2022-2023學(xué)年黑龍江省哈爾濱市南馬中學(xué)高一數(shù)學(xué)文聯(lián)考試卷含解析

2022-2023學(xué)年黑龍江省哈爾濱市南馬中學(xué)高一數(shù)學(xué)文聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.若，，則

（

）A．7

B．6

C．5

D．4參考答案：C2.當(dāng)0<x<時(shí)，函數(shù)f(x)＝的最小值是(

)A．4

B．

C．2

D．參考答案：A略3.在數(shù)列中，,，則的值是A．9

B．10

C．27 D．81參考答案：C4.對于函數(shù)，給出下列四個(gè)命題：

①該函數(shù)的值域?yàn)?；②?dāng)且僅當(dāng)（）時(shí)，該函數(shù)取得最大值1；③該函數(shù)是以為最小正周期的周期函數(shù)；④當(dāng)且僅當(dāng)（）時(shí)，.上述命題中正確的命題個(gè)數(shù)為

A.3

B.2

C.1

D.0參考答案：C5.集合，，則(

)A．

B．

C．

D．參考答案：D6.明清時(shí)期，古鎮(zhèn)河口因水運(yùn)而繁華．若有一商家從石塘沿水路順?biāo)叫?，前往河口，途中因故障停留一段時(shí)間，到達(dá)河口后逆水航行返回石塘，假設(shè)貨船在靜水中的速度不變，水流速度不變，若該船從石塘出發(fā)后所用的時(shí)間為x（小時(shí)）、貨船距石塘的距離為y（千米），則下列各圖中，能反映y與x之間函數(shù)關(guān)系的大致圖象是（

）A. B.C. D.參考答案：A【分析】由題意可以得出各段過程中y隨x變化而變化的趨勢，即可得答案.【詳解】由題意可得：貨船從石塘到停留一段時(shí)間前，y隨x增大而增大；停留一段時(shí)間內(nèi)，y隨x增大而不變；解除故障到河口這段時(shí)間，y隨x增大而增大；從河口到返回石塘這段時(shí)間，y隨x增大而減少.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的圖像，解題的關(guān)鍵是理解題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想，屬于基礎(chǔ)題.7.已知，則a,b,c的大小關(guān)系是

（

）A.c>a>b

B.b>a>c

C.c>b>a

D.a>b>c參考答案：A8.下列關(guān)于用斜二測畫法畫直觀圖的說法中，錯(cuò)誤的是(

)．A．用斜二測畫法畫出的直觀圖是在平行投影下畫出的空間圖形B．幾何體的直觀圖的長、寬、高與其幾何體的長、寬、高的比例相同C．水平放置的矩形的直觀圖是平行四邊形D．水平放置的圓的直觀圖是橢圓參考答案：B略9.在底面是正方形的四棱錐P﹣ABCD中，已知PD⊥底面ABCD，且PD=CD，E為PC的中點(diǎn)，則異面直線PA與DE所成的角是（）A．90° B．60° C．45° D．30°參考答案：B【考點(diǎn)】異面直線及其所成的角．【分析】由條件看出DA，DC，DP三直線兩兩垂直，從而可分別以這三直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，并設(shè)DA=1，這樣便可求出A，P，D，E的坐標(biāo)，從而求出向量的坐標(biāo)，進(jìn)而求出cos的值，從而求出異面直線PA，DE所成的角．【解答】解：如圖，根據(jù)條件，分別以DA，DC，DP所在直線為x，y，z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，并設(shè)DA=1，則：DC=DP=1；A（1，0，0），P（0，0，1），D（0，0，0），C（0，1，0），E（）；∴；∴，；∴；∴的夾角為120°；∴異面直線PA與DE所成的角是60°．故選B．10.已知函數(shù)（a＞0且a≠1）是R上的單調(diào)函數(shù)，則a的取值范圍是（

