亞皮秒級(jí)時(shí)段信號(hào)的冪律積分法

亞皮秒級(jí)時(shí)段信號(hào)的冪律積分法

1積分區(qū)間的變換為了提高采樣精度和速度，中頻帶通采樣系統(tǒng)要求采樣時(shí)鐘信號(hào)的振動(dòng)位于子皮秒級(jí)。為了測(cè)量這一級(jí)別的振動(dòng)，傳統(tǒng)的誤碼率分析儀或示波器無(wú)法使用。相位噪聲計(jì)通常用于測(cè)量時(shí)鐘的相位噪聲，然后使用泛化法將其轉(zhuǎn)換為振動(dòng)。該方法存在的缺點(diǎn)是如何選擇積分范圍。相比之下，相應(yīng)的相位噪聲在較高的位置（通常為1mhz）下的噪聲遠(yuǎn)低于a-d轉(zhuǎn)換的量化噪聲。因此，轉(zhuǎn)換的結(jié)果主要取決于轉(zhuǎn)換后的低閾值。對(duì)于如何選擇和指定累積的低閾值，相關(guān)文獻(xiàn)沒(méi)有具體研究，但使用了10hz或100hz最嚴(yán)格的指定方法。因此，在中頻帶通采樣系統(tǒng)中，選擇和評(píng)估高穩(wěn)定時(shí)源的穩(wěn)定性的不同方面是不可能的。在這項(xiàng)工作中，我們希望確定和確定與采樣時(shí)鐘的頻率、采樣模式的最高頻率以及函數(shù)（或信噪比）之間的定量關(guān)系，并提供估計(jì)和確定距離的計(jì)算公式。最后，提供了應(yīng)用示例，并間接驗(yàn)證了該關(guān)系。2積分下限類型的處理理想情況下,采樣時(shí)鐘(晶振)的相噪功率譜密度如圖1所示.為了便于討論,假定各類噪聲單獨(dú)存在于不同頻偏區(qū)間內(nèi),其中,(f4,fh)內(nèi)為白調(diào)相噪聲,功率譜密度為SφWPM(f),斜率為1;(f3,f4)內(nèi)為閃爍調(diào)相噪聲,功率譜密度為SφFPM(f),斜率與f-1成正比;(f2,f3)內(nèi)為白調(diào)頻噪聲,功率譜密度為SφWFM(f),斜率與f-2成正比;(f1,f2)內(nèi)為閃頻調(diào)頻噪聲,功率譜密度為SφFFM(f),斜率與f-3成正比;(0,f1)內(nèi)為隨機(jī)游動(dòng)噪聲,功率譜密度為SφRWFM(f),斜率與f-4成正比.各種相噪引起的時(shí)鐘抖動(dòng)如下:(1)白調(diào)相噪聲產(chǎn)生的抖動(dòng):J2S-WΡΜ=Τ2π2∫fhf4SφWΡΜ(f)sin2(πfτ)df=Τ2π2SφWΡΜ(f4)∫fhf4sin2(πfτ)df(1)式中,fh是冪律積分的上限(最大頻偏),給定為1MHz.把τ=NT帶入上式,可推導(dǎo)出:J2S-WΡΜ=Τ22π2SφWΡΜ(f4)?{(fh-f4)-sin(2πΝΤfh)-sin(2πΝΤf4)2πΝΤ}(2)因?yàn)?頻偏一般都遠(yuǎn)小于其載波頻率fc,即2πnTf4<2πnTfh<<1,所以上式可化簡(jiǎn)為:JS-WΡΜ=Τ2π2Sφ-WΡΜ(f4)(fh-f4)(3)同理,可推導(dǎo)出以下幾類相噪產(chǎn)生的抖動(dòng).(2)閃爍調(diào)相噪聲產(chǎn)生的抖動(dòng):J2S-FΡΜ=Τ2π2∫f4f3SφFΡΜ(f)sin2(πfτ)df=Τ2f3π2SφFΡΜ(f3)∫f4f3sin2(πfτ)fdf≈Ν2f32f4cSφFΡΜ(f3)(f24-f23)(4)(3)白調(diào)頻噪聲產(chǎn)生的抖動(dòng):J2S-WFΜ=Τ2π2∫f3f2SφWFΜ(f)sin2(πfτ)df=Τ2f22π2SφWFΜ(f2)∫f3f2sin2(πfτ)f2df≈Ν2f22f4cSφWFΜ(f2)(f3-f2)(5)(4)閃爍調(diào)頻噪聲產(chǎn)生的抖動(dòng):J2S-FFΜ=Τ2π2∫f2f1SφFFM(f)sin2(πfτ)df(5)隨機(jī)游動(dòng)噪聲產(chǎn)生的抖動(dòng):J2S-RWFΜ=Τ2π2∫f10SφRWFΜ(f)sin2(πfτ)df(7)上式中,積分下限為零時(shí),積分式不收斂,也沒(méi)有實(shí)際意義的.