圖10-33所示：圖10-33薄片的質(zhì)量為從而所求重心為.20.設(shè)有一等腰直角三角形薄片,腰長為a,各點(diǎn)處的面密度等于該點(diǎn)到直角頂點(diǎn)的距離的平方,求這薄片的重心.解：建立直角坐標(biāo)系如圖10-34所示。圖10-34由已知ρ<x,y>=x2+y2,且從而即所求重心為.21.設(shè)均勻薄片〔面密度為常數(shù)1所占閉區(qū)域D如下,求指定的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：<1>D:,求Iy;<2>D由拋物線與直線x=2所圍成,求Ix和Iy；<3>D為矩形閉區(qū)域：0≤x≤a,0≤y≤b,求Ix和Iy.解：〔1令x=arcosθ,y=brsinθ,則在此變換下D：變化為：r≤1,即0≤r≤1,0≤θ≤2π,且,所以<2>閉區(qū)域D如圖10-35所示圖10-35<3>22.已知均勻矩形板〔面密度為常量ρ的長和寬分別為b和h,計(jì)算此矩形板對(duì)于通過其形心且分別與一邊平行的兩軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。解：取形心為原點(diǎn),取兩旋轉(zhuǎn)軸為坐標(biāo)軸,建立坐標(biāo)系如圖10-36所示.圖10-3623.求直線與坐標(biāo)軸圍成的三角區(qū)域〔a>0,b>0對(duì)x軸及坐標(biāo)原點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量〔面ρ為常數(shù).解：所圍三角區(qū)域D如圖10-37所示：圖10-3724.求面密度為常量ρ的勻質(zhì)半圓環(huán)形薄片：對(duì)位于z軸上點(diǎn)M0<0,0,a><a>0>處單位質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)的引力F.解：由對(duì)稱性知Fy=0,而故所求引力為：25.化三重積分為三次積分,其中積分區(qū)域Ω分別是：<1>由雙曲拋物面xy=z及平面x+y-1=0,z=0所圍成的閉區(qū)域；<2>由曲面z=x2+y2及平面z=1所圍成的閉區(qū)域；<3>由曲面z=x2+2y2及z=2-x2所圍成的閉區(qū)域;<4>由曲面cz=xy<c>0>,所圍成的第I卦限的閉區(qū)域。解：<1>積分區(qū)域Ω如圖10-38所示,圖10-38Ω可表示為：故<2>積分區(qū)域Ω如圖10-39所示。圖10-39Ω可表示為：故<3>由消去z得即,所以Ω在xOy面的投影區(qū)域?yàn)閤2+y2≤1,如圖10-40所示。圖10-40Ω可表示為：-1≤x≤1,,x2+2y2≤z≤2-x2故<4>積分區(qū)域如圖10-41所示。Ω可表示為：圖10-41故26.在直角坐標(biāo)系下計(jì)算三重積分：<1>,其中Ω是由曲面z=xy與平面y=x,x=1和z=0所圍成的閉區(qū)域；<2>,其中Ω為平面x=0,y=0,z=0,x+y+z=1所圍成的四面體；<3>,Ω是兩個(gè)球：x2+y2+z2≤R2和x2+y2+z2≤2Rz<R>0>的公共部分；<4>,其中Ω是由x=a<a>0>,y=x,z=y,z=0所圍成；<5>,其中Ω是由x2+z2-y2=1,y=0,y=2所圍成；<6>,其中Ω是由所圍成。解：<1>積分區(qū)域Ω如圖10-42所示。圖10-42Ω可表示為：<2>積分區(qū)域Ω如圖10-43所示,Ω可表示為：圖10-43故<3>積分區(qū)域Ω如圖10-44所示。