2022-2023學年山西省太原市西焉鄉(xiāng)中學高二數(shù)學理上學期期末試題含解析

2022-2023學年山西省太原市西焉鄉(xiāng)中學高二數(shù)學理上學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.拋物線的準線方程是（

）A．x=1

B．x=－1

C．y=1

D．y=－1參考答案：B2.設(shè)命題P：?x∈R，x2+2＞0．則￢P為（）A． B．C． D．?x∈R，x2+2≤0參考答案：B【考點】命題的否定．【分析】根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題進行判斷即可．【解答】解：命題是全稱命題，則命題的否定是特稱命題，即￢P：，故選：B【點評】本題主要考查含有量詞的命題的否定，比較基礎(chǔ)．3.給出以下四個問題：①輸入一個數(shù)x,輸出它的相反數(shù).②求面積為6的正方形的周長.③求三個數(shù)a,b,c中的最大數(shù).④求函數(shù)的函數(shù)值.

其中不需要用條件語句來描述其算法的有(

)A.1個

B.2個

C.3個

D.4個參考答案：B4.以橢圓+=1的焦點為頂點，頂點為焦點的雙曲線漸近線方程是（） A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x參考答案：B【考點】橢圓的簡單性質(zhì)；雙曲線的簡單性質(zhì)． 【專題】計算題；規(guī)律型；函數(shù)思想；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程． 【分析】求出橢圓的焦點與頂點坐標，即可求出雙曲線的頂點與焦點坐標，然后求解雙曲線漸近線方程． 【解答】解：橢圓+=1的焦點（±1，0），頂點（±2，0）， 可得雙曲線的a=1，c=2，b=， 雙曲線漸近線方程是：y=x． 故選：B． 【點評】本題考查橢圓與雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查計算能力． 5.在中，分別為角所對邊，若，則此三角形一定是(

)

A．等腰直角三角形

B．直角三角形

C．等腰三角形

D．等腰或直角三角形參考答案：C6.下列命題中，正確的是

A．一個平面把空間分成兩部分；

B．兩個平面把空間分成三部分；

C．三個平面把空間分成四部分；

D．四個平面把空間分成五部分。參考答案：A7.設(shè)A為橢圓=1（a＞b＞0）上一點，點A關(guān)于原點的對稱點為B，F(xiàn)為橢圓的右焦點，且AF⊥BF．若∠ABF∈[，]，則該橢圓離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．參考答案：D【考點】K4：橢圓的簡單性質(zhì)．【分析】設(shè)左焦點為：N．連接AF，AN，AF，BF，可得：四邊形AFNB為矩形．根據(jù)橢圓的定義：|AF|+|AN|=2a．∠ABF=α，可得∠ANF=α．可得2a=2ccosα+2csinα，e==，根據(jù)α的取值范圍即可得出．【解答】解：設(shè)左焦點為：N．連接AF，AN，AF，BF，可得：四邊形AFNB為矩形．根據(jù)橢圓的定義：|AF|+|AN|=2a．∠ABF=α，則：∠ANF=α．∴2a=2ccosα+2csinα∴e===，α=∠ABF∈[，]，∴∈，∴∈．∴e∈．故選：D．【點評】本題考查了橢圓的定義標準方程及其性質(zhì)、三角函數(shù)求值，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．8.若方程在區(qū)間（-1,1）和區(qū)間（1,2）上各有一根,則實數(shù)a的取值范圍是(

)A. B. C. D.或參考答案：B【分析】函數(shù)f（x）＝在區(qū)間（﹣1，1）和區(qū)間（1，2）上分別存在一個零點，則，解得即可．【詳解】∵函數(shù)f（x）＝ax2﹣2x+1在區(qū)間（﹣1，1）和區(qū)間（1，2）上分別存在一個零點，∴，即，解得a＜1，故選：B．【點睛】本題考查函數(shù)零點的判斷定理，理解零點判定定理的內(nèi)容，將題設(shè)條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于參數(shù)的不等式組是解本題的關(guān)鍵．9.設(shè)集合I＝{1，2，3，4，5}．選擇I的兩個非空子集A和B，要使B中最小的數(shù)大于A中最大的數(shù)，則不同的選擇方法共有(

)A．50種

B．49種

C．48種

D．47種參考答案：B略10.已知為正實數(shù),且成等差數(shù)列,成等比數(shù)列,則的取值范圍是

A.

