幾種特殊積分的計算方法

幾種特殊積分的計算方法1前言積分發(fā)展的動力來自于實際應(yīng)用中的需求.實際操作中，有時候可以粗略乘寬乘高求出.但如果游泳池是卵形、拋物型或者更加不規(guī)則的形狀，就需要用積分來求出容積.物理學中，常常需要知道一個物理量〔比方位移〕對另一個〔比方力〕的累積效果，這時候也需要積分.在古希臘數(shù)學的早期，數(shù)學分析的結(jié)果是隱含給出的.比方，芝諾的兩分法悖論就隱含了無限幾何和.再后來，古希臘數(shù)學家如歐多克索斯和阿基米德窮竭法去計算區(qū)域和固體的面積和體積時，使用了極限和收斂的概念.在古印度數(shù)學〔英語：Indianmathematics〕的早期，12世紀的數(shù)學家婆什迦羅第二給出了導(dǎo)數(shù)的例子，還使用過現(xiàn)在所知的羅爾定理.數(shù)學分析的創(chuàng)立始于17世紀以牛頓〔Newton,I.〕和萊布尼茨〔Leibniz,G.W.〕為代表的開創(chuàng)性工作，而完成于19世紀以柯西〔Cauchy,A.-L.〕和魏爾斯特拉斯〔Weierstrass,K.(T.W.)〕為代表的奠基性工作.從牛頓開始就將微積分學及其有關(guān)內(nèi)容稱為分析.其后，微積分學領(lǐng)域不斷擴大，但許多數(shù)學家還是沿用這一名稱.時至今日，許多內(nèi)容雖已從微積分學中別離出去，成了獨立的學科，而人們?nèi)砸苑治鼋y(tǒng)稱之.數(shù)學分析亦簡稱分析〔參見“分析學”〕.數(shù)學分析的研究對象是函數(shù)，它從局部和整體這兩個方面研究函數(shù)的基本性態(tài)，從而形成微分學和積分學的基本內(nèi)容.微分學研究變化率等函數(shù)的局部特征，導(dǎo)數(shù)和微分是它的主要概念，求導(dǎo)數(shù)的過程就是微分法.圍繞著導(dǎo)數(shù)與微分的性質(zhì)、計算和直接應(yīng)用，形成微分學的主要內(nèi)容.積分學則從總體上研究微小變化〔尤其是非均勻變化〕積累的總效果，其基本概念是原函數(shù)〔反導(dǎo)數(shù)〕和定積分，求積分的過程就是積分法.積分的性質(zhì)、計算、推廣與直接應(yīng)用構(gòu)成積分學的全部內(nèi)容.牛頓和萊布尼茨對數(shù)學的杰出奉獻就在于，他們在1670年左右，總結(jié)了求導(dǎo)數(shù)與求積分的一系列基本法則，發(fā)現(xiàn)了求導(dǎo)數(shù)與求積分是兩種互逆的運算，并通過后來以他們的名字命名的著名公式反映了這種互逆關(guān)系，從而使本來各自獨立發(fā)展的微分學和積分學結(jié)合而成一門新的學科一一微積分學.又由于他們及一些后繼學者〔特別是歐拉極限的方法，或者說是無窮小分析.洛比達〔L'Hospital,G.-F.-A.de〕于1696年在巴黎出版的世界上第一本微積分教科書，歐拉于1748年出版的兩卷本溝通微積分與初

等分析的書，書名中都出現(xiàn)過無窮小分析這個詞.在微積分學發(fā)展的初期，這種新的方法顯示出巨大的力量，因而得到大批重要的成果.許多與微積分有關(guān)的新的數(shù)學分支，如變分法、微分方程以至于微分幾何和復(fù)變函數(shù)論，都在18—19世紀初發(fā)展起來.然而，初期的分析還是比較粗糙的，被新方法的力量鼓舞的數(shù)學家們經(jīng)常不顧演繹的邏輯根據(jù)，使用著直觀的猜測和自相矛盾的推理，以致在整個18世紀，對這種方法的合理性普遍存在著疑心.這些疑心在很大程度上是從當時經(jīng)常使用的無窮小的含義與用法上引起的.