圖10-44由方程x2+y2+z2=R及x2+y2+z2=2Rz得兩球的交線為：,且平面把積分區(qū)域Ω分為兩部分,且積分區(qū)域Ω在z軸上的投影區(qū)間為[0,R],記過上任意一點(diǎn)z的平行于xOy面的平面與Ω相交的平面區(qū)域?yàn)镈1<z>,過上任意一點(diǎn)z的平行于xOy面的平面與Ω的相交的平面區(qū)域?yàn)镈2<z>,則<4>積分區(qū)域Ω如圖10-45所示。圖10-45Ω可表示為：故<5>積分區(qū)域Ω如圖10-46所示。圖10-46Ω在y軸上的投影區(qū)間為[0,2],故<6>積分區(qū)域Ω如圖10-47所示。圖10-47Ω可表示為：故27.如果三重積分的被積函數(shù)f<x,y,z>是三個(gè)函數(shù)f1<x>,f2<y>,f3<z>的乘積,即f<x,y,z>=f1<x>·f2<y>·f3<z>,積分區(qū)域?yàn)閍≤x≤b,c≤y≤d,l≤z≤m,證明,這個(gè)三重積分等于三個(gè)單積分的乘積,即證：28.利用柱面坐標(biāo)計(jì)算下列三重積分：<1>,其中Ω是由曲面及所圍成的閉區(qū)域；<2>,其中Ω是由曲面及平面z=2所圍成的閉區(qū)域.圖10-48解：<1>由及消去得,因而區(qū)域Ω在xOy面上的投影區(qū)域?yàn)?如圖10-48所示,在柱面坐標(biāo)系下：Ω可表示為：圖10-48故<2>積分區(qū)域如圖10-49所示,在柱面坐標(biāo)系下,Ω可表示為圖10-49圖10-49故29.利用球面坐標(biāo)計(jì)算下列三重積分：<1>,其中Ω是由球面所圍成的閉區(qū)域；<2>,其中Ω由不等式,所確定.解：〔1<2>積分區(qū)域Ω如圖10-50所示,在球面坐標(biāo)系下,Ω可表示為圖10-50故圖10-5030.選用適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)計(jì)算下列三重積分：<1>,其中Ω為柱面及平面z=1,z=0,x=0,y=0所圍成的第I卦限的閉區(qū)域；<2>,其中Ω是由球面所圍成的閉區(qū)域;<3>,其中Ω是由曲面及平面z=5所圍成的閉區(qū)域；<4>,其中Ω由不等式所確定。解：〔1積分區(qū)閉Ω如圖10-51所示.利用柱面坐標(biāo)計(jì)算,Ω在柱面坐標(biāo)系下表示為：圖10-51,0≤r≤1,0≤z≤1,故本題也可采用直角坐標(biāo)計(jì)算,在直角坐標(biāo)系下,Ω可表示為：故<2>積分區(qū)域Ω如圖10-52所示。用球面坐標(biāo)計(jì)算,在球面坐標(biāo)系下Ω可表示為：圖10-52故<3>積分區(qū)域Ω如圖10-53所示。利用柱面坐標(biāo)計(jì)算,在柱面坐標(biāo)系下,Ω可表示為：圖10-53故<4>積分區(qū)域如圖10-54所示。利用球面坐標(biāo)計(jì)算,在球面坐標(biāo)系下,Ω可表示為：圖10-54故31.利用三重積分計(jì)算由下列曲面所圍成的立體的體積：<1>z=6-x2-y2及；<2>x2+y2+z2=2az<a>0>及x2+y2=z2〔含有z軸的部分；<3>及z=x2+y2;<4>z=及x2+y2=4z.解：〔1曲面圍成的立體Ω如圖10-55所示。在柱面坐標(biāo)系下,Ω可表示為：圖10-55用柱面坐標(biāo)可求得Ω的體積〔2曲面圍成的立體Ω如圖10-56所示。在球面坐標(biāo)系下Ω可表示為：圖10-56利用球面坐標(biāo)可求得Ω的體積：〔3曲面圍成的立體Ω如圖10-57所示。在柱面坐標(biāo)系下,Ω可表示為：圖10-57利用柱面坐標(biāo)可求得Ω的體積：<4>曲面圍成的立體Ω如圖10-58所示。在柱面坐標(biāo)系下,Ω可表示為：圖10-58利用柱面坐標(biāo)可求得Ω的體積：*32.選擇坐標(biāo)變換計(jì)算下列各題：〔1〔2解：〔1令則積分區(qū)域Ω變?yōu)棣?：且故<2>坐標(biāo)變換同〔1。