考點(diǎn)38-橢圓-備戰(zhàn)2021年高考數(shù)學(xué)(理)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)一遍過(guò)

考點(diǎn)38橢圓橢圓是高考考查的重點(diǎn)，難點(diǎn)，可能在小題中出現(xiàn)，也經(jīng)常出現(xiàn)在高考中的壓軸題位置，是高考高分的分水嶺.我們復(fù)習(xí)時(shí)必須掌握以下幾點(diǎn)：(1)了解橢圓的實(shí)際背景，了解橢圓在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問(wèn)題中的作用.(2)掌握橢圓的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單性質(zhì).(3)了解橢圓的簡(jiǎn)單應(yīng)用.(4)理解數(shù)形結(jié)合的思想.一、橢圓的定義平面上到兩定點(diǎn)的距離的和為常數(shù)(大于兩定點(diǎn)之間的距離)的點(diǎn)的軌跡是橢圓.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩個(gè)定點(diǎn)之間的距離叫做橢圓的焦距，記作.定義式：.要注意，該常數(shù)必須大于兩定點(diǎn)之間的距離，才能構(gòu)成橢圓.二、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在軸上，；焦點(diǎn)在軸上，.說(shuō)明：要注意根據(jù)焦點(diǎn)的位置選擇橢圓方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，知道之間的大小關(guān)系和等量關(guān)系：.三、橢圓的圖形及其簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)i)圖形焦點(diǎn)在軸上焦點(diǎn)在軸上ii)標(biāo)準(zhǔn)方程幾何性質(zhì)范圍頂點(diǎn)焦點(diǎn)對(duì)稱性離心率橢圓，對(duì)稱軸：軸，軸，對(duì)稱中心：原點(diǎn)，，注意：求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法可以采用待定系數(shù)法，此時(shí)要注意根據(jù)焦點(diǎn)的位置選擇橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；也可以利用橢圓的定義及焦點(diǎn)位置或點(diǎn)的坐標(biāo)確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.求橢圓的離心率主要的方法有：根據(jù)條件分別求出與，然后利用計(jì)算求得離心率；或者根據(jù)已知條件建立關(guān)于的等量關(guān)系式或不等關(guān)系式，由此得到方程或不等式，通過(guò)解方程或不等式求解離心率的值或取值范圍.四、必記結(jié)論1．設(shè)橢圓上任意一點(diǎn)，則當(dāng)時(shí)，有最小值b，P點(diǎn)在短軸端點(diǎn)處；當(dāng)時(shí)，有最大值a，P點(diǎn)在長(zhǎng)軸端點(diǎn)處．2．已知過(guò)焦點(diǎn)F1的弦AB，則的周長(zhǎng)為4A．考向一橢圓定義的應(yīng)用1．橢圓定義的集合語(yǔ)言:往往是解決計(jì)算問(wèn)題的關(guān)鍵，橢圓上的一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)所構(gòu)成的三角形稱為焦點(diǎn)三角形.解決焦點(diǎn)三角形問(wèn)題常利用橢圓的定義和正弦定理、余弦定理.以橢圓上一點(diǎn)和焦點(diǎn)F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)為頂點(diǎn)的中，若，注意以下公式的靈活運(yùn)用：(1)；(2)；(3).2．解決已知橢圓的焦點(diǎn)位置求方程中的參數(shù)問(wèn)題，應(yīng)注意結(jié)合焦點(diǎn)位置與橢圓方程形式的對(duì)應(yīng)關(guān)系求解.典例1已知F1，F(xiàn)2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上．(1)若點(diǎn)P到焦點(diǎn)F1的距離等于1，則點(diǎn)P到焦點(diǎn)F2的距離為_(kāi)_______________；(2)過(guò)F1作直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為_(kāi)_______________；(3)若，則點(diǎn)P到焦點(diǎn)F1的距離為_(kāi)_______________．【答案】(1)3；(2)8；(3)．【解析】由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可知：，，故，，．(1)由橢圓的定義可得|PF1|＋|PF2|＝2a，又|PF1|＝1，所以|PF2|＝4－1＝3．(2)的周長(zhǎng)．(3)在中，由余弦定理可得，即，由橢圓的定義可得，兩式聯(lián)立解得．1．設(shè)，是橢圓C：的兩個(gè)焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在C上且，則的面積為()A．