2021屆天津市南開中學(xué)高考數(shù)學(xué)統(tǒng)練試卷25附答案解析

2021屆天津市南開中學(xué)高考數(shù)學(xué)統(tǒng)練試卷（25）

一、單選題（本大題共9小題，共45.0分）

1.己知集合U=R,集合M=[y\y=2x,xeR],集合N={x\y=lg(3-x)},則(Q“)nN=()

A.（-8,3]B.（-oo,0]C.（0,3）D.0

2.已知p：直線a與平面a內(nèi)無數(shù)條直線垂直，q：直線a與平面a垂直.則p是勺的（）

A,充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.已知a是實(shí)數(shù)，則函數(shù)/（x）=1+asinax的圖象不可能是（）

輛？（）

5.我國古代仇章算術(shù)》將上、下兩面為平行矩形的六面體稱為芻童.現(xiàn)有一個(gè)長、寬、高分別

為5、3、3的長方體，將上底面繞著上、下底面中心連線（對稱軸）旋轉(zhuǎn)90度，得到一個(gè)芻童（如

圖），則該芻童的外接球的表面積為（）

A437r

A--B.

已知函數(shù)/"(x)=中駕言1<0(。>0且"1)，若函數(shù)/(X)的圖象上有且僅有兩個(gè)點(diǎn)關(guān)

6.

(.|X十L.|F—J￡X￡U

于y軸對稱，貝b的取值范圍是()

A.(0,1)B,(1,3)C.(0,l)U(3,+8)D.(0,1)U(1,3)

7.己知福,，瑪分別為雙曲線=詢%愚潛吸的左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線右支上一點(diǎn)，滿足

卜巡|=閾圜，直線鳴與圓相切，則該雙曲線的離心率為()

A詈D燃「唐CC

A.-D.—C.—JD.2

方營署

8.將函數(shù)y=sinx的圖象C按順序作以下兩種變換：(1)向左平移g個(gè)單位長度；(2)橫坐標(biāo)伸長到原

來的2倍，縱坐標(biāo)不變.所得到的曲線C/對應(yīng)的函數(shù)解析式是()

A.y=sin(2x-g)B.y=sin(^-^)

C.y=sin(2x+g)D.y=sin(j+9

a,a-Z?<1,.

9.對實(shí)數(shù)a和8,定義運(yùn)算“⑥"：，設(shè)函數(shù)/(x)=(/-2)g(x-l),xeK。

o,a-b>\.

若函數(shù)y=y(x)-c的圖象與x軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)c的取值范圍是()

A.(—1,1]U(2,+8)B.(—2,—1]U(1,2]

C.(-8,-2)U(l,2]D.(—2,—1]

二、單空題(本大題共6小題，共30.0分)

10.若復(fù)數(shù)(3-i)(a+2i)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a=.

11.若(ax4+x)6的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為240,則實(shí)數(shù)a的值為.

12.若直線y=kr+1被圓C：/+f_2x-3=0截得的弦最短，則/c=.

13.甲、乙兩名運(yùn)動員進(jìn)行羽毛球比賽，已知每局比賽甲勝的概率為p,乙勝的概率為1-p,且各

局比賽結(jié)果相互獨(dú)立.當(dāng)比賽采取5局3勝制時(shí)，甲用4局贏得比賽的概率為盤現(xiàn)甲、乙進(jìn)行6局

比賽，設(shè)甲勝的局?jǐn)?shù)為X,則DX=.

19

14.已知％>0,y>0,且工+]=1,則4%+y的最小值為.

15.已知△4BC中，。為邊BC上的點(diǎn)，S.2BD=DC,若而=m而+n彳？(7n,nWR)，則小一

三、解答題(本大題共5小題，共75.0分)

16.(1)已知tan。=2,求tan(?！?的值

(2)求值sinl60°-cosl60°(tan340°+—^―；)

17.如圖，多面體ABC-DBiG是正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)4BC-

41B1G沿平面DBiG切除一部分所得，其中平面4BC為原正三棱柱的底面,

BC=CC、=2,點(diǎn)。為的中點(diǎn).

(1)求證：BiCi平面BGD；

(2)求二面角G-BO-C的平面角的余弦值.

18.己知橢圓C：捺+曰=l(a>b>0)的離心率6=、，點(diǎn)P(低§在橢圓C上.

(1)求橢圓。的方程；

(口)過點(diǎn)P?,0)作直線，分別交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，求證：以線段4B為直徑的圓恒過橢圓C的右頂點(diǎn).

