數(shù)字圖像處理第3章

◆3.1圖像的幾何變換

◆3.2圖像的離散傅立葉變換

◆3.3圖像變換的一般表示形式

◆3.4圖像的離散余弦變換

◆3.5圖像的離散沃爾什－哈達(dá)瑪變換

◆3.6K-L變換

第3章圖像變換圖像和其它信號(hào)一樣，既能在空間域（簡(jiǎn)稱空域）處理，也能在頻率域（簡(jiǎn)稱頻域）處理。把圖像信息從空域變換到頻域，可以更好地分析、加工、處理圖像信息。圖像信息的頻域處理具有如下特點(diǎn):①能量守恒，但能量重新分配；②有利于提取圖像的某些特征；③正交變換具有能量集中作用，可實(shí)現(xiàn)圖像的高效壓縮編碼；④頻域有快速算法，可大大減少運(yùn)算量，提高處理效率。本章除介紹圖像的幾何變換外，主要介紹可分離正交變換，包括離散傅立葉變換、離散余弦變換、離散哈達(dá)瑪-沃爾什變換等。

概述?圖像的幾何變換包括:

圖像的空間平移、比例縮放、旋轉(zhuǎn)、仿射變換和圖像插值。?圖像幾何變換的實(shí)質(zhì):改變像素的空間位置或估算新空間位置上的像素值。

3.1圖像的幾何變換?圖像幾何變換的一般表達(dá)式

:

其中，為變換后圖像像素的笛卡爾坐標(biāo)，為原始圖像中像素的笛卡爾坐標(biāo)。這樣就得到了原始圖像與變換后圖像的像素的對(duì)應(yīng)關(guān)系。如果，，則有，即變換后圖像僅僅是原圖像的簡(jiǎn)單拷貝。3.1圖像的幾何變換?平移變換

:若圖像像素點(diǎn)平移到，則變換函數(shù)為

，。寫成矩陣表達(dá)式為：

其中，和分別為和的坐標(biāo)平移量。

3.1圖像的幾何變換，圖像的平移注意：平移后的景物與原圖像相同，但“畫布”一定是擴(kuò)大了。否則就會(huì)丟失信息。3.1圖像的幾何變換?比例縮放:若圖像坐標(biāo)縮放到（)倍，則變換函數(shù)為：

其中,分別為和坐標(biāo)的縮放因子，其大于1表示放大，小于1表示縮小。

圖像的縮小1.圖像按比例縮?。鹤詈?jiǎn)單的是減小一半，這樣只需取原圖的偶（奇）數(shù)行和偶（奇）數(shù)列構(gòu)成新的圖像。2.圖像不按比例縮?。哼@種操作因?yàn)樵趚方向和y方向的縮小比例不同，一定會(huì)帶來圖像的幾何畸變。，圖像的減半縮小效果，圖像的按比例縮小效果，圖像的不按比例任意縮小圖像的放大1.按比例放大圖像如果需要將原圖像放大k倍，則將一個(gè)像素值添在新圖像的k*k的子塊中。放大5倍，圖像的成倍放大效果圖像的放大2.圖像的任意不成比例放大：這種操作由于x方向和y方向的放大倍數(shù)不同，一定帶來圖像的幾何畸變。放大的方法是：將原圖像的一個(gè)像素添到新圖像的一個(gè)k1*k2的子塊中去。，圖像的不按比例放大，圖像的鏡像水平鏡像垂直鏡像，0,0xy，0,0xy，水平鏡像的變換結(jié)果，圖像的垂直鏡像3.1圖像的幾何變換?旋轉(zhuǎn)變換:

將輸入圖像繞笛卡爾坐標(biāo)系的原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度，則變換后圖像坐標(biāo)為：圖像旋轉(zhuǎn)變換的示例:a原始圖像b逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30度后的圖像，0,0xy，圖旋轉(zhuǎn)前的圖像