）（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)集合M={（x，y）|y=x2}，N={（x，y）|y=2x}，則集合M∩N的子集的個(gè)數(shù)為個(gè)．參考答案：8【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算．【分析】結(jié)合函數(shù)圖象即可獲得公共元素的個(gè)數(shù)，再利用集合元素的個(gè)數(shù)是n時(shí)，集合的子集個(gè)數(shù)為2n的結(jié)論即可獲得解答．【解答】解：由題意可知：y=x2，y=2x在同一坐標(biāo)系下的圖象為：由圖可知集合M∩N的元素個(gè)數(shù)為3個(gè)，所以集合M∩N的子集的個(gè)數(shù)為23個(gè)，即8個(gè)．故答案為：8．12.定義在上的偶函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)。且滿足，關(guān)于函數(shù)有如下結(jié)論：

①；

②圖像關(guān)于直線對稱；

③在區(qū)間上是減函數(shù)；④在區(qū)間上是增函數(shù)；其中正確結(jié)論的序號(hào)是

參考答案：①②③13.已知函數(shù)f（x）=，則f（lg2）+f（lg）=

．參考答案：2【考點(diǎn)】函數(shù)的值．【分析】利用對數(shù)函數(shù)F（x）=是奇函數(shù)以及對數(shù)值，直接化簡求解即可．【解答】解：函數(shù)f（x）=，則f（lg2）+f（lg）=f（lg2）+f（﹣lg2）令F（x）=，F(xiàn)（﹣x）=，∴F（x）+F（（﹣x）=0∴F（x）==f（x）﹣1是奇函數(shù)，∴f（lg2）﹣1+f（﹣lg2）﹣1=0∴f（lg2）+f（﹣lg2）=2，即f（lg2）+f（lg）=2故答案為：214.若的定義域是，則的定義域是

。參考答案：15.對于曲線（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）上任意一點(diǎn)處的切線，總存在在曲線上一點(diǎn)處的切線，使得∥，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____________.

參考答案：∵，∴∵,故∵,∴，g′′（x）=2（lnx+1），當(dāng)x∈（0，）時(shí)，g′′（x）＜0，g′（x）為減函數(shù)；當(dāng)x∈（，+∞）時(shí)，g′′（x）＞0，g′（x）為增函數(shù)；故當(dāng)x=時(shí)，g′（x）取最小值a﹣，即g′（x）∈[a﹣，0）若對于曲線（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）上任意一點(diǎn)處的切線l1，總存在在曲線上一點(diǎn)處的切線l2，使得l1∥l2，則[﹣1，0）?[a﹣，0）,即a﹣≤﹣1．解得：a∈.

