2024屆江蘇省南京市梅山高級中學(xué)高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末聯(lián)考試題含解析

2024屆江蘇省南京市梅山高級中學(xué)高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末聯(lián)考試題注意事項1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．的值為（）A. B.1C. D.22．若都是銳角，且，，則A. B.C.或 D.或3．已知角與角的終邊關(guān)于直線對稱，且，則等于（）A. B.C. D.4．棱長分別為1、、2的長方體的8個頂點都在球的表面上，則球的體積為A. B.C. D.5．設(shè)是周期為的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則A. B.C. D.6．若，則所在象限是A.第一、三象限 B.第二、三象限C.第一、四象限 D.第二、四象限7．已知函數(shù)，則函數(shù)的零點所在的區(qū)間是A. B.C. D.8．已知函數(shù)為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，，則不等式的解集為（）A. B.C. D.9．已知函數(shù)則值域為（）A. B.C. D.10．我們知道，函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)圖象的對稱中心為（）A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．函數(shù)的定義域是________12．已知正數(shù)、滿足，則的最大值為_________13．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，，則的值為__________14．若函數(shù)（，且）的圖象經(jīng)過點，則___________.15．如果函數(shù)僅有一個零點，則實數(shù)的值為______16．若集合，則滿足的集合的個數(shù)是___________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知.（1）若為第四象限角且，求的值；（2）令函數(shù)，，求函數(shù)的遞增區(qū)間.18．已知函數(shù)，.（1）若在上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍；（2）求關(guān)于的不等式的解集.19．如圖，彈簧掛著的小球做上下振動，它在（單位：）時相對于平衡位置(靜止時的位置)的高度（單位：）由關(guān)系式確定，其中，，．在一次振動中，小球從最高點運動至最低點所用時間為．且最高點與最低點間的距離為（1）求小球相對平衡位置的高度（單位：）和時間（單位：）之間的函數(shù)關(guān)系；（2）小球在內(nèi)經(jīng)過最高點的次數(shù)恰為50次，求的取值范圍20．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，.（1）當(dāng)時，求函數(shù)的解析式.（2）解關(guān)于的不等式：.21．在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，動點滿足.（1）若，求面積的最大值；（2）已知，是否存在點C，使得，若存在，求點C的個數(shù);若不存在，說明理由.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解題分析】根據(jù)正切的差角公式逆用可得答案【題目詳解】，故選：B2、A【解題分析】先計算出，再利用余弦的和與差公式，即可.【題目詳解】因為都是銳角，且，所以又，所以，所以，，故選A.【題目點撥】本道題考查了同名三角函數(shù)關(guān)系和余弦的和與差公式，難度較大3、A【解題分析】先在角終邊取一點，利用角與角的終邊關(guān)于直線對稱寫出對稱點的坐標(biāo)，即可求得，進而求得.【題目詳解】由知角終邊在第一或第二象限，在終邊上取一點或，又角與角的終邊關(guān)于直線對稱，故角的終邊必過點或，故，則.故選：A.4、A【解題分析】球的直徑為長方體的體對角線，又體對角線的長度為，故體積為，選A.5、A【解題分析】根據(jù)f（x）是奇函數(shù)可得f（﹣）=﹣f（），再根據(jù)f（x）是周期函數(shù)，周期為2，可得f（）=f（﹣4）=f（），再代入0≤x≤1時，f（x）=2x（1﹣x），進行求解.【題目詳解】∵設(shè)f（x）是周期為2的奇函數(shù)，∴f（﹣x）=﹣f（x），∵f（﹣）=﹣f（），∵T=2，∴f（）=f（﹣4）=f（），∵當(dāng)0≤x≤1時，f（x）=2x（1﹣x），∴f（）=2×（1﹣）=，∴f（﹣）=﹣f（）=﹣f（）=﹣，故選A【題目點撥】此題主要考查周期函數(shù)和奇函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用，注意所求值需要利用周期進行調(diào)節(jié)，此題是一道基礎(chǔ)題.6、A【解題分析】先由題中不等式得出在第二象限，然后求出的范圍，即可判斷其所在象限【題目詳解】因為，，所以，故在第二象限，即，故，當(dāng)為偶數(shù)時，在第一象限，當(dāng)為奇數(shù)時，在第三象限，即所在象限是第一、三象限故選A.