熱質(zhì)的熱力與導(dǎo)熱定律

熱質(zhì)的熱力與導(dǎo)熱定律

1.cv7的熱波形貌理論19世紀(jì)20年代，傅立葉在介質(zhì)中建立了一個(gè)方程，以正比溫度比為正比的熱流通量與溫度比為正比的熱流通量。比例系數(shù)被稱為介質(zhì)的熱流通量方程或傅立葉導(dǎo)管。傅立葉醇不僅是一個(gè)炎熱的過程，也是一個(gè)對(duì)稱的循環(huán)過程的最基本的規(guī)律。它被廣泛用于各種實(shí)驗(yàn)和工程實(shí)踐。此外，傅里葉醇的引入也影響了其他學(xué)科。在研究金屬導(dǎo)電的過程中，奧姆受到了傅里葉醇定律的啟發(fā)，并制定了奧姆-溫法。然而,傅里葉導(dǎo)熱定律畢竟是唯象定律,理論上的質(zhì)疑時(shí)有發(fā)生,例如,基于傅里葉導(dǎo)熱定律的瞬態(tài)熱傳導(dǎo)過程是拋物型方程,因而出現(xiàn)了熱擾動(dòng)傳播速度無窮大的非物理現(xiàn)象.這種缺陷歷史上曾吸引了大量學(xué)者進(jìn)行研究,試圖從理論上改進(jìn)傅里葉導(dǎo)熱定律.最早是由Cattaneo,隨后是Vernotte提出的熱波模型.他們?cè)谝氤谠r(shí)間概念后建立了新的熱流定律,q+τ?q?t=-ΚΔΤ,(1)q+τ?q?t=?KΔT,(1)(1)式稱為CV方程,其中q為熱流密度,ΔΤ為溫度梯度,K為導(dǎo)熱系數(shù),t為時(shí)間,τ為弛豫時(shí)間.從(1)式可以看到,溫度梯度不僅與熱流,而且還與熱流隨時(shí)間的變化率有關(guān).基于此新的熱流定律的導(dǎo)熱方程為1α?Τ?t+1c2t?2Τ?t2=Δ2Τ,(2)其中α=K/(ρcp)為熱擴(kuò)散系數(shù),ct=√α/τ為熱波速.由于此方程是雙曲型方程,所以熱擾動(dòng)的傳播速度不是無窮大而是有限值,即熱量是以波動(dòng)方式傳遞的.而后,Gurtin和Pipkin,Coleman等人基于熱力學(xué)理論提出了類似于CV方程但更為普適化的導(dǎo)熱本構(gòu)方程.Tavernier,Guyer和Krumhansl和Maurer等人從Boltzmann方程出發(fā),經(jīng)過不同的處理和簡(jiǎn)化得到了類似于CV方程的熱波模型.然而,Bai和Lavine以及K?rner和Bergmann指出基于CV模型的導(dǎo)熱波動(dòng)方程會(huì)產(chǎn)生負(fù)溫度的非物理現(xiàn)象.Tzou不采用溫度梯度是因,熱流是果的假定,引入了熱流矢量和溫度梯度矢量的τq和τT兩個(gè)相延遲時(shí)間,給出q+1τq?q?t=-ΚΔΤ-ΚτΤ??t(ΔΤ),(3)代入能量守恒方程得到的導(dǎo)熱方程為1α?Τ?t+τqα?2Τ?t2=Δ2Τ+τΤ?(Δ2Τ)?t(4)稱雙相延遲模型.由于介質(zhì)的弛豫時(shí)間很小(一般小于10-11s),對(duì)于大多數(shù)的傳熱問題(4)式中含弛豫時(shí)間的附加項(xiàng)可以略去,所以傅里葉導(dǎo)熱定律仍然適用,只有在超快速加熱或極低溫的情況下,才必需考慮熱量以波動(dòng)方式傳遞的非傅里葉導(dǎo)熱現(xiàn)象.然而隨著高科技的發(fā)展,如飛秒/皮秒的激光加熱、超高頻計(jì)算機(jī)芯片的冷卻都需要考慮非傅里葉導(dǎo)熱效應(yīng),從而促進(jìn)了很多學(xué)者對(duì)快速瞬態(tài)導(dǎo)熱的非傅里葉效應(yīng)進(jìn)行理論分析和數(shù)值模擬,進(jìn)行這方面工作的有Xu和Guo,Masuda等,Antaki,Cho和Juhng,Fan和Lu以及Zhang等.