33.球心在原點(diǎn),半徑為R的球體,在其上任意一點(diǎn)的密度的大小與這點(diǎn)到球的距離成正比,求這球體的質(zhì)量。解：利用球面坐標(biāo)計(jì)算：Ω：則34.利用三重積分計(jì)算下列由曲面所圍立體的重心〔設(shè)密度ρ=1;<1>z2=x2+y2,z=1;<2><3>z=x2+y2,x+y=a,x=0,y=0,z=0.解：〔1兩曲面所圍立體Ω為一高和底面半徑均為1的圓錐體〔如圖10-59所示,其體積v=.在柱面坐標(biāo)系下,Ω可表示為：r≤z≤1,0≤r≤1,0≤θ≤2π.圖10-59又由對(duì)稱性可知,重心在z軸上,故,所以,所圍立體的重心為.<2>所圍立體Ω如圖10-60所示。其體積.圖10-60在球面坐標(biāo)系下,Ω可表示為：,又由對(duì)稱性知,重點(diǎn)在z軸上,故,故所圍立體的重心為<3>所圍立體Ω如圖10-61所示,在直角坐標(biāo)系下,Ω可以表示為圖10-610≤x≤a,0≤y≤a-x,0≤z≤x2+y2.先求Ω的體積V.故由Ω關(guān)于平面y=x的對(duì)稱性可知。.又故所圍立體的重心為.35.球體x2+y2+z2≤2Rz,各點(diǎn)處的密度的大小等于該點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的平方,試求這球體的重心。解：用球面坐標(biāo)計(jì)算,在球面坐標(biāo)系下球體可以表示為：0≤r≤2Rcosφ,0≤φ≤,0≤θ≤2π,球體密度ρ=r2,由對(duì)稱性可知重心在z軸上,故,又球體的質(zhì)量從而故球體的重心為.36.一均勻物體〔密度為常量占有的閉區(qū)域Ω由曲面z=x2+y2和平面z=0,|x|=a,|y|=a所圍成?！?求物體的體積；〔2求物體的重心；〔3求物體關(guān)于z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。解：〔1Ω如圖10-62所示。由對(duì)稱性可知。圖10-62<2>由對(duì)稱性知,而故物體重心為.37.求半徑為a,高為h的均勻圓柱體對(duì)于過中心,而平行于母線的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量〔設(shè)密度=1.解：建立坐標(biāo)系如圖10-63所示,用柱面坐標(biāo)計(jì)算。圖10-6338.求均勻柱體：對(duì)于位于點(diǎn)M0〔0,0,a<a>h>處的單位質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)的引力。解：由柱體的對(duì)稱性可知,沿x軸與y軸方向的分力互相抵消,故Fx=Fy=0,而39.在均勻的半徑為R的半圓形薄片的直徑上,要接上一個(gè)一邊與直徑等長的同樣材料的均勻矩形薄片,為了使整個(gè)均勻薄片的重心恰好落在圓心上,問接上去的均勻矩形薄片另一邊的長度應(yīng)是多少？解：如圖10-64所示,因?yàn)殚]區(qū)域D對(duì)稱于y軸,所以重心必位于y軸上,即,要使重心恰好落在圓心上,必須使,于是必須,而圖10-64由得.即均勻矩形薄片另一邊長度應(yīng)是.40.求由拋物線y=x2及直線y=1所圍成的均勻薄片〔面密度為常數(shù)c對(duì)于直線y=-1的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。圖10-65解：*41.試討論下列無界區(qū)域上二重積分的收斂性：<1><2>,D為全平面；<3>當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)解：〔1當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)故當(dāng)m>1時(shí),原積分收斂,當(dāng)m≤1時(shí)發(fā)散?！?