3 B．6C． D．考向二求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求橢圓的方程有兩種方法:(1)定義法.根據(jù)橢圓的定義，確定a2，b2的值，結(jié)合焦點(diǎn)位置可寫出橢圓方程.(2)待定系數(shù)法.這種方法是求橢圓的方程的常用方法，其一般步驟是：第一步，做判斷.根據(jù)條件判斷橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，還是在y軸上，還是兩個(gè)坐標(biāo)軸都有可能(這時(shí)需要分類討論).第二步，設(shè)方程.根據(jù)上述判斷設(shè)方程為或.第三步，找關(guān)系.根據(jù)已知條件，建立關(guān)于的方程組(注意橢圓中固有的等式關(guān)系).第四步，得橢圓方程.解方程組，將解代入所設(shè)方程，即為所求.【注意】用待定系數(shù)法求橢圓的方程時(shí)，要“先定型，再定量”，不能確定焦點(diǎn)的位置時(shí)，可進(jìn)行分類討論或把橢圓的方程設(shè)為.典例2橢圓以x軸和y軸為對(duì)稱軸，經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2，0)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，則橢圓的方程為A． B．C．或 D．或【答案】C【解析】由于橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，即有a=2b，又橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2，0)，則若焦點(diǎn)在x軸上，則a=2，b=1，橢圓方程為;若焦點(diǎn)在y軸上，則a=4，b=2，橢圓方程為，故選C．2．已知橢圓E：(0<b<2)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，過(guò)點(diǎn)F1的直線交橢圓E于A，B兩點(diǎn)，若，AF2⊥x軸，則橢圓E的方程為()A． B．C． D．考向三橢圓的幾何性質(zhì)及應(yīng)用1．與幾何性質(zhì)有關(guān)的問(wèn)題要結(jié)合圖形進(jìn)行分析，即使不畫出圖形，思考時(shí)也要聯(lián)想到圖形.理解頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、長(zhǎng)軸、短軸等橢圓的基本量之間的關(guān)系，深挖出它們之間的聯(lián)系，求解自然就不難了.2．橢圓的離心率是橢圓最重要的幾何性質(zhì)，求橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)有兩種方法：(1)求出a，c，代入公式.(2)只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于的齊次式，結(jié)合轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式(不典例3已知橢圓的方程為2x2＋3y2＝m，(m>0)，則此橢圓的離心率為A．eq\f(1,3) B．eq\f(\r(3),3)C．eq\f(\r(2),2) D．eq\f(1,2)【答案】B【解析】由題意，得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,\f(m,2))＋eq\f(y2,\f(m,3))＝1，∴a2＝eq\f(m,2)，b2＝eq\f(m,3)，∴c2＝a2－b2＝eq\f(m,6)，∴e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(1,3)，即e＝eq\f(\r(3),3).故選B．典例4已知橢圓的右焦點(diǎn)為，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為，直線交橢圓于兩點(diǎn)，若，點(diǎn)到直線的距離不小于，則橢圓的離心率的取值范圍為()A． B．C． D．【答案】A【解析】如圖所示，設(shè)為橢圓的左焦點(diǎn)，連接，，則四邊形是平行四邊形，，．取，點(diǎn)到直線的距離不小于，，解得．．橢圓的離心率的取值范圍是．故選：．【名師點(diǎn)睛】橢圓上一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形，稱為橢圓的焦點(diǎn)三角形，與焦點(diǎn)三角形有關(guān)的計(jì)算或證明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|＋|PF2|＝2a，得到a，c的關(guān)系．3．已知橢圓的上頂點(diǎn)為，左?右兩焦點(diǎn)分別為?，若為等邊三角形，則橢圓的離心率為()A． B．C． D．4．已知，分別是橢圓的左?右焦點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)(異于左?右頂點(diǎn))，若存在以為半徑的圓內(nèi)切于，則橢圓的離心率的取值范圍是________.1．“”是“橢圓焦距為4”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．