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湖北省陽(yáng)新縣興國(guó)高級(jí)中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高一上期末監(jiān)測(cè)試題考生請(qǐng)注意:1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1.已知扇形的面積為,扇形圓心角的弧度是,則扇形的周長(zhǎng)為()A. B.C. D.2.如果函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,則的取值范圍是()A. B.C. D.以上選項(xiàng)均不對(duì)3.若均大于零,且,則的最小值為()A. B.C. D.4.函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是()A. B.C. D.5.如圖,在中,為邊上的中線,,設(shè),若,則的值為A. B.C. D.6.光線由點(diǎn)P(2,3)射到直線上,反射后過(guò)點(diǎn)Q(1,1),則反射光線所在的直線方程為A. B.C. D.7.我國(guó)古代《九章算術(shù)》里,記載了一個(gè)“商功”的例子:今有芻童,下廣二丈,袤三丈,上廣三丈,袤四丈,高三丈.問(wèn)積幾何?其意思是:今有上下底面皆為長(zhǎng)方形的草垛(如圖所示),下底寬2丈,長(zhǎng)3丈;上底寬3丈,長(zhǎng)4丈;高3丈.問(wèn)它的體積是多少?該書提供的算法是:上底長(zhǎng)的2倍與下底長(zhǎng)的和與上底寬相乘,同樣下底長(zhǎng)的2倍與上底長(zhǎng)的和與下底寬相乘,將兩次運(yùn)算結(jié)果相加,再乘以高,最后除以6.則這個(gè)問(wèn)題中的芻童的體積為A.13.25立方丈 B.26.5立方丈C.53立方丈 D.106立方丈8.已知定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)滿足,若方程有唯一的實(shí)數(shù)解,則()A.2 B.4C.8 D.169.若則一定有A. B.C. D.10.已知扇形的面積為9,半徑為3,則扇形的圓心角(正角)的弧度數(shù)為()A.1 B.C.2 D.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11.已知正數(shù)a,b滿足,則的最小值為_(kāi)_____12.在中,,,與的夾角為,則_____13.函數(shù)的最大值與最小值之和等于______14.已知角A為△ABC的內(nèi)角,cosA=-4515.已知,,向量與的夾角為,則________16.已知是球上的點(diǎn),,,,則球的表面積等于________________三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.已知函數(shù)的部分圖象如下圖所示.(1)求函數(shù)的解析式,并寫出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的(縱坐標(biāo)不變),再將所得的函數(shù)圖象上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得到函數(shù)的圖象.若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,求函數(shù)在區(qū)間上的值域.18.已知,且在第三象限,(1)和(2).19.求下列關(guān)于的不等式的解集:(1);(2)20.已知,求下列各式的值.(1);(2).21.已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò),且不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)都成立(1)求函數(shù)的解析式;(2)若對(duì)任意,不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍
參考答案一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解題分析】根據(jù)扇形的面積公式和弧長(zhǎng)的計(jì)算公式,求得弧長(zhǎng)和半徑,即可求得結(jié)果.【題目詳解】設(shè)扇形的半徑為,弧長(zhǎng)為.由題意:,解得,所以扇形的周長(zhǎng)為,故選:A.【題目點(diǎn)撥】本題考查扇形的弧長(zhǎng)和面積公式,屬基礎(chǔ)題.2、A【解題分析】先求出二次函數(shù)的對(duì)稱軸,由區(qū)間,在對(duì)稱軸的左側(cè),列出不等式解出的取值范圍【題目詳解】解:函數(shù)的對(duì)稱軸方程為:,函數(shù)在區(qū)間,上遞減,區(qū)間,在對(duì)稱軸的左側(cè),,故選:A【題目點(diǎn)撥】本題考查二次函數(shù)圖象特征和單調(diào)性,以及不等式的解法,屬于基礎(chǔ)題3、D【解題分析】由題可得,利用基本不等式可求得.【題目詳解】均大于零,且,,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立,故的最小值為.故選:D.