由于被積函數(shù)是正的,并且關(guān)于x軸和y軸都對(duì)稱,故由于,故積分當(dāng)p>1時(shí)收斂,p<1時(shí)發(fā)散,p=1時(shí)顯然也發(fā)散,因此.同理有：.由此可知僅當(dāng)p>1且q>1時(shí)收斂,其他情形均發(fā)散。<3>由0<m<|φ<x,y>|≤M,可知積分與積分同時(shí)收斂同時(shí)發(fā)散。由于被積函數(shù)是正的,故由于,當(dāng)0≤y≤1時(shí),有<若p≥0>,<若p<0>,故<若p≥0>,若p<0,則有相反的不等式。由于,故積分當(dāng)時(shí)收斂,時(shí)發(fā)散,而時(shí),由知積分也發(fā)散。由此可知：積分,從而積分當(dāng)時(shí)收斂,當(dāng)時(shí)發(fā)散。*42.計(jì)算積分解：由于而收斂,故收斂,從而,采用極坐標(biāo)有：*43.試討論下列無界函數(shù)的二重積分的收斂性：<1>;<2>解：<1>故當(dāng)m<1時(shí),原積分收斂,當(dāng)m≥1時(shí),原積分發(fā)散。〔2由于x2+xy+y2=<當(dāng)<x,y>≠<0,0>時(shí)>故<當(dāng)<x,y>≠<0,0>時(shí)>再注意到廣義重積分收斂必絕對(duì)收斂,即知積分與同斂散。由于<當(dāng)<x,y>≠<0,0>時(shí)>,采用極坐標(biāo)即得而為常義積分,其值為有限數(shù),而由此可知：原積分當(dāng)p<1時(shí)收斂,當(dāng)p≥1時(shí)發(fā)散。44.設(shè)A〔0,0,a為球體x2+y2+z2≤R2一質(zhì)量為1的質(zhì)點(diǎn)〔0<a<R,球體密度為常數(shù)ρ,求球?qū)的吸引力。解:45.計(jì)算下列對(duì)弧長的曲線積分：〔1,其中L為圓周x=acost,y=asint<0≤t≤2π>;<2>,其中L為連接〔1,0及〔0,1兩點(diǎn)的直線段；<3>,其中L為由直線y=x及拋物線y=x2所圍成的區(qū)域的整個(gè)邊界；<4>,其中L為圓周x2+y2=a2,直線y=x及x軸在第一象限所圍成的扇形的整個(gè)邊界；〔5,其中為曲線x=etcost,y=etsint,z=et上相應(yīng)于t從0變到2的這段?。弧?,其中為折線ABCD,這里A,B,C,D依次為點(diǎn)〔0,0,0,<0,0,2>,<1,0,2>,<1,3,2>；<7>,其中L為擺線的一拱x=a<t-sint>,y=a<1-cost><0≤t≤2π>；〔8,其中L為曲線x=a<cost+tsint>,y=a<sint-tcot>,<0≤t≤2π>；〔9,其中為螺旋線,x=acost,y=asint,z=at<0≤t≤π>.解：〔1.<2>L的方程為y=1-x〔0≤x≤1.<3>L由曲線L1：y=x2<0≤x≤1>,及L2：y=x<0≤x≤1>組成〔如圖10-66所示。圖10-66故〔4如圖10-67所示,L=L1+L2+L3圖10-67其中L1：y=0<0≤x≤a>,從而L2:x=acost,y=asint,0≤t≤故L3:y=x<0≤x≤a>.故所以<5><6>故<7><8><9>46.求半徑為a,中心角為2φ的均勻圓弧〔線密度=1的重心。解：建立坐標(biāo)系如圖10-68所示：圖10-68由對(duì)稱性可知,又故重心坐標(biāo)為.即在扇形對(duì)稱軸上.且與圓心距離處。47.