第四章-數(shù)學(xué)欣賞概要

第四章-數(shù)學(xué)欣賞概要第一頁，共60頁。引言1認(rèn)識數(shù)學(xué)對數(shù)學(xué)的認(rèn)識，已經(jīng)費(fèi)時(shí)很多了，所得有多有少．大多數(shù)人都經(jīng)歷了義務(wù)教育、高中階段12年學(xué)數(shù)學(xué)的歷史，在大學(xué)，理工科、工商、經(jīng)濟(jì)類都得學(xué)數(shù)學(xué)，所以每個(gè)人花在數(shù)學(xué)上的時(shí)間確實(shí)很長．實(shí)際上數(shù)學(xué)作為一種實(shí)用工具和培養(yǎng)思維能力的方法，深受各個(gè)學(xué)科的關(guān)注和重視．文科學(xué)生學(xué)點(diǎn)數(shù)學(xué)，對開拓思維方式、提高個(gè)人素質(zhì)都有好處．隨著信息時(shí)代的到來，文理互相滲透．如果每個(gè)人都能將科學(xué)素養(yǎng)與藝術(shù)素養(yǎng)兩者結(jié)合起來，那么對提高個(gè)人的綜合素質(zhì)是十分有益的．科學(xué)的目的在于認(rèn)識世界、改造世界，藝術(shù)的目的在于追求真善美，追求社會、人生和心靈的和諧．第一頁第二頁，共60頁。4.0.1認(rèn)識數(shù)學(xué)（1）數(shù)學(xué)成就首先是數(shù)學(xué)家的成就（2）核武器的產(chǎn)生（3）經(jīng)濟(jì)學(xué)成為一門非常重要的數(shù)學(xué)（4）CT第二頁第三頁，共60頁。4.0.2

數(shù)學(xué)的特點(diǎn)

數(shù)學(xué)的特點(diǎn)有三個(gè)：抽象性，精確性，應(yīng)用廣泛性．第三頁第四頁，共60頁。4.0.3數(shù)學(xué)提供特色的思維方式抽象化：選出許多不同的現(xiàn)象抽象出它們共有的理性，從而進(jìn)行專門研究．符號化：將通常語言轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)語言，使它變得更嚴(yán)密，邏輯性更強(qiáng)．用簡明的符號語言來表達(dá)共同的特征，它具有運(yùn)算和計(jì)算的能力．不僅如此，它還是國際語言，功能超過自然語言．合理化：從前提、數(shù)據(jù)、圖形等原始資料出發(fā)，選擇一些推理規(guī)則，在特定的規(guī)則下進(jìn)行一系列的推理．最優(yōu)化：考查所有可能，從中尋求最優(yōu)解．?dāng)?shù)學(xué)模型：從現(xiàn)實(shí)現(xiàn)象、現(xiàn)有數(shù)據(jù)中找出數(shù)量關(guān)系，提升為數(shù)學(xué)問題，并予以解決．第四頁第五頁，共60頁。4.1整數(shù)趣談?wù)麛?shù)是大家最早接觸的，一些基本概念、運(yùn)算、性質(zhì)固然都是大家熟知的．有時(shí)自覺不自覺的在應(yīng)用它．其實(shí)正整數(shù)中還是有許多有趣的現(xiàn)象和性質(zhì)，從而引出了許多著名的數(shù)學(xué)問題．第五頁第六頁，共60頁。4.1.1完全數(shù)和梅審數(shù)設(shè)為一個(gè)正整數(shù)，若時(shí)稱整除，記為，稱為的因數(shù)，稱為的倍數(shù)．設(shè)，當(dāng)僅有二個(gè)因數(shù)1和時(shí)，稱為素?cái)?shù)(質(zhì)數(shù))．用符號表示的正因數(shù)的個(gè)數(shù)，表示的所有正因數(shù)之和．第六頁第七頁，共60頁。4.1.1完全數(shù)和梅審數(shù)例如．而當(dāng)n=6和28時(shí)，6的所有正因數(shù)之和為12，28的所有正因數(shù)之和為56．由此可以引發(fā)考慮具有下列性質(zhì)的數(shù)，滿足，即的所有正因數(shù)之和等于2，稱滿足上述條件的數(shù)為完全數(shù)(完備數(shù))．故6和28是二個(gè)完全數(shù)．第七頁第八頁，共60頁。在尋找完全數(shù)的過程中，歐幾里德發(fā)現(xiàn)當(dāng)n為素?cái)?shù)且為素?cái)?shù)時(shí)，是完全數(shù),但條件為素?cái)?shù)的要求太高了．真正對的數(shù)進(jìn)行研究的是梅審．故將的數(shù)稱為梅審數(shù)，梅審證明當(dāng)n=2,3,5,7,13,17,19,31時(shí)為素?cái)?shù)．目前只有不到30個(gè)梅審素?cái)?shù)被發(fā)現(xiàn)，1983年，第28個(gè)梅審素?cái)?shù)被發(fā)現(xiàn)，就是n=86243時(shí)．而已是一個(gè)非常大的數(shù)，共有25000多位，判斷為素?cái)?shù)借助于大型計(jì)算機(jī)．目前最大的梅審數(shù)為