，圖旋轉(zhuǎn)15°并進(jìn)行插值處理的圖像

，圖像的旋轉(zhuǎn)注意點(diǎn)：圖像旋轉(zhuǎn)之后，會(huì)出現(xiàn)許多的空白點(diǎn)，對(duì)這些空白點(diǎn)必須進(jìn)行填充處理，否則畫面效果不好。稱這種操作為插值處理。，最簡(jiǎn)單的方法是行插值或是列插值方法：1.插值的方法是：空點(diǎn)的像素值等于前一點(diǎn)的像素值。2.同樣的操作重復(fù)到所有行。，圖像的旋轉(zhuǎn)效果，圖像旋轉(zhuǎn)中的插值處理效果，如圖所示，圖像經(jīng)過了兩次45o和135o旋轉(zhuǎn)變換，旋轉(zhuǎn)360o之后，圖像(b)的字跡發(fā)生了較明顯的變化，特別是字體的邊緣更為明顯。3.1圖像的幾何變換?仿射變換:仿射變換的一般表達(dá)式為:平移、比例縮放和旋轉(zhuǎn)變換都是一種稱為仿射變換的特殊情況。仿射變換具有如下性質(zhì)：（1）仿射變換只有6個(gè)自由度（對(duì)應(yīng)變換中的6個(gè)系數(shù)），因此，仿射變換后互相平行直線仍然為平行直線，三角形映射后仍是三角形。但卻不能保證將四邊形以上的多邊形映射為等邊數(shù)的多邊形。（2）仿射變換的乘積和逆變換仍是仿射變換。（3）仿射變換能夠?qū)崿F(xiàn)平移、旋轉(zhuǎn)、縮放等幾何變換。3.1圖像的幾何變換上式可以表示成如下的線性表達(dá)式:設(shè)定加權(quán)因子和的值，可以得到不同的變換。例如，當(dāng)選定，，，該情況是圖像剪切的一種列剪切。

（a）原始圖像（b）仿射變換后圖像3.1圖像的幾何變換?透視變換:把物體的三維圖像表示轉(zhuǎn)變?yōu)槎S表示的過程，稱為透視變換，也稱為投影映射，其表達(dá)式為:透視變換也是一種平面映射，并且可以保證任意方向上的直線經(jīng)過透視變換后仍然保持是直線。透視變換具有9個(gè)自由度（其變換系數(shù)為9個(gè)），故可以實(shí)現(xiàn)平面四邊形到四邊形的映射。3.1圖像的幾何變換?灰度插值:(1)最近鄰插值法：也稱作零階插值，也就是令變換后像素的灰度值等于距它最近的輸入像素的灰度值。

特點(diǎn)：造成的空間偏移誤差為像素單位，計(jì)算簡(jiǎn)單。但當(dāng)圖像中的像素灰度級(jí)有細(xì)微變化時(shí)，該方法會(huì)在圖像中產(chǎn)生人工的痕跡。(2)雙線性插值也稱作一階插值。該方法通常是沿圖像矩陣的每一列（行）進(jìn)行插值，然后對(duì)插值后所得到的矩陣再沿著行（列）方向進(jìn)行線性插值。特點(diǎn):當(dāng)對(duì)相鄰四個(gè)像素點(diǎn)采用雙線性插值時(shí)，所得表面在鄰域處是吻合的，但斜率不吻合。并且雙線性灰度插值的平滑作用可能使得圖像的細(xì)節(jié)產(chǎn)生退化，這種現(xiàn)象在進(jìn)行圖像放大時(shí)尤其明顯。

雙線性插值法采用在（x,y）周圍四個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)的灰度值進(jìn)行內(nèi)插。3.1圖像的幾何變換?灰度插值:(3)卷積插值法:當(dāng)圖像放大時(shí)，圖像像素的灰度值插值可以通過卷積來實(shí)現(xiàn)，即將輸入圖像兩行兩列中間插零值，然后通過低通模板濾波。

輸入圖像鄰域插零的鄰域

一般低通模板有：

柱形棱錐形鐘形三次B樣條3.1圖像的幾何變換(a)原始圖像

（b）最近鄰插值放大圖像

（c）雙線性插值放大圖像

（d）三次B樣條插值放大圖像插值放大示例：補(bǔ)充代數(shù)運(yùn)算代數(shù)運(yùn)算是指兩幅輸入圖像之間進(jìn)行點(diǎn)對(duì)點(diǎn)的加、減、乘、除運(yùn)算得到輸出圖像的過程。如果記輸入圖像為A(x,y)和B(x,y)，輸出圖像為C(x,y)，則有如下四種形式：加法運(yùn)算C(x,y)=A(x,y)+B(x,y)主要應(yīng)用舉例去除“疊加性”隨機(jī)噪音生成圖像疊加效果去除“疊加性”噪音

對(duì)于原圖象f(x,y),有一個(gè)噪音圖像集

{gi(x,y)}i=1,2,...M

其中：gi(x,y)=f(x,y)+h(x,y)iM個(gè)圖像的均值定義為：g(x,y)=1/M(g0(x,y)+g1(x,y)+…+gM(x,y))當(dāng)：噪音h(x,y)i為互不相關(guān)，且均值為0時(shí)，上述圖象均值將降低噪音的影響。M=1M=2M=4M=16Addition:averagingfornoisereduction生成圖象疊加效果：可以得到各種圖像合成的效果，也可以用于兩張圖片的銜接減法運(yùn)算

C(x,y)=A(x,y)-B(x,y)