19.已知數(shù)列｛0｝的前n項(xiàng)和為1，且為=，an+i=啜廝.

⑴證明數(shù)列｛等是等比數(shù)列；

(2)求通項(xiàng)即與前n項(xiàng)和又；

(3)設(shè)垢=n(2—Sn),neN*,若集合M=｛n|bn24,n€N*｝恰有4個(gè)元素,求實(shí)數(shù)2的取值范圍.

20.已知函數(shù)#電夠=泰m需-蛙-口.

(I)當(dāng)域迎學(xué)時(shí)，討論函數(shù)靜=詞磁在己，界嶗上的單調(diào)性；

翦

(II)如果%，%岫產(chǎn)%。是函數(shù)豁域的兩個(gè)零點(diǎn)，,鰥(琰為函數(shù)翼潴的導(dǎo)數(shù),證明：德空空財(cái):虬

參考答案及解析

1.答案：B

解析：

本題考查了交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算，考查了指數(shù)函數(shù)值域與對數(shù)型函數(shù)定義域的求法，是基礎(chǔ)題.

由指數(shù)函數(shù)的值域得到集合M,求對數(shù)函數(shù)的定義域化簡集合N,然后直接利用交集的運(yùn)算求解.

解：M={y\y=2x,xG/?}={y\y>0},U—R,

則(QM)=(-8,0].

由3-x>0得x<3.所以N={x\y=lg(3-x)}=(-oo,3),

所以(QM)CN=(-8期.

故選注

2.答案：B

解析：

本題主要考查必要條件和充分條件的判定，這種題型一般在高考中會以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，

屬于基礎(chǔ)概念性試題.

分析題目已知命題p：直線a與平面a內(nèi)無數(shù)條直線垂直.q：直線a與平面a垂直，求p是q的什么條

件.則由線面垂直的判定定理很容易得出p不能推出q,q能推出p,貝Up是q的必要不充分條件.

解：已知p：直線a與平面a內(nèi)無數(shù)條直線垂直，q：直線a與平面a垂直.

直線a與平面a內(nèi)無數(shù)條直線垂直，只要有一條直線不垂直，就不能推出直線與平面垂直，所以不充

分.

而直線與平面垂直，根據(jù)線面垂直的判定定理可以推出直線a與平面a內(nèi)無數(shù)條直線垂直.所以必要.

故選B.

3.答案:C

解析：解：對函數(shù)/(x)=4sin(3X+缶+B而言，|川=f儀)」工7(x)mm,⑶=f(彳加"；/(x)mm,

觀察選項(xiàng)可知，選項(xiàng)C的最小正周期大于2兀，即含>2兀，則

而又由選項(xiàng)C圖象可知，|可=但呼竺也>|=1,與|a|<l矛盾，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，而對比可知

選項(xiàng)A正確.

當(dāng)。=0時(shí)，選項(xiàng)8正確；

對選項(xiàng)。而言，易知周期小于2兀，則|a|>l,由前面分析可知，符合函數(shù)圖象.

故選：C.

由函數(shù)f(x)=Asin(a)x+</>)+B的性質(zhì)結(jié)合選項(xiàng)即可得解.

本題主要考查函數(shù)/(x)=4s譏(3X+9)+B的圖象及性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想，記住常見結(jié)論是解

題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

4.答案：D

解析：解：根據(jù)頻率分布直方圖，得；

時(shí)速在［50,60)每分的汽車的頻率是0.3,

對應(yīng)的汽車大約是200x0.3=60.

故選：D.

根據(jù)頻率分布直方圖，結(jié)論頻率、頻數(shù)與樣本容量的關(guān)系，即可得出正確的答案.

本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用問題，解題時(shí)應(yīng)根據(jù)頻率=77^進(jìn)行解答，是基礎(chǔ)題.

樣本容量

5.答案：C

解析：解：由題意可得：上、下底面中心連接所得線段的中點(diǎn)為該芻童的外接球的球心，

設(shè)該芻童的外接球的半徑為R,則R2=(等交)2+(|)2=￡.

二該芻童的外接球的表面積=4兀/?2=437T.

故選：C.

由題意可得：上、下底面中心連接所得線段的中點(diǎn)為該芻童的外接球的球心，設(shè)該芻童的外接球的

半徑為R,利用勾股定理可得R2,進(jìn)而得出表面積.