有關(guān)非傅里葉導(dǎo)熱的實(shí)驗(yàn)研究則由于難度大而不多見,如Brorson等測(cè)量了熱脈沖穿過金屬薄膜所需的時(shí)間,Tang和Araki提出了測(cè)量弛豫時(shí)間的方法等.近年來隨著微納技術(shù)和低維材料的發(fā)展,對(duì)穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱情況下傅里葉導(dǎo)熱定律是否適用也提出了挑戰(zhàn),例如Lepri等用數(shù)值方法研究一維非線性諧振子鏈中的熱傳遞,如按傅里葉導(dǎo)熱定律,則其中的導(dǎo)熱系數(shù)與粒子數(shù)(即鏈長(zhǎng)度)的平方根近似成正比,Narayan基于動(dòng)量守恒分析計(jì)算了一維流體的導(dǎo)熱系數(shù),它與系統(tǒng)尺度的立方根成正比.Maruyama用分子動(dòng)力學(xué)模擬方法計(jì)算單壁碳納米管的導(dǎo)熱系數(shù),也發(fā)現(xiàn)了導(dǎo)熱系數(shù)隨管長(zhǎng)的增加而增加.Livi等分析和總結(jié)了上述奇異現(xiàn)象,并把其歸結(jié)為空間維數(shù)的影響.2.熱的本質(zhì)和能量的概念是“能量-質(zhì)量”的關(guān)系,其主導(dǎo)地位就是熱質(zhì),能量-質(zhì)量。c與以往的研究不同,我們將在重新審視熱量本質(zhì)的基礎(chǔ)上討論導(dǎo)熱的一般規(guī)律.歷史上對(duì)于熱的本質(zhì)的認(rèn)識(shí)有過激烈的爭(zhēng)論.熱的物質(zhì)說在18世紀(jì)和19世紀(jì)初處于統(tǒng)治地位,而到了19世紀(jì)40年代以后,隨著能量原理的確立,熱的運(yùn)動(dòng)說得到了普遍承認(rèn),從而結(jié)束了關(guān)于熱量本質(zhì)的爭(zhēng)論.正是由于熱是能量而不是某種物質(zhì),熱學(xué)的研究方法與力學(xué)有很大的不同,正如傅里葉在他的著作中指出“……無論力學(xué)理論的研究范圍如何,它們都不能應(yīng)用于熱效應(yīng),這些熱效應(yīng)構(gòu)成一個(gè)特殊的現(xiàn)象類,它們不能用運(yùn)動(dòng)和平衡的原理來解釋.”所以,傅里葉導(dǎo)熱定律只是描述了熱流密度與溫度梯度的關(guān)系,其中沒有速度、力和加速度的概念.現(xiàn)在我們從另一角度審視熱量的本質(zhì).愛因斯坦在他的狹義相對(duì)論中指出,能量與質(zhì)量的概念是統(tǒng)一的,并給出了質(zhì)能關(guān)系式E=Μc2=Μ0√1-v2/c2c2=E0√1-v2/c2,(5)其中,M是運(yùn)動(dòng)物體的質(zhì)量,稱動(dòng)質(zhì)量,M0是物體靜止時(shí)的質(zhì)量,稱靜質(zhì)量,c是真空中的光速,v是物體宏觀運(yùn)動(dòng)速度,E是運(yùn)動(dòng)物體的能量,E0是靜止物體的能量.從(5)式中可以看到,物體的質(zhì)量和能量都隨其運(yùn)動(dòng)速度的增加而增加,而且物體的質(zhì)量和能量是統(tǒng)一的.