16.關(guān)于函數(shù)f（x）=，給出下列四個(gè)命題：①當(dāng)x＞0時(shí)，y=f（x）單調(diào)遞減且沒有最值；②方程f（x）=kx+b（k≠0）一定有解；③如果方程f（x）=k有解，則解的個(gè)數(shù)一定是偶數(shù)；④y=f（x）是偶函數(shù)且有最小值，則其中真命題是．（只要寫標(biāo)題號(hào)）參考答案：②【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；簡易邏輯．【分析】①x＞0時(shí)，由x≠1知y=f（x）不具有單調(diào)性，判定命題錯(cuò)誤；②函數(shù)f（x）=是偶函數(shù)，在x＞0且k＞0時(shí)，判定函數(shù)y=f（x）與y=kx在第一象限內(nèi)有交點(diǎn)；由對稱性知，x＜0且k＞0時(shí)，函數(shù)y=f（x）與y=kx在第二象限內(nèi)有交點(diǎn)；得方程f（x）=kx+b（k≠0）有解；③函數(shù)f（x）=是偶函數(shù)，且f（x）=0，舉例說明k=0時(shí)，方程f（x）=k有1個(gè)解；④函數(shù)f（x）=是偶函數(shù)，由①，即可判斷結(jié)論是否正確．【解答】解：①當(dāng)x＞1時(shí)，y=f（x）==1+在區(qū)間（1，+∞）上是單調(diào)遞減的函數(shù)，0＜x＜1時(shí)，y=f（x）=﹣=﹣1﹣在區(qū)間（0，1）上是單調(diào)遞增的函數(shù)且無最值；∴命題①錯(cuò)誤；②函數(shù)f（x）=f（x）=是偶函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，y=f（x）在區(qū)間（0，1）上是單調(diào)遞增的函數(shù)，（1，+∞）上是單調(diào)遞減的函數(shù)；當(dāng)k＞0時(shí)，函數(shù)y=f（x）與y=kx在第一象限內(nèi)一定有交點(diǎn)；由對稱性知，當(dāng)x＜0且k＞0時(shí)，函數(shù)y=f（x）與y=kx在第二象限內(nèi)一定有交點(diǎn)；∴方程f（x）=kx+b（k≠0）一定有解；∴命題②正確；③∵函數(shù)f（x）=是偶函數(shù)，且f（x）=0，當(dāng)k=0時(shí)，函數(shù)y=f（x）與y=k的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，∴方程f（x）=k的解的個(gè)數(shù)是奇數(shù)；∴命題③錯(cuò)誤；④∵函數(shù)f（x）=是偶函數(shù)，x≠±1，當(dāng)x＞0時(shí)，y=f（x）在區(qū)間（0，1）上是單調(diào)遞增的函數(shù)，（1，+∞）上是單調(diào)遞減的函數(shù)；由對稱性知，函數(shù)f（x）無最小值，命題④錯(cuò)誤．故答案為：②．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了含有絕對值的分式函數(shù)的圖象與性質(zhì)的問題，解題時(shí)應(yīng)先去掉絕對值，化為分段函數(shù)，把分式函數(shù)分離常數(shù)，是易錯(cuò)題．17.對于實(shí)數(shù)x，若n≤x＜n+1，規(guī)定[x]=n，（n∈Z），則不等式4[x]2﹣20[x]+21＜0的解集是．參考答案：[2，4）【考點(diǎn)】其他不等式的解法．【專題】不等式的解法及應(yīng)用．【分析】由條件求得求得＜[x]＜，再根據(jù)[x]的定義，可得x的范圍．【解答】解：不等式4[x]2﹣20[x]+21＜0，求得＜[x]＜，2≤x＜4，故答案為：[2，4）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查一元二次不等式的解法，[x]的定義，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=2sin（2x+）+1．（1）求f（x）的周期；（2）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（3）若x∈[0，]，求f（x）的值域．參考答案：【考點(diǎn)】三角函數(shù)的周期性及其求法；正弦函數(shù)的單調(diào)性．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【分析】由條件利用正弦函數(shù)的周期性、單調(diào)性、定義域和值域，求得結(jié)論．【解答】解：對于函數(shù)f（x）=2sin（2x+）+1，（1）它的周期為=π．（2）令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得函數(shù)的增區(qū)間為[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．（3）若x∈[0，]，則2x+∈[，π]，sin（2x+）∈[0，1]，求得f（x）∈[1，3]．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正弦函數(shù)的周期性、單調(diào)性、定義域和值域，屬于基礎(chǔ)題．19.（本小題滿分12分）已知函數(shù)的最小正周期為．(I)求的值；(Ⅱ)求函數(shù)在上的值域．參考答案：20.（本題滿分12分）如圖所示，將一矩形花壇擴(kuò)建為一個(gè)更大的矩形花壇,要求點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，且對角線過點(diǎn),已知，當(dāng)?shù)拈L為多少時(shí)，矩形花壇的面積最?。坎⑶蟪鲎钚≈?。參考答案：設(shè)的長為（），則。..........1分∽.............5分..........6分...........7分...........10分當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取“=”................11分21.已知是二次函數(shù)且，求。（10分）參考答案：解：設(shè)二次函數(shù)22.已知△ABC的角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，設(shè)向量=（a，b），=（sinB，sinA），=（b﹣2，a﹣2）． （1）若∥，試判斷△ABC的形狀并證明； （2）若⊥，邊長c=2，∠C=，求△ABC的面積． 參考答案：【考點(diǎn)】三角形的形狀判斷；正弦定理；余弦定理． 【分析】（1）由∥可得asinA=bsinB，再利用正弦定理即可證明結(jié)論； （2）由⊥可得a+b=ab，再利用余弦定理可得到（ab）2﹣3ab﹣4=0，解此方程即可求得ab的值，從而可求得△ABC的面積． 【解答】解：（1）ABC為等腰三角形； 證明：∵=（a，b），=（sinB，sinA），∥， ∴asinA=bsinB， 即a=b，其中R是△ABC外接圓半徑， ∴a=b﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ∴△ABC為等腰