第八頁第九頁，共60頁。完全數(shù)和梅審素?cái)?shù)可能是一一對應(yīng)的．因此研究完全數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為研究梅審素?cái)?shù)的問題．對完全數(shù)或?qū)γ穼彅?shù)的研究目前尚在進(jìn)行之中，焦點(diǎn)集中在是否存在無窮多個(gè)完全數(shù)或者梅審素?cái)?shù)．目前找到的完全數(shù)依賴于梅審素?cái)?shù)，所有的已知完全數(shù)都是偶數(shù)，因此，另一個(gè)關(guān)于完全數(shù)的問題是是否存在奇完全數(shù)．第九頁第十頁，共60頁。

4.1.2

回文數(shù)回文，也寫作“迴文”、“回紋”，利用漢語以單音節(jié)語素為主和以語序?yàn)橹饕Z法手段的語言特點(diǎn)，將詞序排列成回環(huán)往復(fù)都可以閱讀的修辭方法，回文詩就是一種回環(huán)往復(fù)都能朗讀的詩．第十頁第十一頁，共60頁。4.1.2

回文數(shù)《思妻詩》（順讀）枯眼望遙山隔水，往來曾見幾心知？壺空怕酌一杯酒，筆下難成和韻詩．途路陽人離別久，訊音無雁寄回遲．孤燈夜守長寥寂，夫憶妻兮父憶兒．

《思夫詩》（倒讀）兒憶父兮妻憶夫，寂寥長守夜燈孤．

遲回寄雁無音訊，久別離人陽路途．

詩韻和成難下筆，酒杯一酌怕空壺．

知心幾見曾往來，水隔山遙望眼枯．

第十一頁第十二頁，共60頁?；匚脑姷男问叫路f而獨(dú)特，活潑而多變化，讀來回環(huán)綿延、往復(fù)無盡，一般能上下顛倒讀、順讀倒讀、斜讀、交互讀等．《兩相思》順讀為《思妻詩》，倒讀為《思夫詩》，運(yùn)用合二為一的回文詩充分地表現(xiàn)出夫妻纏綿悱惻、難舍難分的相思相愛的情感，閱讀時(shí)也給人以蕩氣回腸、意興盎然的美感．第十二頁第十三頁，共60頁。在數(shù)學(xué)里也有回文數(shù)的概念，其特征是一個(gè)數(shù)從左往右讀和從右往左讀完全是一樣的．例如，121，1221，132231等都是回文數(shù)．可以證明，偶數(shù)位的回文數(shù)能被11整除．回文數(shù)有著十分有趣的性質(zhì)，并且留下讓人琢磨不定的問題．第十三頁第十四頁，共60頁。4.1.2

