工程結(jié)構(gòu)非線性分析

第2章結(jié)構(gòu)幾何非線性1.概述在線彈性力學(xué)分析中，假定位移與應(yīng)變關(guān)系是線性的，且應(yīng)變?yōu)樾×?，由此而得到線性幾何方程。當(dāng)考慮位移與應(yīng)變的非線性關(guān)系或采用大應(yīng)變理論（有限變形理論）則都屬于幾何非線性問題，亦即非線性問題包括了大位移、小應(yīng)變以及大位移、大應(yīng)變等問題，此時(shí)均導(dǎo)致幾何運(yùn)動(dòng)方程成為非線性。但材料的本構(gòu)關(guān)系還是符合虎克定律，結(jié)構(gòu)的彈性穩(wěn)定問題是結(jié)構(gòu)非線性分析的內(nèi)容之一。

第2章1幾何非線性問題至今尚未完全成熟，仍然是一門正在迅速發(fā)展與完善的課題。這主要表現(xiàn)在建立非線性有關(guān)基本方程方面存在不同學(xué)派的爭(zhēng)論，他們各有優(yōu)缺點(diǎn)，并未得到一個(gè)權(quán)威性的結(jié)論；由于大變形引起載荷的變動(dòng)（非保守系統(tǒng)）對(duì)方程與解的影響問題研究很少，也無明確、相對(duì)肯定的結(jié)論，大多數(shù)問題的局限在保守系統(tǒng)內(nèi)；大應(yīng)變下，應(yīng)變不可疊加性的討論與研究也不成熟；幾何非線性解法發(fā)展尚處在活躍階段，尚未找到一種十分滿意的適應(yīng)性廣、收斂快的解法。

第2章2二.變形體的運(yùn)動(dòng)描述ox1x3x2t0=0tntn+1=tn+△tnA0AnAn+1·P0·Pn·Pn+1第2章3圖示一變形體在to=0時(shí)有構(gòu)形Ao，物體中一質(zhì)點(diǎn)Po的坐標(biāo)為（x10，x20，x30)，在t=tn時(shí)，物體有運(yùn)動(dòng)構(gòu)形An，質(zhì)點(diǎn)Po運(yùn)動(dòng)至Pn，在時(shí)間tn+1=tn+△tn時(shí)，物體運(yùn)動(dòng)有構(gòu)形An+1，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至Pn+1，對(duì)于變形體及其上的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，可以隨不同的坐標(biāo)選取有以下幾種描述方法：第2章4全拉格朗日列式法（T.L列式法－TotalLagrangianFormulation）。選取to=0時(shí)刻未變形物體的構(gòu)形Ao作為參照構(gòu)形進(jìn)行分析。修正的拉格朗日列式法（U.L列式法－UpdatedLagrangianFormulation）。選取tn時(shí)刻的物體構(gòu)形An為參照構(gòu)形。由于An隨計(jì)算而變化，因此其構(gòu)形和坐標(biāo)值也是變化的，即與t有關(guān)。tn為非線性增量求解時(shí)增量步的開始時(shí)刻。

第2章5尤拉描述法（Eulerian

Formulatlon）獨(dú)立變量是質(zhì)點(diǎn)P當(dāng)前時(shí)刻的位置xn+1與時(shí)間tn+1?，F(xiàn)在用得最為廣泛的是Lagriangian列式，因此下面主要講述T.L和U.L下幾何非線性有限元方程的建立。第2章6三.線彈性桿單元?jiǎng)偠染仃嚱⒌牟襟E1.選擇插值函數(shù)描述體內(nèi)任一點(diǎn)的位移第2章72.根據(jù)幾何方程及位移函數(shù)確定應(yīng)變矩陣[B]

第2章83.求單元的總勢(shì)能∏第2章94.根據(jù)勢(shì)能駐值原理求單元?jiǎng)偠染仃嘯k]第2章10

求和約定四.桿元非線性幾何運(yùn)動(dòng)方程

1.變形體運(yùn)動(dòng)方程的一般描述第2章11第2章12Kroneker符號(hào)第2章13連續(xù)體變形的描述方法Lagrange法－用各質(zhì)點(diǎn)在初始位置的坐標(biāo)作為獨(dú)立變量進(jìn)行描述。即以變形前的初始構(gòu)形為基準(zhǔn)，然后確定它與變形構(gòu)形間的相對(duì)變形，導(dǎo)出的應(yīng)變張量稱為Green應(yīng)變張量。Euler法－用各質(zhì)點(diǎn)位置的即時(shí)坐標(biāo)或我們需要的時(shí)刻的坐標(biāo)作為獨(dú)立變量進(jìn)行描述。即以變形構(gòu)形為基準(zhǔn)，然后確定其余初始構(gòu)形間的相對(duì)變形，由此導(dǎo)出的應(yīng)變張量成為Almansi應(yīng)變張量。在連續(xù)介質(zhì)力學(xué)中，變形體的運(yùn)動(dòng)描述僅分為L(zhǎng)angrange和Euler兩種方法，UL列式法歸結(jié)到Euler列式法中。第2章14.

P(xi).

