“隱圓”四大模型

模型一、四點(diǎn)共圓類型一、兩對角互補(bǔ)【例1】如圖1，等邊△ABC中，AB=6，P為AB上一動點(diǎn)，PDBC，PEAC，則DE的最小值為____圖1圖2【簡答】因為PEC=PDC=90°，故四邊形PDCE對角互補(bǔ)，故P、D、C、E四點(diǎn)共圓，如圖2，EOD=2ECD=120°，要使得DE最小，則要使圓的半徑最小，故直徑PC最小，當(dāng)CPAB時，PC最短，此時易求得DE=【例2】如圖，已知△ABC中，ACB=90°，AC=4，BC=3，CPB=-A，過點(diǎn)C作CP的垂線，與BP的延長線交于點(diǎn)Q，則CQ的最大值為【簡答】△ABC是一個確定的三角形，CPB=A，點(diǎn)P在△ABC的外接圓上運(yùn)動，∵CQCP，△ABC~△PQC，即△PQC的形狀是確定的，大小在變化，且，即，要使CQ最大，只需PC最大，很明顯當(dāng)PC為圓的直徑時最大，最大值為5，此時CQ=【練習(xí)】1．如圖，已知矩形ABCD中，AB=12，BC=5，點(diǎn)P是邊CD上的一動點(diǎn)（不與C、D重合），過P作PGAB于點(diǎn)G，過G作GMAP于點(diǎn)M，作GNBP于點(diǎn)N，連接MN，則MN的最大值為;當(dāng)MN取得最大值時，DP的長為。如圖，在△ABC中，ACB=90°，AC=6，BC=8，O為AB的中點(diǎn)，過O作OEOF，OE、OF分別交射線AC，CB于E、F，則EF的最小值為。3.如圖，在邊長為12的菱形ABCD中，對角線AC、BD交于點(diǎn)O，BAO=60°，點(diǎn)E為AB上一動點(diǎn)，過點(diǎn)E作EPAD于點(diǎn)P，EQ//AC交BD于點(diǎn)Q，連接PQ，△DPQ周長的最小值是。類型二、動點(diǎn)到定點(diǎn)等于定長【例1】如圖1，四邊形ABCD中，AB=AC=AD，若CAD=76°，則CBD=度。圖1圖2【簡答】如圖2，因為AB=AC=AD，故B、C、D三點(diǎn)在以A為圓心，AB為半徑的圓上，CBD=CAD=38°【例2】如圖1，長2米的梯子AB豎直放在墻角，在沿著墻角緩慢下滑直至水平地面過程中，梯子AB的中點(diǎn)P的移動軌跡長度為。圖1圖2【簡答】由斜邊上的中點(diǎn)等于斜邊的一半可知，OP=1，動點(diǎn)P到定點(diǎn)O的距離始終等于1，滿足圓的定義（到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合叫做圓），故P的運(yùn)動軌跡是圓弧，圓心角為90°，軌跡長度為四分之一圓的長度，即.【例3】如圖，在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AD、DC邊上的點(diǎn)，且EF=2，G為EF的中點(diǎn)，P為BC邊上一動點(diǎn)，則PA+PG的最小值為?！竞喆稹緿G為定長，.點(diǎn)G的運(yùn)動軌跡為圓（要求AP+PG，典型的"將軍飲馬"問題），做A關(guān)于BC的對稱點(diǎn)A'，則AP+PG=A'P+PG，當(dāng)A'、P、G三點(diǎn)共線時，AP+PG最短，又∵A'為固定點(diǎn)，G在圓上運(yùn)動，可知當(dāng)A、G、D三點(diǎn)共線時，A'G最短，為4.【例4】如圖1，在Rt△ABC中，C=90°，AC=6，BC=8，點(diǎn)F在邊AC上，并且CF=2，點(diǎn)E為邊BC上的動點(diǎn)，將△CEF沿直線EF翻折，點(diǎn)C落在點(diǎn)P處，則點(diǎn)P到邊AB距離的最小值是。