統(tǒng)考版2023高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)課時作業(yè)10空間幾何體的三視圖表面積與體積理

課時作業(yè)10空間幾何體的三視圖、表面積與體積A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1．棱長為2eq\r(3)的正四面體的三視圖如圖所示，俯視圖是正三角形，則主視圖的腰長等于()A．2B．3C．eq\r(11)D．2eq\r(3)2．[2022·湖北模擬預(yù)測]《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的一部不朽之作，其第十一卷中稱軸截面為等腰直角三角形的圓錐為直角圓錐，若某直角圓錐內(nèi)接于一球(圓錐的頂點和底面上各點均在該球面上)，求此圓錐側(cè)面積和球表面積之比()A．eq\f(\r(2),4)B．eq\f(\r(2),2)C．eq\r(2)D．eq\f(\r(2),4π)3．[2022·北京房山區(qū)模擬]某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為()A．eq\f(2,3)B．eq\f(4,3)C．2D．44．[2022·內(nèi)蒙古烏蘭浩特一中模擬]已知三棱錐S-ABC的四個頂點都在球O的球面上，SA＝SB＝SC＝eq\r(10)，△ABC是邊長為eq\r(3)的正三角形，則球O的表面積等于()A．eq\f(64π,9)B．eq\f(100π,9)C．16πD．36π5．[2022·青海海東市第一中學(xué)檢測]已知四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，AD＝3AB＝3PA，若四棱錐P-ABCD外接球的表面積為11π，則四棱錐P-ABCD的體積為()A．3B．2C．eq\r(2)D．16．[2022·甘肅高臺縣第一中學(xué)]如圖，在矩形ABCD中，AD＝2AB＝4，E是AD的中點，將△ABE，△CDE分別沿BE，CE折起，使得平面ABE⊥平面BCE，平面CDE⊥平面BCE，則所得幾何體ABCDE的外接球的體積為________．7．如圖，在底面邊長為4，高為6的正四棱柱中，大球與該正四棱柱的五個面均相切，小球在大球上方且與該正四棱柱的三個面相切，也與大球相切，則小球的半徑為________.8．[2022·廣東廣州二模]在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2，AD＝CD＝CB＝1，將△ACD沿AC折起，連接BD，得到三棱錐D-ABC，則三棱錐D-ABC體積的最大值為________．此時該三棱錐的外接球的表面積為________．B素養(yǎng)提升9.[2022·新疆昌吉二模]在三棱錐P-ABC中，PA＝PC＝eq\r(3)，且cos∠BAC＝eq\f(1,3)，AB＝AC＝eq\r(6)，二面角P-AC-B的大小為120°，則三棱錐P-ABC的外接球體積為()A．eq\f(5\r(10),3)πB．10πC．9πD．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4＋2\r(3)))π10．[2022·江西贛州二模]我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》把上下兩個面平行且均為矩形的六面體稱為芻童，已知芻童ABCD-A1B1C1D1中四邊形ABB1A1和四邊形CDD1C1及四邊形A1B1C1D1都是正方形，AB＝1，AD＝2，則芻童ABCD-A1B1C1D1外接球的表面積為________.課時作業(yè)10空間幾何體的三視圖、表面積與體積1．解析：由俯視圖邊長為2eq\r(3)，易知正四面體底面外接圓半徑為2，∴正四面體的體高為h＝eq\r(（2\r(3)）2－22)＝2eq\r(2)，∴正視圖腰長為l＝eq\r(（2\r(2)）2＋（\r(3)）2)＝eq\r(11).故選C.答案：C2．解析：設(shè)直角圓錐底面半徑為r，則其側(cè)棱為eq\r(2)r，所以頂點到底面圓圓心的距離為：eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)r))2－r2)＝r，所以底面圓的圓心即為外接球的球心，所以外接球半徑為r，所以eq\f(S圓錐側(cè),S球)＝eq\f(πrl,4πr2)＝eq\f(\r(2)πr2,4πr2)＝eq\f(\r(2),4).故選A.答案：A3．解析：三視圖還原為如圖所示的三棱錐：側(cè)面SBC⊥底面ABC，且△SBC為等腰三角形，△ABC為直角三角形，故體積V＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×2×1＝eq\f(2,3)，故選A.答案：A4．解析：已知三棱錐S-ABC的四個頂點都在球O的球面上，SA＝SB＝SC＝eq\r(10)，△ABC是邊長為eq\r(3)的正三角形，如圖所示：取BC的中點D，點H為底面的中心，所以BD＝eq\f(\r(3),2)，AD＝eq\f(3,2)，AH＝eq\f(2,3)AD＝1，設(shè)外接球的半徑為R，所以SH＝eq\r(（\r(10)）2－1)＝3，利用勾股定理可得，R2＝（3－R）2＋12，解得R＝eq\f(5,3).