第44講數(shù)列的求和

第44講數(shù)列的求和1．公式法(1)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝eq\f(na1＋an,2)＝na1＋eq\f(nn－1d,2).推導(dǎo)方法：倒序相加法．(2)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a11－qn,1－q)，q≠1.))推導(dǎo)方法：乘公比，錯(cuò)位相減法．(3)一些常見的數(shù)列的前n項(xiàng)和：①1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(nn＋1,2)；②2＋4＋6＋…＋2n＝n(n＋1)；③1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2.2．幾種數(shù)列求和的常用方法(1)分組轉(zhuǎn)化求和法：一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個(gè)等差或等比或可求和的數(shù)列組成的，則求和時(shí)可用分組求和法，分別求和后相加減．(2)裂項(xiàng)相消法：把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得前n項(xiàng)和．(3)錯(cuò)位相減法：如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用錯(cuò)位相減法求解．(4)倒序相加法：如果一個(gè)數(shù)列{an}與首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個(gè)常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用倒序相加法求解．3、常見的裂項(xiàng)技巧①eq\f(1,nn＋1)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1).②eq\f(1,nn＋2)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋2))).③eq\f(1,2n－12n＋1)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1))).④eq\f(1,\r(n)＋\r(n＋1))＝eq\r(n＋1)－eq\r(n).⑤eq\f(1,nn＋1n＋2)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,nn＋1)－\f(1,n＋1n＋2))).1、（2023?甲卷（理））已知等比數(shù)列中，，為前項(xiàng)和，，則A．7 B．9 C．15 D．30【答案】【解析】等比數(shù)列中，設(shè)公比為，，為前項(xiàng)和，，顯然，（如果，可得矛盾，如果，可得矛盾），可得，解得，即或，所以當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，．沒(méi)有選項(xiàng)．故選：．2、（2023?新高考Ⅱ）記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則A．120 B．85 C． D．【答案】【解析】等比數(shù)列中，，，顯然公比，設(shè)首項(xiàng)為，則①，②，化簡(jiǎn)②得，解得或（不合題意，舍去），代入①得，所以．故選：．3、（2021?甲卷（文））記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和．若，，則A．7 B．8 C．9 D．10【答案】【解析】為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，，，由等比數(shù)列的性質(zhì)，可知，，成等比數(shù)列，，2，成等比數(shù)列，，解得．故選：．4、（2021?上海）已知為無(wú)窮等比數(shù)列，，的各項(xiàng)和為9，，則數(shù)列的各項(xiàng)和為．【答案】．【解析】設(shè)的公比為，由，的各項(xiàng)和為9，可得，解得，所以，，可得數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為的等比數(shù)列，則數(shù)列的各項(xiàng)和為．故答案為：．5、（2021?新高考Ⅰ）某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時(shí)，發(fā)現(xiàn)剪紙時(shí)經(jīng)常會(huì)沿紙的某條對(duì)稱軸把紙對(duì)折．規(guī)格為的長(zhǎng)方形紙，對(duì)折1次共可以得到，兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，對(duì)折2次共可以得到，，三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，以此類推．則對(duì)折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為，如果對(duì)折次，那么【答案】5；．【解析】易知有，，共5種規(guī)格；由題可知，對(duì)折次共有種規(guī)格，且面積為，故，則，記，則，，，．故答案為：5；．6、（2023?甲卷（理））已知數(shù)列中，，設(shè)為前項(xiàng)和，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，，，當(dāng)時(shí)，可得，，當(dāng)或時(shí)，，適合上式，的通項(xiàng)公式為；（2）由（1）可得，，，，．7、（2021?新高考Ⅰ）已知數(shù)列滿足，（1）記，寫出，，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求的前20項(xiàng)和．【解析】（1）因?yàn)?，，所以，，，所以，，，，所以?shù)列是以為首項(xiàng)，以3為公差的等差數(shù)列，所以．