估算法和假設(shè)法

第五節(jié)假設(shè)法（虛設(shè)法）和估算法一、 方法介紹：假設(shè)法在解物理題時(shí)，我們常常用到一種虛擬的思維方法，即從給定的物理?xiàng)l件出發(fā)，假設(shè)與想像某種虛擬的東西，達(dá)到迅速、地解決問(wèn)題的目的，我們把這種訪求稱(chēng)為虛設(shè)法，也稱(chēng)假設(shè)法。假設(shè)法是對(duì)于待求解的問(wèn)題，在與原題所給條件不相違的前提下，人為的加上或減去某些條件，以使原題方便求解。求解物理試題常用的有假設(shè)物理情景，假設(shè)物理過(guò)程，假設(shè)物理量等，利用假設(shè)法處理某些物理問(wèn)題，往往能突破思維障礙，找出新的解題途徑，化難為易，化繁為簡(jiǎn)。假設(shè)法的幾種情形是：虛設(shè)條件、虛設(shè)過(guò)程，虛設(shè)狀態(tài)、虛設(shè)結(jié)論等。虛設(shè)是一種物理的想像和創(chuàng)造的過(guò)程，物理學(xué)的不少發(fā)現(xiàn)是通過(guò)這一途徑而的。無(wú)疑，在解物理題時(shí)能掌握和熟練運(yùn)動(dòng)用虛設(shè)法，對(duì)培養(yǎng)我們的創(chuàng)造能力是十分有意義的。估算法有些物理問(wèn)題本身的結(jié)果，并不一定需要有一個(gè)非常準(zhǔn)確的答案，但是往往需要我們對(duì)事物有一個(gè)預(yù)測(cè)的估計(jì)值；有些物理問(wèn)題的提出，由于本身?xiàng)l件的限制，或者實(shí)驗(yàn)中尚未觀察到必要的結(jié)果，使我們解決問(wèn)題缺乏必要的已知條件，無(wú)法用常規(guī)的方法來(lái)求出物理問(wèn)題的準(zhǔn)確答案，采用“估算”的方法就能忽略次要因素，抓住問(wèn)題的主要本質(zhì)，充分應(yīng)用物理知識(shí)進(jìn)行快速數(shù)量級(jí)的計(jì)算。估算法就是對(duì)某些物理的數(shù)量級(jí)進(jìn)行大致推算或精確度要求不太高的挖計(jì)算方法。估算題與一般的計(jì)算題相比較，它雖然是不精確、不嚴(yán)密的計(jì)算，但確是合理的挖，它可以避免繁的計(jì)算而著重于簡(jiǎn)捷的思維能力的培養(yǎng)。二、假設(shè)法的應(yīng)用虛設(shè)條件根據(jù)牛頓第二定律根據(jù)牛頓第二定律求解過(guò)程較麻煩。例1:如圖10-1所示，一根輕質(zhì)彈簧上端固定，下端掛一質(zhì)量為m0的平盤(pán)，盤(pán)中有一物體，質(zhì)量為m。當(dāng)盤(pán)靜止時(shí)，彈簧的長(zhǎng)度比其自然長(zhǎng)度伸長(zhǎng)了1。今向下拉盤(pán)使彈簧再伸長(zhǎng)AL后停止，然后松手放開(kāi)。設(shè)彈簧總處在彈性限度以?xún)?nèi)，則剛松開(kāi)手時(shí)盤(pán)對(duì)物體的支持力等于（ ）根據(jù)牛頓第二定律根據(jù)牛頓第二定律求解過(guò)程較麻煩。B、(1+半)(m+m0)gA、（1+B、(1+半)(m+m0)gLD、△L AD、C、了mg D、廠（m+m°）gLL解析：此題可以盤(pán)內(nèi)物體為研究對(duì)象受力分析列出一個(gè)式子，然后再以整體為研究對(duì)象受力分析再列一個(gè)式子和根據(jù)平衡位置的平衡條件聯(lián)立求解若采用假設(shè)法，本題將變得非常簡(jiǎn)單。其意義是沒(méi)有將盤(pán)往下拉，則松手放開(kāi)，假設(shè)題中所給條件AL=0其意義是沒(méi)有將盤(pán)往下拉，則松手放開(kāi)，彈簧長(zhǎng)度不會(huì)變化，盤(pán)仍靜止，盤(pán)對(duì)物體的支持力的大小應(yīng)為mg。以AL=0代入四個(gè)選項(xiàng)中，只有答案A能得到mg。由上述分析可知，此題答案應(yīng)為A。虛設(shè)過(guò)程例2：如圖10-2所示，甲、乙兩物體質(zhì)量分別為m1=2kg，m2=3kg，疊放在水平桌面上。已知甲、乙間的動(dòng)摩擦因數(shù)為也=0.6，物體乙與平面間的動(dòng)摩因數(shù)為p2=0.5，現(xiàn)用水平拉力F作用于物體乙上，使兩物體一起沿水平方向向右做勻速直線運(yùn)動(dòng)，如果運(yùn)動(dòng)中F突然變?yōu)榱悖瑒t物體甲在水平方向上的受力情況（g取10m/s2）A、大小為12N，方向向右B、大小為12N，方向向左