隨意使用與解釋無窮小導(dǎo)致了混亂和神秘感.許多人參與了無窮小本質(zhì)的論爭，其中有些人，如拉格朗日〔Lagrange,J.-L.〕，試圖排除無窮小與極限，把微積分代數(shù)化.論爭使函數(shù)與極限的概念逐漸明朗化.越來越多的的數(shù)學家認識到，必須把數(shù)學分析的概念與其在客觀世界的原型以及人的直覺區(qū)分開來.因而，從19世紀初開始了一個一個把分析算術(shù)化〔使分析成為一種像算術(shù)那樣的演繹系統(tǒng)〕為特征的新的數(shù)學分析的批判改造時期.柯西于1821年出版的《分析教程》是分析嚴密化的一個標志.在這本書中，柯西建立了接近現(xiàn)代形式的極限，把無窮小定義為趨于零的變量，從而結(jié)束了百年的爭論.在極限的基礎(chǔ)上，柯西定義了函數(shù)的連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)、連續(xù)函數(shù)的積分和級數(shù)的收斂性〔后來知道，波爾查諾〔Bolzano,B.〕同時也做過類似的工作〕.進一步，狄利克雷于〔Dirichlet,P.G.L.〕1837年提出了函數(shù)的嚴格定義，魏爾特拉斯引進了極限的定義.基本上實現(xiàn)了分析的算術(shù)化，使分析從幾何直觀的局限中得到了“解放”，從而驅(qū)散了17—18世紀籠罩在微積分外面的神秘云霧.繼而在此基礎(chǔ)上，黎曼〔Riemann,(G.F.)B.〕于1854年和達布(Darboux,(J.-)G.〕于1875年對有界函數(shù)建立了嚴密的積分理論，19世紀后半葉，戴德金(Dedekind,J.W.R〕等人完成了嚴格的實數(shù)理論.至此，數(shù)學分析的理論和方法完全建立在牢固的基礎(chǔ)之上，基本上形成了一個完整的體系，也為20世紀現(xiàn)代分析的發(fā)展鋪平了道路.2選題背景2.1題目類型及來源題目類型：研究論文題目來源：專題研究研究目的和意義在一般高等數(shù)學教材中對泊松積分的計算很少有涉及，而在實際問題中，例如在處理概率與統(tǒng)計問題及熱傳導(dǎo)等問題時都會用到泊松積分，由于泊松積分的被積函數(shù)不是初等函數(shù)，因此，不能用牛頓-萊布尼茲公式來計算其積分值，但泊松積分在數(shù)學分析、概率統(tǒng)計及其物理等方面有廣泛的應(yīng)用，我們必須用其它方法計算其積分值.利用留數(shù)定理，我們可以把計算一些積分的問題轉(zhuǎn)化為計算某些解析函數(shù)在孤立奇點的留數(shù)，從而大大化簡計算.廣義積分是解決實際問題中常見的一個計算工具，但其形式多樣，計算復(fù)雜.有些廣義積分問題單純應(yīng)用數(shù)學分析理論求解過程繁瑣，甚至不能解出，但卻可以應(yīng)用復(fù)變函數(shù)理論中的留數(shù)定理來研究兩類特殊形式的廣義積分.國內(nèi)外現(xiàn)狀和發(fā)展趨勢與研究的主攻方向幾種特殊積分中的高斯積分是一個著名的積分，在工程技術(shù)中有很多應(yīng)用.在數(shù)學中高斯做出很多奉獻.高斯公式是曲面積分的一個重要公式，而通過高斯公式我們可以提出高斯定理，高斯定理是電磁學中的基本定理：0丈啟=￡事即通過任一閉合曲面〔高斯面〕的電通量等于該閉合曲面包圍電荷的代數(shù)和除以0;穿過高斯面的電通量，只與該電荷系電荷代數(shù)和相關(guān)，與高斯面的形狀無關(guān)，也與該電荷系的電荷分布無關(guān).高斯定理不僅適用于靜電場，也適用于變化的感生電場，是電磁場基本方程之一.