回文數(shù)設(shè)n為任何一個(gè)正整數(shù)，將n的從右到左而產(chǎn)生的數(shù)稱為n的逆序數(shù)，記為．例如n＝789，則n的逆序數(shù)＝987．將n與相加看作對n的一次變換．這種變換反復(fù)進(jìn)行下去，就有可能得到一個(gè)回文數(shù)．例如n=397，＝793．n+=1190=，=0911+=2101=，=1012，+=3113．經(jīng)過上述變換，我們將397演變成為一個(gè)回文數(shù)3113

第十四頁第十五頁，共60頁。但是要注意，從一個(gè)數(shù)變換成為一個(gè)回文數(shù)需要的變換步數(shù)是不可測的，有的數(shù)一次兩次就可變成回文數(shù)，而有些數(shù)不知道要變多少次，甚至根本就不知道能不能變成回文數(shù)．例如從195經(jīng)過4次變換可得到一個(gè)回文數(shù)，而197要經(jīng)過7次變換可得到一個(gè)回文數(shù)．但對196作變換，借助于計(jì)算機(jī)經(jīng)過上千上萬次的運(yùn)算，得到一系列的數(shù)字，仍得不到相應(yīng)的回文數(shù)．然而又無法證明196不可能變成回文數(shù)，這也許就是回文數(shù)的魅力所在．第十五頁第十六頁，共60頁。4.1.3素?cái)?shù)素?cái)?shù)的稠密程度有以下統(tǒng)計(jì)：100以內(nèi)25個(gè)，1000以內(nèi)168個(gè)，10000以內(nèi)1229個(gè)，10萬以內(nèi)9592個(gè)，100萬以內(nèi)78498個(gè)，1000萬以內(nèi)664579個(gè)．統(tǒng)計(jì)表明就比例而言越往后素?cái)?shù)個(gè)數(shù)越少．第十六頁第十七頁，共60頁。4.1.3素?cái)?shù)兩個(gè)素?cái)?shù)相鄰的距離非常隨機(jī)，可大可小.任何一個(gè)數(shù)，例100，可構(gòu)造連續(xù)100個(gè)整數(shù)，每一個(gè)都是合數(shù)，構(gòu)造方法為：說明人為可以使兩個(gè)相鄰的素?cái)?shù)的距離很遠(yuǎn)．但是存在相鄰的素?cái)?shù)的距離相差2，為素?cái)?shù)也是素?cái)?shù)．稱為孿生素?cái)?shù)．例：11和13,17和19等都是孿生素?cái)?shù)．但搞不清這樣的素?cái)?shù)有多少對．第十七頁第十八頁，共60頁。素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)有無窮多個(gè)．上述命題可用反證法和構(gòu)造法來證明．假設(shè)素?cái)?shù)只有有限個(gè),將所有有限個(gè)素?cái)?shù)記為構(gòu)造整數(shù)則在A中一定能找到一個(gè)素因數(shù)q，但從而和只有有限個(gè)素?cái)?shù)矛盾．第十八頁第十九頁，共60頁。4.1.4費(fèi)爾馬數(shù)形如的數(shù)稱為費(fèi)爾馬數(shù)．費(fèi)爾馬判言對任意，表示素?cái)?shù)，實(shí)際上都是素?cái)?shù)，而為合數(shù)，歐拉給出了的例子第十九頁第二十頁，共60頁。4.1.4費(fèi)爾馬數(shù)和費(fèi)爾馬數(shù)有關(guān)的問題是尺規(guī)作圖，即僅用直尺和圓規(guī)作正多邊形．結(jié)論為：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)為費(fèi)爾馬素?cái)?shù)時(shí)，或若干個(gè)互不相同的費(fèi)爾馬素?cái)?shù)的乘積時(shí)，正邊形可以用尺規(guī)作出．第二十頁第二十一頁，共60頁。

從哥德巴赫猜想到歸納思想

任何一個(gè)大于4的偶數(shù)是兩個(gè)素?cái)?shù)之和，任何一個(gè)大于7的奇數(shù)是三個(gè)素?cái)?shù)之和．目前哥德巴赫猜想的提法為：對充分大的偶數(shù)一定能表示為二個(gè)奇素?cái)?shù)之和.