圖1圖2【簡答】E是動點(diǎn)，導(dǎo)致EF、EC、EP都在變化，但是FP=FC=2不變，故P點(diǎn)到F點(diǎn)的距離永遠(yuǎn)等于2，故P在半徑為2的OF上運(yùn)動，如圖2.過F作FHAB于H，交OF于點(diǎn)，則當(dāng)P與重合時，P到邊AB的距離最小，又∵△AFH~△ABC，，即,又∵，故，即P到邊AB距離的最小值為1.2。【練習(xí)】1.已知四邊形ABCD，AB//CD，AD=BD=CD=3，BC=2，則AC的長為。2.如圖，在Rt△ABC中，C=90°，E是直角邊AC的中點(diǎn)，F(xiàn)是直角邊BC上的一個動點(diǎn)，將△ECF沿EF所在的直線折疊，得到△，D是斜邊的中點(diǎn)，連接CD.若AC=6，BC=8，則C'D的最小值是.3.如圖所示，在平行四邊形ABCD中，AB=6，BC=8，P為BC邊上一動點(diǎn)，以直線AP為對稱軸將△ABP翻折得到△AB'P，當(dāng)DB'最小時，線段CP長為4.如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=4，AD=，B=60°，點(diǎn)E為線段BC上一動點(diǎn)，連接AE，將△ABE沿著AE折疊，得到△AFE，連接CF，DF，則△CDF面積的最小值為。5.如圖在Rt△ABC中，B=90°，C=30°，AB=1，D為線段AC上一動點(diǎn)，將△BDC沿著BD翻折，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為F，E為AC的中點(diǎn)，在D從C到A的運(yùn)動過程中，當(dāng)EF最短時，CD=。6.如圖，菱形ABCD的邊AB=4，B=60°，P是AB上一點(diǎn)，BP=，Q是CD邊上一動點(diǎn)，將四邊形APQD沿直線PQ折疊，A的對應(yīng)點(diǎn)為，當(dāng)?shù)拈L度最小時，CQ的長為.類型三、直角所對的是直徑【例1】如圖1，Rt△ABC中，ABBC，AB=6，BC=4，P是△ABC內(nèi)部的一個動點(diǎn)，且始終有APBP，則線段CP長的最小值為。圖1圖2【簡答】如圖2，因為APBP，P=90°（定角），AB=6（定弦），故P在以AB為直徑的OH上，當(dāng)H、P、C三點(diǎn)共線時CP最短，HB=3，BC=4則HC=5，故CP=5-3=2.【例2】如圖，正方形ABCD的邊長為4，點(diǎn)E是AB邊上的一個動點(diǎn)，點(diǎn)F是CD邊上一個動點(diǎn)，且AE=CF，過點(diǎn)B作BGEF于點(diǎn)G，連接AG，則AG長的最小值是?！竞喆稹窟B接AC、BD交于點(diǎn)O，易證O是EF的中點(diǎn)，∵BGEF于點(diǎn)G，BGO=90°，作△BGO的外接圓OM，則G在OM上運(yùn)動，當(dāng)A、G、M三點(diǎn)共線時，AG的長最小，∵OM=，OA=，根據(jù)勾股定理求得AM=，.AG長的最小值是.【練習(xí)】1.如圖，Rt△ABO中，ABO=90°，AB=4，BO=2.以AB為邊作正方形.ABCD.點(diǎn)M是邊BC上一動點(diǎn)，連接AM，過O作AM的垂線，垂足為N，連接CN.則線段CN的最小值是。2.如圖，在等腰RtAABC中，ACB=90°，AC=BC=4，點(diǎn)D為線段AC上一動點(diǎn)，連接BD，過點(diǎn)C作CHBD于點(diǎn)H，連接AH，則AH的最小值為。3.