基于小波變換的頻譜分析方法

基于小波變換的頻譜分析方法

一、采樣頻率選取頻帶分析通常采用快速傅立葉變換（fft）方法，但高速傅立葉變換信號(hào)頻率的計(jì)算精度由采樣頻率和采樣點(diǎn)決定。假設(shè)采樣頻率為fs,采樣點(diǎn)數(shù)為N,則頻率分辨率為Δf=fs/N。對(duì)于待檢測(cè)信號(hào)如果采樣頻率選取過(guò)高,將產(chǎn)生過(guò)飽和現(xiàn)象;如果采樣頻率選取過(guò)低,將產(chǎn)生欠采樣現(xiàn)象。這兩種情況就使得采樣頻率的選取受到限制。實(shí)際應(yīng)用中,采用增加采樣點(diǎn)數(shù)來(lái)提高頻率分辨率,其缺點(diǎn)在于增加運(yùn)算量,使實(shí)時(shí)性降低;此外,有些實(shí)際信號(hào)的變化比較快,而增加采樣點(diǎn)數(shù)必然增加采樣時(shí)間,這樣就導(dǎo)致頻譜檢測(cè)跟蹤不上信號(hào)的變化,從而限制了使用增加采樣點(diǎn)數(shù)來(lái)提高頻率分辨率的應(yīng)用場(chǎng)合。本文提出了基于小波變換的頻譜分析方法,通過(guò)小波變換方法來(lái)提高頻率分辨率,對(duì)短數(shù)據(jù)仍然具有較高的頻率分辨率,從而滿足信號(hào)頻譜檢測(cè)準(zhǔn)確度需求。二、小波變換方法用于提高光譜分辨率1.基于尺度的頻譜檢測(cè)小波變換的實(shí)質(zhì)是使信號(hào)通過(guò)一組帶通濾波器,這些濾波器的通帶特性決定著信號(hào)頻譜檢測(cè)的精度。對(duì)于不同的信號(hào)希望有一個(gè)適合該信號(hào)的帶通濾波器。根據(jù)小波變換的理論,小波濾波器的中心頻率和通帶帶寬與尺度α成反比,這樣就可以通過(guò)選擇變換尺度α的值來(lái)選擇濾波器的特性完成最佳的頻譜檢測(cè)。從而實(shí)現(xiàn)較短數(shù)據(jù)下的高分辨率的頻譜檢測(cè),使用Morlet小波,其基本小波函數(shù)為Ψ(t)=e-t/Teuω0t(1)其對(duì)應(yīng)不同尺度的頻率特性為Ψ(αω)=π/T????√?e[?(αω?ω0)2/(4/T)](2)Ψ(αω)=π/Τ?e[-(αω-ω0)2/(4/Τ)](2)式(1)和式(2)中,ω0是最大譜估計(jì)頻率,為采樣頻率fs的一半;α是尺度因子;T為采樣時(shí)間間隔。由式(1)和式(2)可以得出,濾波器的中心頻率為ω0/α=fs/2α,其帶寬隨中心頻率變化而變化。中心頻率高,帶寬寬;中心頻率低,帶寬窄。但帶寬和中心頻率的比值不變,這是常數(shù)Q濾波器。緩慢改變尺度就會(huì)使得濾波器的中心頻率緩慢變化,兩個(gè)鄰近的濾波器的通帶有共同的部分,信號(hào)通過(guò)這共同部分時(shí),都可以得到正確的頻譜檢測(cè)結(jié)果。通過(guò)改變尺度α的值就可以精確控制濾波器特性,從而提高信號(hào)頻譜檢測(cè)的精度。實(shí)際中,只需要在感興趣的頻率段改變尺度就可以了。假設(shè)單一正弦信號(hào)通過(guò)連續(xù)的一組濾波器,這些濾波器的通帶覆蓋著0～fs/2的頻率段,相鄰的濾波器之間具有共同的通帶頻率段。尺度α的變化控制這些濾波器的特性,如果尺度α=1,則頻率分辨率僅僅決定于采樣點(diǎn)數(shù)和采樣頻率,這就和經(jīng)典的FFT有同樣的頻率分辨率;如果使用尺度α=0.5,在同樣采樣點(diǎn)數(shù)下,則頻率分辨率提高一倍,從而得到精確的頻譜檢測(cè)。使用尺度α為一個(gè)變化的量就可以實(shí)現(xiàn)不同頻率段具有不同的頻率分辨率。