2023學年完整公開課版向量的應用2

2.5向量的應用1.掌握用平面向量解決物理問題的步驟和方法；(重點）2.能運用平面向量的方法證明一些簡單具體的幾何問題.（如證明平行、垂直及求解三角形、四邊形）.（難點）日常生活中,我們有時要用同樣長的兩根繩子掛一個物體(如圖).如果繩子的最大拉力為F,物體受到的重力為G.你能否用向量的知識分析繩子受到的拉力F1的大小與兩繩之間的夾角θ的關系.

在日常生活中，你是否有這樣的經(jīng)驗：兩個人共提一個旅行包，夾角越大越費力；在單杠上做引體向上運動，兩臂的夾角越小越省力.

向量是既有大小又有方向的量，它既有代數(shù)特征，又有幾何特征，通過向量可以實現(xiàn)代數(shù)問題與幾何問題的互相轉化，所以向量是數(shù)形結合的橋梁，同時，向量也是解決許多物理問題的有力工具.例1如圖所示，無彈性的細繩OA,OB的一端分別固定在A,B處，同質(zhì)量的細繩OC下端系著一個稱盤，且使得，試分析OA,OB,OC三根繩子受力的大小，判斷哪根繩受力最大.一、向量在物理中的應用解設三根繩子所受的力分別為，則

的合力為如圖（2），在中，即，所以細繩受力最大.提升總結：將問題轉化為向量問題，借助向量的幾何意義解決問題.直角三角形中，斜邊最大因為所以

三者之間的關系,就得到了問題的數(shù)學解釋．分析:上面的問題可以抽象為如圖所示的數(shù)學模型．只要分析清楚變式練習：在日常生活中，你是否有這樣的經(jīng)驗：兩個人共提一個旅行包，夾角越大越費力；在單杠上做引體向上運動，兩臂的夾角越小越省力.解

不妨設，由向量加法的平行四邊形法則，力的平衡原理以及直角三角形的知識，可以得到通過上面的式子我們發(fā)現(xiàn)，當由逐漸變大時，夾角越小越省力．逐漸變大，由的值由大逐漸變小，因此，由小逐漸變大，即之間的夾角越大越費力，物理問題(實際問題）向量問題(數(shù)學模型)數(shù)學問題的解決解釋和驗證相關物理現(xiàn)象①②例2

已知：.求證：二、向量在幾何中的應用證：因為所以即②-①得即所以例3已知直線經(jīng)過點，用向量方法求的方程.解設是直線上任意一點，則因為三點都在直線上，所以與是共線向量，所以這就是直線的方程.如圖所示，已知⊙O，AB為直徑，C為⊙O上任意一點.求證∠ACB=90°.變式練習：證明直徑所對的圓周角是直角.ABCO分析：要證∠ACB=90°，只需證向量即.解:設則由此可得：即用向量解決平面幾何問題的步驟3.把運算的結果“翻譯”成幾何關系.1.建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉化為向量問題；2.通過向量運算，研究幾何元素之間的關系，如距離、夾角等問題；1.（2011·天津高考）已知直角梯形ABCD中，的最小值為_____.解：由題意可知

所以則所以最小值為5.5O（2）當時，求的取值范圍.

（1）試說明隨角q的變化而變化的情況；

2.如圖，在細繩O處用水平力緩慢拉起所受重力為物體，繩子與垂直方向的夾角為,繩子所受的拉力為，O解直角三角形得解

（1）如圖，由力的平衡及向量加法的平行四邊形法則知：∴當由趨向于時，皆增大.得（2）令3.（2012·蘇州高一檢測）證明平行四邊形四邊平方和等于兩對角線平方和.已知：平行四邊形ABCD.求證：分析因為平行四邊形對邊平行且相等，故設其他線段對應向量用它們表示.ABDC解：設，則4.已知,在△ABC中，a＝2，b＝3，∠C＝60°，試用向量法求c.平面向量的應用，主要是通過向量的具體知識的應用，將問題化歸為相關問題（如三角函數(shù)、解析幾