醫(yī)藥數(shù)理與概率統(tǒng)計學課件3

《醫(yī)藥數(shù)理統(tǒng)計方法》§3.1Ch3隨機變量的數(shù)字特征分布函數(shù)能夠全面地反映一個隨機變量的統(tǒng)計規(guī)律，但在一些實際問題中，只需知道隨機變量的一個或幾個分布特征即能解決問題。例如:1)評定某企業(yè)的經(jīng)營能力時，只要知道該企業(yè)人均贏利水平；2)測量某藥物主要成分的含量，只需知道這些測量數(shù)值的平均值和測量結果的精確程度；《醫(yī)藥數(shù)理統(tǒng)計方法》§3.13)考察一射手的水平，既要看他的平均環(huán)數(shù)是否高，還要看他彈著點范圍是否小，即數(shù)據(jù)波動是否小.由從上面例子看到，與隨機變量有關的某些數(shù)值，雖不能完整地描述隨機變量，但它們都是隨機變量概率性質的表現(xiàn)，能清晰地描述隨機變量在某些方面的重要特征,這些數(shù)字特征在理論和實踐上都具有重要意義。

表示隨機變量分布特征的數(shù)量指標稱為隨機變量的數(shù)字特征。《醫(yī)藥數(shù)理統(tǒng)計方法》§3.1常用的數(shù)字特征有二類：1)位置參數(shù)表示隨機變量分布的集中程度、平均水平。如：數(shù)學期望、中位數(shù)、眾數(shù)等。2)變異參數(shù)表示隨機變量分布的離散程度、變異大小。如：方差、變異系數(shù)、協(xié)方差等?！夺t(yī)藥數(shù)理統(tǒng)計方法》§3.1§3.1數(shù)學期望一、離散型隨機變量的數(shù)學期望二、連續(xù)型隨機變量的數(shù)學期望三、數(shù)學期望的性質四、隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望《醫(yī)藥數(shù)理統(tǒng)計方法》§3.1一、離散型隨機變量的數(shù)學期望Xx1x2…xk頻數(shù)n1n2…nk平均數(shù)概率p1p2…pk例（改）:某藥廠一車間生產某種片劑藥品，檢驗員每天隨機地抽取相同的片數(shù)來檢驗，查出的不合格品數(shù)X為一個隨機變量。《醫(yī)藥數(shù)理統(tǒng)計方法》§3.1定義3.1設離散型隨機變量X的概率函數(shù)為若級數(shù)絕對收斂，則稱該級數(shù)為隨機變量X的數(shù)學期望(mathematicalexpectation)或總體均數(shù)，也簡稱為均值或均數(shù)，記為E(X)，即《醫(yī)藥數(shù)理統(tǒng)計方法》§3.1注：1)若級數(shù)發(fā)散，則稱X的數(shù)學期望不存在。

2)由P76辛欽大數(shù)定律知，當n充分大時，算術平均數(shù)必然接近總體均數(shù)（或數(shù)學期望）。這個事實說明，數(shù)學期望E(X)是一個描述隨機變量“平均數(shù)(值)”或取值“中心”的數(shù)字特征。《醫(yī)藥數(shù)理統(tǒng)計方法》§3.1例3.1設離散型隨機變量X的概率函數(shù)為X-1012P0.10.20.40.3試求E(X)。解：《醫(yī)藥數(shù)理統(tǒng)計方法》§3.1例3.3(最佳普查方案)在共有N個人群中，普查這種疾病，若逐個驗血就需作N次檢驗，現(xiàn)問能否用概率的思想方法來減少檢驗的工作量？解：1)先把受驗者分組。設每組有k個人，把這k個人的血液混合在一起進行檢驗，若檢驗的結果是陰性，則說明這k個人的血液全部都是陰性，因而這k個人只需檢驗一次就夠了，即平均每人檢驗了1/k次；若檢驗的結果為陽性，則再對這k個人逐個檢驗，此時，對這k個人共做了k+1次檢驗，平均每人檢驗了(k+1)/k次。《醫(yī)藥數(shù)理統(tǒng)計方法》§3.12)假設此種疾病的發(fā)病率p很小，并且每個人的反應時獨立的。并假設每個人需檢驗的次數(shù)為X，則X得分布列為X1/k(k+1)/kP(1-p)k1-(1-p)k由于要減少工作量，所以要求E(X)<1。當p已知時，取適當?shù)膋值，使E(X)達到最小值，此時的分組即為最佳分組方案。《醫(yī)藥數(shù)理統(tǒng)計方法》§3.1定義3.3設連續(xù)型隨機變量X的概率密度函數(shù)為f(x)，若積分絕對收斂，則稱該積分為隨機變量X的數(shù)學期望，記為E(X)，即二、連續(xù)型隨機變量的數(shù)學期望《醫(yī)藥數(shù)理統(tǒng)計方法》§3.1例3.5設連續(xù)型隨機變量X的概率密度函數(shù)如下所示，試求E(X)。解：《醫(yī)藥數(shù)理統(tǒng)計方法》§3.1例(P61)若X～N(,2),則E(X)=