第二十一頁第二十二頁，共60頁。

從哥德巴赫猜想到歸納思想人類認(rèn)識的程序總是認(rèn)識某些特殊現(xiàn)象，然后過渡到一般規(guī)律．歸納就是從特殊、具體認(rèn)知推進(jìn)到一般認(rèn)知的一種思維方式．歸納方法的特點(diǎn)是：(1)歸納的前提是單個(gè)的事實(shí)、特殊的情況、個(gè)別的現(xiàn)象．所以歸納思想立足于觀察、實(shí)驗(yàn)、判斷、計(jì)算，由此為根據(jù)總結(jié)出來的結(jié)論不一定正確．(2)歸納依據(jù)現(xiàn)有的不完備知識、現(xiàn)象推斷未知的現(xiàn)象，總結(jié)出來的結(jié)論僅僅是猜測性的．(3)歸納是從特殊現(xiàn)象去推斷一般現(xiàn)象，因此歸納出來的結(jié)論超越了前提所包含的內(nèi)容．第二十二頁第二十三頁，共60頁。從哥德巴赫猜想到歸納思想

在古希臘稱為畢達(dá)哥拉斯學(xué)派．在畢達(dá)哥拉斯時(shí)代沒有記數(shù)的符號,依賴于幾何直觀.常用點(diǎn)子或石子記數(shù),并根據(jù)石子擺放的形狀對數(shù)進(jìn)行分類，現(xiàn)在稱為形數(shù)，象這些數(shù)叫做三角形數(shù)，因?yàn)榭梢耘懦烧切危蟮冉凶龇叫螖?shù)，因?yàn)樗鼈兛梢耘懦烧叫危帽硎倦A三角形數(shù)，把兩個(gè)階三角形數(shù)并在一起得到一個(gè)邊長分別為n和n+1的矩形點(diǎn)陣．顯然這個(gè)點(diǎn)陣中包含n(n+1)個(gè)石子，所以，

第二十三頁第二十四頁，共60頁。從哥德巴赫猜想到歸納思想

但是等都是三角形數(shù)，實(shí)際上：故得到

．

第二十四頁第二十五頁，共60頁。從哥德巴赫猜想到歸納思想

用表示階方形數(shù)，

1351351351357135713571357．幾個(gè)圖就可歸納出再畫第二十五頁第二十六頁，共60頁。

從哥德巴赫猜想到歸納思想

繼續(xù)觀察下面等式：，，，，根據(jù)以上等式我們有理由猜測有等式：．第二十六頁第二十七頁，共60頁。從哥德巴赫猜想到歸納思想

已求出了前n個(gè)自然數(shù)之和和前n個(gè)自然數(shù)的立方和，自然會想到前個(gè)自然數(shù)的平方和是什么，這又是數(shù)學(xué)的魅力．事實(shí)上．第二十七頁第二十八頁，共60頁。從哥德巴赫猜想到歸納思想

公式發(fā)現(xiàn)的過程實(shí)際也是歸納總結(jié)的過程．

，，．這看不出什么規(guī)律，必須繼續(xù)作觀察、計(jì)算．為方便設(shè)，，．第二十八頁第二十九頁，共60頁。從哥德巴赫猜想到歸納思想

n123456789101361015212836455515143055911402042853851從表中看出應(yīng)該有

，

，

故．第二十九頁第三十頁，共60頁。從同余看無限到有限定義1設(shè)m為正整數(shù)，a,b為二個(gè)整數(shù)，若a-b能被m整除，則稱a和b關(guān)于模m同余．記為：否則稱a和b關(guān)于模m不同余，記為a?b(modm)．第三十頁第三十一頁，共60頁。從同余看無限到有限我國古代歷算的干支紀(jì)年法，是以60為模的同余問題．<<孫子兵法>>中，有“物不知其數(shù)”一問：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何？”如用同余記號表示，上述問題就是求同時(shí)滿足下面三個(gè)同余式的正整數(shù)x的問題：

