2022-2023學(xué)年江西省宜春市高二下學(xué)期7月期末數(shù)學(xué)試題-含答案

2022-2023學(xué)年江西省宜春市高二下學(xué)期7月期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．設(shè)集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)集合的交集運(yùn)算即可解出．【詳解】集合，，則.故選：A.2．圓上的點到直線的最大距離是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得圓心及半徑，圓上點到直線的最大距離為圓心到直線的距離加半徑.【詳解】圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程得，圓心坐標(biāo)為，半徑為，圓心到直線的距離為所以圓上的點到直線的最大距離為.故選:C.3．某新農(nóng)村社區(qū)共包括n個自然村，且這些村莊分布零散，沒有任何三個村莊在一條直線上，現(xiàn)要在該社區(qū)內(nèi)建“村村通”工程，共需建公路的條數(shù)為28，則n=（）A．6 B．8C．9 D．10【答案】B【分析】由題意是從個村任取兩個進(jìn)行組合，根據(jù)組合求解即可.【詳解】由于“村村通”公路的修建，是組合問題，故共需要建公路的條數(shù)為，解得或（舍去）.故選：B.4．已知直線的方向向量是，直線的方向向量是，若，且，則的值是（

）A．-4或0 B．4或1 C．-4 D．0【答案】A【分析】利用模的計算公式和向量垂直的坐標(biāo)表示可得關(guān)于變量的方程組，求出其解后可得的值.【詳解】由題設(shè)可得，解得或，故或，故選：A.5．在等比數(shù)列中，，則數(shù)列的公比為（

）A． B．2 C． D．3【答案】B【分析】利用等比數(shù)列的通項公式列出關(guān)于的式子，從而得解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因為，所以，則.故選：B.6．各項均為正數(shù)的等差數(shù)列的前項和是，若，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題干條件中下標(biāo)的特點，結(jié)合等差中項進(jìn)行化簡先算出，然后利用求和公式求解.【詳解】根據(jù)等差中項，，于是，即，而等差數(shù)列每一項均是正數(shù)，則解得，.故選：B7．已知點是橢圓上一點，橢圓的左、右焦點分別為、，且，則的面積為（

）A．6 B．12 C． D．【答案】C【分析】設(shè)，，由橢圓定義得，由余弦定理求出，從而利用三角形面積公式求出答案.【詳解】由橢圓，得，，.

設(shè)，，∴，在中，由余弦定理可得：，可得，得，故.故選：C.8．已知正實數(shù)，，滿足，則，，的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】將比較，，大小，轉(zhuǎn)化為比較函數(shù)與交點，函數(shù)與函數(shù)，函數(shù)與函數(shù)在第一象限交點的橫坐標(biāo)的大小，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象與函數(shù)圖象，函數(shù)圖象與函數(shù)圖象間關(guān)系，后在同一作出，，，在上的圖象，即可得答案.【詳解】由題可得，，，則，，分別為函數(shù)與交點，函數(shù)與函數(shù)，函數(shù)與函數(shù)在上交點的橫坐標(biāo).構(gòu)造函數(shù)，則，得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，即時，函數(shù)圖象恒在函數(shù)圖象上方.構(gòu)造函數(shù)，則.令，則，得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則.則在上單調(diào)遞減，又注意到函數(shù)增長速度遠(yuǎn)小于函數(shù)增長速度，則函數(shù)增長速度遠(yuǎn)大于函數(shù)增長速度，結(jié)合，可知時，函數(shù)圖象在圖象的下方.則可在同一坐標(biāo)系中，作出，，，在上的圖象，如圖所示，由圖象可知.故選：D.

【點睛】關(guān)鍵點睛：本題直接比較，，大小關(guān)系較復(fù)雜，故利用數(shù)形結(jié)合思想將問題轉(zhuǎn)化為比較同一坐標(biāo)系下函數(shù)圖象交點橫坐標(biāo)大小關(guān)系.為保證圖象無誤，故利用導(dǎo)數(shù)研究相關(guān)函數(shù)的最值，單調(diào)性，明確函數(shù)圖象間關(guān)系.二、多選題9．已知等差數(shù)列的首項為，公差為，前項和為，若，則（

）A． B．C． D．當(dāng)時，取到最大值【答案】ACD【分析】利用條件，得到，從而得出，可判斷出選項A正確；再逐一對選項BCD分析判斷即可得出結(jié)果.【詳解】因為，所以，得到，所以，故選項A正確；選項B，又，，所以，故選項B錯誤；選項C，，故選項C正確；選項D，因為，，所以當(dāng)時，取到最大值，故選項D正確.故選：ACD.10．已知向量，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算，求解向量的加法、減法的坐標(biāo)，數(shù)量積及向量的模即可.【詳解】因為，，所以，，，.故正確的選項為ACD.故選：ACD11．已知拋物線：的焦點到準(zhǔn)線的距離為2，則（