主要應(yīng)用舉例消除背景影響差影法(檢測(cè)同一場(chǎng)景兩幅圖像之間的變化)消除背景影響：即去除不需要的疊加性圖案設(shè)：背景圖像b(x,y)，前景背景混合圖像f(x,y) g(x,y)=f(x,y)–b(x,y)

g(x,y)為去除了背景圖像差影法

指把同一景物在不同時(shí)間拍攝的圖像或同一景物在不同波段的圖像相減; 差值圖像提供了圖像間的差異信息，能用于指導(dǎo)動(dòng)態(tài)監(jiān)測(cè)、運(yùn)動(dòng)目標(biāo)檢測(cè)和跟蹤、圖像背景消除及目標(biāo)識(shí)別等。 在銀行金庫(kù)內(nèi)，攝像頭每隔一固定時(shí)間拍攝一幅圖像，并與上一幅圖像做差影，如果圖像差別超過了預(yù)先設(shè)置的閾值，則表明可能有異常情況發(fā)生，應(yīng)自動(dòng)或以某種方式報(bào)警； 用于遙感圖像的動(dòng)態(tài)監(jiān)測(cè)，差值圖像可以發(fā)現(xiàn)森林火災(zāi)、洪水泛濫，監(jiān)測(cè)災(zāi)情變化等； 也可用于監(jiān)測(cè)河口、海岸的泥沙淤積及監(jiān)視江河、湖泊、海岸等的污染； 利用差值圖像還能鑒別出耕地及不同的作物覆蓋情況。(a)差影法可以用于混合圖像的分離

-=(b)檢測(cè)同一場(chǎng)景兩幅圖像之間的變化設(shè)：時(shí)刻1的圖像為T1(x,y)， 時(shí)刻2的圖像為T2(x,y)g(x,y)=T2(x,y)-T1(x,y)=-T1(x,y)T2(x,y)g(x,y)乘法運(yùn)算

C(x,y)=A(x,y)*B(x,y)

主要應(yīng)用舉例圖像的局部顯示圖像的局部顯示一般的圖像增強(qiáng)處理都是對(duì)整幅圖像進(jìn)行操作，而且在確定變換或轉(zhuǎn)移函數(shù)時(shí)也是基于整個(gè)圖像的統(tǒng)計(jì)量。但在實(shí)際應(yīng)用中，往往需要僅對(duì)圖像的某一局部區(qū)域進(jìn)行增強(qiáng)，以突出某一具體的目標(biāo)。要進(jìn)行局部增強(qiáng)的前提是能夠?qū)⒛骋粋€(gè)（或幾個(gè)）局部區(qū)域從整個(gè)圖像上剝離，然后單獨(dú)對(duì)其進(jìn)行處理，常用的剝離方法一般是掩膜技術(shù)（Mask），這就需要用到乘法運(yùn)算。

步驟：l）新建一個(gè)與原始圖像大小相同的圖層，圖層的類型仍然是一個(gè)圖像文件，而且一般要求是一個(gè)二值圖像。2）在新建圖層上，由用戶在屏幕上人工勾繪出要進(jìn)行增強(qiáng)處理的局部區(qū)域，這個(gè)區(qū)域可以是點(diǎn)、線、面（閉合區(qū)域）或三者的組合。區(qū)域的確定也可以由其它二值圖像文件導(dǎo)入或由計(jì)算機(jī)圖形文件（矢量）經(jīng)轉(zhuǎn)換生成。3）在確定局部區(qū)域后，將整個(gè)圖層保存為二值圖像。選定區(qū)域內(nèi)的像元值為1（白色），而區(qū)域外的像元值為0（黑色）。4）將待處理的原始圖像與3）中的二值圖像進(jìn)行乘法操作，即可將原始圖像選定區(qū)域外像元的灰度值置0，而區(qū)域內(nèi)像素的灰度值保持不變，得到與原始圖像分離的局部圖像，即掩膜圖像。5）對(duì)掩膜圖像進(jìn)行增強(qiáng)處理，生成最終的結(jié)果圖像。

