2010年12月中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)自主招生試題分析

2010年12月中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)自主招生試題分析

2010年12月，中國科技大學(xué)邀請具有禮儀資格的學(xué)生參加面試。面試試題共五大題,其中物理2題,數(shù)學(xué)2題,化學(xué)1題?？忌伎紩r間45分鐘,然后向面試教師陳述試題解答思路、方法及結(jié)果。物理試題解答所涉及到的知識已遠遠超越中學(xué)教學(xué)的要求,難度大于高考試題,接近或達到競賽復(fù)賽題的要求。隨著高校招生制度的改革,自主招生的力度還將加大。因此,分析高校自主招生試題,研究命題思路,幫助理科優(yōu)秀學(xué)生如何應(yīng)對自主招生考試,是中學(xué)物理教師面臨的一個重要課題?？紤]到多方面的原因,教育部門原則上規(guī)定自主招生試題及解答不向社會公布。下面根據(jù)考生提供的試題,進行分析及解答,以饗讀者。[試題1]如圖1所示,一物體從地球表面發(fā)射,初速度大小為v0=kv1(式中v1為第一宇宙速度),初速度方向與豎直方向成θ角,其中k<1.414。地球視為質(zhì)量均勻分布的球體,忽略空氣阻力和地球自轉(zhuǎn)的影響。請解答以下問題:(1)k<1.414意味著什么?(2)物體運動過程中有哪些物理量守恒?(3)物體能到達的最大高度,并討論θ=0和θ=兩種特殊情況。分析與解答:(1)設(shè)物體的質(zhì)量為m,地球的質(zhì)量為M,地球半徑為R。物體從地球表面發(fā)射,成為繞地球運行的人造地球衛(wèi)星,所需的最小發(fā)射速度v1即為第一宇宙速度。由萬有引力定律及牛頓運動定律,有解得物體脫離地球引力的束縛,成為環(huán)繞太陽運動的一顆人造行星,物體的最小發(fā)射速度v2即為第二宇宙速度。由機械能守恒定律,有解得由題意知:k<1.414,這意味著物體發(fā)射的初速度小于第二宇宙速度,物體不能脫離地球引力的束縛,只能繞地球運動。(2)引力場是有心力場,物體在地球引力作用下的運動是平面運動。如果不考慮空氣阻力,物體在運動過程中機械能及角動量均守恒。由角動量守恒定律,有聯(lián)立①③④方程,得解關(guān)于(R+H)的一元二次方程,得(Ⅰ)當(dāng)發(fā)射角度θ=0時,⑤式簡化為解得關(guān)于結(jié)果作兩點討論:i.如果k1.414,則根據(jù)GM=R2g(g為地球表面的重力加速度)及解得這是我們所熟知的物體豎直上拋運動的結(jié)果。(Ⅱ)當(dāng)發(fā)射角度時,⑤式簡化為解得此解的物理意義分析如下:i.當(dāng)k≤1時,H=0,表明物體無法拋離地面或物體繞地球表面做勻速圓周運動。ⅱ.當(dāng)1<k<1.414時,物體繞地球沿橢圓軌道運動,如圖2所示,H=0,對應(yīng)物體在近地點;對應(yīng)物體在遠地點。因此,即為物體在角度θ=時所能達到的最大高度。當(dāng)角度θ=時,物體運動所能達到的最大高度還有另一種解法:如圖2所示,設(shè)物體在遠地點的曲率半徑為ρ,該處速度為v。由萬有引力定律及牛頓運動定律,有物體沿橢圓軌道運動,半長軸及半短軸的長度記為a、b,則由數(shù)學(xué)知識有聯(lián)立以上各式及方程④解得該題第(3)問,亦可以在極坐標(biāo)系中建立方程求解。