C、大小為10N，方向向右 D、大小為10N，方向向左TOC\o"1-5"\h\z解析：當(dāng)F突變?yōu)榱銜r(shí)，可假設(shè)甲、乙兩物體一起沿水平方運(yùn)動(dòng)， 七則它們運(yùn)動(dòng)的加速度可由牛頓第二定律求出。由此可以求出甲所受的摩 r-kifi擦力，若此摩擦力小于它所受的滑動(dòng)摩擦力，則假設(shè)成立。反之不成立。 十L如圖10-2甲所示。假設(shè)甲、乙兩物體一起沿水平方向運(yùn)動(dòng)，則由牛頓第二定律得： ,c 圖10—f2=(m1+m2)a ①f2=pN2=g2(m1+m2)g ②由①、②得：a=5m/s2可得甲受的摩擦力為f1=m1a=10N因?yàn)閒=g1m1g=12Nf1<f所以假設(shè)成立，甲受的摩擦力為10N，方向向左。應(yīng)選D。虛設(shè)狀態(tài)例12：0.2L的氧氣瓶?jī)?nèi)，裝有4g氧氣，在室溫為0°C時(shí)，瓶?jī)?nèi)氧氣的壓強(qiáng)是多少？解析：本題乍一看似乎缺少已知量，更無(wú)法利用理想氣體狀態(tài)方程，但當(dāng)我們假設(shè)這些氧氣的標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)為初態(tài)時(shí)，則問(wèn)題就可以解決了。假設(shè)這些氧氣的初態(tài)為標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)，則有：V、—X22.4L，p=1atm，T=273K132 1 1由已知該氧氣的末狀態(tài)為V]=0.2L，T2=273K，p2未知，由于T]=T2，所以根據(jù)玻意耳定律p1V1=p2V2解得：p2=1.4atm虛設(shè)結(jié)論例8：如圖10-8所示，一根全長(zhǎng)為L(zhǎng)、粗細(xì)均勻的鐵鏈，對(duì)稱(chēng)地掛在輕小光滑的定滑輪上，當(dāng)受到輕微的擾動(dòng)，鐵鏈開(kāi)始滑動(dòng)，當(dāng)鐵鏈下降L1(0W匕)的瞬間，鐵鏈的速度多大？解析：在鐵鏈下降時(shí)，只有重力做功，機(jī)械能守恒。當(dāng)鐵鏈下降L1時(shí)，如圖10-8甲所示，假設(shè)此位置是把左側(cè)鐵鏈下端AB=L1段剪下來(lái)再接到右側(cè)鐵鏈的下端CD處實(shí)現(xiàn)的。設(shè)鐵鏈的總質(zhì)量為m，鐵鏈下降到L]時(shí)，L1段中心下降L1高，所以重力做功：根據(jù)機(jī)械能守恒定律:mgL

mv2=—L圖10—8 圖10—8*1'根據(jù)機(jī)械能守恒定律:mgL

mv2=—L圖10—8 圖10—8*1'解得鐵鏈的速度：v=片^例9：如圖10-9所示，大小不等的兩個(gè)容器被一根細(xì)玻璃管連通，玻璃管中有一段水銀柱將容器內(nèi)氣體隔開(kāi)(溫度相同)，當(dāng)玻璃管豎直放置時(shí)，大容器在上，小容器在下，水銀柱剛好在玻璃管的正中間，現(xiàn)將兩容器同時(shí)降低同樣的溫度，若不考慮容器的變化，則細(xì)管中水銀柱的移動(dòng)情況是（ ）A、不動(dòng) B、上升C、下降 D、先上升后下降解析：只要假設(shè)水銀柱不動(dòng)，分析氣體壓強(qiáng)隨溫度的變化情況，就可判定水銀柱怎樣移動(dòng)。假設(shè)水銀柱不移動(dòng)，則兩部氣體的體積都不變，根據(jù)查理定律，有：p=土朋，化簡(jiǎn)為：Ap=四pTT-AT TAT —AT一有：ApA=〒pA，ApB=〒P(yáng)B由于pA<pB，所以：ApA<ApB，水銀柱向下移動(dòng)。答案：C虛功原理虛功原理是在全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽當(dāng)中解決靜力學(xué)問(wèn)題時(shí)經(jīng)常應(yīng)用的一種比較簡(jiǎn)單的解題方法。