實(shí)際情況下,我們通過(guò)改變尺度α設(shè)置濾波器的帶寬為濾波器中心頻率的十分之一,每一個(gè)尺度對(duì)應(yīng)一個(gè)濾波器,采樣后的信號(hào)每經(jīng)過(guò)一個(gè)濾波器都會(huì)得到一個(gè)檢測(cè)結(jié)果,信號(hào)經(jīng)過(guò)其中一個(gè)或兩個(gè)相鄰的濾波器后完全通過(guò),從而得到正確的頻譜檢測(cè)結(jié)果。大部分濾波器將濾掉信號(hào),只得到噪聲。這通過(guò)比較數(shù)據(jù)可以判斷出哪一組濾波器得到信號(hào)。對(duì)于信號(hào)幅度大于噪聲幅度的信號(hào)檢測(cè),通過(guò)簡(jiǎn)單的比較數(shù)據(jù)大小就可以得到正確的結(jié)果;對(duì)于信號(hào)幅度小于噪聲幅度的信號(hào)檢測(cè),只有通過(guò)多次檢測(cè)才能判斷出信號(hào)所在的頻率段,此種情況,不在本論文考慮之中。2.調(diào)整采樣頻率在信號(hào)頻譜檢測(cè)中,總是希望信號(hào)頻率正好落在帶通濾波器通帶的中心處。這樣,信號(hào)幾乎完全通過(guò),而噪聲達(dá)到最大限度的抑制。在實(shí)際信號(hào)頻譜檢測(cè)中,僅僅改變尺度的值不能保證信號(hào)頻率正好落在帶通濾波器通帶的中心處,從而很難達(dá)到對(duì)檢測(cè)精度要求很高的信號(hào)頻譜檢測(cè),文獻(xiàn)中達(dá)到10‰左右的檢測(cè)精度。為了達(dá)到1‰的檢測(cè)準(zhǔn)確度,必須將信號(hào)盡可能的通過(guò)濾波器的中心處,也就是信號(hào)頻率盡可能的接近濾波器通帶的中心頻率。我們采取調(diào)整采樣頻率來(lái)確保信號(hào)通過(guò)濾波器通帶的中心處。這樣,需要進(jìn)行4～5次左右的采樣頻率的調(diào)整,一般情況下三次就滿足要求。調(diào)整采樣頻率的過(guò)程如下:首先,選擇一個(gè)適應(yīng)范圍較廣的采樣頻率(例如,1kHz采樣可以適用于100Hz～500Hz信號(hào)頻率)得到一次精度較差的檢測(cè)結(jié)果(為了提高檢測(cè)時(shí)間,可以將尺度設(shè)置為1,和FFT有同樣的頻率分辨率,也可以直接使用FFT做第一次的頻率檢測(cè));再緊接著以上一次的估計(jì)結(jié)果調(diào)整采樣頻率;一般選擇采樣頻率為上一次檢測(cè)結(jié)果的16倍,重復(fù)這個(gè)過(guò)程,直到最后兩次頻譜估計(jì)結(jié)果一樣或很接近,完成頻率檢測(cè),得到準(zhǔn)確度較高的檢測(cè)結(jié)果。這樣調(diào)整采樣頻率的優(yōu)點(diǎn)有三點(diǎn),第一,保證了信號(hào)頻譜檢測(cè)的準(zhǔn)確度;第二,初始化的采樣頻率選擇范圍廣,只需要滿足采樣定理,減少了采樣頻率初始化過(guò)程;第三,只要檢測(cè)到信號(hào)檢測(cè),就可以跟蹤上信號(hào)頻率的漸變過(guò)程,對(duì)于突變或者跳變的信號(hào)需要重新初始化,重新搜索信號(hào)頻率。三、高頻采樣頻率仿真考察如下信號(hào)的頻譜檢測(cè)結(jié)果y(t)=10sin(2πf0t+φ0)+4sin(2πf1t+φ1)+sin(2πfl,h)+dis(3)式中,f0是信號(hào)的主頻率,也就是待估計(jì)的頻率;f1是諧波干擾頻率;φ0和φ1是相應(yīng)的初始相位,φ0=φ1=0.2π,fl,h表示高頻和低頻干擾;dis是在0～1之間隨機(jī)抽取的數(shù)據(jù),均值為0.5。分別對(duì)輸出信號(hào)頻率在低頻f0=40.5Hz處以及高頻f0=600.5Hz進(jìn)行仿真。這里,確定采樣點(diǎn)數(shù)為64點(diǎn)。圖1是低頻情況下的頻率檢測(cè)結(jié)果,f0=40.5Hz,f1=50Hz,采樣頻率為200Hz,圖中,曲線最大值對(duì)應(yīng)的頻率為40.56Hz,檢測(cè)準(zhǔn)確度為1.48‰。