。例若隨機變量X的概率密度為則稱X服從柯西(Cauchy)分布。但發(fā)散所以柯西分布的數(shù)學期望不存在?！夺t(yī)藥數(shù)理統(tǒng)計方法》§3.1三、數(shù)學期望的性質1、E(C)=C2、E(CX)=C×E(X)3、E(X±Y)=E(X)±E(Y)推廣：E(X1±X2±…±Xn)=E(X1)±E(X2)±…±E(Xn)4、E(kX+b)=kE(X)+b5、若隨機變量X與Y獨立，則E(XY)=E(X)E(Y)推廣：若隨機變量X1，X2，…，Xn相互獨立，則E(X1X2…Xn)=E(X1)E(X2)…E(Xn)《醫(yī)藥數(shù)理統(tǒng)計方法》§3.1例3.7一民航送客車載有20位旅客自機場開出，沿途停靠10站。假設每位旅客在每個車站下車是等可能的，各旅客是否下車相互獨立，若某個車站沒有旅客下車就不停車。設總停車次數(shù)為X，求平均停車次數(shù)E(X)。《醫(yī)藥數(shù)理統(tǒng)計方法》§3.1解：設由題意得Xi的分布列Xi01P0.9201-0.920《醫(yī)藥數(shù)理統(tǒng)計方法》§3.1四、隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望離散型連續(xù)型Xg(X)《醫(yī)藥數(shù)理統(tǒng)計方法》§3.1例3.8見例3.5，設連續(xù)型隨機變量X的概率密度如下所示，試求E(2X

1)及E(X2)。解：1)或《醫(yī)藥數(shù)理統(tǒng)計方法》§3.12)而計算是錯誤的??！《醫(yī)藥數(shù)理統(tǒng)計方法》§3.2§3.2方差、協(xié)方差和相關系數(shù)一、方差二、方差的性質三、其他數(shù)字特征《醫(yī)藥數(shù)理統(tǒng)計方法》§3.2一、方差例3.15為了比較甲、乙兩個專業(yè)射擊運動員的技術水平，令每人各射擊5次，分別以X1,X2表示他們射擊的環(huán)數(shù)，結果如下：甲(X1)9.89.99.99.89.8乙(X2)10.09.79.910.09.6試比較兩人的技術水平高低。《醫(yī)藥數(shù)理統(tǒng)計方法》§3.21、離差設X為一個隨機變量，若E(X)存在，則稱X

E(X)為隨機變量X的離差。(X-E(X)仍是隨機變量，可以研究其分布。如E[X-E(X)]=E(X)-E(E(X))=E(X)-E(X)=0,采用E︱X-E(X)︱可消除符號的影響，但不便于計算。于是通常采用E{[X-E(X)]2}?！夺t(yī)藥數(shù)理統(tǒng)計方法》§3.22、方差

設X為一個隨機變量，若E{[X

E(X)]2}存在，則稱其為隨機變量X的方差(variance)或總體方差，記作V(X)，即

V(X)=E{[X

E(X)]2}《醫(yī)藥數(shù)理統(tǒng)計方法》§3.1離散型連續(xù)型Xg(X)[X

E(X)]2注：1)計算方差的公式《醫(yī)藥數(shù)理統(tǒng)計方法》§3.1注：2)計算方差的一個簡化公式證明：《醫(yī)藥數(shù)理統(tǒng)計方法》§3.1例3.16見例3.1，設離散型隨機變量X的概率函數(shù)為X-1012P0.10.20.40.3試求V(X)。解：由例3.1，E(X)=0.9V(X)=E{[X

E(X)]2}=(-1-0.9)2×0.1+(0-0.9)2×0.2+(1-0.9)2×0.4+(2-0.9)2×0.3=0.89《醫(yī)藥數(shù)理統(tǒng)計方法》§3.1例3.18見例3.5，設連續(xù)型隨機變量X的概率密度函數(shù)如下所示，試求V(X)。解(一):由例3.5知E(X)=1/3《醫(yī)藥數(shù)理統(tǒng)計方法》§3.2解(二):例3.17若X～N(,2),則V(X)=

2?！夺t(yī)藥數(shù)理統(tǒng)計方法》§3.23、標準差、變異系數(shù)定義3.12設X為任一隨機變量，若V(X)存在，則稱為X的標準差(standarddeviation)，記作SD，即《醫(yī)藥數(shù)理統(tǒng)計方法》§3.2定義3.13設X為任一隨機變量，若它的標準差SD與E(X)都存在，則稱它們的比值為X的變異系數(shù)(