如圖，已知正方形ABCD的邊長為8，點(diǎn)E是正方形內(nèi)部一點(diǎn)，連接BE，CE，且ABE=BCE，點(diǎn)P是.B邊上一動點(diǎn)，連接PD，PE，則PD+PE長度的最小值為。4.如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，點(diǎn)M、N分別從B、C同時出發(fā)，以相同的速度沿BC、CD方向向終點(diǎn)C和D運(yùn)動，連接AM和BN交于點(diǎn)P，則PC長的最小值為。類型四、定弦對定角同?。ㄍ遥┧鶎Φ膱A周角相等定弦對定角（銳角）定弦對定角（鈍角）【例1】如圖1，△ABC為等邊三角形，AB=2，若P為△ABC內(nèi)一動點(diǎn)，且滿足APC=150°，則線段PB長度的最小值為?！竞喆稹恳驗锳C定長、APC=150°定角，故滿足"定弦定角模型"，P在圓上，圓周角APC=150°，通過簡單推導(dǎo)可知圓心角AOC=60°，故以AC為邊向下作等邊△AOC，以O(shè)為圓心，OA為半徑作圓O，P在圓O上。當(dāng)B、P、O三點(diǎn)共線時，BP最短.【例2】如圖1所示，邊長為2的等邊△ABC的頂點(diǎn)B在x軸的正半軸上移動，BOD=30°，頂點(diǎn)A在射線OD上移動，則頂點(diǎn)C到原點(diǎn)O的最大距離為【簡答】因為AOB=30°（定角），AB=2（定弦），作△AOB的外接圓圓Q，圓心角AQB=60°，可知OC<OQ+QC，當(dāng)O、Q、C三點(diǎn)共線時，OC取得最大值.【例3】已知如圖△ABC，BC=2m（定值），BAC=（一般是我們常見的60°、90°、120°等）.（1）求△ABC面積的最大值;（2）求△ABC周長的最大值?！竞喆稹浚?）定弦BC對定角，A的運(yùn)動軌跡為圓弧，作△ABC的外接圓圓O，當(dāng)A點(diǎn)處于A'時，高最大，則面積最大，這時△ABC為等腰三角形，，（2）延長BA到D，使得AD=AC，連接CD，則D=，定邊BC對頂角θ，作△BCD的外接圓ΘO，則AB+AC=AB+AD=BD≤BE=（BE為直徑），的最大值為，從而△ABC周長的最大值為?！揪毩?xí)】1.如圖，點(diǎn)E是矩形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且AEB=60°，AB=，AD=6，則線段DE的最小值是。2.如圖，已知四邊形ABCD中，AD=2，B=D=60°，對角線ACAD，則BD的最大值為。3.如圖，△ABC為等邊三角形，AB=2.若P為△ABC內(nèi)一動點(diǎn)，且滿足PAB=ACP，則線段PB長度的最小值為。4.如圖，在邊長為的等邊△ABC中，AE=CD，連接BE，AD相交于點(diǎn)P，則CP的最小值為。5.如圖，AC為邊長為的菱形ABCD的對角線，ABC=60°，點(diǎn)M、N分別從點(diǎn)B、C同時出發(fā)，以相同的速度沿BC、CA向終點(diǎn)C和A運(yùn)動，連接AM、BN，求△APB周長的最大值。6.如圖，圓O半徑為6，弦AB=6，點(diǎn)P為優(yōu)弧AB上一動點(diǎn)，ACAP交直線PB于點(diǎn)C，則△ABC的最大面積是。7.如圖，在四邊形ABCD中，AB=BC，ABC=60°，ADC=75°，對角線BD=2，則四邊形ABCD的面積的最小值為。類型五、定角定高【例1】已知△ABC中，銳角ABC=α（定值），BDAC于D，BD=m（定值），求AC的最小值.（用含α、m的代數(shù)式表示）【簡答】作△ABC的外接圓圓O，∵ABC=α是定值，所以點(diǎn)B可以看做在圓O上運(yùn)動，由于AC的長是不定的，所以圓O的半徑是不定的，設(shè)圓O的半徑為r.