例6、如圖中所示的框架，它是由四根重量和長(zhǎng)度都相同的桿子光滑鉸接而成的四邊形框架，中間B、D兩端又光滑鉸接一輕桿，A端是掛在天花板上的， "乩二已知框架上每一根稈子的重量為p，長(zhǎng)度為入，試求平衡時(shí) "盤(pán)、此輕桿所受之力？解：可見(jiàn)這個(gè)例子要我們求的是輕桿兩頭所受的力。為此我們可以把B、D撤消，撤消桿子也就等于撤消約束。（在框架的B、D兩）將約束去掉而代之的是作用在框架B、D兩處 、/向外的作用力T（如下圖所示）并使系統(tǒng)仍處于原來(lái)的平衡狀態(tài)，這里的系統(tǒng)自然是指這個(gè)平行四邊形框架。此時(shí)我們就可以將去掉的約束而代之的兩個(gè)作用力T看作為系統(tǒng)所受的主動(dòng)力，而其他的約束仍然是理想的。于是就可應(yīng)用虛功原理求出這兩個(gè)力。這兩個(gè)力其實(shí)就是桿子對(duì)框架的約束壓力，求出了它當(dāng)然也就求出了桿子所受的力?，F(xiàn)在我們對(duì)所討論的問(wèn)題和系統(tǒng)都已明確，于是就可著手找出系統(tǒng)的主動(dòng)力。對(duì)框架這個(gè)系統(tǒng)除了受到T這兩個(gè)主動(dòng)力之外，還有作用于各桿上的四個(gè)重力，這四個(gè)重力的合力可用作用在框架對(duì)稱(chēng)中心E點(diǎn)的4P代替。在這里坐標(biāo)就取垂直對(duì)稱(chēng)軸向下為Y軸的正向，A為坐標(biāo)原點(diǎn)，水平向右為x軸的正方向。根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可以直接寫(xiě)出系統(tǒng)的虛功方程為：2盛七+4尸8七=0，由圖可得：1血，yE=1cosa，...&疽IcosaSx,呢=-1sin仙.代入虛功方程中去，得:（2TIcosa-4Plsina）誠(chéng)=0，.?.T=2Ptga。這種把約束去掉，代之以力而求約束力的方法是一種重要的方法，我們必須要掌握。上面我們所舉的兩個(gè)例子，所考慮的系統(tǒng)都是剛性系統(tǒng)，如果我們碰到要考慮的系統(tǒng)不是剛性時(shí)，不要忘了計(jì)算主動(dòng)內(nèi)力所作的虛功。例如：將一彈簧圈放在光滑的球面上，求彈簧圈靜止時(shí)的位置，此時(shí)彈簧圈就不是一個(gè)剛體，它內(nèi)力的虛功不等于零。此時(shí)必須要把內(nèi)主動(dòng)力的虛功計(jì)算進(jìn)去［如果把彈簧圈割開(kāi)使內(nèi)力暴露出來(lái)而轉(zhuǎn)化為外力，割開(kāi)后的彈簧圈可看作剛體處理。綜上所述，應(yīng)用虛功原理解題的步驟一般是：第一步先找出所要考慮的質(zhì)點(diǎn)組或者剛體，1、找出所要研究的系統(tǒng)。

2、 找出系統(tǒng)所受的主動(dòng)力。3、 列出虛功方程。列出的虛功方程中的虛位移里的坐標(biāo)不一定要獨(dú)立，虛功的正負(fù)號(hào)很重要，要正確判斷。我們還是以所選坐標(biāo)的正方向?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)，也就是上面解題時(shí)所采用的方法。另外還得注意：計(jì)算虛功的參考系必須是靜止的。4、 虛功方程列出之后，要把方程中的虛位移化成獨(dú)立的變量。其方法有兩種：一種是先找出坐標(biāo)間的關(guān)系，再微分得出，這種方法就叫分析法，我們上面的例子采用的就是這種方法。另外一種是觀察法，根據(jù)觀察直接找出虛位移之間的關(guān)系。這種方法只在某些簡(jiǎn)單的情況下可行。5、 最后就是將找出的虛位移之間的關(guān)系代入虛功方程求解出最后的結(jié)果。應(yīng)用虛功原理解題的步驟一般來(lái)說(shuō)大致是這樣的。當(dāng)然對(duì)具體的題目要作具體的處理，并不一定要這樣呆板，可靈活地去做，對(duì)我們初學(xué)者來(lái)說(shuō)，有據(jù)可依總是有益處的。當(dāng)然這個(gè)例子也可以用牛頓力學(xué)中的靜力平衡方程很容易地解出……。二、 估算法的應(yīng)用1.熱學(xué)物理量的的估算估算法求解固體和液體分子大小和數(shù)目可近似把固體、液體分子看作一個(gè)緊挨著一個(gè)的小球或立方體來(lái)估算分子的大小和分子的數(shù)目。