B.

C.

D.參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)是原點，向量對應(yīng)的復數(shù)分別為那么向量對應(yīng)的復數(shù)是_______

參考答案：5-5i12.已知復數(shù)，則的實部的最大值為_______，虛部的最大值為________.參考答案：

略13.已知函數(shù)f（x）=的值為．參考答案：【考點】對數(shù)的運算性質(zhì)．【分析】首先求出f（）=﹣2，再求出f（﹣2）的值即可．【解答】解：∵＞0∴f（）=log3=﹣2∵﹣2＜0∴f（﹣2）=2﹣2=故答案為．14.某幾何體的三視圖如右圖（其中側(cè)視圖中的圓弧是半圓），則該幾何體的表面積為

參考答案：

15.在△ABC中，若c2＞a2+b2，則△ABC必是

（填銳角，鈍角，直角）三角形．參考答案：鈍角【考點】余弦定理．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；解三角形．【分析】由條件利用余弦定理求得cosC＜0，可得△ABC必是鈍角三角形．【解答】解：△ABC中，若c2＞a2+b2，則由余弦定理可得cosC=＜0，故C為鈍角，故△ABC必是鈍角三角形，故答案為：鈍角．【點評】本題主要考查余弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．16.有一對酷愛運動的年輕夫婦給他們12個月大的嬰兒3塊分別寫有“20”，“08”和“北京”的字塊，如果嬰兒能夠排成“2008北京”或者“北京2008”，則他們就給嬰兒獎勵.假設(shè)嬰兒能將字塊橫著正排，那么這個嬰兒能得到獎勵的概率是________．參考答案：20”，“08”，“北京”三字塊的排法共有“2008北京”、“20北京08”、“0820北京”、“08北京20”、“北京2008”、“北京0820”6種情況，而得到獎勵的情況有2種，故嬰兒能得到獎勵的概率為＝.17.雙曲線的兩個焦點為Ｆ１、Ｆ２，點P在雙曲線上，若ＰＦ１⊥ＰＦ２，則點P到ｘ軸的距離為

