2022年廣東省湛江市湖光新圩中學高三數(shù)學理上學期期末試題含解析

2022年廣東省湛江市湖光新圩中學高三數(shù)學理上學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.過點P(4,2)作圓x2＋y2＝4的兩條切線，切點分別為A，B，O為坐標原點，則△OAB的外接圓方程是()A．(x－2)2＋(y－1)2＝5

B．(x－4)2＋(y－2)2＝20C．(x＋2)2＋(y＋1)2＝5

D．(x＋4)2＋(y＋2)2＝20參考答案：A略2.函數(shù)的圖象是

參考答案：C，根據(jù)圖象之間的關系可知C正確。3.已知中，分別是角的對邊，，則=

A.

B.

C.或

D.

參考答案：B4.已知，，則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B∵，，故選B.

5.抽氣機每次抽出容器內(nèi)空氣的％，要使容器內(nèi)剩下的空氣少于原來的％，則至少要抽（參考數(shù)據(jù)：，）

（）

A．次

B．次

C．次

D．次

參考答案：D略6.已知函數(shù)(為自然對數(shù)的底數(shù)）與的圖象上存在關于軸對稱的點，則實數(shù)a的取值范圍是A．

B．

C．

D．參考答案：B函數(shù)與的圖象上存在關于軸對稱的點，即函數(shù)與的圖象有交點，即在區(qū)間有零點，，故函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增，即在處取得最小值，要與有交點，則需.另一方面，故，，綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.

7.將函數(shù)圖像向左平移個單位后圖像關于點中心對稱，則的值可能為（

）A. B. C. D.參考答案：B【分析】先將函數(shù)化簡整理，再向左平移，根據(jù)平移后圖像關于點中心對稱，列出等式，即可得出結果.【詳解】由題意可得：，將函數(shù)圖像向左平移個單位后，得到，又平移后圖像關于點中心對稱，所以，因此，又因為，所以，即，當時，.故選B【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖像變換，以及已知對稱中心求參數(shù)的問題，熟記正弦函數(shù)的性質即可，屬于?？碱}型.8.函數(shù)的圖象大致是（）A． B． C． D．參考答案：B【考點】函數(shù)的圖象．【分析】先求出函數(shù)的定義域，再利用函數(shù)值，即可判斷．【解答】解：由1﹣x2≠0，解得x≠±1，∵函數(shù)，當x=2時，f（x）＜0，當x=﹣2時，f（x）＞0，當x=時，f（x）＞0，當x=﹣時，f（x）＜0，故選：B．9.經(jīng)統(tǒng)計,某地的財政收入與支出滿足的線性回歸模型是(單位:億元),其中為隨機誤差,如果今年該地區(qū)財政收入10億元,則年支出預計不超出(

)A.10億

B.11億

C.11.5億

D.12億參考答案：D10.已知雙曲線的左,右焦點分別為F1F2,若雙曲線上存在點P,使,則該雙曲線的離心率e范圍為（

）A.（1,）

B.（1,）

C.（1,]

D.（1,]參考答案：A解:由題意，點不是雙曲線的頂點，否則無意義，在中，由正弦定理得，又，即，在雙曲線的右支上，由雙曲線的定義，得，即，由雙曲線的幾何性質，知，即，，解得，又，所以雙曲線離心率的范圍是，故選A.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.直線與圓相交于,兩點，若，則實數(shù)的值是_____．參考答案：12.記Sn為數(shù)列{an}的前n項和，若，，則通項公式______.參考答案：【分析】先求出，然后由得，兩式相減得，從而由等比數(shù)列定義得數(shù)列為等比數(shù)列.【詳解】∵，∴，又，∴，由得，兩式相減得，即，而，∴是公比為2的等比數(shù)列，∴.故答案為.【點睛】本題考查等比數(shù)列的通項公式，解題關鍵是掌握數(shù)列前項和與項之間的關系，即，利用此式得出數(shù)列的遞推關系，同時要注意此關系式中有，因此要考慮數(shù)列的首項與的關系是否與它們一致.13.在直角三角形中，，，點是斜邊上的一個三等分點，則

．參考答案：略14.若一個圓錐的母線與底面所成的角為，體積為125π，則此圓錐的高為

．參考答案：5【考點】L5：旋轉體（圓柱、圓錐、圓臺）．【分析】設圓錐的高為h，則底面圓的半徑為h，利用體積為125π，建立方程，即可求出此圓錐的高．【解答】解：設圓錐的高為h，則底面圓的半徑為h，∵體積為125π，∴=125π，∴h=5．故答案為：5．【點評】本題考查圓錐體積的計算，考查方程思想，比較基礎．15.一個幾何體的三視圖如圖所示，其中主視圖、俯視圖與左視圖均是半徑為2的圓，則這個幾何體的表面積是．參考答案：17π【考點】由三視圖求面積、體積．【專題】計算題；空間位置關系與距離．【分析】幾何體是球體切去后余下的部分，球的半徑為2，代入球的表面積公式可得答案．【解答】解：由三視圖知：幾何體是球體切去后余下的部分，∵球的半徑為2，∴幾何體的表面積S=（1﹣）×4π×22+π×22=17π．故答案為：17π．【點評】本題考查了由三視圖求幾何體的表面積，判斷幾何體的形狀是解答此類問題的關鍵．16.設數(shù)列{an}，（n≥1，n∈N）滿足a1=2，a2=6，且（an+2﹣an+1）﹣（an+1﹣an）=2，若[x]表示不超過x的最大整數(shù)，則[++…+]=．參考答案：2015【考點】等差數(shù)列的通項公式．【分析】構造bn=an+1﹣an，可判數(shù)列{bn}是4為首項2為公差的等差數(shù)列，累加法可得an=n（n+1），裂項相消法可得答案．【解答】解：構造bn=an+1﹣an，則b1=a2﹣a1=4，由題意可得（an+2﹣an+1）﹣（an+1﹣an）=bn+1﹣bn=2，故數(shù)列{bn}是4為首項2為公差的等差數(shù)列，故bn=an+1﹣an=4+2（n﹣1）=2n+2，故a2﹣a1=4，a3﹣a2=6，a4﹣a3=8，…，an﹣an﹣1=2n，以上n﹣1個式子相加可得an﹣a1=，解得an=n（n+1），故++…+=2016（++…+）=2016（1﹣+﹣+…+﹣）=2016﹣，∴[++…+]=2015，故答案為：2015．17.以A表示值域為R的函數(shù)組成的集合，B表示具有如下性質的函數(shù)組成的集合：對于函數(shù)，存在一個正數(shù)M，使得函數(shù)的值域包含于區(qū)間[－M,M]。例如，當，時，，?，F(xiàn)有如下命題：①設函數(shù)的定義域為，則“”的充要條件是“，，”；②函數(shù)的充要條件是有最大值和最小值；③若函數(shù)，的定義域相同，且，，則④若函數(shù)

