空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示市賽一等獎

314空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示共線向量定理:復(fù)習(xí)：共面向量定理:平面向量基本定理：平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示xyo問題：

我們知道，平面內(nèi)的任意一個向量都可以用兩個不共線的向量來表示（平面向量基本定理）。對于空間任意一個向量，有沒有類似的結(jié)論呢？xyzOQP

由此可知，如果是空間兩兩垂直的向量，那么，對空間任一向量，存在一個有序?qū)崝?shù)組{x,y,z}使得我們稱為向量在上的分向量。探究：在空間中，如果用任意三個不共面向量代替兩兩垂直的向量，你能得出類似的結(jié)論嗎？任意不共面的三個向量都可做為空間的一個基底。空間向量基本定理：如果三個向量不共面，那么對空間任一向量，存在一個唯一的有序?qū)崝?shù)組，y，，使都叫做基向量（1）任意不共面的三個向量都可做為空間的一個基底。特別提示：對于基底{a,b,c},除了應(yīng)知道a,b,c不共面，還應(yīng)明確：

（2）

由于可認(rèn)為為與任意一個非零向量共線，與任意兩個非零向量共面，所以三個向量不共面，就隱含著它們都不是。（3）一個基底是指一個向量組，一個基向量是指基底中的某一個向量，二者是相關(guān)聯(lián)的不同概念。推論：設(shè)O、A、B、C是不共線的四點(diǎn)，則對空間任一點(diǎn)P，都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組{x,y,z}，使當(dāng)且僅當(dāng)x+y+z=1時，P、A、B、C四點(diǎn)共面?？臻g直角坐標(biāo)系

單位正交基底：如果空間的一個基底的三個基向量互相垂直，且長都為1，則這個基底叫做單位正交基底,常用e1,e2,e3

表示

空間直角坐標(biāo)系：在空間選定一點(diǎn)O和一個單位正交基底e1,e2,e3,以點(diǎn)O為原點(diǎn)，分別以e1,e2,e3的正方向建立三條數(shù)軸：x軸、y軸、z軸，它們都叫做坐標(biāo)軸.這樣就建立了一個空間直角坐標(biāo)系O--xyz

點(diǎn)O叫做原點(diǎn)，向量e1,e2,e3都叫做坐標(biāo)向量.通過每兩個坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)平面。給定一個空間坐標(biāo)系和向量,且設(shè)e1,e2,e3為坐標(biāo)向量，由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組,y,使p=e1ye2e3有序數(shù)組,y,叫做p在空間直角坐標(biāo)系O--y中的坐標(biāo)，記作P=,y,yOe1e2e3在空間直角坐標(biāo)系O--y中，對空間任一點(diǎn)，A,對應(yīng)一個向量OA，于是存在唯一的有序?qū)崝?shù)組,y,，使OA=e1ye2e3在單位正交基底e1,e2,e3中與向量OA對應(yīng)的有序?qū)崝?shù)組,y,，叫做點(diǎn)A在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作A,y,，其中叫做點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，y叫做點(diǎn)A的縱坐標(biāo)，叫做點(diǎn)A的豎坐標(biāo)yOA,y,e1e2e3例題