___________

參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（11分）如圖，已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1，E，F(xiàn)，G，H分別是AD1、CD1、BC、AB的中點．（Ⅰ）求證：E，F(xiàn)，G，H四點共面；（Ⅱ）求證：GH⊥B1D．參考答案：【考點】空間中直線與直線之間的位置關(guān)系．【分析】（Ⅰ）連結(jié)AC，證明EF∥GH，即可證明E，F(xiàn)，G，H四點共面；（Ⅱ）連結(jié)BD，證明GH⊥平面BDD1B1，即可證明GH⊥B1D．【解答】證明：（Ⅰ）如圖，連結(jié)AC．（1分）∵E，F(xiàn)分別是AD1、CD1的中點，∴EF∥AC．（2分）∵G，H分別是BC、AB的中點，∴GH∥AC．∴EF∥GH．∴E，F(xiàn)，G，H四點共面．（5分）（Ⅱ）連結(jié)BD．∵ABCD﹣A1B1C1D1是正方體，∴AC⊥BD，AC⊥DD1．（7分）∵BD∩DD1=D，BD，DD1?平面BDD1B1，∴AC⊥平面BDD1B1．（9分）又∵GH∥AC，∴GH⊥平面BDD1B1，（10分）又∵BD1?平面BDD1B1，∴GH⊥B1D．（11分）【點評】本題考查空間線線、線面位置關(guān)系，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．19.如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AC⊥BD（Ⅰ）證明：BD⊥PC（Ⅱ）若AD=6，BC=2，直線PD與平面PAC所成的角為30°，求四棱錐P﹣ABCD的體積．參考答案：【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積；直線與平面垂直的性質(zhì)．【分析】（Ⅰ）推導出PA⊥BD，AC⊥BD，PA，從而BD⊥平面PAC，由此能證明BD⊥PC．（Ⅱ）設(shè)AC∩BD=O，連接PO，則∠DPO是直線PD和平面PAC所成的角，從而∠DPO=30°，推導出BD⊥PO，AC⊥BD，求出梯形ABCD的高，由此能求出四棱錐P﹣ABCD的體積．【解答】（本小題滿分12分）證明：（Ⅰ）∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴PA⊥BD，又AC⊥BD，PA，AC是平面PAC內(nèi)的兩條相交直線，∴BD⊥平面PAC，而PC?平面PAC，∴BD⊥PC．…解：（Ⅱ）設(shè)AC∩BD=O，連接PO，由（Ⅰ）知BD⊥平面PAC，∴∠DPO是直線PD和平面PAC所成的角，∴∠DPO=30°，由BD⊥平面PAC，PO?平面PAC，知BD⊥PO．在Rt△POD中，由∠DPO=30°，得PD=2OD．∵四邊形ABCD是等腰梯形，AC⊥BD，∴△AOD，△BOC均為等腰直角三角形，從而梯形ABCD的高為AD+BC=×（6+2）=4，于是SABCD=×（6+2）×4=16．在等腰三角形AOD中，OD=AD=3，∴PD=2OD=6，PA===6，∴VP﹣ABCD=SABCD×PA=×16×6=32．…20.（本題滿分12分）橢圓C：的兩個焦點分別為,是橢圓上一點，且滿足.（1）求離心率的取值范圍；（2）當離心率取得最小值時，點N(0,3)到橢圓上的點的最遠距離為.(i)求此時橢圓C的方程；(ii)設(shè)斜率為的直線l與橢圓C相交于不同的兩點A、B，Q為AB的中點，問A、B兩點能否關(guān)于過點P（0，）、Q的直線對稱？若能，求出的取值范圍；若不能，請說明理由.參考答案：(1)、由幾何性質(zhì)知的取值范圍為：≤e＜1(2)、(i)當離心率e取最小值時，橢圓方程可表示為。設(shè)H(x,y)是橢圓上的一點，則|NH|2=x2+(y-3)2=-(y+3)2+2b2+18，其中-b≤y≤b若0＜b＜3，則當y=-b時，|NH|2有最大值b2+6b+9，所以由b2+6b+9=50解得b=-3±5(均舍去)若b≥3，則當y=-3時，|NH|2有最大值2b2+18，所以由2b2+18=50解得b2=16∴所求橢圓方程為(ii)設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，Q(x0,y0)，則由兩式相減得x0+2ky0=0；又直線PQ⊥直線l，∴直線PQ的方程為，將點Q(x0,y0)坐標代入得……②由①②解得Q(,)，而點Q必在橢圓的內(nèi)部

∴，

由此得k2<，又k≠0∴-<k<0或0<k<故當(-,0)∪(0,)時，A、B兩點關(guān)于過點P、Q、的直線對稱。21.（12分）已知等比數(shù)列的前項和為，且是與2的等差中項，等差數(shù)列中，，點在直線上．⑴求和的值；⑵求數(shù)列的通項和；⑶設(shè)，求數(shù)列的前n項和．參考答案：解：（1）由得：；；；由得：；；；（2）由┅①得┅②；（）將兩式相減得：；；（）所以：當時：

；故：；

又由：等差數(shù)列中，，點在直線上．得：，且，所以：；

（3）；利用錯位相減法得：；22.如圖，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，過A作SB的垂線，垂足為E，過E作SC的垂線，垂足為F，求證：（1）BC⊥面SAB；（2）AF⊥SC．參考答案：【考點】LW：直線與平面垂直的判定；LO：空間中直線與直線之間的位置關(guān)系．【分析】（1）由已知中SA⊥平面ABC，由線面垂直的性質(zhì)可得BC⊥SA，結(jié)合AB⊥BC和線面垂直的判定定理，我們可得BC⊥面SAB；（2）由已知中過A作SB的垂線，垂足為E，結(jié)合（1）的結(jié)論，由線面垂直的判定定理可得AE⊥面SBC，進而AE⊥SC，再由已知中，過E作SC的垂線，垂足為F，由線面垂直的判定定理可得SC⊥面AEF，最后由線面垂直的性質(zhì)