【題目點撥】本題考查了三角函數(shù)的象限角，屬于基礎(chǔ)題7、A【解題分析】根據(jù)初等函數(shù)的性質(zhì)得到函數(shù)的單調(diào)性，再由得答案【題目詳解】∵函數(shù)和在上均為增函數(shù)，∴在上為單調(diào)增函數(shù)，∵，，∴函數(shù)的零點所在的區(qū)間是，故選A【題目點撥】本題主要考查了函數(shù)零點的判定，考查了初等函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題8、A【解題分析】由題可得函數(shù)在上單調(diào)遞減，，且，再利用函數(shù)單調(diào)性即得.【題目詳解】因為函數(shù)為偶函數(shù)且在上單調(diào)逆增，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，，且，所以，所以，解得或，即的取值范圍是.故選：A.9、C【解題分析】先求的范圍，再求的值域.【題目詳解】令，則，則，故選：C10、A【解題分析】根據(jù)題意并結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【題目詳解】由題意得，設(shè)函數(shù)圖象的對稱中心為，則函數(shù)為奇函數(shù)，即，則，解得，故函數(shù)圖象的對稱中心為.故選：.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、##【解題分析】利用對數(shù)的真數(shù)大于零可求得原函數(shù)的定義域.【題目詳解】對于函數(shù)，，解得，故函數(shù)的定義域為.故答案為：.12、【解題分析】利用均值不等式直接求解.【題目詳解】因為且，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以的最大值為.故答案為：.13、-1【解題分析】因為為奇函數(shù)，故，故填.14、【解題分析】把點的坐標(biāo)代入函數(shù)的解析式，即可求出的值.【題目詳解】因為函數(shù)的圖象經(jīng)過點，所以，解得.故答案為：.15、【解題分析】利用即可得出.【題目詳解】函數(shù)僅有一個零點，即方程只有1個根，，解得.故答案為：.16、4【解題分析】求出集合，由即可求出集合的個數(shù)【題目詳解】因為集合，，因為，故有元素0，3，且可能有元素1或2，所以或或或故滿足的集合的個數(shù)為，故答案為：三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解題分析】（1）先利用誘導(dǎo)公式化簡，再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求解，代入即得結(jié)果；（2）利用兩角和的正弦公式的逆應(yīng)用化簡函數(shù)，再利用整體代入法，結(jié)合范圍得到遞增區(qū)間即可.【題目詳解】解：（1），，，為第四象限角，；（2）由（1）知，故，令，得，又，函數(shù)的遞增區(qū)間為.18、（1）；（2）答案見解析.【解題分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)圖象的性質(zhì)確定參數(shù)a的取值區(qū)間；（2）確定方程的根或，討論兩根的大小關(guān)系得出不等式的解集.【題目詳解】（1）因為函數(shù)的圖象為開口向上的拋物線，其對稱軸為直線由二次函數(shù)圖象可知，的單調(diào)增區(qū)間為因為在上單調(diào)遞增，所以所以，所以實數(shù)的取值區(qū)間是；（2）由得：方程的根為或①當(dāng)時，，不等式的解集是②當(dāng)時，，不等式的解集是③當(dāng)時，，不等式的解集是綜上，①當(dāng)時，不等式的解集是②當(dāng)時，不等式的解集是③當(dāng)時，不等式的解集是19、（1），；（2）【解題分析】（1）首先根據(jù)題意得到，，從而得到，（2）根據(jù)題意，當(dāng)時，小球第一次到達(dá)最高點，從而得到，再根據(jù)周期為，即可得到.【題目詳解】（1）因為小球振動過程中最高點與最低點的距離為，所以因為在一次振動中，小球從最高點運動至最低點所用時間為，所以周期為2，即，所以所以，（2）由題意，當(dāng)時，小球第一次到達(dá)最高點，以后每隔一個周期都出現(xiàn)一次最高點，因為小球在內(nèi)經(jīng)過最高點的次數(shù)恰為50次，所以因為，所以，所以的取值范圍為（注：的取值范圍不考慮開閉）20、（1）當(dāng)時，（2）【解題分析】（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性可求出函數(shù)的解析式；（2）先構(gòu)造函數(shù)，然后利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式.【小問1詳解】解：當(dāng)時，，..又當(dāng)時，也滿足當(dāng)時，函數(shù)的解析式為.【小問2詳解】設(shè)函數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增又可化為，在上也是單調(diào)遞增函數(shù).，解得.關(guān)于的不等式的解集為.21、（1）（2）存在2個點C符合要求【解題分析】（1）由,利用兩點間距離公式可得,整理得到,由,若面積最大,則到距離最大,即最大,求解即可；（2）由,利用兩點間距離公式可得,整理得到,則點為圓與圓的交點,進而由兩圓的位置關(guān)系即可得到符合條件的點的個數(shù)