當(dāng)物體宏觀運(yùn)動(dòng)速度遠(yuǎn)小于光速時(shí)(不涉及原子結(jié)構(gòu)和量子效應(yīng)),由于運(yùn)動(dòng)而引起物體能量和質(zhì)量的增量可通過(5)式級(jí)數(shù)展開分別得到近似式Ek=E-E0?12Μ0v2,(6a)Μk=Μ-Μ0?12Μ0v2c2,(6b)其中Ek=12Μ0v2是牛頓力學(xué)框架中物體的動(dòng)能,因此Mk就是物體動(dòng)能的等效質(zhì)量.可以看到,當(dāng)v?c時(shí)物體的動(dòng)質(zhì)量M等于其靜止質(zhì)量M0與動(dòng)能等效質(zhì)量Mk的代數(shù)和.現(xiàn)在我們把愛因斯坦對(duì)于機(jī)械運(yùn)動(dòng)的質(zhì)能關(guān)系推廣至熱運(yùn)動(dòng).介質(zhì)中分子的熱運(yùn)動(dòng)或晶格的熱振動(dòng)本質(zhì)上也是機(jī)械運(yùn)動(dòng),只不過是無規(guī)則的機(jī)械運(yùn)動(dòng)而已,因此,處于宏觀靜止?fàn)顟B(tài)但具有一定溫度的物體的質(zhì)量也是由物體靜質(zhì)量和物體的分子熱運(yùn)動(dòng)引起的質(zhì)量增加兩部分組成,即Μ=Μ0+Μh,(7a)Μh=Ehc2=Vρh,(7b)其中M0是物體的靜質(zhì)量,Eh是物體的熱能,對(duì)于理想氣體,它就是內(nèi)能,對(duì)于固體,它是晶格熱振動(dòng)能量,Mh是物體中熱能所等效的質(zhì)量,故稱其為熱質(zhì)量或熱質(zhì),ρh是單位體積中的熱質(zhì),稱熱質(zhì)密度.3.熱質(zhì)運(yùn)動(dòng)方程過增元基于質(zhì)能關(guān)系(5),(6)建立了理想氣體中熱子和熱子氣的概念.對(duì)于處在熱力學(xué)平衡態(tài),而且無宏觀運(yùn)動(dòng)的氣體,分子的質(zhì)量由兩部分組成,即分子的靜質(zhì)量和分子熱運(yùn)動(dòng)能量的等效質(zhì)量,m=m0+mh,ˉm=m0+ˉmh,(8)mh=12m0v2*c2,ˉmh=12m0ˉv2*c2,(9)其中m0是分子的靜質(zhì)量,mh是分子的熱質(zhì)量,ˉm是分子的時(shí)均動(dòng)質(zhì)量,ˉv2*是分子的時(shí)均平方速度,12m0ˉv2*是分子的時(shí)均熱能,所以ˉmh就是分子的時(shí)均熱質(zhì)量.我們可以把一個(gè)分子的時(shí)均熱運(yùn)動(dòng)能量定義為一個(gè)熱子,它具有以下特征:1)熱子總是附著在分子之上,它們具有相同的運(yùn)動(dòng)速度和數(shù)密度.所以熱子的瞬時(shí)速度也是v*,熱子的時(shí)均平方速度也是ˉv2*.與光子、聲子一樣,熱子是能量子而無靜止質(zhì)量.然而,熱子與光子、聲子不同之處在于熱子的質(zhì)量可以連續(xù)變化,是一種非量子化的準(zhǔn)粒子.大量無規(guī)運(yùn)動(dòng)的熱子組成了熱子氣.2)處在熱力學(xué)平衡態(tài)時(shí)的氣體分子間相互碰撞時(shí),分子的靜質(zhì)量不變,分子的瞬時(shí)動(dòng)能會(huì)發(fā)生變化,但是,分子的時(shí)均動(dòng)能保持不變,即熱子的時(shí)均熱質(zhì)量保持不變.文獻(xiàn)中還給出了熱子氣的壓強(qiáng)公式和熱子氣的狀態(tài)方程.