將物體的發(fā)射速度v0沿徑向和角向分解,寫成或物體達到最大高度H時徑向速度vr=0,角向速度為vψ,由機械能守恒定律及角動量守恒定律,有聯(lián)立⑦⑨⑩式解得結(jié)論:Ⅰ.當(dāng)發(fā)射角度θ=0時,v0ψ=0,v0r=V0。所得結(jié)果同上。Ⅱ.當(dāng)發(fā)射角度θ=時,v0ψ=v0,v0r=0。所得結(jié)果同上。[試題2]如圖3所示,在半徑為R的金屬球A內(nèi),有兩個球形空腔,金屬球整體不帶電,在兩空腔中心各放置一點電荷B和C,所帶電荷量分別為qB和qc。在金屬球A之外離球心O為r處放置另一點電荷D,電荷量為qD,已知r遠大于金屬球A的半徑。請解答下列問題:(1)寫出庫侖定律的數(shù)學(xué)表達式;(2)寫出點電荷D所受靜電力大小的表達式;(3)求出點電荷B和C所受的靜電力。分析與解答:(1)設(shè)真空中兩個靜止點電荷的電荷量分別為Q1和Q2,從Q1指向Q2的矢徑為,則Q1對Q2的靜電力即庫侖力為式中k=8.99×109N·m2·C-2,為靜電力常量?；?qū)懗扇缦碌男问溅?=8.85×10-12C2.N-1.m-2,為真空中的介電常量或真空電容率。①或②式即為庫侖定律的數(shù)學(xué)表達式。(2)置于空腔內(nèi)的點電荷B和C,由于靜電感應(yīng),在空腔內(nèi)表面感應(yīng)異種電荷,在A球外表面感應(yīng)同種電荷。由于金屬球A與點電荷D處的距離r遠大于金屬球A的半徑,因此,所有這些電荷在點電荷D處的總場強,可以等效為處于球心處的兩個點電荷qB和qC在點電荷D處產(chǎn)生的場強的矢量和。其次,點電荷D在金屬球A的表面也會產(chǎn)生感應(yīng)電荷,感應(yīng)電荷是面電荷。該面電荷可以等效為兩個鏡像電荷:一個鏡像電荷距離導(dǎo)體球A中心。點的距離為,并在點電荷與球心的連線上,電荷量為另一個鏡像電荷可以看成是集中在球心O處,由于導(dǎo)體球A原來不帶電,因此其電荷量為補充說明的是:第一個鏡像電荷是為了與點電荷qD共同作用下保證導(dǎo)體球為零電勢的等電勢球;第二個鏡像電荷是為了保證導(dǎo)體球A總電荷量為零的等電勢球。感應(yīng)電荷在球外產(chǎn)生的電場,用鏡像電荷等效處理,會使問題變得簡單。根據(jù)靜電場唯一性定理,這個場就是所求的感應(yīng)電荷在球外產(chǎn)生的靜電場。綜合上述,點電荷D處的電場等效為由四部分構(gòu)成,由庫侖定律可得其所受靜電力的大小為整理后得由④式可知,式中除qD外,其他量均保持不變。討論:Ⅰ.如果qD所受靜電力為零,則Ⅱ.如果qD所受靜電力表現(xiàn)為引力,則Ⅲ.如果qD所受靜電力表現(xiàn)為斥力,則(3)由于靜電屏蔽,因此,除空腔中的點電荷及空腔內(nèi)表面的感應(yīng)電荷外,其他電荷在空腔內(nèi)的場強均為零。點電荷B和C只受到各自內(nèi)表面感應(yīng)電荷的作用,已知點電荷B、C又處于空腔中心,則感應(yīng)電荷均勻分布在空腔內(nèi)表面上,所以點電荷B和C所受靜電力之合力均等于零。該結(jié)果也可以由高斯定律得到。引力勢能、角動量守恒定律、鏡像電荷(球面問題)等知識點,屬于競賽內(nèi)容。因此,理科優(yōu)秀學(xué)生要通過這樣的考試,必須學(xué)習(xí)相關(guān)競賽知識。最后需要說