已知方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A． B．C． D．3．已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為8，短半軸長(zhǎng)為2，則橢圓的方程為()A． B．C． D．4．焦點(diǎn)在軸上的橢圓的離心率是，則實(shí)數(shù)的值是()A． B．C． D．5．若，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)，當(dāng)，且，則橢圓的離心率為()A． B．C． D．6．已知的頂點(diǎn)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，頂點(diǎn)、在橢圓上，且經(jīng)過(guò)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為()A． B．6C．4 D．127．已知橢圓的上下焦點(diǎn)為，，點(diǎn)在橢圓上，則的最大值是()A．9 B．16C．25 D．278．已知△ABC的周長(zhǎng)為10，且頂點(diǎn)，，則頂點(diǎn)的軌跡方程是()A． B．C． D．9．如圖，已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，為橢圓上一點(diǎn)，，直線與軸交于點(diǎn)，若，則橢圓的離心率為()A． B．C． D．10．已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，，的最小值為1，則的焦距為()A．10 B．8C．6 D．411．若橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，線段F1F2被拋物線的焦點(diǎn)分成的兩段，則此橢圓的離心率為()A． B．C． D．12．已知圓：與橢圓：，若在橢圓上存在一點(diǎn)，使得由點(diǎn)所作的圓的兩條切線互相垂直，則橢圓的離心率的取值范圍是()A． B．C． D．13．橢圓的左焦點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)__________．14．已知橢圓中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_______15．已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，，且的面積為，則橢圓的短軸為_(kāi)_______________．16．已知橢圓的右焦點(diǎn)為，若點(diǎn)到直線的距離為，則的離心率為_(kāi)___.17．橢圓第一象限上一點(diǎn)與中心、右焦點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)正三角形，則此橢圓的離心率_____，當(dāng)此三角形的面積是，則________.18．已知橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)，且短軸長(zhǎng)為.(1)求橢圓C的方程(2)若點(diǎn)P在C上，且，求的面積.19．已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)為精圓上一點(diǎn)，，|(1)求橢圓的方程方程；(2)求點(diǎn)的坐標(biāo).20．已知橢圓與橢圓有相同的離心率，且橢圓過(guò)點(diǎn)(1)求橢圓的方程.(2)若直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，求線段的垂直平分線的方程.21．已知橢圓：.(1)求橢圓的離心率.(2)已知點(diǎn)是橢圓的左頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作斜率為1的直線，求直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo).(3)已知點(diǎn)，是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求的最大值及相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo).1．【2019年高考北京卷理數(shù)】已知橢圓(a＞b＞0)的離心率為，則A．a(chǎn)2=2b2 B．3a2=4b2C．a(chǎn)=2b D．3a=4b2．【2017浙江】橢圓的離心率是A． B．C． D．3．【2019年高考全國(guó)Ⅱ卷理數(shù)】若拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，則p=A．2 B．3C．4 D．84．【2019年高考全國(guó)Ⅰ卷理數(shù)】已知橢圓C的焦點(diǎn)為，過(guò)F2的直線與C交于A，B兩點(diǎn)．若，，則C的方程為A． B．C． D．5．【2018新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ理科】已知，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，是的左頂點(diǎn)，點(diǎn)在過(guò)且斜率為的直線上，為等腰三角形，，則的離心率為A． B．C． D．6．