設(shè)螺旋形彈簧一圈的方程為x=acost,y=asint,z=kt,其中0≤t≤2π,它的線密度,求：〔1它關(guān)于z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Iz；〔2它的重心。解：<1><2>故重心坐標(biāo)為48.計(jì)算曲面積分,其中為拋物面z=2-<x2+y2>在xOy面上方的部分,f<x,y,z>分別如下：<1>f<x,y,z>=1;<2>f<x,y,z>=x2+y2;<3>f<x,y,z>=3z.解：拋物面z=2-<x2+y2>與xOy面的交線是xOy面上的圓x2+y2=2,因而曲面在xOy面上的投影區(qū)域Dxy:x2+y2≤2,且ds=故〔1<2><3>49.計(jì)算,其中是：〔1錐面z=及平面z=1所圍成的區(qū)域的整個(gè)邊界曲面；〔2錐面z2=3<x2+y2>被平面z=0和z=3所截得的部分。解：〔1,其中:故.因此<2>所截得錐面為故.50.計(jì)算下列對(duì)面積的曲面積分：〔1,其中為平面在第I卦限中的部分；〔2,其中為平面2x+2y+z=6在第I卦限中的部分；<3>,其中為球面x2+y2+z2=a2上z≥h<0<h<a>的部分；<4>,其中為錐面被柱面x2+y2=2ax所截得的有限部分；<5>,其中為上半球面.解：〔1<如圖10-69所示>圖10-69故<2>:z=6-2x-2y<如圖10-70所示>。圖10-70故<3>且其在xOy面上的投影為Dxy:x2+y2≤a2-h2且故.<4>故<5>Dxy:x2+y2≤R2故51.求拋物面殼的質(zhì)量,此殼的面密度大小為.52.求面密度為的均勻半球殼x2+y2+z2=a2<z≥0>對(duì)于z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。解：習(xí)題十一1．設(shè)L為xOy面直線x=a上的一段,證明：其中P<x,y>在L上連續(xù)．證：設(shè)L是直線x=a上由<a,b1>到<a,b2>這一段,則L：,始點(diǎn)參數(shù)為t=b1,終點(diǎn)參數(shù)為t=b2故2．設(shè)L為xOy面x軸上從點(diǎn)<a,0>到點(diǎn)<b,0>的一段直線,證明：,其中P<x,y>在L上連續(xù)．證：L：,起點(diǎn)參數(shù)為x=a,終點(diǎn)參數(shù)為x=b．故3．計(jì)算下列對(duì)坐標(biāo)的曲線積分：<1>,其中L是拋物線y=x2上從點(diǎn)<0,0>到點(diǎn)<2,4>的一段弧；<2>其中L為圓周<x-a>2+y2=a2<a>0>及x軸所圍成的在第一象限的區(qū)域的整個(gè)邊界<按逆時(shí)針方向繞行>；<3>,其中L為圓周x=Rcost,y=Rsint上對(duì)應(yīng)t從0到的一段弧；<4>,其中L為圓周x2+y2=a2<按逆時(shí)針方向繞行>；<5>,其中Γ為曲線x=kθ,y=acosθ,z=asinθ上對(duì)應(yīng)θ從0到π的一段?。?lt;6>,其中Γ是從點(diǎn)<3,2,1>到點(diǎn)<0,0,0>的一段直線；<7>,其中Γ為有向閉拆線ABCA,這里A,B,C依次為點(diǎn)〔1,0,0,<0,1,0>,<0,0,1>；<8>,其中L是拋物線y=x2上從點(diǎn)<-1,1>到點(diǎn)<1,1>的段弧．解：<1>L：y=x2,x從0變到2,<2>如圖11-1所示,L=L1+L2．其中L1的參數(shù)方程為圖11-1L2的方程為y=0<0≤x≤2a>故<3><4>圓周的參數(shù)方程為：x=acost,y=asint,t:0→2π．故<5><6>直線Γ的參數(shù)方程是t從1→0．故<7><如圖11-2所示>圖11-2,x從0→1．,z從0→1,x從0→1．故<8>4．計(jì)算,其中L是<1>拋物線y2=x上從點(diǎn)<1,1>到點(diǎn)<4,2>的一段??