空間向量在立體幾何中的應(yīng)用

空間向量在立體幾何中的應(yīng)用一、空間向量復(fù)習(xí)空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系O-y，點(diǎn)O叫原點(diǎn)，軸、y軸、軸兩兩垂直（如墻角）．重點(diǎn)與難點(diǎn)：建立空間直角坐標(biāo)系及空間點(diǎn)的坐標(biāo)的確定：三條線段兩兩垂直，說(shuō)明一條線垂直另外兩條直線組成的平面，即有線⊥面，得到技巧：線面垂直定軸，底面移出得Y。如圖：過(guò)P作面Oy的垂線，垂足為P’，在面Oy中，過(guò)P’分別作軸、y軸的垂線，垂足分別為A、C，則（P點(diǎn)坐標(biāo)、y和點(diǎn)P’的、y相等）三、空間向量的應(yīng)用PP’ACxyzOP’ACxyO原則：線面垂直優(yōu)先取，點(diǎn)在軸上更方便重點(diǎn)1：建系方法①長(zhǎng)方體或正方體②正三棱柱yzoxyzox原則：線面垂直優(yōu)先取，點(diǎn)在軸上更方便常見(jiàn)建系方法③正棱椎口訣：線面垂直定軸，底面移出得Yyzoxyzoxyzoxyzx原則：線面垂直優(yōu)先取，點(diǎn)在軸上更方便常見(jiàn)建系方法口訣：線面垂直定軸，底面移出得Y④側(cè)面⊥底面yo側(cè)面為等腰三角形底面為正方形點(diǎn)的分類(lèi)：①點(diǎn)在軸上：②點(diǎn)在坐標(biāo)平面內(nèi)：③點(diǎn)在幾何體中：重點(diǎn)2：點(diǎn)的坐標(biāo)PP’ACxyzOP’ACxyOyzox如圖：設(shè)底面為邊長(zhǎng)為2的正方形，△SAD為正三角形。E為SC的中點(diǎn)。試寫(xiě)出所有點(diǎn)的坐標(biāo)。E例題：如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，,E是棱上的中點(diǎn)，N是QM的四等分點(diǎn)靠近M點(diǎn)。1建立合適的空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出下面點(diǎn)的坐標(biāo)：①A,C,D'②B,E,M,P③B',Q,N；重點(diǎn)2：點(diǎn)的坐標(biāo)yoA2,0,0C0,2,0D'0,0,2B2,2,0E2,1,0M1,2,0P0,2,1B'2,2,2Q1,2,2N1,2,?重點(diǎn)2：直線的方向向量N

M直線的方向向量：

是直線上的任意兩點(diǎn)，則為直線的一個(gè)方向向量。重點(diǎn)2：直線的方向向量例題：如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，P,Q,M,E是棱上的中點(diǎn)，N是QM的四等分點(diǎn)(靠近M點(diǎn))。(1)建立合適的空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出下列點(diǎn)的坐標(biāo)：①A,C,D'②B,E,M,P③B',Q,N；

(2)寫(xiě)出向量,并求出

寫(xiě)出向量

,并求出||A2,0,0N1,2,?P0,2,1E2,1,0平面的法向量口訣：平面三點(diǎn)兩向量，內(nèi)積為0列方程。平面的法向量：已知平面α，直線l⊥α，取l的方向向量，有⊥α，則稱(chēng)向量為平面α的法向量。平面的法向量不唯一。法向量的求法：ABDMC，，，，，，，，，，，，，，，平面的法向量例題：3寫(xiě)出平面ACP的一個(gè)法向量寫(xiě)出平面ADP的一個(gè)法向量口訣：平面三點(diǎn)兩向量，內(nèi)積為0列方程。利用空間向量證明垂直或平行對(duì)象關(guān)系圖示向量關(guān)系及證明方法線線平行a//b垂直a⊥b線面平行l(wèi)//α垂直l⊥α面面平行α//β垂直α⊥β相同則同相異則異負(fù)負(fù)得正面：線：-證平行或垂直例題：4證明：①AP∥EN；②AP⊥B'D'③EN∥平面APD④B'D'⊥平面ACP⑤平面ACP⊥平面ABCD①②∴EN∥平面APD∴B'D'⊥平面ACP⑤平面ABCD的法向量為：∴平面ACP⊥平面ABCD存在性問(wèn)題探究例題：5在直線CD上是否存在R，使得ER⊥EN，若存在，求出點(diǎn)R的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。解：假設(shè)存在，設(shè)點(diǎn)R坐標(biāo)為（0,t,0）∴存在點(diǎn)R（0,-1,0）使得ER⊥EN。思考：如果題目改成：在棱CD上是否存在R，使得ER⊥EN，答案是否一樣？第1關(guān)：建系：建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；（這是第一步，是后續(xù)計(jì)算的基礎(chǔ)）第2關(guān)：寫(xiě)點(diǎn)坐標(biāo)：寫(xiě)出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)及向量的坐標(biāo)；第3關(guān)：法向量和方向向量：用空間向量表示相關(guān)的點(diǎn)、線、面，把立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算；第4關(guān)：應(yīng)用回歸：向量的運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成相應(yīng)的幾何意義，作出相關(guān)的結(jié)論，注意理解“相同則同，相異則異”的哲學(xué)思想?？臻g向量解題“四步法”（闖四關(guān)）鏈接高考：2020·全國(guó)一卷·18題如圖，D為圓錐的定點(diǎn)，O是圓錐底面的圓心，AE為底面直徑，AE=AD，△ABC是底面的內(nèi)接正三角形，P為DO上的一點(diǎn)，1證明：PA⊥平面PBC2求二面角B-PC-E的余弦值今天只做第一問(wèn)，第二問(wèn)明天再學(xué)習(xí)。DABEOCP解：以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA方向?yàn)檩S正方向，OA為單位長(zhǎng)度建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系。yzx鏈接高考（2020·全國(guó)一卷·18題）如圖，D為圓錐的定點(diǎn)，O是圓錐底面的圓心，AE為底面直徑，AE=AD，△ABC是底面的內(nèi)接正三角形，P為DO上的一點(diǎn)，1證明：PA⊥平面PBC2求二面角B-PC-E的余弦值今天只做第一問(wèn)，第二問(wèn)明天再學(xué)習(xí)。DABEOCP空間向量“四步法”（闖四關(guān)）：第①關(guān)建系：線面垂直定軸