，，．第三十一頁第三十二頁，共60頁。從同余看無限到有限同余作為一個(gè)符號有類似于等號作為符號相似的性質(zhì)，基本性質(zhì)為：(1)

(2)若，則．(3)若，，則(4)若，，則

，．(5)若，n為正整數(shù)，則．

．第三十二頁第三十三頁，共60頁。從同余看無限到有限例1

今天是星期天，問從今天起再過天是星期幾?解

因?yàn)椋?，，?/p>

而25=4*6+1，故

即知再過天是星期三．現(xiàn)在很容易知道2010年8月8日是星期幾了吧．第三十三頁第三十四頁，共60頁。從同余看無限到有限（１）數(shù)的整除特征設(shè)由于

a和被3(被9)除時(shí)的余數(shù)相同同理，由于，故即被11除的余數(shù)和被11除的余數(shù)相同．第三十四頁第三十五頁，共60頁。從同余看無限到有限例2

分別求12345678910被3除，被11除所得的余數(shù)．解

因?yàn)椋?2345678910被3除的余數(shù)為1．又因?yàn)榧?2345678910被11除的余數(shù)為4．第三十五頁第三十六頁，共60頁。從同余看無限到有限（２）求整數(shù)的個(gè)位數(shù)、末兩位數(shù)已知a為整數(shù)，求a的個(gè)位數(shù)相當(dāng)于用模10做同余，求末兩位數(shù)相當(dāng)于用模100做同余．例3

求的個(gè)位數(shù)．解即求被10除的余數(shù)，只要求的個(gè)位數(shù)即可．故而，故即的個(gè)位數(shù)為9．第三十六頁第三十七頁，共60頁。從同余看無限到有限熟知整數(shù)有無窮多個(gè)，所以在討論與整數(shù)有關(guān)的問題時(shí)不能用枚舉法，而同余能把無限的問題轉(zhuǎn)化成有限問題，即可對整數(shù)集進(jìn)行分類．設(shè)同余的模為m，把互相同余的數(shù)放在一起歸為一類．這一類數(shù)的特點(diǎn)是這些數(shù)被m除時(shí)有相同的余數(shù)．不同類中的數(shù)被m除所得的余數(shù)是不相等的．這些類常稱模m的剩余類，用來表示．任何整數(shù)總能表示成：的形式，其中q稱為不完全商，r稱為余數(shù)．第三十七頁第三十八頁，共60頁。從同余看無限到有限例4

連續(xù)三個(gè)整數(shù)之積一定能被3整除證連續(xù)三個(gè)整數(shù)可以寫成的形式，設(shè)

當(dāng)時(shí)，則3整除,從而3整除；當(dāng)時(shí)，則3整除,從而3整除；當(dāng)時(shí)，則3整除,從而3整除．綜上無論為任何整數(shù)，故有3整除．第三十八頁第三十九頁，共60頁。4.4從勾股定理到費(fèi)爾馬定理