我們把只考慮分子靜質(zhì)量的氣體稱靜質(zhì)氣體,而把具有動(dòng)質(zhì)量分子組成的氣體稱動(dòng)質(zhì)氣體.采用氣體分子動(dòng)力論的分析,可知?jiǎng)淤|(zhì)氣體的壓力為p=13nˉmv*?v*=13nˉm0v2*+13nˉmhv2*=p0+ph,(10)其中p0是靜質(zhì)氣體的壓力,ph是熱子氣的壓力,p是動(dòng)質(zhì)氣的壓力.把(8)式中熱子的瞬態(tài)質(zhì)量關(guān)系式代入(10)式可求得熱子氣的壓力ph=518nm0c2(ˉv2*)2.(11)熱子氣的狀態(tài)方程ph=53ρhRΤ,(12)其中ρh=ρCvT/c2.動(dòng)質(zhì)氣體的狀態(tài)方程p=p0+ph=(ρ0+53ρh)RΤ.(13)由于ph?p0,p≈p0=ρ0RΤ.(14)眾所周知,氣態(tài)介質(zhì)中的壓力梯度是氣體流動(dòng)的驅(qū)動(dòng)力,由于ph?p0,所以此時(shí)不需要考慮熱質(zhì)壓力的影響.然而對(duì)于壓力均勻而溫度不均勻的氣態(tài)介質(zhì),其中沒有靜質(zhì)氣體的流動(dòng).而此時(shí)熱質(zhì)壓力梯度雖小,但卻不能忽略,因?yàn)闊豳|(zhì)壓力梯度將推動(dòng)熱質(zhì)運(yùn)動(dòng)(流動(dòng)),也就是說熱質(zhì)壓力梯度是熱量(熱質(zhì))傳遞的驅(qū)動(dòng)力.關(guān)于熱質(zhì)的運(yùn)動(dòng)方程將在后面章節(jié)中評(píng)述.4.聲子氣熱振動(dòng)的狀態(tài)方程由熱力學(xué)分析可得到固體的德拜狀態(tài)方程p=-?E0?V+γED0V,(15)其中,p和V分別是固體的壓力和體積,ED0是晶格熱振動(dòng)能量,即儲(chǔ)存在固體中的熱能,γ是格留乃森常數(shù).等式右邊第一項(xiàng)是原子間作用力的貢獻(xiàn),稱靜壓力,第二項(xiàng)是晶格熱振動(dòng)的貢獻(xiàn),稱熱壓力,過增元等把方程(15)中的熱壓力分離出來,p0=γED0V.(16)當(dāng)固體溫度比德拜溫度高很多時(shí),比熱容滿足Dulong-Pefit定律,這樣固體的熱能可以表示ED0=Μ0CΤ=3RmolΤ=3Μ0RΤ,(17)其中M0是物體的靜止質(zhì)量,R是氣體常數(shù).從(17)式看到,質(zhì)量為M0的物體在熱(溫度)場(chǎng)中具有的熱振動(dòng)能量為ED0,CT是單位質(zhì)量具有的熱能,它就是熱勢(shì)(就如物體在重力場(chǎng)中的勢(shì)為高度與重力加速度的乘積,其物理意義為單位質(zhì)量具有的重力勢(shì)能).把(17)式代入(16)式就得到了晶格熱振動(dòng)的狀態(tài)方程p0=3γρ0RΤ=γρ0CΤ,(18)其中C是比熱容,ρ0是固體的密度,對(duì)于不同物體,格留乃森常數(shù)γ的值在0.8—2.0范圍之內(nèi).從(18)式可以看到,高溫條件下的固體熱振動(dòng)的狀態(tài)方程與理想氣體狀態(tài)方程很類似.由于固體膨脹系數(shù)很小,晶格振動(dòng)的熱壓力只與溫度有關(guān).固體晶格熱振動(dòng)的能量是量子化的,把能量量子化的格波稱為聲子,聲子氣是由大量聲子所組成.聲子氣的能量就代表了固體的熱振動(dòng)能量.按愛因斯坦的質(zhì)能統(tǒng)一的概念,聲子氣的等效質(zhì)量為Μh=ED0c2=Μ0CΤc2.