除法運(yùn)算C(x,y)=A(x,y)/B(x,y)主要應(yīng)用舉例-常用于遙感圖像處理中遙感圖像處理舉例 圖a、b分別是陸地衛(wèi)星的TM3、TM4波段，圖c是對(duì)兩個(gè)波段進(jìn)行比值處理（除法運(yùn)算）的結(jié)果。所采用的公式為式中，C為比例因子，用于增加比值圖像的對(duì)比度。 如圖，比值處理前，兩個(gè)波段的陰影（十字光標(biāo)附近）都非常嚴(yán)重，陰、陽坡無法區(qū)分，當(dāng)然更無法識(shí)別不同的地物類型。比值處理后，圖像的陰影部分基本消失，可以很明顯的區(qū)分不同坡向上的地物類型。 1）應(yīng)用除法運(yùn)算擴(kuò)大不同地物的光譜（灰度值）差異，有些地物在單波段圖像中的差異較小，通過選擇適當(dāng)?shù)牟ǘ芜M(jìn)行比值處理，可以有效的擴(kuò)大不同地物之間的差異，解決圖像中存在的“同譜異物”問題。 2）消除陰影的影響。陰影對(duì)衛(wèi)星圖像的地物識(shí)別和信息提取具有很大影響，除云霧外，陰影主要來自地形的影響。陰影的存在往往會(huì)將陰坡與陽坡的同一類地物誤判為兩類地物，即“同物異譜”現(xiàn)象。除法運(yùn)算可以消除地形的影響，使處在不同坡向的同一地物的灰度值趨向一致。

原理：有些地物對(duì)同一波段的光具有相同或相似的反射率，兩者間的差異較小，但其對(duì)不同波段光之間的反射率差異卻很大。如表：可以看出水和沙灘這兩類地物在TM4和TM7兩個(gè)波段的灰度值差距都較小，但兩類地物對(duì)TM4和TM7這兩個(gè)波段的光的反射率差距卻很大，經(jīng)過除法運(yùn)算就可以將這一差距反映出來。3.2圖像的離散傅立葉變換?一維離散傅立葉變換（1D-DFT）:1D-DFT的定義

：對(duì)于有限長(zhǎng)序列，其DFT定義為：，1D-DFT的矩陣表示

：3.2圖像的離散傅立葉變換其中：，，其中的稱為變換矩陣。從的構(gòu)成形式可知，是對(duì)稱的，即又由，則稱為酉矩陣，且，而1D-DFT就稱為正交變換。同理可得到反變換的矩陣表示：3.2圖像的離散傅立葉變換?二維離散傅立葉變換（2D-DFT）1、2D-DFT的定義:

其中，都是整數(shù)，

它們的取值范圍:

2、幾個(gè)相關(guān)參數(shù):傅立葉變換表示為復(fù)數(shù)形式:上式也可表示成指數(shù)形式：通常稱為的頻譜或幅度譜，為相位。，頻譜的平方稱為功率譜，即:3.2圖像的離散傅立葉變換3、2D-DFT的性質(zhì)

:（1）變換核的可分離性：

在離散傅立葉變換中，稱為變換核，將代入2D-DFT定義式的正變換中，得

該性質(zhì)說明2D-DFT可通過兩次1D-DFT完成，即按如下兩種方法來實(shí)現(xiàn)2D-DFT：或3.2圖像的離散傅立葉變換（2）移位特性：若，則：a.空間移位:b.頻域移位:c.移位時(shí)幅度不變:

，d.頻譜中心化:令，則即使的頻譜從原點(diǎn)移到中心。

（a）原圖像（b）|F(u,v)|的示意圖（c）|F(u-N/2,v-N/2)|的示意圖3.2圖像的離散傅立葉變換（3）周期性和共軛對(duì)稱性：a.周期性:

其中和為整數(shù)。b.共軛對(duì)稱性:圖像為實(shí)函數(shù)，則具有共軛對(duì)稱性，即:（4）旋轉(zhuǎn)不變性:若用極坐標(biāo),則以及其傅立葉變換就可以轉(zhuǎn)化為和，這樣，則

3.2圖像的離散傅立葉變換

從上式可見，空域中函數(shù)旋轉(zhuǎn)角度，它的傅立葉變換也旋轉(zhuǎn)同樣大小的角度，反之亦然。（a）原始圖像（b）頻譜（c）圖像旋轉(zhuǎn)45（d）圖c的頻譜（5）實(shí)偶函數(shù)的DFT:

()，僅有余弦項(xiàng)的實(shí)部。3.2圖像的離散傅立葉變換

（6）實(shí)奇函數(shù)的DFT:

()

，僅有正弦項(xiàng)的虛部。（7）線性性:若和是常數(shù)，傅立葉的正反變換都是線性變換，即（8）比例性（尺度變換）:若和是標(biāo)量，，則

3.2圖像的離散傅立葉變換（9）平均值:數(shù)字圖像的平均值可以定義為:將代入公式，有:故。

（10）卷積定理:

3.2圖像的離散傅立葉變換其中：

3.2圖像的離散傅立葉變換

（11）相關(guān)定理：其中：2D-DFT的計(jì)算

根據(jù)傅立葉變換核的可分離性，2D-DFT可用兩步1D-DFT來實(shí)現(xiàn)，而1D-DFT有快速算法FFT，這也就說明2D-DFT就可用FFT來完成，即3.3圖像變換的一般表示形式

前面介紹的2D-DFT只是可用于圖像變換的一種可分離的、正交變