余弦定理的證明

余弦定理的證明余弦定理的證明在MBC中，AB=c、BC=a、CA=b則cA2=aA2+bA2-2ab*cosCaA2=bA2+cA2-2bc*cosAbA2=aA2+cA2-2ac*cosB下面在銳角△中證明第一個(gè)等式，在鈍角△中證明以此類推。過A作AD±BC于D,貝UBD+CD=a由勾股定理得：cA2=(AD)A2+(BD)A2,(AD)A2=bA2-(CD)A2所以cA2=(AD)A2-(CD)A2+bA2=(a-CD)A2-(CD)A2+bA2=aA2-2a*CD+(CD)A2-(CD)A2+bA2=aA2+bA2-2a*CD因?yàn)閏osC=CD/b所以CD=b*cosC所以cA2=aA2+bA2-2ab*cosC題目中人2表示平方。2談?wù)?、余弦定理的多種證法聊城二中魏清泉正、余弦定理是解三角形強(qiáng)有力的工具，關(guān)于這兩個(gè)定理有好幾種不同的證明方法.人教A版教材《數(shù)學(xué)》（必修5）是用向量的數(shù)量積給出證明的，如是在證明正弦定理時(shí)用到作輔助單位向量并對向量的等式作同一向量的數(shù)量積，這種構(gòu)思方法過于獨(dú)特，不易被初學(xué)者接受.本文試圖通過運(yùn)用多種方法證明正、余弦定理從而進(jìn)一步理解正、余弦定理，進(jìn)一步體會(huì)向量的巧妙應(yīng)用和數(shù)學(xué)中“數(shù)”與“形”的完美結(jié)合-定理：在MBC中，AB=c,AC=b,BC=a，則（1）（正弦定理）==;⑵（余弦定理）c2=a2+b2-2abcosC,b2=a2+c2-2accosB,a2=b2+c2-2bccosA.一、正弦定理的證明證法一：如圖1，設(shè)AD、BE、CF分別是MBC的三條高。則有AD=bsinzBCA,BE=csinzCAB,CF=asinzABCo所以S^ABC=abcsinzBCA=bcsinzCAB=casinzABC.證法二：如圖1,設(shè)AD、BE、CF分別是MBC的3條高。則有AD=bsinzBCA=csinzABC,BE=asinzBCA=csinzCABo證法三：如圖2,設(shè)CD=2r是5BC的外接圓的直徑，^UzDAC=90°,zABC=zADC。證法四：如圖3,設(shè)單位向量j與向量AC垂直。因?yàn)锳B=AC+CB,所以jAB=j(AC+CB)=jAC+jCB.因?yàn)閖AC=0,jCB=|j||CB|cos(90°-zC)=asinC,jAB=|j||AB|cos(90°-zA)=csinA.二、余弦定理的證明法一：在5BC中，已知，求c。過A作,在Rt中，,法二：，即：法三：先證明如下等式：⑴證明：故⑴式成立，再由正弦定理變形，得結(jié)合⑴、有即.同理可證三、正余弦定理的統(tǒng)一證明法一：證明：建立如下圖所示的直角坐標(biāo)系測A=(0,0)、B=(c,0),又由任意角三角函數(shù)的定義可得：C=(bcosA,bsinA)，以AB、BC為鄰邊作平行四邊形ABCCL則zBAC'=n-zB,.?.C'(acos(n-B),asin(n-B))=C'(-acosB,asinB).根據(jù)向量的運(yùn)算：=(-acosB,asinB),=-=(bcosA-c,bsinA),(1)由=:得asinB=bsinA,即.同理可得：=.?——??——.⑵由=(b-cosA-c)2+(bsinA)2=b2+c2-2bccosA,又1l=a,?a2=b2+c2-2bccosA.同理：c2=a2+b2-2abcosC;b2=a2+c2-2accosB.法二：如圖5,，設(shè)軸、軸方向上的單位向量分別為、，將上式的兩邊分別與、作數(shù)量積，可知,即將(1)式改寫為化簡得b2-a2-c2=-2accosB.即b2=a2+c2-2accosB.(4)這里(1)為射影定理，(2)為正弦定理，(4)為余弦定理.參考文獻(xiàn)：【1】孟燕平?抓住特征，靈活轉(zhuǎn)