另由題意可得，，其中，，于是，．（2）由（1）可得，，則，，當(dāng)時(shí)，也適合上式，所以，，所以數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別為等差數(shù)列，則的前20項(xiàng)和為．8、（2023年全國(guó)新高考Ⅱ卷）.為等差數(shù)列，，記，分別為數(shù)列，的前n項(xiàng)和，，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）證明：當(dāng)時(shí)，．【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，而，則，于是，解得，，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是.（2）方法1：由（1）知，，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，因此，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此，所以當(dāng)時(shí)，.方法2：由（1）知，，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，若，則，顯然滿足上式，因此當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此，所以當(dāng)時(shí)，9、（2022?甲卷（文））記為數(shù)列的前項(xiàng)和．已知．（1）證明：是等差數(shù)列；（2）若，，成等比數(shù)列，求的最小值．【解析】（1）證明：由已知有：①，把換成，②，②①可得：，整理得：，由等差數(shù)列定義有為等差數(shù)列；（2）由已知有，設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，由（1）有其公差為1，故，解得，故，所以，故可得：，，，故在或者時(shí)取最小值，，故的最小值為．1、數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝(－1)n(2n－1)，則該數(shù)列的前100項(xiàng)之和為()A．－200 B．－100C．200 D．100【答案】D【解析】S100＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋(－197＋199)＝2×50＝100.2、數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則等于（）A．1 B． C． D．【答案】：B【解析】：因?yàn)椋?，故選B．3、設(shè)，則()A． B． C． D．【答案】：A【解析】：由，得，，故選：A4、已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝eq\f(1,\r(n)＋\r(n＋1))，若前n項(xiàng)和為10，則項(xiàng)數(shù)n為________．【答案】120【解析】因?yàn)閍n＝eq\f(1,\r(n)＋\r(n＋1))＝eq\r(n＋1)－eq\r(n)，所以Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(eq\r(2)－1)＋(eq\r(3)－eq\r(2))＋…＋(eq\r(n＋1)－eq\r(n))＝eq\r(n＋1)eq\r(n＋1)－1＝10，解得n＝120.5、已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且an＝n·2n，則Sn＝____________．【答案】(n－1)·2n+1＋2【解析】因?yàn)閍n＝n·2n，所以Sn＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n×2n①，所以2Sn＝1×22＋2×23＋…＋(n－1)×2n＋n×2n+1②.由①－②，得－Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n+1＝eq\f(2(1－2n),1－2)－n·2n+1＝2n+1－2－n·2n+1＝(1－n)·2n+1－2，所以Sn＝(n－1)·2n+1＋2.考向一公式法例1、（山東師范大學(xué)附中高三月考）設(shè)等差數(shù)列前n項(xiàng)和為．若，，則________，的最大值為________．【答案】442【解析】∵數(shù)列是等差數(shù)列，∵，∴，，又，，，，,∴當(dāng)或時(shí)，有最大值42.故答案為：（1）4；（2）42.變式1、（2023·河北唐山·統(tǒng)考三模）設(shè)為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，，，則__________.【答案】【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，得，則，由等比數(shù)列求和公式可知．故答案為：．變式2、（2023·安徽合肥·校聯(lián)考三模）是公差不為零的等差數(shù)列，前項(xiàng)和為，若，，，成等比數(shù)列，則________．【答案】1012【詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，則因?yàn)?，所以，即，解?因?yàn)?，，成等比?shù)列，所以，即，解得或（舍），所以，解得，所以，所以.故答案為：方法總結(jié)：若一個(gè)數(shù)列為等差數(shù)列或者等比數(shù)列則運(yùn)用求和公式：①等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：Sn＝eq\f(na1＋an,2)＝na1＋eq\f(nn－1,2)d.②等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式(Ⅰ)當(dāng)q＝1時(shí)，Sn＝na1；(Ⅱ)當(dāng)q≠1時(shí)，Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)＝eq\f(a1－anq,1－q).