直角三角形的兩直角邊和斜邊分別為則有，這就是勾股定理．設(shè)為不定方程的一組整數(shù)解．一般解記為，稱為一組勾股數(shù),若的最大公因數(shù)為1，則稱為本原勾股數(shù)．都是本原勾股數(shù)第三十九頁第四十頁，共60頁。從勾股定理到費(fèi)爾馬定理利用本原勾股數(shù)的通項(xiàng)形式，可求出所有勾股數(shù)的一般形式．前面提到的一些勾股數(shù)都是通項(xiàng)的特殊情況．根據(jù)通項(xiàng)公式可以看到，任何一組本原勾股數(shù)中，必有一個(gè)能被3整除，中必有一個(gè)能被4整除，中必有一個(gè)能被5整除．此條性質(zhì)的變相說法是，任一本原勾股數(shù)中勾股弦的乘積必能被60整除．第四十頁第四十一頁，共60頁。從勾股定理到費(fèi)爾馬定理某些勾股數(shù)之間有一種神奇的模式，猶似砌寶塔，需要不斷添磚加瓦，而這些添加的材料，竟然全部為0．設(shè)自然數(shù)n,作，，．則即為一組本原勾股數(shù)．naBc1021220221100201202002021010002001第四十一頁第四十二頁，共60頁。從勾股定理到費(fèi)爾馬定理不定方程的一個(gè)重要推廣即所謂“費(fèi)爾馬大定理”．大約在1637年前后，費(fèi)爾馬在丟番圖的《算術(shù)》(譯本)的第二卷關(guān)于本原勾股數(shù)的頁邊上，寫下了他認(rèn)定的一段結(jié)論：“不可能將一個(gè)立方數(shù)寫成兩個(gè)立方數(shù)的和；或者將一個(gè)4次冪寫成兩個(gè)4次冪之和；或者，一般地說，不可能將一個(gè)高于2次的冪寫成兩個(gè)同次冪的和．”接著他又俏皮地寫下一個(gè)附加的評注：“我對此命題有一個(gè)十分美妙的證明，這里空白太小，寫不下．”這就是說，費(fèi)爾馬認(rèn)為他證明了下面的結(jié)論：不定方程沒有正整數(shù)解．第四十二頁第四十三頁，共60頁。從勾股定理到費(fèi)爾馬定理上述評注是在費(fèi)爾馬死后五年的1670年發(fā)表的．事實(shí)上，人們遍尋費(fèi)爾馬的手跡，并沒有發(fā)現(xiàn)這一“美妙的證明”，而只看到他對于的情形的一個(gè)證明．費(fèi)爾馬對這一證明頗為得意，命名為“無窮下降法”．或許費(fèi)爾馬認(rèn)為用這種方法可以證明任意的情形．但事實(shí)遠(yuǎn)不是那樣簡單．因此只能認(rèn)為上述結(jié)論是費(fèi)爾馬的一個(gè)猜想．后來很多數(shù)學(xué)家努力尋求這一結(jié)論的證明．除了它以外，費(fèi)爾馬提出的所有猜想早已得到解決，后來人們稱它為費(fèi)爾馬大定理．而它成為了世間智者358年的謎，終于在1994年，由一個(gè)英國出生、在普林斯頓大學(xué)數(shù)學(xué)系工作的數(shù)學(xué)家懷爾斯所證明．第四十三頁第四十四頁，共60頁。4.5從房間安排看一一對應(yīng)1．普通旅店設(shè)想一個(gè)普通旅店，各房間依次編了號碼：．現(xiàn)在住進(jìn)了一批客人．每人住一個(gè)房間，沒有兩個(gè)人住同一間房間．如果還有房間沒有客人住，我們可以斷言，房間數(shù)比客人數(shù)多；如果所有的客人都已住下，發(fā)現(xiàn)沒有空房間多余，則房間數(shù)和客人數(shù)相等；如果所有的房間有人住而還有客人未住進(jìn)去，則客人數(shù)多于房間數(shù)．2．希爾伯特旅店設(shè)想一個(gè)有無窮多個(gè)房間的旅店，各房間依次編了號碼：．第四十四頁第四十五頁，共60頁。