高斯定律在靜電場情況下類比于應(yīng)用在磁場學的安培定律，而二者都被集中在麥克斯韋方程組中.因為數(shù)學上的相似性，高斯定律也可以應(yīng)用于其它由反平方定律決定的物理量，例如引力或者輻照度.計算泊松積分的值的七種不同的計算方法以及該反常積分的相關(guān)應(yīng)用，雖然該反常積分的值已被人們所熟知，但其求解方法還是值得我們關(guān)注的，其中所用到的方法也是在解決實際問題中比較重要的，另外，該反常積分與復(fù)變函數(shù)論中的知識進行結(jié)合還可用來求一些比較復(fù)雜的反常積分，在概率統(tǒng)計以及物理的一些求解中泊松積分也會起到十分重要的作用，通過對泊松積分值的計算方法及其應(yīng)用的相關(guān)介紹，使人們對泊松積分有一個更深刻的了解，同時了解求解泊松積分過程中所涉及到的相關(guān)解法，以便以后在解決相關(guān)問題時更好的應(yīng)用.菲涅爾(Fresnel)積分,這是以法國物理學家菲涅爾的名字而命名的.這兩個廣義積分在物理學中有重要的應(yīng)用，比方要計算菲涅爾繞射強度問題，噪聲水平縮減問題等，就需要用到這兩個積分.3計算積分的一些定理積分的基本定義：設(shè)F〔.「J為函數(shù)的一個原函數(shù)，我們把函數(shù)f〔「j的所有原函數(shù)F.，「C〔C為任意常數(shù)〕叫做函數(shù)fEj的不定積分記做，3.，上.其中』叫做積分號，fE叫被積函數(shù)，J"、叫做積分變量，f0叫做被積因式.C叫積分常數(shù)，求已知函數(shù)不定積分的過程叫做對這個函數(shù)進行積分.積分的基本原理：微積分基本定理，由艾薩克?牛頓和戈特弗里德?威廉?萊布尼茨在十七世紀分別單獨確立.微積分基本定理將微分和積分聯(lián)系在一起，這樣，通過找出一個函數(shù)的原函數(shù)，就可以方便地計算它在一個區(qū)間上的積分.積分和導(dǎo)數(shù)已成為高等數(shù)學中最基本的工具，并在自然科學和工程學中得到廣泛運用.積分的一個嚴格的數(shù)學定義由波恩哈德?黎曼給出〔參見條目“黎曼積分”〕.黎曼的定義運用了極限的概念，把曲邊梯形設(shè)想為一系列矩形組合的極限.從十九世紀起，更高級的積分定義逐漸出現(xiàn)，有了對各種積分域上的各種類型的函數(shù)的積分.比方說，路徑積分是多元函數(shù)的積分，積分的區(qū)間不再是一條線段〔區(qū)間［a,b］〕，而是一條平面上或空間中的曲線段；在面積積分中，曲線被三維空間中的一個曲面代替.對微分形式的積分是微分幾何中的基本概念.對積分概念的推廣來自于物理學的需要，并表達在許多重要的物理定律中，尤其是電動力學.現(xiàn)代的積分概念基于測度論，主要是由昂利?勒貝格建立的勒貝格積分.3.1留數(shù)定理和圍道積分設(shè)I：在以曲線1圍成的區(qū)域『?內(nèi)除有有限個孤立點、山-.外單值解析，在閉區(qū)域『-上連續(xù)，則有街—(bk；idz其中，res"心表示/〔z〕在孤立奇點眼的某〔去心〕領(lǐng)域內(nèi)的羅朗展開的負一次幕，的系數(shù)，記作res/3〕=」 〔3.1.2〕稱作/〔z〕在它的孤立奇點加?處的留數(shù).〔3.1.2〕被稱為留數(shù)定理.傅里葉變換由高等數(shù)學我們知道，一個以21為周期的函數(shù)/「.」，假設(shè)在區(qū)間L- .」上滿足狄理克萊條件〔即連續(xù)或有有限個第一類間斷點，并且只有有限個極值點〕，則在I--■■」上可展開為傅氏級數(shù).傅氏級數(shù)的復(fù)數(shù)形式為—一. nn 1r1 ，、 —其中"|，■■:r. ■|-I「； ；:因此，/、也可以表示為/")：：.