考向二利用“分組求和法”求和例2、已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝eq\f(n2＋n,2)，n∈N*.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn＝2an＋(－1)nan，求數(shù)列{bn}的前2n項(xiàng)和．【解析】(1)當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝1；當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝eq\f(n2＋n,2)－eq\f((n－1)2＋(n－1),2)＝n.當(dāng)n＝1時(shí)也滿足上式，故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝n.(2)由(1)知an＝n，故bn＝2n＋(－1)nn.記數(shù)列{bn}的前2n項(xiàng)和為T2n，則T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n).記A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n，則A＝eq\f(2(1－22n),1－2)＝22n+1－2，B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n.故數(shù)列{bn}的前2n項(xiàng)和T2n＝A＋B＝22n+1＋n－2.變式1、（2023·黑龍江·黑龍江實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？家荒＃┮阎獢?shù)列，前n項(xiàng)和為，且滿足，，，，，等比數(shù)列中，，且，成等差數(shù)列．(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)記為區(qū)間中的整數(shù)個(gè)數(shù)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【解析】（1），，，即，，，故為等差數(shù)列，設(shè)公差為，故，，解得：，，所以，設(shè)等比數(shù)列的公比為，，因?yàn)?，成等差?shù)列，所以，即，與聯(lián)立得：或0（舍去），且，故，（2）由題意得：為中的整數(shù)個(gè)數(shù)，故，所以.變式2、（2023·重慶·統(tǒng)考三模）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【詳解】（1）因?yàn)?，所以，又，所以?shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，即，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，也適合，故.（2），所以數(shù)列的前n項(xiàng)和為.變式3、（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考三模）已知數(shù)列滿足．(1)證明：是一個(gè)等差數(shù)列；(2)已知，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，可得，當(dāng)時(shí)，由，則，上述兩式作差可得，因?yàn)闈M足，所以的通項(xiàng)公式為，所以，因?yàn)椋ǔ?shù)），所以是一個(gè)等差數(shù)列．（2），所以，所以數(shù)列的前項(xiàng)和方法總結(jié)：數(shù)列求和應(yīng)從通項(xiàng)入手，若無(wú)通項(xiàng)，則先求通項(xiàng)，然后通過(guò)對(duì)通項(xiàng)變形，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求前n項(xiàng)和的數(shù)列求和．考向三裂項(xiàng)相消法求和例3、（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考一模）設(shè)是公差不為0的等差數(shù)列，，是，的等比中項(xiàng).(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【解析】（1）設(shè)的公差為，因?yàn)椋?，的等比中?xiàng)，所以，所以.因?yàn)?，所以，?（2）因?yàn)?，所?變式1、設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1＝1，Sn＝nan－n(n－1)(n＝1，2，3，…).(1)求證：數(shù)列{an}為等差數(shù)列，并寫出an關(guān)于n的表達(dá)式；(2)若數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,anan＋1)))的前n項(xiàng)和為Tn，求滿足Tn>eq\f(100,209)的最小正整數(shù)n的值．【解析】(1)當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝nan－(n－1)·an－1－2(n－1)，化簡(jiǎn)，得an－an－1＝2，所以數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，所以an＝2n－1.(2)Tn＝eq\f(1,a1a2)＋eq\f(1,a2a3)＋…＋eq\f(1,an－1an)＋eq\f(1,anan＋1)＝eq\f(1,1×3)＋eq\f(1,3×5)＋…＋eq\f(1,(2n－1)(2n＋1))＝eq\f(1,2)[(eq\f(1,1)－eq\f(1,3))＋(eq\f(1,3)－eq\f(1,5))＋…＋(eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n＋1))]＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2n＋1)))＝eq\f(n,2n＋1).