作OHAC于H，則H為AC的中點(diǎn)，根據(jù)圓周角定理可知AOH=ABC=α，，，，，解得的最小值為，當(dāng)B、O、H三點(diǎn)共線（即H與D重合）時取得最值。【拓展延伸】若將上題中的ABC改為鈍角，且仍為定值，處理方法也是一樣的，例如∶已知△ABC中，ABC=120°，BDAC于D，BD=5，求△ABC面積的最小值.【簡答】作△ABC的外接圓圓O，連接OA、OB、OC，過O作OHAC于H，ABC=120°，易求得AOH=60°,設(shè)圓O的半徑為r，則，解得，AC的最小值為∵△ABC面積的最小值為【例2】如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD=CD=4，AD//BC，B=60°，點(diǎn)E、F分別為邊BC、CD上的兩個動點(diǎn)，且EAF=60°，則△AEF的面積是否存在最小值?若存在，求出其最小值；若不存在，請說明理由。【簡答】圖中有角含半角模型，因此我們想到旋轉(zhuǎn)的方式來處理，將△ADF繞A點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)120°，得△ABF'，則EAF'=60°，易證△AEF'△AEF，作△AEF'的外接圓圓O，作OHBC于點(diǎn)H，AGBC于點(diǎn)G，則F'OH=60°，AG=，設(shè)圓O的半徑，則，，，的面積最小值為。定角定高，周長最小問題【例3】某地舉辦大型燈光秀表演，點(diǎn)A處是一個鐳射燈，距離城墻（直線1）30米，鐳射燈發(fā)出兩根彩色光線（AB、AC）夾角為60°，兩根光線與城墻的兩個交點(diǎn)分別為B、C，那么△ABC的周長有沒有最小值?若有，求出最小值;若沒有，請說明理由?！痉治觥緽AC=60°為定角，△ABC的高AH=30為定高，此題若是求BC的最小值，就簡單了，和前面的題做法一樣，但是要求△ABC周長的最小值，我們就要做如下轉(zhuǎn)化∶在上取點(diǎn)E、F，使得BE=BA，CF=CA，連接AE、AF，通過簡單的倒角可知EAF=120°為定角，AH為定高，這樣就可以求出EF的最小值，而EF的長恰好等于△ABC周長，這樣問題就解決了，剩下的步驟和前面的題目都一樣了。【簡答】作△AEF的外接圓圓O，連接OA，設(shè)圓O的半徑為r，則OA≥AN=AH+OM，，，從而即△ABC周長的最小值為米.【練習(xí)】1.如圖，在矩形ABCD中，AB=1，AD=，E為BC邊上一動點(diǎn)，F(xiàn)、G為AD邊上兩個動點(diǎn)，且FEG=45°，則線段FG長度的最小值為。2.如圖，在矩形ABCD中，AB=2，BC=10，點(diǎn)E、F均在AD上，且EBC+FCB=90°，則四邊形BEFC的面積最大值為。3.已知矩形ABCD，AB=10米，BC=18米，P為AB上一點(diǎn)，且AP=4米，E、Q分別為BC、AD上的點(diǎn)且滿足QPE=60°，求△QPE面積的最小值.4.如圖，某園林單位要設(shè)計把四邊形花圃劃分為幾個區(qū)域種植不同花草。在四邊形ABCD中，BAD=45°，B=D=90°，CB=CD=，點(diǎn)E、F分別為邊AB、AD上的點(diǎn)，若保持CECF，那么四邊形AECF的面積是否存在最大值，若存在，請求出面積的最大值;若不存在，請說明理由。5.已知等邊△ABC，點(diǎn)P是其內(nèi)部一個動點(diǎn)，且AP=10，M、N分別為AB、AC邊上的兩個動點(diǎn)，求△PMN周長最小時，四邊形AMPN面積的最大值。模型二、定角定周“定角定周”三角形的三種處理手段1