；<2>從點(diǎn)<1,1>到點(diǎn)<4,2>的直線段；<3>先沿直線從<1,1>到點(diǎn)<1,2>,然后再沿直線到點(diǎn)<4,2>的折線；<4>曲線x=2t2+t+1,y=t2+1上從點(diǎn)<1,1>到點(diǎn)<4,2>的一段?。猓?lt;1>L：,y：1→2,故<2>從<1,1>到<4,2>的直線段方程為x=3y-2,y：1→2故<3>設(shè)從點(diǎn)<1,1>到點(diǎn)<1,2>的線段為L1,從點(diǎn)<1,2>到<4,2>的線段為L2,則L=L1+L2．且L1：,y：1→2；L2：,x：1→4；故從而<4>易得起點(diǎn)<1,1>對(duì)應(yīng)的參數(shù)t1=0,終點(diǎn)<4,2>對(duì)應(yīng)的參數(shù)t2=1,故5．設(shè)質(zhì)點(diǎn)受力作用,力的反方向指向原點(diǎn),大小與質(zhì)點(diǎn)離原點(diǎn)的距離成正比,若質(zhì)點(diǎn)由<a,0>沿橢圓移動(dòng)到B<0,b>,求力所做的功．解：依題意知F=kxi+kyj,且L：,t：0→<其中k為比例系數(shù)>6．計(jì)算對(duì)坐標(biāo)的曲線積分：<1>,Γ為x2+y2+z2=1與y=z相交的圓,方向按曲線依次經(jīng)過第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ封限；<2>,Γ為x2+y2+z2=1在第Ⅰ封限部分的邊界曲線,方向按曲線依次經(jīng)過xOy平面部分,yOz平面部分和zOx平面部分．解:<1>Γ：即其參數(shù)方程為：t：0→2π故：<2>如圖11-3所示．圖11-3Γ=Γ1+Γ2+Γ3．Γ1：t：0→,故又根據(jù)輪換對(duì)稱性知7．應(yīng)用格林公式計(jì)算下列積分：<1>,其中L為三頂點(diǎn)分別為<0,0>,<3,0>和<3,2>的三角形正向邊界；<2>,其中L為正向星形線；<3>,其中L為拋物線2x=πy2上由點(diǎn)<0,0>到<,1>的一段??；<4>,L是圓周上由點(diǎn)<0,0>到<1,1>的一段弧；<5>,其中m為常數(shù),L為由點(diǎn)<a,0>到<0,0>經(jīng)過圓x2+y2=ax上半部分的路線〔a為正數(shù)．圖11-4解：<1>L所圍區(qū)域D如圖11-4所示,P=2x-y+4,Q=3x+5y-6,,,由格林公式得<2>P=x2ycosx+2xysinx-y2ex,Q=x2sinx-2yex,則,．從而,由格林公式得．<3>如圖11-5所示,記,,圍成的區(qū)域?yàn)镈．〔其中=-L圖11-5P=2xy3-y2cosx,Q=1-2ysinx+3x2y2,由格林公式有：故<4>L、AB、BO及D如圖11-6所示．圖11-6由格林公式有而P=x2-y,Q=-<x+sin2y>．,,即,于是從而<5>L,OA如圖11-7所示．圖11-7P=exsiny-my,Q=excosy-m,,由格林公式得：于是：8．利用曲線積分,求下列曲線所圍成的圖形的面積：<1>星形線x=acos3t,y=asin3t；<2>雙紐線r2=a2cos2θ；<3>圓x2+y2=2ax．解：<1><2>利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系x=rcosθ,y=rsinθ得,從而xdy-ydx=a2cos2θdθ．于是面積為：<3>圓x2+y2=2ax的參數(shù)方程為故9．證明下列曲線積分與路徑無關(guān),并計(jì)算積分值：<1>；<2>；<3>沿在右半平面的路徑；<4>沿不通過原點(diǎn)的路徑；證：<1>P=x-y,Q=y-x．顯然P