2022-2023學(xué)年江西省九江市德安縣高二下學(xué)期7月期末數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年江西省九江市德安縣高二下學(xué)期7月期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知全集，集合，則下列關(guān)系正確的是(

)A． B．C． D．【答案】B【分析】首先通過解一元二次不等式求出集合，進(jìn)而判斷選項A是否正確；通過集合間的包含關(guān)系和交運算可判斷選項BD；利用補集運算可判斷選項C.【詳解】因為，解得或，所以或，由元素和集合的關(guān)系可知，，故A錯誤；由集合間的包含關(guān)系和交集運算可知，B正確，D錯誤；由補集運算可知，，故C錯誤.故選：B.2．若點，在直線l上，則直線l的一個方向向量為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由方向向量的概念求解，【詳解】由，l的方向向量與平行，只有選項A滿足題意，故選：A3．已知三條直線，，不能構(gòu)成三角形，則實數(shù)的取值集合為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意得到直線與直線和直線分別平行時或直線過直線和直線的交點時，三條直線不能構(gòu)成三角形，再分別計算相應(yīng)的值即可.【詳解】由題知：①當(dāng)直線與直線平行時，三條直線不能構(gòu)成三角形.即.②當(dāng)直線與直線平行時，三條直線不能構(gòu)成三角形.即.③當(dāng)直線過直線與直線交點時，三條直線不能構(gòu)成三角形.所以，解得，將代入，解得.所以實數(shù)的取值集合為.故選：D.4．若是等差數(shù)列的前項和，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用等差數(shù)列的求和公式以及等差中項的性質(zhì)可求得結(jié)果.【詳解】由題意可得.故選：C.【點睛】本題考查利用等差數(shù)列求和公式以及等差中項的性質(zhì)求值，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.5．在等比數(shù)列中，若，則公比（

）A． B． C．2 D．3【答案】C【分析】由題得，化簡即得解.【詳解】因為，所以，所以，解得.故選：C6．已知實數(shù)，且，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】通過構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷出所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性，由此確定正確答案.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，由，，即，同理，因為在上單調(diào)遞增，所以，故，因為在上單調(diào)遞減，，故．因為，故，即，因為在上單調(diào)遞減，，故，從而.故選：D【點睛】本題的求解巧妙的利用了構(gòu)造函數(shù)法，通過構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性后，可以將要比較大小的三個數(shù)用函數(shù)的單調(diào)性確定大小關(guān)系.7．近幾年，我國在電動汽車領(lǐng)域有了長足的發(fā)展，電動汽車的核心技術(shù)是動力總成，而動力總成的核心技術(shù)是電機和控制器，我國永磁電機的技術(shù)已處于國際領(lǐng)先水平.某公司計劃今年年初用196萬元引進(jìn)一條永磁電機生產(chǎn)線，第一年需要安裝?人工等費用24萬元，從第二年起，包括人工?維修等費用每年所需費用比上一年增加8萬元，該生產(chǎn)線每年年產(chǎn)值保持在100萬元.則引進(jìn)該生產(chǎn)線后總盈利的最大值為（

）A．204萬元 B．220萬元 C．304萬元 D．320萬元【答案】A【分析】設(shè)引進(jìn)設(shè)備n年后總盈利為萬元，設(shè)除去設(shè)備引進(jìn)費用，第n年的成本為，構(gòu)成一等差數(shù)列，由等差數(shù)列前公式求得第年總成本，這樣可得總盈利，由二次函數(shù)性質(zhì)可得最大值；【詳解】設(shè)引進(jìn)設(shè)備年后總盈利為萬元，設(shè)除去設(shè)備引進(jìn)費用，第年的成本為萬元，則由題意，知為等差數(shù)列，前年成本之和為萬元，故，，所以當(dāng)時，，即總盈利的最大值為204萬元.故選：A.8．已知函數(shù)，若不等式恒成立，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】令，則是偶函數(shù)，所以考慮的情況即可，由恒成立，代入時的解析式并分離參數(shù)，構(gòu)造新的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得的最大值即可.【詳解】令，，所以是偶函數(shù)，成立，所以考慮的情況即可，當(dāng)時，，恒成立，即恒成立，分離參數(shù)，即恒成立，令，，則，，，即，解得，，解得，所以在上單調(diào)遞減，，解得，所以在上單調(diào)遞增，所以在處取得極大值即最大值，，又因為恒成立，所以.故選：C【點睛】本題主要考查分段函數(shù)的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)求最值，考查學(xué)生構(gòu)造函數(shù)和分離參數(shù)的應(yīng)用，同時還考查學(xué)生分析轉(zhuǎn)化能力和計算能力，屬于難題.二、多選題9．直線運動的物體，從時刻到時，物體的位移為，那么關(guān)于的下列說法錯誤的是（

）A．從時刻到時物體的平均速度B．從時刻到時位移的平均變化率C．當(dāng)時刻為時該物體的速度D．該物體在時刻的瞬時速度【答案】ABC【分析】根據(jù)極限的定、瞬時速度判斷．【詳解】表示到時，物體的位移的平均變化率，即速度，而表示時刻時的瞬時速度，只有D正確，ABC均錯誤，故選：ABC．10．關(guān)于切線，下列結(jié)論正確的是（