由Tn＝eq\f(n,2n＋1)>eq\f(100,209)，得n>eq\f(100,9)，所以滿足Tn>eq\f(100,209)的最小正整數(shù)n為12.變式2、（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考一模）在①成等比數(shù)列，②，③這三個(gè)條件中任選兩個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并完成解答.已知數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，且滿足__________，__________.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求.注：如果選擇多個(gè)方案分別解答，按第一個(gè)方案計(jì)分.【解析】（1）若選①②，設(shè)公差為，則，解得：，；選①③，設(shè)公差為，，解得：，；選②③，設(shè)公差為，，解得：，；（2），.變式3、（2023·江蘇南京·?？家荒＃┮阎缺葦?shù)列的前項(xiàng)和為,,.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.(2)令,求數(shù)列的前項(xiàng)和.【解析】（1）當(dāng)時(shí),即,又是等比數(shù)列,;數(shù)列的通項(xiàng)公式為:.（2）由（1）知,,,即方法總結(jié)：常見題型有（1）數(shù)列的通項(xiàng)公式形如an＝eq\f(1,nn＋k)時(shí)，可轉(zhuǎn)化為an＝eq\f(1,k)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋k)))，此類數(shù)列適合使用裂項(xiàng)相消法求和．（2）數(shù)列的通項(xiàng)公式形如an＝eq\f(1,\r(n＋k)＋\r(n))時(shí)，可轉(zhuǎn)化為an＝eq\f(1,k)(eq\r(n＋k)－eq\r(n))，此類數(shù)列適合使用裂項(xiàng)相消法求和．考向四錯(cuò)位相減法求和例4、（2023·江蘇南京·南京市第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，．正項(xiàng)等比數(shù)列中，，．(1)求與的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．【解析】（1）等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，設(shè)公差為所以，解得所以正項(xiàng)等比數(shù)列中，，，設(shè)公比為所以，所以解得，或（舍去）所以（2）由（1）知：所以兩式相減得：.變式1、已知{an}是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，{bn}是等比數(shù)列，且a1＝b1＝2，a4＋b4＝27，S4－b4＝10.(1)求數(shù)列{an}與{bn}的通項(xiàng)公式；(2)求Tn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn，n∈N*.【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q.由a1＝b1＝2，得a4＝2＋3d，b4＝2q3，S4＝8＋6d，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＋3d＋2q3＝27，,8＋6d－2q3＝10，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(d＝3，,q＝2，))所以an＝3n－1，bn＝2n，n∈N*.(2)由(1)，得Tn＝2×2＋5×22＋8×23＋…＋(3n－1)×2n，①則2Tn＝2×22＋5×23＋…＋(3n－4)×2n＋(3n－1)×2n+1.②由①－②，得－Tn＝2×2＋3×22＋3×23＋…＋3×2n－(3n－1)×2n+1＝eq\f(6×(1－2n),1－2)－(3n－1)×2n+1－2＝－(3n－4)×2n+1－8，即Tn＝8＋(3n－4)×2n+1.變式2、（2023·湖南長(zhǎng)沙·長(zhǎng)沙市明德中學(xué)?？既＃┮阎炔顢?shù)列前項(xiàng)和為，，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，求和：.【解析】（1）因?yàn)榈炔顢?shù)列前項(xiàng)和為，所以，又，所以，又，所以是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，所以的通項(xiàng)公式為.（2）因?yàn)?，所以，兩式相減得：，又滿足上式，所以，又，所以.所以，，兩式相減得：.方法總結(jié)：主要用于一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘所得的數(shù)列的求和，即等比數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過(guò)程的推廣.。特別注意錯(cuò)位相減法的步驟。1、（2023·湖南·鉛山縣第一中學(xué)校聯(lián)考三模）從午夜零時(shí)算起，在鐘表盤面上分針與時(shí)針第次重合時(shí)，分針走了，則24小時(shí)內(nèi)（包括第24時(shí)）所有這樣的之和（

）A．24 B．300 C．16560 D．18000【答案】C【解析】在鐘表盤面上，分針每分鐘轉(zhuǎn)，時(shí)針每分鐘轉(zhuǎn)，即,得，則數(shù)列是以為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列.由，得，解得，所以24小時(shí)內(nèi)分針與時(shí)針重合22次，.故選：C.2、（2023·湖南郴州·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線的斜率為，則數(shù)列的前項(xiàng)和為（