現(xiàn)在來了一個(gè)代表團(tuán)，有無窮多個(gè)成員．為管理方便，團(tuán)長為每個(gè)成員編了號，這樣到達(dá)旅店后，團(tuán)長讓每個(gè)人住進(jìn)號碼相同的房間，讓1號住#1房間，2號住#2房間，…．我們發(fā)現(xiàn)房間和代表團(tuán)成員一樣多：因?yàn)槊總€(gè)人有一個(gè)房間住，而每個(gè)房間都住了一個(gè)人，沒有房間空著．這樣，代表團(tuán)成員的數(shù)目和旅店房間的數(shù)目相同，如果我們把一個(gè)集合的元素的個(gè)數(shù)稱為集合的勢．則代表團(tuán)成員組成的集合的勢和旅店房間組成的集合的勢相同．設(shè)想等代表團(tuán)安頓好后，又來了一個(gè)人．他是否也能住下來呢?答案是肯定的．我們讓他住進(jìn)#1號房間，#1房間的客人移到#2房間，#２房間的客人移到#3房間，其余的人都依次移到下一個(gè)房間．于是客人總數(shù)和房間仍然一樣多．

從房間安排看一一對應(yīng)第四十五頁第四十六頁，共60頁。從房間安排看一一對應(yīng)求解上述問題的過程用到了極其重要的數(shù)學(xué)思想：一一對應(yīng)，在引進(jìn)了無窮集的計(jì)數(shù)問題后，有限和無限變得極有意思．有限集的許多性質(zhì)、特點(diǎn)在無限集中不再存在．但無限集計(jì)數(shù)仍采用這種一一對應(yīng)思想和方法來進(jìn)行．設(shè)A和B是兩個(gè)集合，設(shè)是具有以下性質(zhì)的映射，使得A的任一元素有B的唯一元素與之對應(yīng)，并且B的任一元素，也有A中的唯一元素與之對應(yīng)，則稱為到的一一對應(yīng)．記為：將A集合的元素的個(gè)數(shù)記為．若，則稱為n元集．若為無限集，則稱為A的勢．有些不同的集合它的勢是不同的，即也有“大小”．第四十六頁第四十七頁，共60頁。從房間安排看一一對應(yīng)若A集合與集合B間能建立一對一的對應(yīng)，則稱A與B是“對等”的，或者稱它們的勢是相同的．用符號．來表示二個(gè)集合的對等不難看出，對等概念具有下列性質(zhì)：自反性：；對稱性：若，則；傳遞性：若，，則．不難明白，兩個(gè)有限集只有當(dāng)它們的元素個(gè)數(shù)相同時(shí)才是對等的．由此可見，“其勢相同”一語乃是在有限集中元素“個(gè)數(shù)相同”的直接擴(kuò)充．對于無限集，我們把一切對等的集歸為一類，說它們有相同的勢，或基數(shù)，并用一個(gè)記號來表示它．第四十七頁第四十八頁，共60頁。從房間安排看一一對應(yīng)設(shè)N表示自然數(shù)全體的集，而M表示全體偶數(shù)的集合，使用下面的方法在這兩個(gè)集合之間建立一一對應(yīng)：N與M是對等的，它們的勢相同，M是N的真子集．結(jié)論：“自然數(shù)有多少，偶數(shù)也有多少．”這個(gè)現(xiàn)象似乎很奇怪，它不可能在有限集中發(fā)生．不難檢查，集合不與它的任何一個(gè)真子集對等．這說明有限集與無限集間存在著本質(zhì)上的差別．凡與N集對等的集A都叫作可數(shù)集，或稱集A是可數(shù)的．第四十八頁第四十九頁，共60頁。從房間安排看一一對應(yīng)正有理數(shù)的集合是可數(shù)的.線段AB和AC的勢是相同，表明二個(gè)線段上的實(shí)數(shù)一樣多.區(qū)間和區(qū)間的勢是相同.區(qū)間上點(diǎn)和實(shí)軸上的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是相同的.區(qū)間中點(diǎn)的個(gè)數(shù)與自然數(shù)集不存在一一對應(yīng)關(guān)系.內(nèi)的實(shí)數(shù)要比所有自然數(shù)“多得多”．中點(diǎn)是不能按標(biāo)號排隊(duì)的，即是不可數(shù)的．而的實(shí)數(shù)和全體實(shí)數(shù)一樣多，故全體實(shí)數(shù)集也是不可數(shù)的．