學(xué)會(huì)計(jì)算微觀世界的物理量(如分子數(shù)目、分子質(zhì)量、分子直徑等)的一般方法。由于微觀量是不能直接測(cè)量的，人們可以測(cè)定宏觀物理量，用阿伏伽德羅常數(shù)作為橋梁，間接計(jì)算出微觀量來(lái)。如分子質(zhì)量m，可通過(guò)物質(zhì)摩爾質(zhì)量M和阿伏伽德羅常數(shù)NA，得到m=M/NA。通過(guò)物質(zhì)摩爾質(zhì)量M、密度P、阿伏伽德羅常數(shù)NA，計(jì)算出分子直徑對(duì)固體或液體來(lái)說(shuō)，分子間隙數(shù)量級(jí)遠(yuǎn)小于分子大小的數(shù)量級(jí)，所以可以近似認(rèn)為分子緊密排列。U MV—mol—molNA pNA如果把分子簡(jiǎn)化成球體，可進(jìn)一步求出分子的直徑dd=(6V/n)1/3=(6M/PNAn)1/3估算法求氣體分子間的距離：氣體分子間的間隙不能忽略，設(shè)想氣體分子平均分布，且每個(gè)氣體分子平均占有的空間設(shè)想成一個(gè)小立方體，據(jù)這一微觀模型，氣體分子間的距離就等于小立方體的邊長(zhǎng)。取V體積所給狀態(tài)的空氣，求出其中的空氣分子數(shù)n，由平衡狀態(tài)下n個(gè)空氣分子均勻分布在體積V中，則可求出每個(gè)空氣分子平均占有的空間體積。如果再把每個(gè)空氣分子平均占有中，則可求出每個(gè)空氣分子平均占有的空間體積。如果再把每個(gè)空氣分子平均占有的體積設(shè)想成一個(gè)小立方體，并認(rèn)為空氣分子均勻分布。相當(dāng)于任一瞬間所有的空氣分子都處于各個(gè)小立方體的中心，那么根據(jù)這一理想化的氣體微觀構(gòu)成模型，空氣分子間的平均距離d，即可看作等于每個(gè)空氣分子平均占有的小立方體的邊長(zhǎng)1。即d—1—3''匕對(duì)于氣體來(lái)說(shuō)，V1不再等于氣體分子體積，而是分子所占空間的體積。D不是指氣體分子

線度大小，而是相鄰兩氣體分子的間距。物質(zhì)分子所含分子數(shù)的估算：關(guān) MVM 鍵為求出分子的摩爾數(shù)，便可以利用 "分=nmoNA=M—Na="Na=pVNa阿佛加德羅常數(shù)求出含有的分子數(shù)mol mol mol例6-1已知金剛石的密度P=3.5X103kg/m3,碳的摩爾質(zhì)量為12X10-3kg/mol?，F(xiàn)有一塊體積V=5.7X10-8m3的金剛石，它含有多少個(gè)碳原子？如果認(rèn)為碳原子是緊密地排列在一起的，試求碳原子的直徑。M V —mol點(diǎn)撥：在計(jì)算金剛石含有的碳原子數(shù)時(shí)，也可先由Vmol=p求出Vmol，再由V0=Nav求出一個(gè)碳原子的體積V0，然后由n=V0求出金剛石含有的碳原子數(shù)n。解析：第一問(wèn)很常規(guī)，屬于化學(xué)知識(shí)復(fù)習(xí)。M PVN 3.5x103x5.7x10-8N=nNA=MmolNA=Mmol A= 12x10-3 X6.02X1023=1.00X1022解第二問(wèn)，可以先求每個(gè)碳原子所占據(jù)的空間VVVpVNM mol12x10-3v-N=v= =nNA=M a_mol =pNA=3.5x103x6.02x1023=5.70X10-30m3f如果認(rèn)為碳原子呈立方體排列，碳原子的直徑d=3v=1.79X10-10m4d 6v— — 3'如果認(rèn)為碳原子呈球形排列，則v=3n(2)3，故，碳原子的直徑d=\兀=2.22X10-10m答案：1.00X1022，2.22X10-10m例6-2在標(biāo)準(zhǔn)狀況下，水蒸氣的摩爾體積是22.4x10-3m3/mo1，則水蒸氣分子的平均間距約是水分子直徑的()倍。A.1倍 B.10倍C.100倍D.1000倍點(diǎn)撥：水蒸氣是氣體，在標(biāo)準(zhǔn)狀況下的摩爾體積是22.4x10-3m3/mo1，每個(gè)水蒸汽分子點(diǎn)撥：水蒸氣是氣體，所占體積(包括水分子和它的周?chē)臻g的體積)為V 224x103m3/mol 小N 6.02x1Q3mo-1V——mol =N 6.02x1Q3mo-1把每個(gè)分子和它所占空間看成一個(gè)小立