「一"「(3.2.1)由此看到，以21為周期的函數(shù)，在自變數(shù)增長的過程中，函數(shù)值有規(guī)律的重復(fù)，自變數(shù)每增長一個21，函數(shù)就重復(fù)變化一次，其中，參數(shù)?不連續(xù)地跳躍地去以下數(shù)值：TOC\o"1-5"\h\znir 2nTT n2ir miI， - 1-I'■■■1,1■ ,-,其躍變間隔為.."n— -.對于非周期函數(shù)而言，當然不具備以上這些特點，但我們自然想到，假設(shè)將其看成周期趨于無窮大〔21"〕的“周期函數(shù)”，則當然可模照〔3.2.1〕寫出它的傅氏展開式，只是此時△…I「七這說明參數(shù)'變?yōu)閑不再躍變，而是連續(xù)變化，即，非周期函數(shù)門S,可以表示為廣)"'■■■<■.<■'■■J ]f8=血￡二』京如(§)廠陽§d§W%斜亦即/ &)二偵廣」廣../(§北一zd§kg<o(3.2.2)(3.2.2)稱為函數(shù)/('、：!的傅里葉積分公式.應(yīng)該看出，上述的推導(dǎo)不嚴格的，因為我們交換了極限過程與求和過程的次序.實際上，傅氏積分成立，需要滿足下述傅里葉積分定理：設(shè)在〔-「?、￥上有定義且〔1〕在任一有限區(qū)間上滿足狄利克萊條件;在無限區(qū)間負無窮到正無窮上絕對可積JDDJ;(x)ldx<+s,則傅里葉積分公式/￡二土廠」匚頊如在門良的連續(xù)點x出成立，而在/，：'、"/的第一類間斷點'處，右邊的積分應(yīng)該以-'1■'-/ I代替.在傅氏積分公式〔3.2.2〕中令*二」小)「5、. (3.2.3)則/?■) ，.i (3.2.4)可見函數(shù)"和G?」可以通過相互表達.我們稱〔3.2.3〕為函數(shù)/E的傅里葉變換，記作F「")l !小)「(3.2.5)GS，!有稱為K、、'的像函數(shù)；而稱〔3.2.4〕為函數(shù)Gi'、：J的傅里葉逆變換，記作:J 〔3.2.6〕"有稱為G，*J的像原函數(shù).因此，當產(chǎn).M滿足傅氏積分定理的條件時，傅氏積分公式就成為/，：:「?n「l：Z山 (3.2.7)這是傅氏變換和傅氏逆變換之間的一個重要關(guān)系.易于看出，傅氏變換的定義式〔3.2.5〕和〔3.2.6〕，其積分前的系數(shù)雖然各書的寫法并不完全相同，但只要此二系數(shù)的乘積等、，〔3.2.5〕和〔3.2.6〕式均是可以相互滿足的，且兩積分號內(nèi)指數(shù)因子和也可以同時改為和「’二在量子力學中，通常把/0記作！?'、’,作為坐標表象的波函數(shù)，將看做波數(shù)k,1而將〔3.2.5〕和〔3.2.6〕兩式積分號前的系數(shù)分別寫作尹.由于p—hkk一 5購一仲'彼L則有G?)=G(|),記作c(p),于是由〔3.2.4〕和〔3.2.3〕有頓力=胄京品％c‘：n .j"心其中c.in就是同一量子體系在動量表象中的波函數(shù).此二式說明了坐標表象和動量表象之間的波函數(shù)的變換關(guān)系.有傅氏變換和傅氏逆變換的定義〔3.2.5〕及〔3.2.6〕可知，要求一個函數(shù)的傅氏變換，實際上就是求一個含參數(shù)的廣義積分.計算含參數(shù)的廣義積分是一件比較困難的工作.但對于某些函數(shù)來說，還是比較容易計算的.對于任何函數(shù)戶：」我們假定在V0時廣午)一0,那么，只要「足夠的大，函數(shù)八3「二的傅氏變換就有可能存在，即