(19)熱質(zhì)與晶格靜質(zhì)具有同樣的熱勢(shì),即CT,所以熱質(zhì)在熱場(chǎng)中具有的能量稱熱質(zhì)勢(shì)能,dEh=Μhd(CΤ)=Μ0C2c2ΤdΤ,(20a)Eh=Τ∫0dEh=12Μh(CΤ).(20b)類似于(18)式,可求得聲子氣(熱質(zhì))的狀態(tài)方程ph=γEhV=32γρhRΤ=γρ02c2(CΤ)2,(21)其中ρh=ρCT/c2是聲子氣的等效質(zhì)量密度,即固體中的熱質(zhì)密度.因此,固體中的壓力也是由靜質(zhì)壓力和熱質(zhì)壓力組成,即p=p0+ph,ph?p0.(22)固體中如存在壓力梯度將產(chǎn)生變形,并與應(yīng)力相平衡,而當(dāng)存在熱質(zhì)壓力梯度時(shí),就會(huì)出現(xiàn)熱質(zhì)的運(yùn)動(dòng),即熱量的傳遞.5.適用的游統(tǒng)規(guī)則5.1.熱質(zhì)qh的測(cè)量當(dāng)介質(zhì)具有非均勻的溫度場(chǎng)時(shí),介質(zhì)中就存在熱質(zhì)壓力梯度,它推動(dòng)熱質(zhì)的運(yùn)動(dòng).我們可以從傳熱學(xué)中常用的物理量熱流量或熱流密度導(dǎo)出熱質(zhì)(熱量)的運(yùn)動(dòng)速度這個(gè)物理量q=ρ0CΤuh,(23)其中q是熱流密度,ρ0CT是介質(zhì)單位體積的熱能,uh是熱量運(yùn)動(dòng)的速度.這個(gè)表達(dá)式的建立為牛頓力學(xué)描述熱量傳遞奠定了基礎(chǔ),而兩邊除以光速平方得qh=qc2=ρ0CΤc2uh=ρhuh,(24)其中qh是熱質(zhì)流密度,uh是熱質(zhì)流速.對(duì)于氣體,它等于熱子的漂移速度或熱子氣的宏觀運(yùn)動(dòng)速度,對(duì)于固體,它就是聲子的漂移速度或聲子氣的宏觀運(yùn)動(dòng)速度.由于熱質(zhì)在運(yùn)動(dòng)過程中是不會(huì)產(chǎn)生,也不會(huì)消失,其守恒方程為?ρh?t+div(ρhUh)=0.(25)方程(25)實(shí)際上就是熱量守恒方程.在一維穩(wěn)態(tài)條件下,例如對(duì)于圖1所示的無窮大平板導(dǎo)熱(T1>T2),(25)式可簡(jiǎn)化為ρhuh=qh=const,(26)這表明進(jìn)入和流出平板的熱質(zhì)(熱流密度)是相等的,但由于熱質(zhì)密度ρh是溫度的函數(shù),流出平板的熱質(zhì)速度總要大于流進(jìn)平板的熱質(zhì)速度,uh2uh1=ρh1ρh2=Τ1Τ2,uh2>uh1,(27)這表明從高溫流向低溫的熱質(zhì)總是不斷地被加速的.因此,其動(dòng)量也是不斷增加的.5.2.熱質(zhì)熱質(zhì)量的等式法文獻(xiàn)基于牛頓力學(xué)的分析方法建立了熱質(zhì)運(yùn)動(dòng)方程其中第一項(xiàng)是熱質(zhì)的慣性力,包括熱質(zhì)速度空間變化和時(shí)間變化引起的慣性力,第二項(xiàng)是熱質(zhì)壓力梯度,第三項(xiàng)是熱質(zhì)運(yùn)動(dòng)的阻力.對(duì)于氣態(tài)介質(zhì),熱子氣(熱質(zhì))運(yùn)動(dòng)的阻力源自熱子與熱子的碰撞,對(duì)于固體,聲子氣運(yùn)動(dòng)的阻力源自于晶格振動(dòng)的非簡(jiǎn)諧性和介質(zhì)中的缺陷.由方程(23)可得?uh?t=1ρ0CΤ?q?t-qρ0CΤ2?