P’()x1x3x2orRu第2章15第2章16Lagrange描述－Green應(yīng)變張量第2章17第2章18第2章19第2章20第2章21第2章22第2章23Euler描述－Almansi應(yīng)變張量第2章24第2章25第2章262.桿元的幾何運(yùn)動(dòng)方程uvl0lox(u)y(v)ij’i’j第2章27線性項(xiàng)非線性項(xiàng)第2章28

第2章29

第2章30基于工程應(yīng)變定義，其內(nèi)隱含著l與l0的方向一致，因此其適用于轉(zhuǎn)動(dòng)可以忽略不計(jì)的小轉(zhuǎn)動(dòng)情形。對(duì)于小位移和位移導(dǎo)數(shù)，兩種應(yīng)變張量及工程應(yīng)變均趨于同一。工程應(yīng)變不具可加性，而對(duì)數(shù)應(yīng)變具備可加性3.幾何運(yùn)動(dòng)方程評(píng)述第2章31第2章32對(duì)數(shù)應(yīng)變－h(huán)anchi應(yīng)變具有可加性第2章33不同桿元運(yùn)動(dòng)方程的比較圖示桿元繞原點(diǎn)發(fā)生一剛性轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)角為，因桿元僅發(fā)生剛性轉(zhuǎn)動(dòng)，故應(yīng)變應(yīng)為零，下面來考察不同的應(yīng)變表達(dá)式對(duì)這一狀態(tài)的描述結(jié)果。第2章34

第2章351.7×10-27.7×10-31.9×10-31.2×10-36.9×10-43.0×10-47.6×10-5-5.8×10-4-1.2×10-4-7.2×10-6-3×10-6-9.4×10-7-1.9×10-7-1.2×10-8-3.4×10-2-1.5×10-2-3.8×10-3-2.4×10-3-1.4×10-3-6.1×10-4-1.5×10-415°10°5°4°3°2°1°第2章36由此可以看出：第2章37第2章38第2章39

五.T.L列式下平面桿元的幾何非線性切線剛度矩陣

1.桿元位移函數(shù)第2章40第2章412.幾何方程

第2章423.應(yīng)變方程與應(yīng)變矩陣第2章43第2章444.物理方程5.桿元總勢(shì)能第2章456.桿元切線剛度矩陣[K]T第2章46第2章47第2章48

六.U.L列式下平面桿元的幾何非線性切線剛度矩陣

1.桿元位移函數(shù)注意下列推導(dǎo)過程中，桿元的節(jié)點(diǎn)位移和節(jié)點(diǎn)力實(shí)際為相應(yīng)桿元的位移和節(jié)點(diǎn)力的增量。第2章49第2章502.幾何方程

第2章51第2章523.應(yīng)變方程與應(yīng)變矩陣第2章53第2章544.物理方程5.桿元總勢(shì)能第2章556.桿元切線剛度矩陣[K]T第2章56第2章57第2章58七.T.L列式法和U.L列式法評(píng)述在T.L中，保留了剛度矩陣中所有線性與非線性項(xiàng)；而在U.L中，忽略了高階項(xiàng)，即忽略了結(jié)構(gòu)的大位移矩陣。在T.L中，當(dāng)單元?jiǎng)偠染仃囅蚪Y(jié)構(gòu)剛度矩陣組裝時(shí)，應(yīng)當(dāng)用初始時(shí)刻各單元坐標(biāo)系與結(jié)構(gòu)總體坐標(biāo)系間的方向余弦，因此在整個(gè)求解過程中，它是不變的；而在U.L法中，單元?jiǎng)偠染仃囅蚪Y(jié)構(gòu)總體剛度矩陣組裝時(shí)，應(yīng)采用上一級(jí)荷載增量末單元坐標(biāo)系與總體坐標(biāo)系間的方向余弦，因此在每一個(gè)荷載增量?jī)?nèi)它是變化的。

第2章593．在T.L中，單元?jiǎng)偠染仃嚨姆e分是在初始時(shí)刻的體積內(nèi)積分的；而在U.L中，積分是在上一級(jí)荷載增量末的單元體積內(nèi)積分的，為此在程序中應(yīng)保留每次變形后各節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)值，即：

第2章604．桿元節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)及其它參數(shù)的變化第2章61第2章625．因此在U.L中，在本級(jí)荷載增量?jī)?nèi)采用修正的并在本級(jí)荷載增量?jī)?nèi)將其視為不變，這樣一步步的計(jì)算直至結(jié)束。因此UL列式法亦稱為拖動(dòng)坐標(biāo)法。第2章63八.幾個(gè)問題的討論

1.關(guān)于桿元橫向位移函數(shù)第2章64第2章65因此，前面所推導(dǎo)的單元?jiǎng)偠染仃囍械膸缀蝿偠染仃囀墙频?，因?yàn)樗脳U元的位移函數(shù)－三次多項(xiàng)式不是桿件考慮軸向內(nèi)力效應(yīng)平衡的微分方程的解。如果采用式（2）、（3）作為位移函數(shù)來建立剛度矩陣則是比較精確的。在UL列式法中，若采用梁柱函數(shù)作為桿元的橫向位移函數(shù)，則在剛度矩陣的推導(dǎo)過程中，可不計(jì)及應(yīng)變的非線性項(xiàng)進(jìn)行推導(dǎo)而得出相應(yīng)的非線性切線剛度矩陣[K]T。但此時(shí)無法將[K]T分解成[K0]與[KQ]之和。不過將此時(shí)[K]T的元素進(jìn)行Taylor展開并取