、轉(zhuǎn)化為“定弦定角”延長CB

至D，使得BD=AB，延長BC至E，使得CE=AC，則DE的長等于△ABC

的周長，設(shè)BAC=α，則ABC+ACB=180°-α，則D+E=，為定角，這樣就轉(zhuǎn)化為我們熟悉的“定弦定角”模型了，點(diǎn)A在圓O的弧DE上運(yùn)動。2

、轉(zhuǎn)化為“定角定高”作△ABC

的旁切圓⊙O

，則△ODB≌△OEB

，△ODC≌△OFC，∴BD=BE，CD=CF，∴AE+AF等于△ABC

的周長，又∵△AOE≌△AOF

，∴AE=AF

，為定值。∵∠BAC

為定角，∴∠OAF=∠OAE

，為定角，∴OD=OE=OF

，為定值，設(shè)，則，3、轉(zhuǎn)化為"定角動弦"在BA的延長線上截取AD=AC，則BD=BA+AC，∴△ABC的周長轉(zhuǎn)化為BD+BC，而∠D=∠ACD=∠BAC，為定角，則D在圓O上運(yùn)動，由于BC和BD都不定，但BD+BC為定值，根據(jù)BD的最值可求出BC的最值。【例題分析】【例1】已知△ABC的周長為，∠ACB=60°，求AB的最小值。解法一∶【簡答】作△ABC的旁切圓圓O，則CE+CF=，∴CE=CF=,∵∠ACB=60°，∴∠OCF=∠OCE=30°，∴OD=OE=OF=6,易求得∠AOB=60°，（下面又是定角定高的套路了）如圖2，作△AOB的外接圓圓Q，設(shè)半徑為r，則0Q+QHOD，∴，解得r≥4，∴AB=，∴AB的最小值為.圖2解法二∶【簡答】在AC的延長線上截取CD=CB，則AC+CB=AD，連接BD，則∠D=作△ABD的外接圓圓O，則D在優(yōu)弧ADB上運(yùn)動，連接OA、OB，則∠AOB=2∠D=60°，∴△AOB為等邊三角形，設(shè)AB=m，則OA=m，即圓O的半徑為m，∵△ABC的周長為，∴AD=，當(dāng)AD過圓心O時，AD最大，最大值為2m，∴AD≤2m，∴≤2m，∴m≥，即AB的最小值為.【練習(xí)】已知△ABC的周長為，∠B=60°，BD為AC邊上的高，求BD的取值范圍。2.已知△ABC的周長為，∠A=60°，試求△ABC面積的最大值。模型三、定角定中線【模型解讀】如圖，在△ABC中，∠BAC的大小是定值，中線AD的長為定值，滿足以上條件的三角形稱為“定角定中線”三角形。這類模型其實是“定弦定角”隱形圓的變形，解決辦法是通過倍長中線法，將其轉(zhuǎn)化為我們更熟悉的“定弦定角”模型?！纠}分析】【例1】如圖，在△ABC中，∠BAC=45°，D是BC邊的中點(diǎn)，AD=2，求△ABC面積的最大值?！竞喆稹垦娱LAD至E，使DE=AD，連接BE、CE，∵AD=2，∴AE=4,易證AC//BE，∵∠BAC=45°，∠ABE=135°，（則△ABE是一個定弦定角三角形）易證△ACD△EBD，∴，要使△ABC面積的最大，只需△ABE面積最大，（這時大家應(yīng)該比較熟悉了，"定弦定角"求面積最大值，下面是常規(guī)套路）作△ABE的外接圓圓O，連接OA，OE，過B作BHAE，連接OD并延長，交圓O于B'，∠ABE=135°，∠AOE=90°，∵AE=4,∴OA=OE=