因此,在測(cè)量(或計(jì)算)時(shí)通常選擇某一大于零的頻偏f′c(0<f′c<f1)作為積分下限,則:J2S-RWFΜ=Τ2(f′c)4π2SφRWFΜ(f′c)∫f1f′csin2(πfτ)f4df≈Ν2(f′c)42f4cSφRWFΜ(f′c)[(f′c)-2-f-21](8)根據(jù)上面的討論,可得出頻偏在(f′c,fh)范圍內(nèi)采樣時(shí)鐘總的抖動(dòng)為:J′S=√J2S-WΡΜ+J2S-FΡΜ+J2S-WFΜ+J2S-FFΜ+J2S-RWFΜ(9)式(8)中積分下限f′c在現(xiàn)有的文獻(xiàn)資料中,一般被直接確定為10Hz或100Hz,甚至1Hz.實(shí)際情況下,晶振相噪的大部分能量集中在近載頻部分,所以該積分下限的選擇對(duì)積分結(jié)果的影響極大.實(shí)際情況下,在任一積分區(qū)間內(nèi)可能同時(shí)存在多種相噪類型,因此,其譜密度的斜率就不一定與頻偏Δf成整數(shù)次冪關(guān)系.對(duì)于這種情況,假設(shè)當(dāng)譜密度在某一頻偏范圍(fα,fβ)內(nèi)的斜率為fδ,則當(dāng)δ≠1時(shí),可得出在該頻偏范圍內(nèi),由相噪轉(zhuǎn)換為抖動(dòng)的一般表達(dá)式為:J2S-α=Τ2π2∫fβfαSφFFΜ(f)sin2(πfτ)df=Τ2fδα(1-δ)π2SφFΡΜ(fα)(f1-δβ-f1-δα)(10)3高斯概率分布不難理解采樣時(shí)鐘信號(hào)的抖動(dòng)JS及其引起的頻偏Δf之間的關(guān)系為:JS=ΔΤ=Τ-Τ′=1fc-1fc+Δf=Δffc?(fc+Δf)≈Δff2c(11)同時(shí),由于采樣時(shí)鐘信號(hào)的相噪(或抖動(dòng))在一般情況下滿足高斯分布.因此,其頻率隨時(shí)間變換的一維概率密度函數(shù)可表示為:p(f)=(1δ√2π)e-(f-fc)2/(2δ2)(12)式中,fc和δ分別為時(shí)鐘頻率函數(shù)f(t)的均值(中心頻率,或載波頻率)和方差.根據(jù)高斯概率分布特性,如用±3δ表示頻率f(t)的抖動(dòng)范圍,則f(t)在該范圍內(nèi)的概率分布約為99.7%;若抖動(dòng)范圍取±4δ,則f(t)在該范圍內(nèi)的概率分布約為99.98%.根據(jù)式(11)確定最大頻偏為:Δfmax=J′S·f2c(13)式中,J′S為頻偏在±Δfmax處等效的時(shí)鐘抖動(dòng).若選取±Δfmax=±4δ,δ定義為冪律積分下限頻率f′c,則:f′c=Δfmax4=J′S?f2c4(14)這樣處理的目的是保證在頻偏區(qū)間(0,f′c)內(nèi)由相噪引起的抖動(dòng)遠(yuǎn)小于在頻偏區(qū)間(0,Δfmax)內(nèi)由相噪引起的抖動(dòng).即當(dāng)由(0,Δfmax)內(nèi)相噪引起的抖動(dòng)小于A/D變換限定的抖動(dòng)時(shí),則由(0,f′c)內(nèi)相噪引起的抖動(dòng)必然小于A/D變換所限定的抖動(dòng).因此,可以認(rèn)為在區(qū)間(0,f′c)內(nèi),由相噪引起的抖動(dòng)可以忽略不計(jì).