【2017新課標(biāo)全國(guó)Ⅲ理科】已知橢圓C：的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線相切，則C的離心率為A． B．C． D．7．【2019年高考浙江卷】已知橢圓的左焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上且在軸的上方，若線段的中點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上，則直線的斜率是___________．8．【2019年高考全國(guó)Ⅲ卷理數(shù)】設(shè)為橢圓C:的兩個(gè)焦點(diǎn)，M為C上一點(diǎn)且在第一象限.若為等腰三角形，則M的坐標(biāo)為_(kāi)__________.9．【2018浙江】已知點(diǎn)P(0，1)，橢圓+y2=m(m>1)上兩點(diǎn)A，B滿足=2，則當(dāng)m=___________時(shí)，點(diǎn)B橫坐標(biāo)的絕對(duì)值最大．10．【2019年高考天津卷理數(shù)】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為．已知橢圓的短軸長(zhǎng)為4，離心率為．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)點(diǎn)在橢圓上，且異于橢圓的上、下頂點(diǎn)，點(diǎn)為直線與軸的交點(diǎn)，點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上．若(為原點(diǎn))，且，求直線的斜率．11．【2019年高考江蘇卷】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C:的焦點(diǎn)為F1(–1、0)，F(xiàn)2(1，0)．過(guò)F2作x軸的垂線l，在x軸的上方，l與圓F2:交于點(diǎn)A，與橢圓C交于點(diǎn)D.連結(jié)AF1并延長(zhǎng)交圓F2于點(diǎn)B，連結(jié)BF2交橢圓C于點(diǎn)E，連結(jié)DF1．已知DF1=．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求點(diǎn)E的坐標(biāo)．12．【2020年高考全國(guó)Ⅲ卷理數(shù)】已知橢圓的離心率為，，分別為的左、右頂點(diǎn)．(1)求的方程；(2)若點(diǎn)在上，點(diǎn)在直線上，且，，求的面積．13．【2020年新高考全國(guó)Ⅱ卷】已知橢圓C：過(guò)點(diǎn)M(2，3),點(diǎn)A為其左頂點(diǎn)，且AM的斜率為，(1)求C的方程；(2)點(diǎn)N為橢圓上任意一點(diǎn)，求△AMN的面積的最大值.變式拓展變式拓展1．【答案】A【分析】首先判斷是直角三角形，根據(jù)橢圓的定義，平方后可直接求得的值，再求面積【詳解】由橢圓方程可知，則，，，，平方后，即，即,解得：，.故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了橢圓中焦點(diǎn)三角形的面積問(wèn)題，本題的關(guān)鍵是判斷，涉及和的計(jì)算時(shí)，不要忽略橢圓的定義.2．【答案】D【分析】由題，由可得，代入橢圓即可得出，即得橢圓方程.【詳解】可得，AF2⊥x軸，，，即，設(shè)，則，可得，將B代入橢圓方程得：，得，，，橢圓E的方程為.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查橢圓的方程的求解，解題的關(guān)鍵是利用AF2⊥x軸得出，進(jìn)而由得出，代入橢圓求解.3．【答案】A【分析】由題意得出，可得出，從而可求出橢圓的離心率.【詳解】設(shè)橢圓的焦距為，由于為等邊三角形，則，，由題意可得，因此，橢圓的離心率為.故選：A.4．【答案】【分析】根據(jù)三角形等面積公式得到，再轉(zhuǎn)化為關(guān)于的齊次不等式，求離心率的取值范圍.【詳解】的面積關(guān)系可得：，即，即，整理為：，兩邊同時(shí)除以，得且，解得：.故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查橢圓離心率的取值范圍，求橢圓離心率是?？碱}型，涉及的方法包含1.根據(jù)直接求，2.根據(jù)條件建立關(guān)于的齊次方程求解，3.根據(jù)幾何關(guān)系找到的等量關(guān)系求解.考點(diǎn)沖關(guān)考點(diǎn)沖關(guān)1．【答案】A【分析】根據(jù)橢圓的性質(zhì)結(jié)合充分條件和必要條件的定義判斷即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，即時(shí)，橢圓焦距為4；若橢圓焦距為4，則，所以或，解得或所以“”是“橢圓焦距為”的充分不必要條件故選：A2．【答案】C【分析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程以及性質(zhì)即可求解.【詳解】表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則，解得.所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C3．【答案】D【分析】直接利用已知條件，求出，，然后得到橢圓方程.