第七節(jié) 重積分

主要內(nèi)容二重積分的概念與性質二重積分的計算法二重積分的應用三重積分的概念及其計算法利用柱面坐標和球面坐標計算三重積分

重積分

第七節(jié)二重積分二重積分的引入二重積分的概念二重積分的性質=底面積×高特點：平頂.=？特點：曲頂.2．曲頂柱體的體積問題的提出1．平頂柱體的體積一、二重積分的概念（1）．曲頂柱體的體積？顯然，平頂柱體的體積=底面積×高，而曲頂柱體的體積不能直接用上式計算，那么怎樣來計算呢？

以xoy平面的有界閉區(qū)域D為底、側面是以D的邊界曲線C作準線而母線平行于z軸的柱面，頂是曲面這里且在D上連續(xù)所形成的立體稱為曲頂柱體（如上圖）。

由第五章求曲邊梯形面積的方法就不難想到下面的解決辦法：

用一組曲線網(wǎng)將xoy面上的區(qū)域D劃分為n個小區(qū)域也同時記為它們的面積，分別以各小閉區(qū)域的邊界曲線為準線，作母線平行于z軸的柱面，這些柱面把原曲頂柱體分為n個小曲頂柱體．當這些小閉區(qū)域的直徑很小時，連續(xù)函數(shù)

的變化不大，這時小曲頂柱體可近似看作平頂柱體．在每個中各任取一點為高而底為的小平頂柱體體積為這n個平頂柱體體積之和可作為整個曲頂柱體體積的近似值．令n個小閉區(qū)域的直徑中的最大值（記作λ）趨于零，取上述和的極限，所得的極限就定義為所論曲頂柱體的體積綜合起來，即所謂“分割、近似、作和、取極限”四步。

求曲頂柱體的體積采用“分割、求和、取極限”的方法，如下動畫演示．

求曲頂柱體的體積采用“分割、近似、求和、取極限”的方法，如下動畫演示．

求曲頂柱體的體積采用“分割、近似、求和、取極限”的方法，如下動畫演示．

求曲頂柱體的體積采用“分割、近似、求和、取極限”的方法，如下動畫演示．

求曲頂柱體的體積采用“分割、近似、求和、取極限”的方法，如下動畫演示．

求曲頂柱體的體積采用“分割、近似、求和、取極限”的方法，如下動畫演示．

求曲頂柱體的體積采用“分割、近似、求和、取極限”的方法，如下動畫演示．步驟如下：(3)用若干個小平頂柱體體積之和近似表示曲頂柱體的體積，(4)取極限：曲頂柱體的體積(1)先分割曲頂柱體的底，并取典型小區(qū)域（２）．求平面薄片的質量將薄片分割成若干小塊，取典型小塊，將其近似看作均勻薄片，所有小塊質量之和近似等于薄片總質量（極限）二重積分的定義積分區(qū)域積分和被積函數(shù)積分變量被積表達式面積元素D(4)面積元素為二重積分可寫為注：表示以曲面z=f(x,y)為頂,D為底的曲頂柱體的體積.

二重積分的幾何意義(1)設z=f(x,y)0,

(x,y)

D(2)設z=f(x,y)0,

(x,y)

D表示曲頂柱體體積的負值.(3)若z=f(x,y)在D上若干部分區(qū)域是正的,在其它部分區(qū)域是負的.例如:

設

f(x,y)

1,

(x,y)

D,

為D的面積則:解:

表示以原點O為圓心,半徑為R的上半球面.上半球體的體積RRyzxRo例性質１性質２（二重積分與定積分有類似的性質）二重積分的性質性質３對區(qū)域具有可加性性質4（保號性）在區(qū)域D上有

f(x,y)

g(x,y),(x,y)

D,則推論:性質6（估值定理）

設m

f(x,y)

M.(x,y)

D,D的面積為

.則性質5

性質7（二重積分中值定理）解解

二重積分的計算可以按照定義來進行，同定積分按照定義進行計算一樣，能夠按照定義進行計算的二重積分很少，對少數(shù)特別簡單的被積函數(shù)和積分區(qū)域來說是可行的，但對于一般的函數(shù)和積分區(qū)域卻不可行。本節(jié)介紹一種計算二重積分的方法——把二重積分化為二次單積分（定積分）來計算。二、二重積分的計算(一)、利用直角坐標計算二重積分

在直角坐標系下用平行于坐標軸的直線網(wǎng)來劃分區(qū)域D，故二重積分可寫為D則面積元素為

當函數(shù)在區(qū)域D上連續(xù)時，我們可以用特定的分割來解決定積分的計算。如果積分區(qū)域為：其中函數(shù)、在區(qū)間上連續(xù).［X－型］如果積分區(qū)域為：［Y－型］若區(qū)域如圖，則必須分割.例

將化為二次積分。其中

D

由直線圍成。解1：先畫出積分區(qū)域D

。D

是Y－型。將D

向y

軸投影。于是，解2：D

也是X－型。將D

向x

軸投影。于是，解積分區(qū)域為于是，解如圖解原式練習變換下列二次積分的次序：解積分區(qū)域如圖，則可改寫為例

計算其中

D

由直線圍成。解先畫出積分區(qū)域D

。D

是X－型。于是，于是，例計算其中是由直線及所圍成的閉區(qū)域.解一如圖,將積分區(qū)域視為型,解二將積分區(qū)域視為型,例計算其中是由直線及所圍成的閉區(qū)域.解一將積分區(qū)域視為型,解二將積分區(qū)域視為型,解解

由以上各例可以看出，化為兩次積分來計算二重積分：1、確定積分限是關鍵（畫圖）。2、既要考慮積分區(qū)域的形狀，又要考慮被積函數(shù)的特性。例解X-型例解先去掉絕對值符號，如圖

設區(qū)域D關于x軸對稱,D1為D在第一象限中的部分,如果函數(shù)f(x,y)關于y為偶函數(shù),則如果f(x,y)關于y為奇函數(shù),則zyxoxyzo例求其中解因為關于軸和軸對稱,且于為偶函數(shù)注:則要繁瑣很多.若直接在上求二重積分,關于或關二重積分在直角坐標下的計算公式（在積分中要正確選擇積分次序）小結［Y－型］［X－型］(二)、極坐標系下計算二重積分

有些二重積分，積分區(qū)域的邊界曲線或被積函數(shù)用極坐標變量來表示比較簡單，則可以考慮