本題考查了長方體的性質(zhì)、勾股定理、球的表面積，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

6.答案：D

解析：

本題考查函數(shù)的圖象，考查函數(shù)的奇偶性以及數(shù)形結(jié)合的思維能力，屬于中檔題，由題意，0<a<1

時(shí)，顯然成立；a>l時(shí)，/(X)=logM關(guān)于y軸的對稱函數(shù)為

/(X)=loga(-x),則k)ga3>l,即可得到結(jié)論.

解：由題意，0<a<l時(shí)，顯然成立；

a>l時(shí)，/'(x)=logaX關(guān)于y軸的對稱函數(shù)為/'(x)=loga(-x),則loga3>1,

1<a<3,

綜上所述，a的取值范圍是(0,1)u(1,3).

故選。.

7.答案：C

解析：試題分析：因?yàn)檫^0作直線調(diào)的垂線，垂足為4,則出=渤，過點(diǎn)禹作直線調(diào)的垂線,

垂足為B.由于點(diǎn)。為魂焉的中點(diǎn).桂如，國冢所以點(diǎn)B是線段躅的中點(diǎn)，，霽歲=警航又因?yàn)?/p>

，璃—，囑=融*1璃=,嚼若酎，|禺|=腐匐.所以,播=3調(diào)=蟒.所以在直角三角形

摘題中可得小磁，料$=修留（.所以可得±=土故選C.

頡3;

考點(diǎn)：1.圓錐曲線的定義.2.等腰三角形的性質(zhì).3.直線與圓相切的性質(zhì).4.方程的思想.

8.答案：D

解析：解：將函數(shù)y=s譏x的圖象C按順序作以下兩種變換：向左平移弓個(gè)單位長度；

得到函數(shù)、=sinQ+J）,橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變,

得到函數(shù)丫=$也（;％+9的圖象，

所得到的曲線C/對應(yīng)的函數(shù)解析式是y=sin（1x+》

故選。.

利用三角函數(shù)的平移原則，向左平移x+上橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到；x+g，

然后得到函數(shù)解析式.

本題是基礎(chǔ)題，考查y=4sin（3x+s）的圖象變換，注意先租后切,與先?后卬的區(qū)別，基本知識的

靈活運(yùn)用.

9.答案：B

解析：由題意得,

/(x)=(x2-2)0(x-1)=<

X2-2,-1<X<2

即〃x)=<

x-l,x<-1或x>2

在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)y=/(》)與丫=c的大致圖象，如圖所示，結(jié)合圖象可知，當(dāng)ce(—2,—l]u

(1,2]時(shí)，兩個(gè)函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同交點(diǎn)，從而方程/。)-c=0有兩個(gè)不同的根，也就是y=

/(%)-C與X軸有兩個(gè)不同交點(diǎn).

10.答案：一：

解析：解：(3—i)(a+2i)=3Q-由+6i—2產(chǎn)=3a+2+(6—a)if

??,復(fù)數(shù)(3-i)(a+2i)是純虛數(shù)，

解得

16—QH03

故答案為：—

6

利用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的乘除運(yùn)算法則求出(3-i)(a+2i)=3a+2+(6-a)i,再由復(fù)數(shù)(3-i)(a+

2i)是純虛數(shù)，能求出a的值.

本題考查實(shí)數(shù)值的求法，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的乘除運(yùn)算法則等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考

查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題.

11.答案：±2

解析：解：???(ax4+x)6的展開式中的通項(xiàng)公式為*+]=Cr.a6-r.%y-3,

令日一3=0,求得r=2,可得常數(shù)項(xiàng)為叱"4=240,則實(shí)數(shù)a=±2,

故答案為：±2.

在二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式中，令x的事指數(shù)等于0,求出r的值，即可求得展開式中的常數(shù)項(xiàng).再根據(jù)

展開式中的常數(shù)項(xiàng)為240,求得a的值.

本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

12.答案:1

解析：直線y=kx+1恒過定點(diǎn)4(0,1),要使截得的弦最短，需圓心(1,0)和4點(diǎn)的連線與直線y=kx+

1垂直，所以卜-士」=一1,即k=l.

ni-t

13.答案：J

解析：解：由題意可得，肉p2(l_p).p=*解得p=|,

???隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B(6,|),

???D(X)=np(l_p)=6x|x"

故答案為：

由題意可得，C初2(l—p).p=*解得P=|,再結(jié)合二項(xiàng)分布的方差公式，即可求解.