【詳解】因?yàn)闄E圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為8，短半軸長(zhǎng)為2，可得，，所以橢圓的方程為.故選：D.4．【答案】A【分析】由題意可得，則，再由離心率是，可得，從而可求出實(shí)數(shù)的值【詳解】解：由題意可得，則，因?yàn)椋?，所以，解得，故選：A5．【答案】C【分析】根據(jù)題意可知，，，求得和，進(jìn)而利用橢圓定義建立等式，求得和的關(guān)系，則離心率可得.【詳解】解：依題意可知，，，，，由橢圓定義可知，.故選：C.6．【答案】C【分析】畫出示意圖，根據(jù)橢圓定義可得，周長(zhǎng)為，由方程得到即可.【詳解】解：如圖，由題可知，不妨設(shè)橢圓焦點(diǎn)分別為，，根據(jù)橢圓定義可得，，，因?yàn)橹荛L(zhǎng)為，所以周長(zhǎng)為，故選：C.7．【答案】B【分析】由橢圓定義得，然后由基本不等式可得結(jié)論．【詳解】解：由題意，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故選：B．8．【答案】A【分析】根據(jù)三角形的周長(zhǎng)和定點(diǎn)，得到點(diǎn)A到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于定值，得到點(diǎn)A的軌跡是橢圓，橢圓的焦點(diǎn)在軸上，寫出橢圓的方程，去掉不合題意的點(diǎn)．【詳解】解：∵△ABC的周長(zhǎng)為20，頂點(diǎn)，，∴，，∴點(diǎn)A到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于定值，∴點(diǎn)A的軌跡是橢圓，∵，∴，又因?yàn)槿c(diǎn)構(gòu)成三角形，∴橢圓的方程是.故選：A．【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：本題考查橢圓的定義，定義中要求動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和是常數(shù)，而且這個(gè)常數(shù)必須大于兩個(gè)定點(diǎn)的距離，動(dòng)點(diǎn)的軌跡才是橢圓，否則不能構(gòu)成橢圓，再就是容易忽略掉不合題意的點(diǎn)．9．【答案】B【分析】由題可得，代入點(diǎn)P的橫坐標(biāo)可得，則有，解得，即可由此求出離心率.【詳解】設(shè)的坐標(biāo)為，由，可得，代入點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，有，可得，則有，得，則橢圓C的離心率為.故選：B.10．【答案】B【分析】由橢圓定義及性質(zhì)，布列方程組，即可得到結(jié)果.【詳解】由已知得，解得，∴焦距為8.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的定義及基本性質(zhì)，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.11．【答案】D【分析】先求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，依據(jù)條件列出比例式，得到的關(guān)系式，進(jìn)而求得離心率.【詳解】由題意，橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)榫€段F1F2被拋物線的焦點(diǎn)分成的兩段，可得，解得，又由，可得，所以.故選：D.【點(diǎn)睛】求解橢圓的離心率的三種方法：1、定義法：通過(guò)已知條件列出方程組，求得得值，根據(jù)離心率的定義求解離心率；2、齊次式法：由已知條件得出關(guān)于的二元齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程求解；3、特殊值法：通過(guò)取特殊值或特殊位置，求出離心率.12．【答案】D【分析】設(shè)兩切點(diǎn)分別為，，利用、、、四點(diǎn)共圓的性質(zhì)可得，結(jié)合隱含條件求得橢圓的離心率的取值范圍．【詳解】設(shè)兩切點(diǎn)分別為，，連接，，，依題意，、、、四點(diǎn)共圓，，四邊形為正方形，，，即，，即，，即．又，，橢圓的離心率的取值范圍是，，故選：D．【點(diǎn)睛】離心率的求解在圓錐曲線的考查中是一個(gè)重點(diǎn)也是難點(diǎn)，一般求離心率有以下幾種情況：①直接求出，從而求出;②構(gòu)造的齊次式，求出;③采用離心率的定義以及圓錐曲線的定義來(lái)求解．13．【答案】【分析】由橢圓方程，求得，進(jìn)而求得的值，即可求解.【詳解】由題意，橢圓，可得，又由，可得，所以左焦點(diǎn)的坐標(biāo)為．故答案為：14．【答案】【分析】根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)，長(zhǎng)軸，短軸關(guān)系及橢圓中，聯(lián)立方程組求得，即求橢圓方程.【詳解】由橢圓焦點(diǎn)為，知橢圓焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)為由題設(shè)，即，解得所以橢圓方程為：．故答案為：．15．