則球O的表面積為S＝4πR2＝eq\f(100π,9).故選B.答案：B5．解析：設(shè)四棱錐P-ABCD外接球的半徑為R，則4πR2＝11π，即4R2＝11.由題意，易知PC2＝4R2，得PC＝eq\r(11)，設(shè)AB＝x，得eq\r(x2＋9x2＋x2)＝eq\r(11)，解得x＝1，所以四棱錐P-ABCD的體積為eq\f(1,3)×1×3×1＝1.故選D.答案：D6．解析：由題可得△ABE，△CDE，△BEC均為等腰直角三角形，如圖，設(shè)BE，EC，BC的中點為M，N，O，連接AM，OM，AO，DN，NO，DO，OE，則OM⊥BE，ON⊥CE，因為平面ABE⊥平面BCE，平面CDE⊥平面BCE，所以O(shè)M⊥平面ABE，ON⊥平面DEC，易得OA＝OB＝OC＝OD＝OE＝2，則幾何體ABCDE的外接球的球心為O，半徑R＝2，所以幾何體ABCDE的外接球的體積為V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(32,3)π.答案：eq\f(32,3)π7．解析：由題意可知大球的半徑為R＝2，設(shè)小球的半徑為r，如圖，設(shè)大圓的圓心為O，小圓的圓心為C，E為小圓與上底面的切點，作OD⊥CE交于點D，由題意可知，OD＝2eq\r(2)－eq\r(2)r，CD＝4－r，CO＝2＋r，所以（2＋r）2＝（4－r）2＋（2eq\r(2)－eq\r(2)r）2，即r2－10r＋10＝0，r∈（0，2），解得r＝eq\f(10－\r(100－40),2)＝5－eq\r(15).答案：5－eq\r(15)8．解析：過點C作CE⊥AB，垂足為E，∵ABCD為等腰梯形，AB＝2，CD＝1，∴BE＝eq\f(1,2)，∴B＝eq\f(π,3)，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcoseq\f(π,3)＝3，即AC＝eq\r(3).∵AB2＝BC2＋AC2，∴BC⊥AC，易知，當(dāng)平面ACD⊥平面ABC時，三棱錐D-ABC體積最大，此時，BC⊥平面ACD易知，∠D＝eq\f(2π,3)，∴S△ACD＝eq\f(1,2)AD·CDsineq\f(2π,3)＝eq\f(\r(3),4)，∴VD-ABC＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×1＝eq\f(\r(3),12).記O為外接球球心，半徑為R，∵BC⊥平面ACD，OB＝OC，∴O到平面ACD的距離d＝eq\f(1,2)，又△ACD的外接圓半徑r＝eq\f(AC,2sin\f(2π,3))＝1，∴R2＝r2＋d2＝eq\f(5,4)，∴S＝4πR2＝5π.答案：eq\f(\r(3),12)5π9．解析：如圖O1、O2分別為Rt△PAC、△ABC的外接圓圓心，作OO1⊥平面PAC，OO2⊥平面ABC，則O為三棱錐P-ABC的外接球的球心．在△ABC中，cos∠BAC＝eq\f(AB2＋AC2－BC2,2AB·AC)，即eq\f(1,3)＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(6)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(6)))2－BC2,2\r(6)×\r(6))，可得：BC＝2eq\r(2).由正弦定理可得：2O2A＝eq\f(BC,sin∠BAC)＝3，即O2A＝eq\f(3,2)，又∵O1為線段AC的中點，則可得O1P＝eq\f(\r(6),2)，且O1P⊥AC，O2O1⊥AC，∴二面角P-AC-B的平面角即為∠O2O1P＝120°，則∠O2O1O＝30°，O1O2＝eq\r(O2A2－O1A2)＝eq\f(\r(3),2)，O1O＝1.∴三棱錐P-ABC的外接球的半徑R＝eq\r(OO12＋O1A2)＝eq\f(\r(10),2)，則三棱錐P-ABC的外接球體積為V＝eq\f(4,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(10),2)))3＝eq\f(5\r(10)π,3).故選A.答案：A10．解析：取AD中點E，BC中點F，設(shè)G是A1D1的中點，在梯形ADD1A1中，AA1＝A1D1＝D1D＝1，AD＝2，由于E是AD的中點，所以GE＝eq\r(12－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2－1,2)))2)＝eq\f(\r(3),2)，所以A1E＝ED1＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))2)＝1，所以△AEA1，△A1ED1，△ED1D是等邊三角形，所以E是梯形ADD1A1外接圓的圓心，同理可證得F是梯形BCC1B1外接圓的圓心．芻童ABCD-A1B1C1D1可看作直四棱柱AA1D1D-BB1C1C，