【題目點(diǎn)撥】易錯(cuò)點(diǎn)睛:利用基本不等式求最值時(shí),要注意其必須滿足的三個(gè)條件:(1)“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù);(2)“二定”就是要求和的最小值,必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值;要求積的最大值,則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值;(3)“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí),必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件,若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值,這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.4、B【解題分析】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在性定理判斷即可【題目詳解】,,,故零點(diǎn)所在區(qū)間為故選:B5、C【解題分析】分析:求出,,利用向量平行的性質(zhì)可得結(jié)果.詳解:因?yàn)樗?,因?yàn)椋瑒t,有,,由可知,解得.故選點(diǎn)睛:本題主要考查平面向量的運(yùn)算,屬于中檔題.向量的運(yùn)算有兩種方法,一是幾何運(yùn)算往往結(jié)合平面幾何知識(shí)和三角函數(shù)知識(shí)解答,運(yùn)算法則是:(1)平行四邊形法則(平行四邊形的對(duì)角線分別是兩向量的和與差);(2)三角形法則(兩箭頭間向量是差,箭頭與箭尾間向量是和);二是坐標(biāo)運(yùn)算:建立坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化為解析幾何問(wèn)題解答(求最值與范圍問(wèn)題,往往利用坐標(biāo)運(yùn)算比較簡(jiǎn)單)6、A【解題分析】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為,則,解得,即對(duì)稱點(diǎn)為,則反射光線所在直線方程即:故選7、B【解題分析】根據(jù)題目給出的體積計(jì)算方法,將幾何體已知數(shù)據(jù)代入計(jì)算,求得幾何體體積【題目詳解】由題,芻童的體積為立方丈【題目點(diǎn)撥】本題考查幾何體體積的計(jì)算,正確利用題目條件,弄清楚問(wèn)題本質(zhì)是關(guān)鍵8、B【解題分析】由條件可得,為周期函數(shù),且一個(gè)周期為6,設(shè),則得到偶函數(shù),由有唯一的實(shí)數(shù)解,得有唯一的零點(diǎn),則,從而得到答案.【題目詳解】由得,即,從而,所以為周期函數(shù),且一個(gè)周期為6,所以.設(shè),將的圖象向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,可得到函數(shù)的圖象,且為偶函數(shù).由有唯一的實(shí)數(shù)解,得有唯一的零點(diǎn),從而偶函數(shù)有唯一的零點(diǎn),且零點(diǎn)為,即,即,解得,所以故選:.【題目點(diǎn)撥】關(guān)鍵點(diǎn)睛:本題考查函數(shù)的奇偶性和周期性的應(yīng)用,解答本題的關(guān)鍵是由條件得到,得到為周期函數(shù),設(shè)的圖象,且為偶函數(shù).由有唯一的實(shí)數(shù)解,得有唯一的零點(diǎn),從而偶函數(shù)有唯一的零點(diǎn),且零點(diǎn)為,屬于中檔題.9、D【解題分析】本題主要考查不等關(guān)系.已知,所以,所以,故.故選10、C【解題分析】利用扇形面積公式即可求解.【題目詳解】設(shè)扇形的圓心角的弧度數(shù)為,由題意得,得.故選:C.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11、##【解題分析】右邊化簡(jiǎn)可得,利用基本不等式,計(jì)算化簡(jiǎn)即可求得結(jié)果.【題目詳解】,故,則,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立故答案為:12、【解題分析】利用平方運(yùn)算可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)量積和模長(zhǎng)的運(yùn)算,代入求得,開(kāi)方得到結(jié)果.【題目詳解】【題目點(diǎn)撥】本題考查向量模長(zhǎng)的求解問(wèn)題,關(guān)鍵是能夠通過(guò)平方運(yùn)算將問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)橄蛄康臄?shù)量積和模長(zhǎng)的運(yùn)算,屬于??