Τ?t,(29a)?uh?x=1ρ0CΤ?q?x-qρ0CΤ2?Τ?x.(29b)固體中的熱質(zhì)壓力梯度?ph?x=γρ0C2c2Τ?Τ?x=γρhC?Τ?x.(29c)從此式可以看到溫度梯度就代表了作用在單位熱質(zhì)上的壓力梯度(驅(qū)動(dòng)力).當(dāng)速度不是很大時(shí),阻力通常與速度成正比,f=βuh,(30)其中,β是阻力系數(shù).對(duì)于一維問題,把(29),(30)式代入方程(28)后,兩邊再乘以因子ΚCρh得Κρ0C2Τ?q?t-Κqρ0C2Τ2?Τ?t+Κqρ20C3Τ2?q?x-Κq2ρ20C3Τ3?Τ?x=γΚ?Τ?x-Κc2ρ20C3Τ2βq.(31a)為了便于和CV模型比較,令Κγρ0C2Τ=aγCΤ=τ(32)是特征時(shí)間,則(31a)式可寫為τt[?q?t-uh?(ρ0CΤ)?t]+τtuh[?q?x-uh?(ρ0CΤ)?x]=-Κ?Τ?x-Κc2γρ20C3Τ2βq,(31b)等式左邊的第一項(xiàng)來自于熱質(zhì)動(dòng)量的時(shí)間變化率,左邊的第二項(xiàng)來自于熱質(zhì)動(dòng)量的空間變化率,等式右邊第一項(xiàng)則代表熱質(zhì)的壓力梯度,而最后一項(xiàng)反映了熱質(zhì)運(yùn)動(dòng)所遇到的阻力,(31b)式是含有特征時(shí)間的熱質(zhì)動(dòng)量守恒方程.由于導(dǎo)熱過程本質(zhì)上就是熱量(熱質(zhì))運(yùn)動(dòng)(傳遞)過程,所以方程(31)是熱量(熱質(zhì))運(yùn)動(dòng)定律,也就是普適導(dǎo)熱定律.5.3.傅里葉導(dǎo)熱定律的物理性質(zhì)在通常情況下,當(dāng)熱質(zhì)流密度不是很大時(shí),熱質(zhì)速度的空間變化引起的慣性力可以忽略,當(dāng)加熱或冷卻速率不是很高時(shí),則可以忽略熱質(zhì)速度的時(shí)間變化引起的慣性力.這樣,熱質(zhì)動(dòng)量守恒方程(28)可簡(jiǎn)化為Δph+fh=0,(33a)其物理意義是熱質(zhì)壓力梯度和阻力的平衡關(guān)系式.由(30)和(31)式,(33a)式可表示為γΚdΤdx+Κρ2hCc2βq=0.(33b)由于在常規(guī)條件下,傅里葉導(dǎo)熱定律總是適用,代入上式后從而可求得阻力系數(shù)β=γc2Cρ2hΚ,(34)代入(31b)式可得以熱流(或熱質(zhì)流速)和溫度表示的熱質(zhì)動(dòng)量守恒方程τt[?q?t-uh?(ρ0CΤ)?t]+τtuh[?q?x-uh?(ρ0CΤ)?x]=Κ?Τ?x-q.(31c)當(dāng)熱質(zhì)的慣性力可以忽略時(shí),熱質(zhì)動(dòng)量守恒方程(31c)就退化為傅里葉導(dǎo)熱方程q=-ΚdΤdx或-qΚ=dΤdx.(35)傅里葉導(dǎo)熱定律的物理意義通常的理解是:溫度梯度是熱流的驅(qū)動(dòng)力且它們之間具有正比關(guān)系.然而,從上面的推導(dǎo)可以看到,當(dāng)熱質(zhì)的慣性力與壓力梯度和阻力相比很小而可以忽略時(shí),熱質(zhì)運(yùn)動(dòng)方程(動(dòng)量守恒方程)(28)就退化為傅里葉導(dǎo)熱定律(對(duì)于氣體介質(zhì)中的熱質(zhì)運(yùn)動(dòng),分析可以得到同樣的結(jié)論,但壓力梯度和阻力系數(shù)的表達(dá)式有所不同).