Fl!"'J 牛L.H'r/1"""其中『3? > f|：，e"記p曰，，F(xiàn)SfI.e""并注意到J「i；le便得到(3.3.1)E舟T；1M)"dp (3.2.2)這是一對新的互逆的積分變換.我們稱〔3.2.1〕式為函數(shù)『I)的拉普拉斯變換，記作山，。1IW廣盤1岫(3.3.3)并稱函數(shù)12.為『I)的像函數(shù).而稱〔3.2.2〕式為函數(shù)F(P：的拉普拉斯逆變換或拉普拉斯反演公式，記作:'Fipieihlp(3.3.4)川！L‘壯」"小(3.3.5)L-〔|F(p)]:'Fipieihlp(3.3.4)川！L‘壯」"小(3.3.5)并稱函數(shù)仰)為FP)/汽，滿足以下條件:當t、0時，/山0當t「、0時，護'及f除去有限個第一類間斷點以外，處處連續(xù);當t*.?時，川)的增長速度不超過某一個指數(shù)函數(shù)，亦即存在常數(shù)M及陽"0,使得..fi.ti W,0??t??廣. (3.3.6)其中，伉稱為川")的拉氏變換F"在半平面Rep：M上存在、解析，且當ai'^P2萬("是任意小的正數(shù))時，有11mF(p)i1■ =0在拉氏變換的性質(zhì)設(shè)但凡要求拉氏變換的函數(shù)，均是滿足拉氏變換存在定理的，則有拉氏變換的定義，我們有如下一些重要性質(zhì)：線性性質(zhì)*打-眼?[.l/il-阿原1延遲性質(zhì)L〔"".t)Fl】l",Re：P其中F(P)—Lkf(t)l(3)位移性質(zhì)設(shè)t'?，則山。T)|廿(4)相似性質(zhì)設(shè)a5,F，P)l」f(D則lL^E〔5〕微分性質(zhì)積分性質(zhì)L%⑴時=￡[八圳卷積定理】」如。其中，定義.卻切？⑴《.WT"tTidT熟練的掌握以上的這些性質(zhì)，對于我們用拉氏變換解線性常微分方程和積分方程的初值問題極為方便.

4特殊積分的計算+00e~x7dxo無窮限積分""「"'4的收斂性是顯而易見的，由于初等函數(shù)一：?的原函數(shù)不再是初等函數(shù)，因此其不能利用牛頓-萊布尼茲公式.為此，我們將用下面3種方法進行計算：〔1〕二重積分法『一殊一X2設(shè)1=、，則"■■-： D心，"U在極坐標下，區(qū)域D可以表示成為Dy0={(K°￡”土乏，所以:bT[F=JJe=TOC\o"1-5"\h\zD 0從而:含參量反常積分方法設(shè)IL'"K,對該積分進行變量替換x；"，"-項為參數(shù)，則:I" "-F所以：rTf"?、 ■'■即:J；%餌疵-必Q+t2)dt交換積分次序得:\o"CurrentDocument"八ATym"一J廣 一；因此:i'〔3〕特殊函數(shù)法已知伽馬函數(shù)「頃=已知伽馬函數(shù)「頃=「"上'—，s.且有余數(shù)公式，即當O's，1時:「⑸S)=矗對無窮限積分進行變量替換，令:"=\則：i在余數(shù)公式中令S'得'vW： 叮，從而二'J「，因此：f工J,…m .Dirichlet積分的計算r十cnsinxit著名的DirichletL「積分在光學、電磁學、無線電技術(shù)和有阻尼的機械振動等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用.因此該積分收斂非絕對收斂，被積函數(shù)的原函數(shù)不能初等函數(shù)表示，不能用傳統(tǒng)的牛頓-萊布尼茲公式求出該積分值，所以該積分在《數(shù)學分析》和《復(fù)變函數(shù)》教材中作為典型來討論.而一般的方法比較復(fù)雜，但通過數(shù)學物理方法比較容易解決這個問題.〔1〕含參變量積分方法我們知道，含參變量積分：F(P)-"E零X(P>0)=J~me_pK[jJcosxyjdx=Jj"^cosxydy由于h：L：「，積分.