（，）有最大值，則。其中的真命題有__________________.（寫出所有真命題的序號）參考答案：【知識點】命題的真假判斷與應用；充要條件；函數(shù)的值域．【答案解析】①③④解析：解：（1）對于命題①“”即函數(shù)值域為R，“，，”表示的是函數(shù)可以在R中任意取值，

故有：設函數(shù)的定義域為D，則“”的充要條件是“，，”∴命題①是真命題；（2）對于命題②若函數(shù)，即存在一個正數(shù)，使得函數(shù)的值域包含于區(qū)間．∴-≤≤．例如：函數(shù)滿足-2＜＜5，則有-5≤≤5，此時，無最大值，無最小值．∴命題②“函數(shù)的充要條件是有最大值和最小值．”是假命題；

（3）對于命題③若函數(shù)，的定義域相同，且∈A，∈B，

則值域為R，∈（-∞，+∞），并且存在一個正數(shù)M，使得-≤g（x）≤．∴+∈R．則+?B．∴命題③是真命題．（4）對于命題④∵函數(shù)（x＞-2，a∈R）有最大值，

∴假設a＞0，當x→+∞時，→0，→+∞，∴→+∞，則→+∞．與題意不符；

假設a＜0，當x→-2時，→，→-∞，∴→+∞，則→+∞．與題意不符．∴a=0．

即函數(shù)=（x＞-2）

當x＞0時，x+≥2，∴，即0＜≤；

當x=0時，=0；

當x＜0時，x+≤?2，∴?≤＜0，即?≤＜0．

∴?≤≤．即．故命題④是真命題．

故答案為①③④．【思路點撥】根據(jù)題中的新定義，結合函數(shù)值域的概念，可判斷出命題①②③是否正確，再利用導數(shù)研究命題④中函數(shù)的值域，可得到其真假情況，從而得到本題的結論．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)，的最大值是2，其圖象經(jīng)過點．

（1）求的解析式；（2）若，且函數(shù)()的圖象關于直線對稱，求的值．參考答案：解析：（1）因為函數(shù)的最大值是2，所以

又函數(shù)圖象經(jīng)過點，故，即

由于，所以

所以

…………5分（2）

由其圖象關于直線對稱，得

所以，即

…………14分19.設函數(shù)對其定義域內(nèi)的任意實數(shù)，則稱函數(shù)為上凸函數(shù)．若函數(shù)為上凸函數(shù)，則對定義域內(nèi)任意、、，…，都有（當時等號成立），稱此不等式為琴生不等式，現(xiàn)有下列命題：

①是上凸函數(shù)；

②二次函數(shù)是上凸函數(shù)的充要條件是a>0；

③是上凸函數(shù)，若是圖象上任意兩點，點C在線段AB上，且；

④設A，B，C是一個三角形的三個內(nèi)角，則的最大值是。

其中，正確命題的序號是

（寫出所有你認為正確命題的序號）．參考答案：20.已知函數(shù)，.(1)若函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)單調遞增，求實數(shù)a的取值范圍；(2)證明:方程有且只有一個實數(shù)根.參考答案：(1)由題得,函數(shù)的定義域為由，得，依題意,得恒成立,所以在區(qū)間內(nèi)恒成立,所以.而,當且僅當,即時，等號成立，故，因此實數(shù)的取值范圍為.(2)令,即,即，也就是證明函數(shù)的圖象與直線有且只有一個交點.由，得記,所以令，當時,,在區(qū)間內(nèi)單調遞減;當時,,在區(qū)間內(nèi)單調遞增，所以當時,有有極小值，故，因此在區(qū)間內(nèi)單調遞增，又因為當,且時,,當時,,因此函數(shù)的圖象與直線有且只有一個交點,故方程有且只有一個實數(shù)根.21.（本小題12分）如圖，在矩形ABCD中，,P、Q分別為線段AB、CD的中點，（1）求證：（2）求證：（3）若

,求三棱錐的體積參考答案：略22.如圖,已知四邊形內(nèi)接于圓O,且是圓O的直徑,以點為切點的圓O的切線與的延長線交于點.（I）若，，求的長；（II）若，求的大小.參考答案：解：(Ⅰ)因為MD為的切線,由切割線定理知,MD2=MAMB，又MD=6，MB=12，MB=MA+AB,