因此,傅里葉導(dǎo)熱定律的物理實(shí)質(zhì)是忽略慣性力條件下熱質(zhì)壓力梯度(驅(qū)動(dòng)力)與阻力的平衡式(參看圖1),傅里葉導(dǎo)熱定律中的溫度梯度代表了作用在單位熱質(zhì)上的熱質(zhì)壓力梯度,而熱流除以導(dǎo)熱系數(shù)反映的是單位熱質(zhì)運(yùn)動(dòng)的阻力.5.4.熱流密度與設(shè)備的關(guān)系現(xiàn)有絕大多數(shù)文獻(xiàn)所報(bào)道的都是關(guān)于在快速瞬態(tài)條件下的非傅里葉導(dǎo)熱的研究.這是因?yàn)樵诜€(wěn)態(tài)條件下CV方程以及與其類似的非傅里葉導(dǎo)熱方程就退化為傅里葉導(dǎo)熱定律,即非傅里葉導(dǎo)熱只是在瞬態(tài)情況下出現(xiàn),然而從方程(31c)可以看到,即使時(shí)間項(xiàng)消失后,仍然與傅里葉導(dǎo)熱定律不同,熱流密度不但與溫度梯度有關(guān),還與熱質(zhì)速度的空間變化率有關(guān).此時(shí)的導(dǎo)熱定律為τγCuhduhdx=-ΚdΤdx-q,(36a)與連續(xù)性方程聯(lián)立,可得到ΚdΤdx+q=Κq2γρ20C3Τ3dΤdx,(36b)或q=-(1-q2γρ20C3Τ3)ΚdΤdx.(36c)從上式可以看到,熱流密度與溫度梯度不再成線性關(guān)系.令Κa=(1-q2γρ20C3Τ3)Κ為表觀導(dǎo)熱系數(shù),則q=-ΚadΤdx,(36d)其中因子q2γρ20C3Τ3反映了熱質(zhì)慣性力的影響.在通常情況慣性力可以被忽略,以硅平板為例,T1=400K,T2=300K,熱流密度q=106W/m2,因子q2ρ20C3Τ3≈10-14?1,意味著慣性力與驅(qū)動(dòng)力或阻力相比可以被忽略,因此傅里葉導(dǎo)熱定律適用.然而,在某些極端條件下,例如在碳納米管導(dǎo)熱系數(shù)的數(shù)值計(jì)算或?qū)嶒?yàn)測(cè)量時(shí),由于納米碳管的長(zhǎng)度很短,所以溫度梯度很大而可以導(dǎo)致極高的熱流密度,此時(shí),不能用傅里葉導(dǎo)熱定律,而必須用方程(36d)來確定納米碳管的導(dǎo)熱系數(shù).例如,對(duì)于兩端溫差為20K,平均溫度為70K的納米碳管,設(shè)導(dǎo)熱系數(shù)K=5000W/mK,管長(zhǎng)變化范圍20—300μm.此時(shí),熱流密度可達(dá)1012W/m2以上,此時(shí)傅里葉導(dǎo)熱定律不再適用,如應(yīng)用傅里葉導(dǎo)熱定律,即用熱流密度除以溫度梯度所得到的是碳管的表觀導(dǎo)熱系數(shù),而不是真實(shí)導(dǎo)熱系數(shù).求解導(dǎo)熱方程(36c)可求得表觀導(dǎo)熱系數(shù)與管長(zhǎng)變化的曲線示于圖2.從圖中可以看到,表觀導(dǎo)熱系數(shù)隨管長(zhǎng)而增加,管長(zhǎng)愈短,慣性力影響愈大,用傅里葉導(dǎo)熱定律確定的表觀導(dǎo)熱系數(shù)偏離真實(shí)的導(dǎo)熱系數(shù)值愈多.5.5.