本題主要考查了二項(xiàng)分布的方差公式，需要學(xué)生熟練掌握公式，屬于基礎(chǔ)題.

14.答案：21

解析：

本題考查利用基本不等式求最值，由4刀+丫=40+1)+、-4=[4"+1)+叫-(於1+3-4,化

簡整理，再由基本不等式即可得到最小值.

解：由4%+y=4(%+1)+y—4

=[4(x+1)+y]x1—4

、19

=[4r(%+1)+y[,(%+]+p-4

y36(久+1)

=13+-^―+-.........-4

%+1y

29+2恪-2^=21.

yjx+ly

當(dāng)且僅當(dāng)W=即x=g，y=15時(shí)取得最小值21.

故答案為21.

15.答案：|

解析：

本題考查了平面向量的基本定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

用布，前表示出而，得出小，n的值即可得出答案.

解：???2BD=DC,

——f1一?,?1,<一?1'一?1，一?

ABD=-BC=-(^AC-AB)=-AC--AB

33'733f

………,iii>”,,■■>i,1,,■>2■一“---?1?一"一，

???AD=AB-VBD=AB+-AC--AB=-AB+-AC,

3333

又???~AD=m~AB4-n~AC(m,nER)

?-m=-2,n=1

33

1

Am—n=-.

3

A

B

故答案為：

16.答案:解：(1)vtand=2,

二原式=-tand=-2；

(2)原式=：sin320°(tm340。+高;)

=—|sin40°(-tan20°—⑺鼠)

=Tsin40°(tcm20°+康)

tan200tan2200+l

=--------------------------------

tan2200+ltan200

=1.

解析：(1)原式利用誘導(dǎo)公式化簡，將已知等式代入計(jì)算即可求出值；

(2)原式利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡，再利用誘導(dǎo)公式變形，最后利用萬能公式化簡，約分即可

得到結(jié)果.

此題考查了同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，熟練掌握基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵.

17.答案：(1)證明：設(shè)8G與BiC交于點(diǎn)E,連接DE,

???多面體ABC-DBiG是正三棱柱沿平面。BiG切除一部分所得，BC=CCr=2,

四邊形BBiGC是正方形，且4c1AD,

???點(diǎn)。為AAi的中點(diǎn)，AA1//CC1,441=CQ,

CD=>JCA2+AD2=V5，同理DB]=

?BB\-AD)2+AB2=V5.

DBA=CD,

???5為81。的中點(diǎn)，二8停1。后，

,:BrC1BC1,BC]nDE=E,

???BrC1平面BC1。；

(2)證明：取BC的中點(diǎn)0,連接AO,

???△ABC為正三角形，4。_LBC,

由正棱柱的性質(zhì)可得，平面ABCJ■平面BCG/,且平面ABCn平面8CC1B1=BC,

AO_L平面BCC?

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB,0E,。4分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

則8(1,0,0),Bi(l,2,0),C(-l,0,0),D(0,l,V3),

CD=(1,1,V3)，BD=(-1,1,V3)>B^C=(-2,-2,0).

設(shè)平面CBD的一個(gè)法向量為五=(x,y,z).

(n-BD——x+y+V3z=0_,z?.「

則｛一一>廠，取z=l,得元=(0,_g,l).

(n-CD=x+y+V3z=0

由(1)知，平面BCi。的一個(gè)法向量為瓦忑=(-2,-2,0),

|=上與=—,

|cos<n,BrC>

1112X2V24

又?.?二面角G-BD-C的平面角為銳角，

???二面角G-BD-C的平面角的余弦值為務(wù)

解析：本題考查直線與平面垂直的判定，考查空間想象能力與思維能力，訓(xùn)練了利用空間向量求解

二面角的大小，是中檔題.

(1)設(shè)8cl與8傳交于點(diǎn)E,連接。E,由題意可得四邊形BB1GC是正方形，且4C1AD,再由點(diǎn)。為4必

的中點(diǎn)，441/CC1，44i=CC「求得CD,同理求得，得。/=CD,可得由線面垂

直的判定可得；

(2)取BC的中點(diǎn)0,連接40,可得40LBC,由正棱柱的性質(zhì)可得4。，平面BCGB］，以。為坐標(biāo)原

點(diǎn)，OB,OE,04分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面CB。與平面的一個(gè)法

向量，由兩法向量所成角的余弦值可得二面角G--C的平面角的余弦值.

