《線性代數(shù)》 試卷及答案 第三套模擬題

年月日第頁共頁第三套模擬題一、填空題（將正確的答案填在橫線上）（每小題3分，總計15分）1．點到平面的距離為.2．設(shè),是的伴隨矩陣,則=.3.設(shè)是4階方陣,且,,則=.4．已知4階方陣=,其中線性無關(guān),.如果,則線性方程組的通解是.5.設(shè)為階方陣且有非零解,則必有一個特征值為.二、單項選擇題（將正確的選項填在括號內(nèi)）（每小題3分，總計15分）1．設(shè)均為階方陣,為階單位矩陣,若，,則為（）.（A）；（B）；（C）；（D）.2．設(shè)均為維列向量,是矩陣,下列選項正確的是（）.（A）若線性相關(guān),則線性相關(guān)；（B）若線性相關(guān),則線性無關(guān)；（C）若線性無關(guān),則線性相關(guān)；（D）若線性無關(guān),則線性無關(guān).3．設(shè)為階方陣,若,則的基礎(chǔ)解系所含向量的個數(shù)是（）.（A）0個；（B）1個；（C）2個；（D）個.4．設(shè)是非奇異矩陣的一個特征值,則矩陣有一個特征值（）.（A）；（B）；（C）；（D）.5．設(shè)矩陣，,則與（）.（A）合同且相似；（B）合同,但不相似；（C）不合同,但相似；（D）既不合同,也不相似.三、解答下列各題（每小題10分，總計60分）1．計算4階行列式：.2．已知矩陣，矩陣滿足,其中是的伴隨矩陣,求.3．設(shè)四個函數(shù)，，，的所有實系數(shù)線性組合構(gòu)成實數(shù)域上一個4維線性空間，求微分變換在基下的矩陣.4．確定常數(shù),使向量組,,可由向量組,,線性表示,但向量組不能由向量組線性表示.5．若三階方陣與相似,矩陣的特征值為,求.6．用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形,并求出所用的正交變換．四、證明題（每小題5分，總計10分）１．若，且．證明是不可逆矩陣.２．設(shè)為實矩陣，且，證明為正定的充要條件是．第三套模擬題答案一、1．；2．=；3．3；4．其中為任意常數(shù)；5.0.二、1．A；2．A；3．C；4．B；5．B.三、1．解：原式=…=……………………10分2．解：由,用矩陣左乘方程的兩端,有得.由于,故……10分3．解：所以基下矩陣為……10分4．解：由題意,向量組:可由向量組:線性表示,則有;由向量組不能由向量組線性表示,必有,即.于是.解得或.另一方面當(dāng)時,,.即線性無關(guān),顯然向量組可由線性表示,而向量組不能由線性表示,即是符合題意要求的.當(dāng)時,,.不滿足,所以不符合題意,應(yīng)舍去.綜上所述.……………………10分5．解：因為與相似,所以存在可逆矩陣使.易知,又存在可逆矩陣,使,故,所以……………10分6．解：二次型的矩陣，的特征值為5，（二重），對應(yīng)5的一個基礎(chǔ)解系為，對應(yīng)的一個基礎(chǔ)解系為，，現(xiàn)將正交化，.將單位化后，可得的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，，.故所求正交陣為且正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形.………………10分四、證明：1.因(1)(2)由(1),(2)可知,得即(3)又因得(4)將(4)代入(3)可知,因,所以可逆,即,代入上式可知,故不是可逆陣.…………