〔「-iL.收斂，由WeierstrassM判別法，含參變量積分在"]|上一致收斂.由于"??,，*?在，勺"：.]|上連續(xù)，根據(jù)積分順序交換定理，F(xiàn)(p)=jdyfe-pxcosxydx=j—————dy=arctanL又由p2+y2 pTOC\o"1-5"\h\z0 0 0阿貝爾(Abel)判別法知，積分〔1〕在p>0時一致收斂，根據(jù)連續(xù)性定理[4]，F(xiàn)(p)在p>0時連續(xù)，故Tsinx 1兀J dx=F(0)=limF(p)=limarctan—=—0X pT0+ pT0+ P2

〔2)圍道積分方法設(shè)性)=m，LL2分別是實數(shù)軸上圖1圍道積分路徑［-R,-r］與［r,R］線段，C,Cr分別是以原點為圓心，以r與R為半徑的上半圓周，「是如圖1所示的積分路徑.由Cauchy-Goursat定理知，6f(z)dz=0圖1圍道積分路徑rjf(z)dz+jf(z)dz+ff(z)dz+ff(z)dz=0〔2)L2CL2經(jīng)化簡ff(z)dz+ff(z)dz=2ifsinxdx，由小圓弧引理[5]，limff(z)dz=—兀i，由X rT0+L1 L2 r CrJordan引理[5]，limff(z)dz=0?在式〔2)兩邊令rT0+,RT+8，并整理得：RT+8CR+8sinx7兀TOC\o"1-5"\h\zJ dx=—x20Fourier變換方法：設(shè)f(t)=-8'，則它的Fourier變換為F[f(t)]=ff(t)e"t=2Sin里

0,|t設(shè)f(t)=-8全F(s) . 當 |t|<1時， 有1+8 2單sinwcoswtf(t)=F-1[F(w)]=—JF(w)ejwdw=—J dw，特力別取t=0得：2兀 兀w-8 0千sinw[兀J dw=_.w20能量積分方法設(shè)f(t)在Fourier變換下的象函數(shù)為F(w)，則有-8[f(t-8[f(t)]2dt=yF(w)|2dw〔3)-8式〔3)稱為Parseval等式［6］，其中f［f(t)］2dt稱為f(t)的能量積分.將上文中Fourier變換方法的f(t)和F⑷)應(yīng)用在式〔3)中，可以得到十嘗d0=1.又由分部積分法，f也dB』嘗dwj業(yè)du,故W2 2 O2 o u0 0 0 0tsinu7丸 du=—.u20Laplace變換方法：設(shè)f(t)=sint，則它的Laplace變換為L[f(t)]=^ff(t)e-stdt=云'全F(s).又0TOC\o"1-5"\h\zlim迎^=1,jF(s)ds=—-arctans,由Laplace變換象函數(shù)的積分性質(zhì)[6],有一。t 2sL=jF(s)ds=—-arctans，特別取s=0得：fdt=—.Lt」 2 0t2⑹廣義函數(shù)方法：單位脈沖函數(shù)5(t)也叫狄拉克(Dirac)函數(shù)，簡稱5-函數(shù)，它是一個廣義函數(shù)，是弱收斂函數(shù)序列的弱極限［6］，即對于任何一個無窮次可微的函數(shù)f(t)，有j5(t)f(t)dt=limjs「nOtf(t)dt(o>0) 〔4)0^+8 兀t-8 -8在式〔4〕中特別取f(t)=1,由5-函數(shù)的篩選性質(zhì)知，左邊h(t)dt=1,右邊積分-8中作換元變換u=ot得:lim』迎竺dt=limlf業(yè)du必f業(yè)du.故—+8 冗t 。*8冗 u 冗u-8 -8 0+8sinu]丸J du=—.u20(1〕狄利克萊積分在上面用幾種方法來計算狄