）A．過點且與圓相切的直線方程為B．過點且與拋物線相切的直線方程為C．過點且與曲線相切的直線l的方程為D．曲線在點處的切線方程為【答案】ABD【分析】依次求四個選項中的切線方程，判斷正誤.【詳解】對于A，點在圓上，設(shè)切線斜率為，則，所以，切線方程為，即，A正確；對于B，設(shè)切線斜率為（），切線方程為，與聯(lián)立，得，則，解得，所以切線方程為，即，B正確；對于C，對求導(dǎo)得，設(shè)切點為，切線斜率，則，解得，切點為，斜率，所以切線方程為，即，C錯誤；對于D，對求導(dǎo)得，點處的切線的斜率，切線方程為，即，D正確.故選：ABD.11．四邊形內(nèi)接于圓，，，，下列結(jié)論正確的有（

）A．四邊形為梯形B．四邊形的面積為C．圓的直徑為7D．的三邊長度可以構(gòu)成一個等差數(shù)列.【答案】ABD【分析】直接利用余弦定理，三角形的面積公式，圓的內(nèi)接四邊形性質(zhì)，和等差數(shù)列的證明對選項逐一判斷即可.【詳解】+連接，由可得，又因為，所以顯然不平行即四邊形為梯形，故正確；在中，=49在中由余弦定理可得解得或（舍去）故B正確在中由余弦定理可得圓的直徑不可能是，故C錯誤；在中，，，，滿足的三邊長度可以構(gòu)成一個等差數(shù)列，故D正確.故選：ABD12．已知函數(shù)，其中且，則下列說法正確的有（

