指數(shù)函數(shù)典型例題詳細(xì)解析

指數(shù)函數(shù)·例題解析第一課時

【例1】（基礎(chǔ)題）求下列函數(shù)的定義域與值域：解(1)定義域為{x|x∈R且x≠2}．值域{y|y＞0且y≠1}．(2)由2x+2－1≥0，得定義域{x|x≥－2}，值域為{|y|y≥0}．(3)由3－3x-1≥0，得定義域是{x|x≤2}，∵0≤3－3x－1＜3，1.指數(shù)函數(shù)Y=ax（a>0且a≠1）的定義域是R，值域是（0，+∞）2.求定義域的幾個原則：①含根式（被開方數(shù)不為負(fù)）②含分式，分母不為０③形如a0,(a≠0)3.求函數(shù)的值域:①利用函數(shù)Y=ax單調(diào)性②函數(shù)的有界性(x2≥0;ax>0)③換元法.如:y=4x+6×2x-8(1≤x≤2)先換元,再利用二次函數(shù)圖象與性質(zhì)(注意新元的范圍)【例2】（基礎(chǔ)題）指數(shù)函數(shù)y＝ax，y＝bx，y＝cx，y＝dx的圖像如圖2．6－2所示，則a、b、c、d、1之間的大小關(guān)系是[]A．a(chǎn)＜b＜1＜c＜dB．a(chǎn)＜b＜1＜d＜cC．b＜a＜1＜d＜cD．c＜d＜1＜a＜b解選(c)，在x軸上任取一點(diǎn)(x，0)，則得b＜a＜1＜d＜c．【例3】（基礎(chǔ)題）比較大小：(3)4.54.1________3.73.6解(3)利用翻折變換，先作y＝2|x|的圖像，再把y＝2|x|的圖像向右平移1個單位，就得y＝2|x-1|的圖像(如圖2．6－6)．解(4)作函數(shù)y＝3x的圖像關(guān)于x軸的對稱圖像得y＝－3x的圖像，再把y＝－3x的圖像向上平移1個單位，保留其在x軸及x軸上方部分不變，把x軸下方的圖像以x軸為對稱軸翻折到x軸上方而得到．(如圖2．6－7)例6（中檔題）：用函數(shù)單調(diào)性定義證明：當(dāng)a＞1時，y=ax是增函數(shù).設(shè)x1，x2∈R且x1＜x2，并令x2=x1+h(h＞0，h∈R)，很獨(dú)特的方式則有，∵a＞1，h＞0，∴，∴，即故y=ax(a＞1)為R上的增函數(shù)，同理可證0＜a＜1時，y=ax是R上的減函數(shù).指數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)的指數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)的復(fù)合函數(shù)(由內(nèi)到外分析）二次函數(shù)為內(nèi)層函數(shù)，指數(shù)函數(shù)為外層函數(shù)例題7例題7中檔題）變式1求函數(shù)y=（）的單調(diào)區(qū)間，并證明之.解法一（在解答題）：在R上任取x1、x2，且x1＜x2，則==（）（x2－x1）（x2+x1－2）【（）為底數(shù)，紅色部分為指數(shù)】，∵x1＜x2，∴x2－x1＞0.當(dāng)x1、x2∈（－∞，1］時，x1+x2－2＜0.這時（x2－x1）（x2+x1－2）＜0，則＞1.∴y2＞y1，函數(shù)在（－∞，1］上單調(diào)遞增.當(dāng)x1、x2∈［1，+∞）時，x1+x2－2＞0，這時（x2－x1）（x2+x1－2）＞0，即＜1.（此處點(diǎn)評：上述證明過程中，在對商式正負(fù)判斷時，利用了指數(shù)函數(shù)的值域及單調(diào)性）∴y2＜y1，函數(shù)在［1，+∞上單調(diào)遞減.綜上，函數(shù)y在（－∞，1］上單調(diào)遞增，在［1，+∞）上單調(diào)遞減.合作探究：在填空、選擇題中用上述方法就比較麻煩，因此我們可以考慮用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性來解題.解法二、在填空、選擇題中（用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性）：設(shè)：則：對任意的，有，又∵是減函數(shù) ∴∴在是減函數(shù)對任意的，有又∵是減函數(shù)∴∴在是增函數(shù)在該問題中先確定內(nèi)層函數(shù)（）和外層函數(shù)（）的單調(diào)情況，再根據(jù)內(nèi)外層函數(shù)的單調(diào)性確定復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性.變式2已知且，討論的單調(diào)性.【分析】這是一道與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)討論單調(diào)性題，指數(shù)，當(dāng)≥時是減函數(shù)，≤時是增函數(shù)，而的單調(diào)性又與和兩種范圍有關(guān)，應(yīng)分類討論.【解析】設(shè)，則當(dāng)≥時，是減函數(shù)，當(dāng)≤時，是增函數(shù)，又當(dāng)時，是增函數(shù)，當(dāng)時，是減函數(shù)，所以當(dāng)時，原函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù).當(dāng)時，原函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù).【小結(jié)】一般情況下，兩個函數(shù)都是增函數(shù)或都是減函數(shù)，則其復(fù)合函數(shù)是增函數(shù)；；如果兩個函數(shù)中一增一減，則其復(fù)合函數(shù)是減函數(shù)，但一定注意考慮復(fù)合函數(shù)的定義域.第二課時例題8：（疑難題）指數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)的復(fù)合函數(shù)換元法先換元,再利用二次函數(shù)圖象與性質(zhì)(注意新元u的范圍)當(dāng)x＝0時，函數(shù)y有最大值為1．內(nèi)層指數(shù)函數(shù)u=(1/2)x為減，當(dāng)u在（0，1/2】時，此時外層二次f（u)為減函數(shù)，即x在【1，正無窮大），，則復(fù)合函數(shù)為增（畫草圖分析法）點(diǎn)評：（1）指數(shù)函數(shù)的有界性（值域）：x2≥0;ax>0（2）上述證明過程中，在兩次求x的范圍時，逆向利用了指數(shù)函數(shù)的值域及逆向利用了指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，是關(guān)鍵及疑難點(diǎn)。變式：求（3）的值域.解y且.故的值域為.【小結(jié)】求與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的值域時，要注意到充分考慮并利用指數(shù)函數(shù)本身的要求，并利用好指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性.例題9（中檔題）分式型指數(shù)函數(shù)(1)判斷f(x)的奇偶性；(2)求f(x)的值域；(3)證明f(x)在區(qū)間(－∞，＋∞)上是增函數(shù)．解(1)定義域是R．∴函數(shù)f(x)為奇函數(shù)．反函數(shù)法，用指數(shù)函數(shù)值域反函數(shù)法，用指數(shù)函數(shù)值域即f(x)的值域為(－1，1)．(3)設(shè)任意取兩個值x1、x2∈(－∞，＋∞)且x1＜x2．f(x1)－f(x2)變式1設(shè)a是實數(shù)，試證明對于任意a,為增函數(shù)；證明：設(shè)∈R,且則由于指數(shù)函數(shù)y=在R上是增函數(shù),且,所以