碱}型.13、0【解題分析】先判斷函數(shù)為奇函數(shù),則最大值與最小值互為相反數(shù)【題目詳解】解:根據(jù)題意,設(shè)函數(shù)的最大值為M,最小值為N,又由,則函數(shù)為奇函數(shù),則有,則有;故答案為0【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)奇偶性,利用奇函數(shù)的性質(zhì)求解是解題關(guān)鍵14、35【解題分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系,結(jié)合角A的范圍,即可得答案.【題目詳解】因?yàn)榻茿為△ABC的內(nèi)角,所以A∈(0,π),因?yàn)閏osA=-所以sinA=故答案為:315、1【解題分析】由于.考點(diǎn):平面向量數(shù)量積;16、【解題分析】由已知S,A,B,C是球O表面上的點(diǎn),所以,又,,所以四面體的外接球半徑等于以長(zhǎng)寬高分別以SA,AB,BC三邊長(zhǎng)為長(zhǎng)方體的外接球的半徑,因?yàn)椋?所以,所以球的表面積點(diǎn)睛:本題考查了球內(nèi)接多面體,球的表面積公式,屬于中檔題.其中根據(jù)已知條件求球的直徑(半徑)是解答本題的關(guān)鍵三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1),遞增區(qū)間為;(2).【解題分析】(1)由三角函數(shù)的圖象,求得函數(shù)的解析式,結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì),即可求解.(2)由三角函數(shù)的圖象變換,求得,根據(jù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,求得的值,得到,結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì),即可求解.【題目詳解】(1)由圖象可知,,所以,所以,由圖可求出最低點(diǎn)的坐標(biāo)為,所以,所以,所以,因?yàn)椋?,所以,由,可?所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.(2)由題意知,函數(shù),因?yàn)榈膱D象關(guān)于直線對(duì)稱,所以,即,因?yàn)?,所以,所?當(dāng)時(shí),,可得,所以,即函數(shù)的值域?yàn)?【題目點(diǎn)撥】解答三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的基本方法:1、根據(jù)已知條件化簡(jiǎn)得出三角函數(shù)的解析式為的形式;2、熟練應(yīng)用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì),結(jié)合數(shù)形結(jié)合法的思想研究函數(shù)的性質(zhì)(如:?jiǎn)握{(diào)性、奇偶性、對(duì)稱性、周期性與最值等),進(jìn)而加深理解函數(shù)的極值點(diǎn)、最值點(diǎn)、零點(diǎn)及有界性等概念與性質(zhì),但解答中主要角的范圍的判定,防止錯(cuò)解.18、(1),(2)【解題分析】(1)利用同角三角函數(shù)關(guān)系求解即可.(2)利用同角三角函數(shù)關(guān)系和誘導(dǎo)公式求解即可.【小問(wèn)1詳解】已知,且在第三象限,所以,【小問(wèn)2詳解】原式19、(1)或;(2)答案見(jiàn)解析.【解題分析】(1)將原不等式變形為,再利用分式不等式的解法可得原不等式的解集;(2)分、、三種情況討論,利用二次不等式的解法可得原不等式的解集.【小問(wèn)1詳解】解:由得,解得或,故不等式的解集為或.【小問(wèn)2詳解】解:當(dāng)時(shí),原不等式即為,該不等式的解集為;當(dāng)時(shí),,原不等式即為.①若,則,原不等式的解集為或;②若,則,原不等式的解集為或.綜上所述,當(dāng)時(shí),原不等式的解集為;當(dāng)時(shí),原不等式的解集為或;當(dāng)時(shí),原不等式解集為或.20、(1)2(2)【解題分析】(1)依據(jù)三角函數(shù)誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)后去求解即可解決;(2)轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)齊次式的值即可解決.【小問(wèn)1詳解】原式.【小問(wèn)2詳解】原式.21、(1);(2).【解題分析】(1)觀察不等式,令,得到成立,即,以及,再根據(jù)不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)都成立,列式求函數(shù)的解析式;(2)法一,不等式轉(zhuǎn)化為對(duì)恒成立,利用函數(shù)與不等式的關(guān)系,得到的取值范圍,法二,代入后利用平方關(guān)系得到,恒成立,再根據(jù)參變分離,轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題求參數(shù)的取值范圍.【題目詳解】(1)由題意得:①,因?yàn)椴坏仁綄?duì)一切實(shí)數(shù)都成立,令,得:,所以,即②由①②解得:,且,所以,由題意得:且對(duì)恒成立,即對(duì)恒成立,對(duì)③而言,由且,得到,所以,經(jīng)檢
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