線段垂直平分線

八年級上冊13.1

軸對稱

（第2課時）你能用不同的方法驗證這一結(jié)論嗎？探索并證明線段垂直平分線的性質(zhì)如圖，直線l垂直平分線段AB，P1，P2，P3，…是l上的點，請猜想點P1，P2，P3，…到點A與點B的距離之間的數(shù)量關(guān)系．相等．ABlP1P2P3探索并證明線段垂直平分線的性質(zhì)

請在圖中的直線l上任取一點，那么這一點與線段AB兩個端點的距離相等嗎？

線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等．ABlP1P2P3已知：如圖，直線l⊥AB，垂足為C，AC=CB，點P在l上．求證：PA=PB．探索并證明線段垂直平分線的性質(zhì)證明：“線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等．”ABPCl探索并證明線段垂直平分線的性質(zhì)ABPCl證明：∵l⊥AB∴∠PCA=∠PCB=900在ΔPAC和ΔPBC中，AC=BC(已知)

∠PCA=∠PCB(已證)

PC=PC(公共邊)

∴ΔPAC≌ΔPBC（SAS）∴PA=PB(全等三角形對應(yīng)邊相等)探索并證明線段垂直平分線的性質(zhì)線段垂直平分線的性質(zhì)：

線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等．用符號語言表示為：∵CA=CB，l⊥AB(已知)∴PA=PB．(線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等）.ABPCl8自主演練,反饋提升練習(xí)1如圖，在△ABC中，BC=8，AB的中垂線交BC于D，AC的中垂線交BC與E，則△ADE的周長等于______．ABCDE解：∵AD⊥BC，BD=DC，∴AD是BC的垂直平分線，∴AB=AC．∵點C在AE的垂直平分線上，∴AC=CE．練習(xí)2

如圖，AD⊥BC，BD=DC，點C在AE的垂直平分線上，AB，AC，CE的長度有什么關(guān)系？AB+BD與DE有什么關(guān)系？ABCDE(線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等）.(線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等）.自主演練,反饋提升練習(xí)2

如圖，AD⊥BC，BD=DC，點C在AE的垂直平分線上，AB，AC，CE的長度有什么關(guān)系？AB+BD與DE有什么關(guān)系？ABCDE解：∴AB=AC=CE．∵

AB=CE，BD=DC，∴AB+BD=CD+CE．即AB+BD=DE．自主演練,反饋提升探索并證明線段垂直平分線的判定反過來，如果PA=PB，那么點P是否在線段AB的垂直平分線上呢？點P在線段AB的垂直平分線上．已知：如圖，PA=PB．求證：點P在線段AB的垂直平分線上．PAB探索并證明線段垂直平分線的判定證明：過點P作線段AB

的垂線PC，垂足為C．則∠PCA=∠PCB=90°．在Rt△PCA和Rt△PCB中，

PA=PB

(已知)

PC=PC

(公共邊)∴

Rt△PCA

≌Rt△PCB（HL）．∴

AC=BC．又

PC⊥AB，∴點P

在線段AB

的垂直平分線上．PABC探索并證明線段垂直平分線的判定

用數(shù)學(xué)符號表示為：∵

PA=PB

(已知)∴點P在AB的垂直平分線上．(與一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上)

PAB用符號語言表示為：應(yīng)用線段垂直平分線的性質(zhì)：∵CA=CB，l⊥AB(已知)∴PA=PB．應(yīng)用線段垂直平分線的判定：∵PA=PB

(已知)∴點P在AB的垂直平分線上．若C為AB中點∴CA=CB，l⊥ABABPCl這些點能組成什么幾何圖形？

探索并證明線段垂直平分線的判定你能再找一些到線段AB兩端點的距離相等的點嗎？能找到多少個到線段AB兩端點距離相等的點？

在線段AB的垂直平分線l上的點與A，B的距離都相等；反過來，與A，B的距離相等的點都在直線l上，所以直線l可以看成與兩點A、B的距離相等的所有點的集合．PABC線段的垂直平分線的集合定義：線段的垂直平分線可以看作是到線段兩個端點距離相等的所有點的集合解：∵AB=AC，∴點A在BC的垂直平分線．∵

MB=MC，∵點M在BC的垂直平分線上，∴直線AM是線段BC的垂直平分線．

練習(xí)3

如圖，AB=AC，MB=MC．直線AM是線段

BC的垂直平分線嗎？ABCDM自主演練,反饋提升如何用尺規(guī)作圖的方法經(jīng)過直線外一點作已知直線的垂線？自主演練,反饋提升（1）本節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容？（2）線段垂直平分線的性質(zhì)和判定之間有什么關(guān)系？（3）如何判斷一條直線是否是線段的垂直平分線？

課堂小結(jié)二、判定定理：到線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。

線段的垂直平分線一、性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等。PA=PB點P在線段AB的垂直平分線上到線段兩個端