）A．拋物線為B．若，為上的動點，則的最小值為4C．直線與拋物線相交所得弦長最短為4D．若拋物線準(zhǔn)線與軸交于點，點是拋物線上不同于其頂點的任意一點，，，則的最小值為【答案】BCD【分析】根據(jù)拋物線的性質(zhì)可得可判斷A，根據(jù)拋物線的定義利用數(shù)形結(jié)合可判斷B，利用韋達(dá)定理法及弦長公式可判斷C，根據(jù)條件可得當(dāng)直線與拋物線相切時最小，然后利用判別式即得.【詳解】因為拋物線：的焦點到準(zhǔn)線的距離為2，所以，從而拋物線的方程是，所以A錯誤；設(shè)到準(zhǔn)線的距離為，由題可知準(zhǔn)線為，則，故B正確；拋物線的焦點為，直線過焦點，由，可得，設(shè)直線與拋物線交點為，則，所以直線與拋物線相為所得弦長，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故C正確；對于D，不妨設(shè)點在第一象限，過點向準(zhǔn)線作垂線，垂足為，則，連接，在中，設(shè)，則，要求的最小值，即最小，即最小，所以當(dāng)直線與拋物線相切時，角最小，設(shè)切線方程為存在，且，由，聯(lián)立得，令，得，所以或（舍），所以，所以，故D正確.故選：BCD.12．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．的極小值點為B．的最小值為C．過原點且與曲線相切的直線有條D．若，、且，則的最小值為【答案】AD【分析】利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合極值點的定義可判斷A選項；由可判斷B選項；設(shè)切點為，利用導(dǎo)數(shù)寫出切線的方程，再將原點代入切線方程，可得出關(guān)于的等式，判斷關(guān)于的方程的解的個數(shù)，可判斷C選項；由已知可得出，令，可得出，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在上的最小值，可判斷D選項.【詳解】對于A選項，函數(shù)的定義域是，，令，得，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增．所以的極小值點為，A對；對于B選項，，故函數(shù)的最小值不可能為，B錯；對于C選項，設(shè)切點坐標(biāo)為，則切線斜率為，所以切線方程為，又切線過原點，則有，即，無解，即過原點且與曲線相切的直線不存在，C錯；對于D選項，由，得，即，又、，且，所以，又，則，則，，令，則，，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以，所以的最小值為，D對．故選：AD．三、填空題13．在等比數(shù)列中，，則首項.【答案】/0.25【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由求出，即可得答案.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，則，則，所以.故答案為：.14．已知定點，P是圓上的一動點，Q是AP的中點，則點Q的軌跡方程是.【答案】【分析】運(yùn)用相關(guān)點法求軌跡方程，設(shè)出P、Q兩點坐標(biāo)，表示出兩點橫縱坐標(biāo)關(guān)系式，代入點P滿足的圓的方程即可.【詳解】如圖所示，

設(shè)，，則，①因為Q為AP的中點，所以，②所以由①②得：，即：，所以點Q的軌跡方程為：.故答案為：.15．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.【答案】【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間作答.【詳解】函數(shù)的定義域為，求導(dǎo)得，由，即，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.故答案為：16．已知函數(shù)，時，，則實數(shù)的范圍是.【答案】【分析】先應(yīng)用參數(shù)分離，構(gòu)造新函數(shù)，把恒成立轉(zhuǎn)化為求最小值，二次求導(dǎo)根據(jù)單調(diào)性求最值即可.【詳解】由題可得對任意恒成立，等價于對任意恒成立，令，則，令，則，在單調(diào)遞增，，，存在唯一零點，且，使得，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，，，即，令，顯然在單調(diào)遞增，則，即，則，.故答案為：四、解答題17．在的展開式中，第2項、第3項、第4項的二項式系數(shù)成等差數(shù)列．(1)求n的值；(2)求展開式中含的項．【答案】(1)7(2)【分析】（1）根據(jù)已知條件表示展開式第2項、第3項、第4項的二項式系數(shù)，再運(yùn)用等差數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)求解即可；（2）寫出展開式后代入求解即可.【詳解】（1）在的展開式中，第2項、第3項、第4項的二項式系數(shù)分別為，因為的展開式中第2項、第3項、第4項的二項式系數(shù)成等差數(shù)列，所以，即，化簡得：，因為，所以，解得或.時，展開式只有3項，不符合題意；所以.（2）由（1）知，通項公式為，令，得，則.所以展開式中含的項為.18．在四棱柱中，，，，.

(1)當(dāng)時，試用表示；(2)證明：四點共面；(3)判斷直線能否是平面和平面的交線，并說明理由.【答案】(1)(2)證明見解析(3)答案見解析【分析】（1）直接利用空間向量線性運(yùn)算可得，再根據(jù)已知關(guān)系，，進(jìn)行化簡可得出結(jié)果.（2）可設(shè)，不為)，由題意可化簡得到，將代入并結(jié)合題意可化簡得出，即可證明出四點共面.（3）先假設(shè)面面，根據(jù)棱柱的性質(zhì)，可得出平面，進(jìn)而得出，反之當(dāng)，可判斷出平面，平面，得出平面平面=，得出當(dāng)時，直線是面和面的交線，反之不行，從而得出結(jié)果.【詳解】（1）===；（2）設(shè)，不為)，=則，，共面且有公共點，則四點共面；（3）假設(shè)面面，在四棱柱中，，面，面，則平面，又面，面面，則；反過來，當(dāng)時，因為，則，則確定平面則平面，又因為平面，所以平面平面=，所以是直線是面和面的交線的充要條件；所以，當(dāng)時，直線是面和面的交線；當(dāng)不平行時，直線不是面和面的交線