18.答案：解:(I)由題意得"爭

我+京=L

a2=b2+c2

解得a=2,d=1,

2

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為9+必=1…(4分)

(H)設(shè)橢圓C的右頂點(diǎn)為Q,由(I)知，Q點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0)...(5分)

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為丫=40-》，

將直線的方程為y=k(x-f),代入橢圓方程式+y2=l

54

整理可得?+[k(X-§]2=l,

即(25+100/c2)%2-240k2%+144k2-100=0...(6分)

0設(shè)4點(diǎn)坐標(biāo)為(乙,口)),B點(diǎn)坐標(biāo)為(%8，yB)，

則4(%,做4-1)),Bg,k(xB-|))

240k2

所以打+X=鬻4分)

B25+100憶2’xAxB

9=(2-xA,-y4).證=(2-XB，一%)，

.?.QA-QB=(2-xA)-(2-XB)+yA-ye-(8分)

2

=4-2XA—2XB+xAxB+k(xA-|)(xe—|)

.,67八240比2144k2-100,36n.400*2+100

=4-(2+-k2)------7+(1+k?2)--------+—ffc2=4---------=0,

'5725+lOOk2')25+100k22525+100k2

.-.QA1.QB

即以4B為直徑的圓經(jīng)過橢圓C的右頂點(diǎn)Q....(10分)

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，而上而符合題意.

故以4B為直徑的圓經(jīng)過橢圓C的右頂點(diǎn)....(12分).

解析：(I)利用離心率，橢圓方程，以及abc的關(guān)系，即可求解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(H)設(shè)橢圓C的右頂點(diǎn)為Q,由(I)知，Q點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0),當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程，將

直線的方程代入橢圓方程9=1,通過△>(),設(shè)4點(diǎn)坐標(biāo)為(4,%),8點(diǎn)坐標(biāo)為(4,玲)，結(jié)合

韋達(dá)定理以及向量的數(shù)量積，判斷直線垂直.即可得到以AB為直徑的圓經(jīng)過橢圓C的右頂點(diǎn)。當(dāng)直

線的斜率不存在時(shí)，判斷以AB為直徑的圓經(jīng)過橢圓C的右頂點(diǎn).

本題考查直線與橢圓的綜合應(yīng)用，橢圓的方程的求法，考查分析問題解決問題的能力.

19.答案:解：(l)vai=i,an+1=^an.

「?當(dāng)neN.時(shí)，—*0.

n

又?=;，笫；幺=5為常數(shù)，

12n+1n2

二垮｝是以［為首項(xiàng)，沙公比的等比數(shù)列.

(2)由｛半｝是以［為首項(xiàng)，1為公比的等比數(shù)列得,

an

n遇尸=鏟

???斯=n?G)n.由錯(cuò)項(xiàng)相減得Sn=2--n-(1)n.

(3)vbn=n(2-Sn),neN*,

n-12n

-bn=n(1)+n-(i),

由于bn+1-?匕=(3-n2)(｝"+i,

*,?b?>b],b?>Z?3>Z)4***,

???集合M=｛n\bn>A,neN*｝恰有4個(gè)元素，且瓦==1,b2=2也=1也=居,

Lo3N

35八一3

322

解析：(1)根據(jù)等比數(shù)列的定義證明數(shù)列｛早｝是等比數(shù)列；

(2)根據(jù)等比數(shù)列的定義求通項(xiàng)頷與前n項(xiàng)和又；

(3)求出勾的通項(xiàng)公式，根據(jù)條件即可求出入的取值范圍.

本題主要考查等比數(shù)列的概念、數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和，考查學(xué)生的計(jì)算能力.

20.答案：(1)((其)=：-2x-a,

易知/''(X)在E,+8)上單調(diào)遞減，

???當(dāng)xG[1,+8)時(shí)，/(X)</G)=3-a.

當(dāng)蟒迦學(xué)時(shí)，尸(為式0在[|,+8)上恒成立.

二當(dāng)漸逑筆時(shí)，函數(shù)薜=3敏定在[|,+8)上單調(diào)遞減.

(H)「軍,%&峪%%。是函數(shù)/獺的兩個(gè)零點(diǎn)，

.賈州卷=物施福-茍丁-翻同=?(1)

獲:堿=蒯地/一?武-:蝌j=剛(2)

由(2)一⑴得:

軸嚀一電端-磷-堿制-堿=瞅漏=__?-電當(dāng)北礴

因?yàn)?''(X)=j-2x-a,所以

“下—3一番一鬣一寸F=---：^心固』,

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