圖2是高頻情況下的頻率檢測(cè)結(jié)果,f0=600.5Hz,f1=580Hz,采樣頻率為3000Hz,圖中,曲線最大值對(duì)應(yīng)的頻率為601.41Hz,檢測(cè)準(zhǔn)確度為1.52‰。圖1和圖2中的曲線可以隨著采樣點(diǎn)數(shù)的增加逼近到0Hz,在實(shí)際中沒(méi)有必要檢測(cè)很低頻率段。表1是對(duì)應(yīng)不同初始化采樣頻率對(duì)信號(hào)主頻f0的檢測(cè)結(jié)果,表中頻率單位為Hz,精度單位為‰。仿真結(jié)果表明,對(duì)于一定的信號(hào)頻率,只要采樣頻率設(shè)置的合適就可以很精確的測(cè)量到信號(hào)頻率,可以使最大誤差小于1‰。隨機(jī)噪聲、諧波以及高低頻率處的干擾對(duì)信號(hào)主頻率頻譜的檢測(cè)影響不大。即使初始化采樣頻率設(shè)置的不正確,依然可以根據(jù)測(cè)量結(jié)果逐步逼近最佳采樣頻率。理論上,只要檢測(cè)的次數(shù)足夠多,總可以逼近最佳采樣頻率;實(shí)際上,考慮到實(shí)時(shí)性的要求,一般設(shè)置初始化采樣頻率在信號(hào)頻率到十倍信號(hào)頻率之間。這樣,只需要通過(guò)四次調(diào)整就可以接近最佳采樣頻率。一旦采樣頻率接近最佳采樣頻率,每一次的測(cè)量值基本上很接近,通過(guò)比較兩次或更多次的測(cè)量結(jié)果就可以確定采樣頻率為最佳采樣頻率,從而結(jié)束對(duì)采樣頻率的調(diào)整。四、仿真率估計(jì)方法仿真使用式(3)提供的信號(hào)進(jìn)行其他頻率估計(jì)方法的仿真,設(shè)置信號(hào)采樣點(diǎn)數(shù)和小波分析方法一樣,均為64個(gè)采樣點(diǎn),設(shè)置f0=64Hz,f1=50Hz。1.fft算法與非整周期采樣經(jīng)典周期圖法使用FFT變換,然后求取FFT變換后數(shù)據(jù)的模,從而得出信號(hào)的功率譜圖。對(duì)于式(3)的信號(hào),根據(jù)采樣定理其采樣頻率最低為128Hz,此時(shí)周期圖法的頻率分辨率為128/64=2Hz,這也是在64點(diǎn)采樣數(shù)據(jù)下能夠達(dá)到的最小頻率分辨率。對(duì)式(3)的信號(hào)進(jìn)行仿真,選擇同樣的采樣點(diǎn)數(shù),FFT算法的檢測(cè)準(zhǔn)確度在4‰以上。實(shí)際中,采樣頻率一般設(shè)置都比信號(hào)頻率的2倍大一點(diǎn),所以,周期圖法的實(shí)際頻率分辨率還要大。從而導(dǎo)致檢測(cè)的精度進(jìn)一步降低。此外,非整周期采樣對(duì)周期圖的檢測(cè)結(jié)果有一定的影響,實(shí)際應(yīng)用中很難實(shí)現(xiàn)整周期采樣。圖3是FFT算法的譜估計(jì)圖。2.bg算法仿真Burg算法是建立在數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上的AR系數(shù)求解的有效算法,其特點(diǎn)是根據(jù)線性預(yù)測(cè)原理,令前后向預(yù)測(cè)誤差功率之和最小。但信號(hào)中加入白噪聲后Burg算法對(duì)譜估計(jì)會(huì)出現(xiàn)譜線分裂現(xiàn)象。利用Burg算法進(jìn)行頻率估計(jì),建立5階模型,對(duì)式(3)的信號(hào)進(jìn)行仿真,選擇同樣的采樣點(diǎn)數(shù),Burg算法的檢測(cè)準(zhǔn)確度在3‰以上,同時(shí),在仿真時(shí)我們發(fā)現(xiàn)諧波干擾對(duì)Burg算法的影響是很大的,在有諧波干擾時(shí)如果采樣頻率選擇得不好,Burg算法會(huì)得到錯(cuò)誤的檢測(cè)結(jié)果。圖4是Burg算法的譜估計(jì)圖。五