熱質(zhì)熱波傳播的普適導(dǎo)熱定律與cv模型的對(duì)比描述快速瞬態(tài)導(dǎo)熱非傅里葉效應(yīng)最常用的模型是CV方程,即(1)式,聯(lián)立熱量守恒方程可得到雙曲型導(dǎo)熱方程,即(2)式,(2)式中τ稱之謂弛豫時(shí)間,它的物理意義是從非平衡態(tài)到建立局域平衡態(tài)所需的時(shí)間,在室溫條件下,對(duì)于大多數(shù)材料而言,弛豫時(shí)間τ的數(shù)量級(jí)為10-10—10-14s,有時(shí)則把弛豫時(shí)間理解為溫度梯度驅(qū)動(dòng)下建立相應(yīng)的熱流所需的時(shí)間.這意味著熱流具有某種慣性.Onsager曾指出傅里葉導(dǎo)熱定律忽略了熱流加速所需時(shí)間,Kaliski給出了一種熱慣性理論,經(jīng)簡(jiǎn)化后可得到CV模型.本文引入了熱量具有等效質(zhì)量,即熱質(zhì)的概念,這不是假定,而是實(shí)實(shí)在在的熱質(zhì)慣性,從而能建立熱質(zhì)運(yùn)動(dòng)(熱量傳遞)方程,即普適導(dǎo)熱定律((31c)式),它由時(shí)間變化引起的和由空間變化引起的慣性力兩部分所組成,方程(31c)中等式左邊兩項(xiàng)都是慣性力項(xiàng),這是由于熱質(zhì)速度是熱流q和溫度T的函數(shù),所以每項(xiàng)又可分為兩部分.從(1)和(31c)式的對(duì)比中可以看到CV模型只考慮了時(shí)間變化引起的慣性效應(yīng),而沒有考慮空間變化引起的慣性效應(yīng),而且只考慮了熱流變化(第一項(xiàng)的第一部分)而沒有考慮溫度變化(第一項(xiàng)的第二部分)引起的慣性效應(yīng).普適導(dǎo)熱定律(31c)再聯(lián)立能量守恒方程并適當(dāng)簡(jiǎn)化可以得到基于熱質(zhì)運(yùn)動(dòng)概念的導(dǎo)熱微分方程?2Τ?t2+1τt?Τ?t+2qΚτtγρ20C3vΤ2?2Τ?t?x=(1-q2γρ20C3vΤ3)Κρ0Cvτt?2Τ?x2(37)和基于CV模型的導(dǎo)熱方程式(2)相比,它也是具有阻尼的波動(dòng)方程,但是增加了因速度空間變化引起的慣性力的影響.為了討論基于熱質(zhì)概念的普適導(dǎo)熱定律與CV模型在描述熱波傳遞現(xiàn)象時(shí)的區(qū)別,考慮一個(gè)一維的熱擾動(dòng)傳播問題,如圖3所示,y和z方向?yàn)闊o限大,x方向的長(zhǎng)度為L(zhǎng),物體在初始時(shí)刻的溫度T0是均勻分布,初始時(shí)刻后兩邊界的溫度同時(shí)降到Tw并保持不變.在計(jì)算中所有量都進(jìn)行無量綱化,無量綱的物理量:坐標(biāo)為x*=x/L,溫度為T*=T/T0,時(shí)間為t*=t/τ.當(dāng)兩邊界的溫度熱擾動(dòng)為T*w=0.3時(shí),由普適導(dǎo)熱定律和CV模型解得導(dǎo)體內(nèi)溫度場(chǎng)隨時(shí)間的變化如圖4所示,其中圖4(a),(b),(c)和(d)分別是無量綱時(shí)間為0.3,0.6,0.9和1.2時(shí)刻的溫度分布.從圖4(a)可以看到,基于熱質(zhì)理論的普適導(dǎo)熱定律和CV模型獲得的溫度擾動(dòng)的波峰前沿前進(jìn)的無量綱速度差別不大,但是,CV模型得到的波峰后沿溫度分布較之普適導(dǎo)熱定律得到的要陡,也就是說,普適導(dǎo)熱定律獲得物體在擾動(dòng)初期的溫度下降要慢一些,這正是由于熱質(zhì)理論方程中熱流在空間傳播時(shí)由于加速需克服慣性力所導(dǎo)致的.隨著時(shí)間的進(jìn)展,物體兩側(cè)的兩個(gè)波峰繼續(xù)前進(jìn)直至相互疊加,如圖4(b)所示,熱波傳遞過程