【答案】2【分析】橢圓焦點(diǎn)三角形的面積公式為，代入數(shù)據(jù)即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)榈拿娣e為，所以有，故，短軸長(zhǎng)為.【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題型.16．【答案】【分析】由點(diǎn)到直線的距離公式列方程可得，再利用即可解決.【詳解】由題意可知，，得，因?yàn)椋?，故；故答案為?17．【答案】【分析】由題意，可得出，，代入橢圓方程，結(jié)合隱含條件求解橢圓的離心率，再由三角形面積列式求得，則可得出的值.【詳解】解：如圖，由為正三角形，可得，，代入橢圓方程，可得，又，得，解得：，若，則，，則．故答案為：；．【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的離心率，考查橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力.18．【答案】(1)；(2).【分析】(1)由已知求出可得橢圓方程；(2)由余弦定理和橢圓的定義求得，然后則面積公式計(jì)算．【詳解】(1)由已知，即，，∴橢圓方程為．(2)記，，，則，又，，解得，∴．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查焦點(diǎn)三角形的面積．在橢圓中出現(xiàn)焦點(diǎn)三角形時(shí)，常常涉及到兩個(gè)應(yīng)用：(1)橢圓的定義，(2)余弦定理．19．【答案】(1)；(2)或.【分析】(1)由定義可求出，由余弦定理可求出，即可求出，得出橢圓方程；(2)點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)的面積關(guān)系可求出，再把點(diǎn)代入橢圓即可求出.【詳解】解：(1)設(shè)橢圓的焦距為由橢圓的定義，有在中，有，得，故橢圓的方程為；(2)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，又由，有，解得，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓的方程有，解得，故點(diǎn)的坐標(biāo)為或.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查焦點(diǎn)三角形問(wèn)題，解決此類問(wèn)題常用橢圓的定義結(jié)合余弦定理求解.20．【答案】(1)；(2).【分析】(1)已知得，由離心率得，從而得，再計(jì)算出后可得橢圓方程；(2)由韋達(dá)定理得中點(diǎn)坐標(biāo)，由垂直得斜率，然后可得垂直平分線方程．【詳解】(1)由題意，橢圓的離心率為，∴，∴，∴，∴橢圓方程為；(2)設(shè)，由，得，∴，設(shè)中點(diǎn)為，則，∴．又，∴的垂直平分線方程為，即．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓相交弦中點(diǎn)問(wèn)題，解題方法是設(shè)而不求的思想方法，即設(shè)交點(diǎn)為，由直線方程與橢圓方程聯(lián)立消元后應(yīng)用韋達(dá)定理求得，，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得中點(diǎn)的橫坐標(biāo)得中點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合斜率可和垂直平分線方程．21．【答案】(1)；(2)；(3)取最大值，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)是.【分析】(1)由方程直接求出，即可求出離心率；(2)可得直線方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程即可求出交點(diǎn)坐標(biāo)；(3)設(shè)，利用距離公式與橢圓的有界性即可求出.【詳解】(1)因?yàn)?，，所以，，，所以橢圓的離心率.(2)，直線的方程為：，聯(lián)立方程組，消去整理得：，解得，，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.(3)設(shè)，因?yàn)槭菣E圓上的動(dòng)點(diǎn)，所以，，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，取最大值，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)是.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查直線與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)，可直接聯(lián)立方程求解，第三問(wèn)求橢圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)的距離最值，解題的關(guān)鍵是正確表示距離，利用橢圓的有界性求解.直通高考直通高考1．【答案】B【解析】橢圓的離心率，化簡(jiǎn)得，故選B.【名師點(diǎn)睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)，屬于容易題，注重基礎(chǔ)知識(shí)?基本運(yùn)算能力的考查.由題意利用離心率的定義和的關(guān)系可得滿足題意的等式.2．