19．甲、乙，丙三位學(xué)徒跟師傅學(xué)習(xí)制作某種陶器，經(jīng)過一段時間的學(xué)習(xí)后，他們各自能制作成功該陶器的概率分別為，，，且，現(xiàn)需要他們?nèi)酥谱饕患撎掌?，每次只有一個人制作且每個人只制作一次，如果有一個人制作失敗則換下一個人重新制作，若陶器制作成功則結(jié)束．(1)按甲、乙、丙的順序制作陶器，若，，求制作陶器人數(shù)X的數(shù)學(xué)期望的最大值．(2)若這種陶器制作成功后需要檢測合格才能上市銷售，如果這種陶器可以上市銷售，則每件陶器可獲利100元；如果這種陶器不能上市銷售，則每件陶器虧損80元，已知甲已經(jīng)制成了4件這種陶器，且甲制作的陶器檢測合格的概率為，求這4件陶器最終盈虧Y的概率分布和數(shù)學(xué)期望．【答案】(1)(2)分布列見解析；期望為元【分析】（1）根據(jù)題意列出分布列，求出均值的最大值；（2）根據(jù)題意知銷售的件數(shù)為，然后找出ξ與盈虧Y的關(guān)系，列出分布列并求出均值.【詳解】（1）X的可能值為1，2，3.于是，，，則隨機(jī)變量X的分布列為X123P均值為，，設(shè)，，所以h(x)在上單調(diào)遞增，所以,所以，所以當(dāng)時，E(X)的最大值為．（2）設(shè)4件陶器中能上市銷售的件數(shù)為ξ，則不能上市銷售的件數(shù)為4-ξ，ξ的可能值為0，1，2，3，4，且，，設(shè)這4件陶器最終盈虧Y，則，可能值為-320，-140，40，220，400，可得，，，，，Y40220400P(元)．20．已知數(shù)列的前n項和是，且．(1)證明：為等比數(shù)列；(2)證明：(3)為數(shù)列的前n項和，設(shè)，是否存在正整數(shù)m，k，使成立，若存在，求出m，k；若不存在，說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)存在，或或【分析】（1）可得，兩式相減，可化為，進(jìn)而可得答案；（2）先證明是等比數(shù)列，首項和公比都是，再利用求和公式可得結(jié)果；（3）假設(shè)存在正整數(shù)使成立，可得，再分類討論列方程求解.【詳解】（1），，兩式相減，得又時，是首項和公比都是2的等比數(shù)列．（2）由（1）得．，所以是等比數(shù)列，首項和公比都是，（3）假設(shè)存在正整數(shù)m，k，使成立，，，，所以，，又正整數(shù)m，k，，或或或或.21．已知橢圓的左右頂點分別為，上頂點為為橢圓上異于四個頂點的任意一點，直線交于點，直線交軸于點.(1)求面積的最大值；(2)記直線的斜率分別為，求證：為定值.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）方法1：設(shè)出點M的坐標(biāo)，計算點到直線的距離，運(yùn)用輔助角公式轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)的最大值，進(jìn)而可求得結(jié)果.方法2：聯(lián)立橢圓方程及與平行的直線的方程，令，進(jìn)而可求得結(jié)果.（2）分別求出交點M、Q、P坐標(biāo)，計算即可.【詳解】（1）方法1：如圖所示，由題意知，，，，設(shè)，則，點到直線的距離為：，所以，所以.故△MBD面積的最大值為：.方法2：設(shè)與平行的直線，聯(lián)立得，令，顯然當(dāng)時與橢圓的切點與直線的距離最大，，所以.故△MBD面積的最大值為：.（2）如圖所示，設(shè)直線，聯(lián)立得，則點的坐標(biāo)為，設(shè)點為，則，所以，即，所以，聯(lián)立得點的坐標(biāo)為，所以，，所以.故為定值.【點睛】圓錐曲線中的定值問題的常見類型及解題策略（1）求代數(shù)式為定值．依題設(shè)條件，得出與代數(shù)式參數(shù)有關(guān)的等式，代入代數(shù)式、化簡即可得出定值．（2）求點到直線的距離為定值．利用點到直線的距離公式得出距離的解析式，再利用題設(shè)條件化簡、變形求得．（3）求某線段長度為定值．利用長度公式求得解析式，再依據(jù)條件對解析式進(jìn)行化簡、變形即可求得．22．已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)函數(shù)有兩個不同的極值點，證明：.【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，分類討論確定和的解得增減區(qū)間；（2）求出，由可得這樣只要證，即證，再利用，消去參數(shù)，然后設(shè)，進(jìn)一步化二元為一元，再引入新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式成立．【詳解】（1）（i）當(dāng)時，，則在為增函數(shù)（ii）當(dāng)時，令得當(dāng)時，當(dāng)時，