假設(shè)A/D變換允許的抖動(dòng)為JS,考慮電路中還存在其它因素引起的抖動(dòng).顯然,實(shí)際電路中,要求時(shí)鐘信號(hào)產(chǎn)生的抖動(dòng)J′S遠(yuǎn)小于總的抖動(dòng)JS.當(dāng)J′S取值小于JS/3～JS/5時(shí),則在(0,f′c)區(qū)間內(nèi)由相噪引起的抖動(dòng)可忽略不計(jì),則:f′c=J′Sf2c4≤JSf2c20=f2c40πfs-max2bEΝΟB-1(15)式中,fs-max是模擬輸入信號(hào)的最高頻率,bENOB是A/D變換的有效位.4功率譜密度折線化圖2給出了標(biāo)稱分辨率為14bit,有效分辨率為12bit的一個(gè)實(shí)際采樣系統(tǒng)的時(shí)鐘源(頻率為61.44MHz),利用PN9000測(cè)出的相噪功率譜密度圖.實(shí)際計(jì)算時(shí),考慮到使用頻譜分析儀進(jìn)行估算抖動(dòng)的需要,可把1Hz～1MHz頻率范圍進(jìn)行折線化,分成6段.表1給出了各頻點(diǎn)相噪及其功率譜密度Sφ(f),以及各區(qū)間冪率α.4.1最大孔徑擺動(dòng)q假設(shè)該時(shí)鐘用于采樣最高頻率為100MHz,A/D變換的分辨率要求為14bit,則根據(jù)式(15)可估算出冪律積分下限f′c≈36Hz,實(shí)際計(jì)算時(shí)取f′c=30Hz.根據(jù)此積分下限和采樣頻率可計(jì)算出采樣時(shí)鐘的抖動(dòng)為:J′S=Τπ√∫f8f2Sφ(f)sin2(πfτ)df=Τπ√∫9030303.53f3.53Sφ(30)sin2(πfτ)df+?+∫1×1061×104Sφ(1×104)sin2(πfτ)df=13.14×41.66×106√(5.5873+0.3301+2.1326+1.3150+1.4298+4.9735)×10-10≈0.21×10-12(s)=0.21(ps)(16)滿足N=14bit采樣精度條件下,允許的最大孔徑抖動(dòng)JS為:JS=12πfs-max×2Ν-1=12πfs-max×213=12×3.14×100×106×213≈0.19×10-12(s)=0.19(ps)(17)顯然,此條件下,J′S略大于JS,如果再加上電路中電源噪聲和A/D變換芯片孔徑抖動(dòng)的影響,則必然導(dǎo)致A/D變換的分辨力達(dá)不到要求.4.2a/d變換性能同理,若代入A/D變換的有效位,即bENOB=12,則可估算出冪律積分下限f′c≈146Hz,實(shí)際計(jì)算時(shí)取fc′=100Hz,則采樣時(shí)鐘的抖動(dòng)為:JS′=Τπ∫f3f8Sφ(f)sin2(πfτ)df=Τ0π∫1001×1041003.341-3.34Sφ(100)sin2(πfτ)df+?+∫1×1041×106Sφ(1×104)sin2(πfτ)df=13.14×41.66×106(2.1326+1.3150+1.4298+4.9735)×10-10≈0.16×10-12(s)=0.16(ps)(18)同理,在滿足A/D變換的有效分辨率bENOB=12bit條件下,允許的最大孔徑抖動(dòng)JS為:JS=12πfs-max×2bEΝΟB-1=12πfs-max×211=12×3.14×100×106×211≈0.78×10-12(s)=0.78(ps)(19)顯然,在此條件下,J′S遠(yuǎn)小于JS,實(shí)際使用中,若電路設(shè)計(jì)和芯片選擇合理,則在考慮了由電源和芯片引起的抖動(dòng)之后,得出總的抖動(dòng)也能滿足在該采樣性能指標(biāo)下,A/D變換所要求的時(shí)鐘穩(wěn)定性指標(biāo).5折線化分