第四十九頁第五十頁，共60頁。4.6七橋問題與數(shù)學(xué)抽象

哥尼斯堡七橋問題：哥尼斯堡城中有一條河，河中有兩個(gè)島，7座橋?qū)?塊陸地彼此相連．如圖1所示圖1ABCD第五十頁第五十一頁，共60頁。七橋問題與數(shù)學(xué)抽象

居住于該城的居民想做這樣的游戲：從4塊陸地的任一塊出發(fā)，經(jīng)過每座橋一次且僅一次，最后返回原出發(fā)地．當(dāng)?shù)厝藗冞M(jìn)行了許多次嘗試，都沒能獲得成功．在無奈的情況下，求教于歐拉．歐拉很快地解決了這個(gè)問題．首先歐拉將4塊陸地表示成4個(gè)點(diǎn)，凡陸地間有橋相連的，便在相應(yīng)的二個(gè)點(diǎn)之間連一條邊，從而將圖1抽象成圖2BDAC圖2這樣哥尼斯堡七橋問題可描述為：對圖2能否有從任一點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過每一條邊一次且僅一次而返回出發(fā)點(diǎn)的回路．第五十一頁第五十二頁，共60頁。

七橋問題與數(shù)學(xué)抽象

歐拉證明了這樣的回路不存在，也就是上述走法是不存在的．理由是從圖2的任一點(diǎn)出發(fā)，要回到原出發(fā)點(diǎn)，要求每個(gè)點(diǎn)相關(guān)的邊的條數(shù)必須為偶數(shù)，才能保證從一條邊進(jìn)入某個(gè)點(diǎn)，再從另一條邊走出，一進(jìn)一出才能回到原出發(fā)點(diǎn)．而圖中看出均有奇數(shù)條邊與它們相關(guān)．顯然這樣回路不存在．第五十二頁第五十三頁，共60頁。

七橋問題與數(shù)學(xué)抽象

中國郵路問題：設(shè)想一個(gè)郵遞員從郵局出發(fā)，要將信件投遞到指定街道的住戶家中，在完成任務(wù)后再回到郵局，那么該郵遞員應(yīng)采用什么樣的路線，才能投出所有信件，而所走的路程最短?若將郵遞員要完成的街道作一個(gè)圖，在所有的兩條或多條街道的匯合處或一條街道的盡頭看作一個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)之間一段街道看作一條邊，郵局看作一個(gè)點(diǎn)，這樣得到了一個(gè)郵路圖．和七橋問題一樣，如果這個(gè)郵路圖的每一點(diǎn)與之相關(guān)的邊都有偶數(shù)條．從郵局出發(fā)走過每一條邊一次且僅一次回到郵局，既完成了任務(wù)又所走的路最少．問題在于這個(gè)郵路圖不具備上述要求，但任務(wù)還得完成．這樣必須有一條或多條街道要重復(fù)回來走，選擇哪幾條街道重走使一天所走的路最少，這個(gè)問題稱為中國郵路問題．第五十三頁第五十四頁，共60頁。

七橋問題與數(shù)學(xué)抽象

一個(gè)具體問題可以歸納抽象成對圖的研究．圖是由點(diǎn)和線構(gòu)成的．如果每條邊上不考慮方向，則稱為無向圖．如果圖的每條邊上都考慮方向，則稱為有向圖．圖和有向圖為相關(guān)實(shí)例或以某種方式相互約束的實(shí)例構(gòu)成的集合提供了數(shù)學(xué)模型．有關(guān)圖論的第一篇論文就是歐拉關(guān)于七橋問題的解答，因此，歐拉被稱之為圖論之父．圖論在智力難題的游戲方面有著其歷史根源，但重要的是今天它為網(wǎng)