【答案】B【解析】橢圓的離心率，故選B．3．【答案】D【解析】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，所以，解得，故選D．【名師點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線與橢圓的幾何性質(zhì)，滲透邏輯推理、運(yùn)算能力素養(yǎng)．解答時(shí)，利用拋物線與橢圓有共同的焦點(diǎn)即可列出關(guān)于的方程，從而解出，或者利用檢驗(yàn)排除的方法，如時(shí)，拋物線焦點(diǎn)為(1，0)，橢圓焦點(diǎn)為(±2，0)，排除A，同樣可排除B，C，從而得到選D．4．【答案】B【解析】法一：如圖，由已知可設(shè)，則，由橢圓的定義有．在中，由余弦定理推論得．在中，由余弦定理得，解得．所求橢圓方程為，故選B．法二：由已知可設(shè)，則，由橢圓的定義有．在和中，由余弦定理得，又互補(bǔ)，，兩式消去，得，解得．所求橢圓方程為，故選B．【名師點(diǎn)睛】本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸的能力，很好地落實(shí)了直觀想象、邏輯推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng)．5．【答案】D【解析】因?yàn)闉榈妊切?，，所以，由的斜率為可得，所以，，由正弦定理得，所以，所以，，故選D．【名師點(diǎn)睛】解決橢圓的離心率的求值及范圍問(wèn)題的關(guān)鍵就是確立一個(gè)關(guān)于a，b，c的方程或不等式，再根據(jù)a，b，6．【答案】A【解析】以線段為直徑的圓的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為，圓的方程為，直線與圓相切，所以圓心到直線的距離等于半徑，即，整理可得，即即，從而，則橢圓的離心率，故選A．7．【答案】【解析】方法1：如圖，設(shè)F1為橢圓右焦點(diǎn).由題意可知，由中位線定理可得，設(shè)，可得，與方程聯(lián)立，可解得(舍)，又點(diǎn)在橢圓上且在軸的上方，求得，所以.方法2：(焦半徑公式應(yīng)用)由題意可知，由中位線定理可得，即，從而可求得，所以.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、橢圓的幾何性質(zhì)、圓的方程與性質(zhì)的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合思想，是解答解析幾何問(wèn)題的重要途徑.結(jié)合圖形可以發(fā)現(xiàn)，利用三角形中位線定理，將線段長(zhǎng)度用圓的方程表示，與橢圓方程聯(lián)立可進(jìn)一步求解.也可利用焦半徑及三角形中位線定理解決，則更為簡(jiǎn)潔.8．【答案】【解析】由已知可得，，∴．設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，又，解得，，解得(舍去)，的坐標(biāo)為．【名師點(diǎn)睛】本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸的能力，很好地落實(shí)了直觀想象、邏輯推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng)．解答本題時(shí)，根據(jù)橢圓的定義分別求出，設(shè)出的坐標(biāo)，結(jié)合三角形面積可求出的坐標(biāo).9．【答案】【解析】設(shè)，，由得，，所以，因?yàn)?，在橢圓上，所以，，所以，所以，與對(duì)應(yīng)相減得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取最大值．【名師點(diǎn)睛】解析幾何中的最值是高考的熱點(diǎn)，在圓錐曲線的綜合問(wèn)題中經(jīng)常出現(xiàn)，求解此類問(wèn)題的一般思路為在深刻認(rèn)識(shí)運(yùn)動(dòng)變化的過(guò)程之中，抓住函數(shù)關(guān)系，將目標(biāo)量表示為一個(gè)(或者多個(gè))變量的函數(shù)，然后借助于函數(shù)最值的探求來(lái)使問(wèn)題得以解決.10．【答案】(1)；(2)或．【解析】(1)設(shè)橢圓的半焦距為，依題意，，又，可得，．所以，橢圓的方程為．(2)由題意，設(shè)．設(shè)直線的斜率為，又，則直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立整理得，可得，代入得，進(jìn)而直線的斜率．在中，令，得．由題意得，所以直線的斜率為．由，得，化簡(jiǎn)得，從而．所以，直線的斜率為或．【名師點(diǎn)睛】本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線方程等基礎(chǔ)知識(shí)．考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)．考查運(yùn)算求解能力，以及用方程思想解決問(wèn)題的能力．11．【答案】(1)；(2).【解析】(1)設(shè)橢圓C的焦距為2c.因?yàn)镕1(?1，0)，F(xiàn)2(1，0)，所以F1F2=2，c=1.又因?yàn)镈F1=，AF2⊥x軸，所以DF2=，因此2a=DF1+DF2