）A．的對稱中心為B．恰有兩個零點C．若方程有三個不等的實根，則D．若方程的三個不等實根分別為，則【答案】ABD【分析】根據(jù)題意得到，可判定A正確；求得，得出函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合極值，可判定B正確；轉(zhuǎn)化為和的圖象有三個交點，分和時，可判定C錯誤；根據(jù)，得到，進(jìn)而可判定D正確.【詳解】對于A中，由，可得，所以對稱中心為，所以A正確；對于B中，因為且，即，所以，由，令時，解得，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增；所以為極小值點，為極大值點，且，當(dāng)時；當(dāng)時，兩種情況下均只有兩個零點，所以B正確；對于C中，要使得方程有三個不等的實根，即和圖象有三個交點，當(dāng)時，可得，則滿足，當(dāng)時，可得，則滿足，所以C錯誤；對于D中，由的三個零點分別為，可設(shè)，即，可得因此，所以D正確.故選：ABD【點睛】方法技巧：對于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．三、填空題13．在直線上有不同的兩點，，則的長度為（用k和表示）．【答案】【分析】利用兩點間距離公式推導(dǎo)出結(jié)果.【詳解】.故答案為：14．小王逛書店，他買甲書和買乙書相互獨立，若小王買甲書不買乙書的概率為，甲和乙兩本書都買的概率為，則小王買乙書的概率為.【答案】/0.75【分析】根據(jù)相互獨立事件的概率乘法公式列出方程組即可.【詳解】設(shè)購買甲書的概率為，購買乙書的概率為，則由題意可得解得.故答案為:.15．在區(qū)間上的最大值為.【答案】【解析】先求導(dǎo)，得到函數(shù)的單調(diào)性，從而得到函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，可得函數(shù)在上的最大值.【詳解】解：，令得，，令得，或，∴在和上單調(diào)遞增；令得，，∴在上單調(diào)遞減，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴函數(shù)在上的最大值為.故答案為：.16．已知數(shù)列滿足，下列說法正確的是．①；②都是整數(shù)；③成等差數(shù)列；④．【答案】②③【分析】根據(jù)，直接求得，由遞推公式得，令，則有，從而的出數(shù)列的通項，從而可判斷②③④的對錯.【詳解】解：，故①錯誤；因為，即則，兩式相減得：，所以，令，則有，又，，所以，所以，又因均為整數(shù)，所以都是整數(shù)，故②正確；當(dāng)n為奇數(shù)時，則為偶數(shù)，為奇數(shù)，，即，即，所以成等差數(shù)列，故③正確；因為，所以當(dāng)為奇數(shù)時，，所以當(dāng)為偶數(shù)時，，故④錯誤.故答案為：②③.四、解答題17．在無窮數(shù)列中，，，．(1)若是等差數(shù)列，求的前n項和；(2)若，求的通項公式．【答案】(1)(2)【分析】（1）由已知條件求出公差，從而可求出，（2）由已知可得，解方程組求出，從而可求出【詳解】（1）設(shè)公差為d，則，故．（2）設(shè)，由，，，得，解得故的通項公式為．18．某企業(yè)擁有甲、乙兩條零件生產(chǎn)線，為了解零件質(zhì)量情況，采用隨機抽樣方法從兩條生產(chǎn)線共抽取200個零件，測量其尺寸（單位：）得到如下統(tǒng)計表，其中尺寸位于的零件為一等品，位于和的零件為二等品，否則零件為三等品．生產(chǎn)線甲49232824102乙716152817152(1)完成列聯(lián)表，依據(jù)的獨立性檢驗?zāi)芊裾J(rèn)為零件為一等品與生產(chǎn)線有關(guān)聯(lián)？生產(chǎn)線產(chǎn)品等級合計一等品非一等品甲乙合計(2)將樣本頻率視為概率，從甲、乙兩條生產(chǎn)線中分別隨機抽取2個零件，每次抽取零件互不影響，以表示這4個零件中一等品的數(shù)量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；參考公式和數(shù)據(jù)：，【答案】(1)填表見解析；認(rèn)為零件為一等品與生產(chǎn)線之間有關(guān)聯(lián)(2)分布列見解析；期望為.【分析】（1）根據(jù)卡方獨立性檢驗可判斷（2）根據(jù)甲、乙兩天生產(chǎn)線的一等品概率，根據(jù)時間獨立性，求分布列即可.【詳解】（1）生產(chǎn)線產(chǎn)品等級合計一等品非一等品甲7525100乙6040100合計13565200生產(chǎn)線與產(chǎn)品等級之間無關(guān)聯(lián)根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，即認(rèn)為零件為一等品與生產(chǎn)線之間有關(guān)聯(lián)．（2）由已知任取一個甲生產(chǎn)線零件為一等品的概率為，任取一個乙生產(chǎn)線零件為一等品的概率為．的所有可能取值為0，1，2，3，4．，，，，，所以的分布列為01234P．19．如圖，在四棱錐中，平面ABCD，底面ABCD為菱形，，.點E，F(xiàn)分別在棱PA，PB，且.(1)求證：；(2)若直線PD與平面CEF所成的角的正弦值為.（i）求點P與到平面CEF的距離；（ii）試確定點E的位置.【答案】(1)證明見解析；(2)(i)；(ii)E為PA的中點.【分析】(1)根據(jù)與即可得出；(2)根據(jù)題意可證得、、兩兩垂直，以、、所在直線分別為x、y、z軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，設(shè)()，求出各點和線段的坐標(biāo)，進(jìn)而求出平面的法向量，利用空間向量的數(shù)量積表示線面角的正弦值，求出a的值，確定點E的位置，結(jié)合等體積法即可求得點到面的距離.【詳解】（1）由題意知，因為，所以；（2）因為為菱形，，連接AC，則為正三角形，取AC的中點H，連接AH，則，所以，由平面，平面，所以，，以、、所在直線分別為x、y、z軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，其中，由，得，則，有，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則，所以，設(shè)直線PD與平面的夾角為，則，化簡，得，由，得，此時，即E為PA的中點；有，取AB的中點O，則OF=OE=EF=1，，有平面PAB，所以，而，在中有，所以，所以，由，設(shè)點P到平面的距離為h，則，即，得.(i)點P到平面的距離為；(ii)點E為AP的中點.20．已知數(shù)列滿足，且（）.（1）求的通項公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項和為，求證：.【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）對題中所給式子取倒數(shù)得：，可知數(shù)列是等差數(shù)列，最后得出的通項公式；（2）當(dāng)時，利用放縮法可得，然后利用裂項相消法可求得的前n項和，進(jìn)而可得，又可得出，從而，最后可證明結(jié)論.【詳解】（1）對式子取倒數(shù)得：，所以數(shù)列是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，所以，即；（2）（），故，另一方面：，從而，即，綜上得：.【點睛】本題考查數(shù)列通項公式的求法，考查利用數(shù)列性質(zhì)證明不等式，考查邏輯思維能力和推理能力，屬于?？碱}.21．已知橢圓的左?右焦點分別為，，為橢圓上一點的周長為，最大時的余弦值為.（1）求橢圓的方程；（2）若和為軸同側(cè)的兩點，且，求四邊形面積的最大值及此時直線的方程.【答案】（1）；（2）面積的最大值，方程為.【分析】（1）的周長為，當(dāng)為短軸的頂點時，最大，則，即可求出的方程；（2）設(shè)直線的方程代入橢圓的方程，求出兩根關(guān)系，寫出四邊形的面積的表達(dá)式，結(jié)合均值不等式求得最值及直線方程．【詳解】（1）設(shè)橢圓的焦距為.由橢圓的定義可知.①由橢圓的幾何性質(zhì)可知，當(dāng)為短軸的頂點時，最大，為，則有.聯(lián)立①②可得，，所以，故橢圓的方程為.（2）因為，所以.延長，交橢圓于點.設(shè)，.由（1）可知，可設(shè)直線的方程為.聯(lián)立消去可得，所以，.由對稱性可知.設(shè)與間的距離為，則四邊形的面積.令，則.因為，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，此時，解得，因此直線的方程為．【點睛】解決直線與橢圓的綜合問題時，要注意：(1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個條件，明確確定直線、橢圓的條件；(2)強化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能