第3章經(jīng)典方程的建立和定解條件

在討論數(shù)學(xué)物理方程的解法以前，我們首先要弄清楚數(shù)學(xué)物理方程所研究的問(wèn)題應(yīng)該怎樣提，為此，我們從兩方面來(lái)討論，一方面要將一個(gè)具體的物理、力學(xué)等自然科學(xué)問(wèn)題化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，即建立描述某種物理過(guò)程的微分方程——數(shù)學(xué)物理方程，稱(chēng)此方程為泛定方程；另一方面要把一個(gè)特定的物理現(xiàn)象本身所具有的具體條件用數(shù)學(xué)形式表達(dá)出來(lái)，即列出相應(yīng)的初始條件和邊界條件，兩者合稱(chēng)為定解條件.定解條件提出具體的物理問(wèn)題，泛定方程提供解決問(wèn)題的依據(jù)，作為一個(gè)整體稱(chēng)之為定解問(wèn)題.第3章經(jīng)典方程的建立和定解條件經(jīng)典方程的導(dǎo)出步驟：確定出所要研究的是哪一個(gè)物理量2.用數(shù)學(xué)的“微元法”從所研究的系統(tǒng)中分割出一小部分，再根據(jù)相應(yīng)的物理（力學(xué)）規(guī)律分析鄰近部分和這個(gè)小部分間的作用（抓住主要作用，略去次要因素，即高等數(shù)學(xué)中的抓主部，略去高階無(wú)窮?。@種相互作用在一個(gè)短的時(shí)間間隔是如何影響物理量3.把這種關(guān)系用數(shù)學(xué)算式（方程）表達(dá)出來(lái)，經(jīng)化簡(jiǎn)整理就是所需求的數(shù)學(xué)物理方程.3．1經(jīng)典方程的建立1.弦的微小橫振動(dòng)考察一根長(zhǎng)為且兩端固定、水平拉緊的弦．討論如何將這一物理問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)上的定解問(wèn)題．要確定弦的運(yùn)動(dòng)方程，需要明確：確定弦的運(yùn)動(dòng)方程（2）被研究的物理量遵循哪些物理定理？牛頓第二定律.

（3）按物理定理寫(xiě)出數(shù)學(xué)物理方程（即建立泛定方程）

要研究的物理量是什么？弦沿垂直方向的位移

注意：

物理問(wèn)題涉及的因素較多，往往還需要引入適當(dāng)假設(shè)才能使方程簡(jiǎn)化．?dāng)?shù)學(xué)物理方程必須反映弦上任一位置上的垂直位移所遵循的普遍規(guī)律，所以考察點(diǎn)不能取在端點(diǎn)上，但可以取除端點(diǎn)之外的任何位置作為考察點(diǎn)．

根據(jù)牛頓第二定律方向運(yùn)動(dòng)的方程可以描述為

（9.1.1）

作用于小段的縱向合力應(yīng)該為零：

(9.1.2)僅考慮微小的橫振動(dòng)，

夾角為很小的量，忽略及其以上的高階小量，則根據(jù)級(jí)數(shù)展開(kāi)式有注意到:故由圖9.11得這樣，(9.1.1)和(9.1.2)簡(jiǎn)化為因此在微小橫振動(dòng)條件下，可得出

，弦中張力不隨而變，

可記為

故有

(9.1.5)變化量可以取得很小，根據(jù)微分知識(shí)有下式成立

這樣，段的運(yùn)動(dòng)方程(9.1.5)就成為

(9.1.6)即為

（9.1.7）上式即為弦作微小橫振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程，簡(jiǎn)稱(chēng)為弦振動(dòng)方程．

其中討論：（1）若設(shè)弦的重量遠(yuǎn)小于弦的張力，則上式(9.1.7)右端的重力加速度項(xiàng)可以忽略．由此得到下列齊次偏微分方程：

（9.1.8）

稱(chēng)式（9.1.8）為弦的自由振動(dòng)方程(2)如果在弦的單位長(zhǎng)度上還有橫向外力作用，則式(9.1.8)應(yīng)該改寫(xiě)為

(9.1.9)式中稱(chēng)為力密度

，為時(shí)刻作用于處單位質(zhì)量上的橫向外力式（9.1.9）稱(chēng)為弦的受迫振動(dòng)方程.9.2數(shù)學(xué)建模－熱傳導(dǎo)方程類(lèi)型的建立9.2.1數(shù)學(xué)物理方程――熱傳導(dǎo)類(lèi)型方程的建立

1.熱傳導(dǎo)方程

推導(dǎo)固體的熱傳導(dǎo)方程時(shí)，需要利用能量守恒定律和關(guān)于熱傳導(dǎo)的傅里葉定律：熱傳導(dǎo)的傅里葉定律：

時(shí)間內(nèi)，通過(guò)面積元流入小體積元的熱量與沿面積元外法線方向的溫度變化率

成正比也與和成正比，即：

（9.2.1）

式中是導(dǎo)熱系數(shù)

圖9.8取直角坐標(biāo)系Oxyz,如圖9.8表示t時(shí)刻物體內(nèi)任一點(diǎn)（x,y,z）處的溫度在dt時(shí)間內(nèi)通過(guò)ABCD面流入的熱量為同樣，在時(shí)間內(nèi)沿y方向和z方向流入立方體的熱量分別為在t到時(shí)間內(nèi)，小體積元的溫度變化是如果用和分別表示物體的密度和比熱，則根據(jù)能量守恒定律得熱平衡方程或?qū)懗?/p>

(9.2.2)

2.擴(kuò)散方程

(9.2.3)

其中將一維推廣到三維，即得到

(9.2.4)上述方程與一維熱傳導(dǎo)方程具有完全類(lèi)似的形式.若外界有擴(kuò)散源，且擴(kuò)散源的強(qiáng)度為這時(shí)，擴(kuò)散方程應(yīng)為

（9.2.5）

從上面的推導(dǎo)可知，熱傳導(dǎo)和擴(kuò)散這兩種不同的物理現(xiàn)象，但可以用同一類(lèi)方程來(lái)描述.9.3數(shù)學(xué)建?！€(wěn)定場(chǎng)方程類(lèi)型的建立9.3.1數(shù)學(xué)建?！€(wěn)定場(chǎng)方程類(lèi)型的建立

1靜電場(chǎng)的電勢(shì)方程

直角坐標(biāo)系中泊松方程為

(9.3.1)若空間中無(wú)電荷，即電荷密度，上式成為

(9.3.2)稱(chēng)這個(gè)方程為拉普拉斯方程.2.穩(wěn)定溫