2024屆新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)配套練習(xí)專題11.5 離散型隨機(jī)變量的分布列 （新教材新高考）（練）含答案

2024屆新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)配套練習(xí)專題11.5離散型隨機(jī)變量的分布列練基礎(chǔ)練基礎(chǔ)1．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）某商店購(gòu)進(jìn)一批西瓜，預(yù)計(jì)晴天西瓜暢銷，可獲利1000元；陰天銷路一般，可獲利500元；下雨天西瓜滯銷，會(huì)虧損500元，根據(jù)天氣預(yù)報(bào)，未來(lái)數(shù)日晴天的概率為0.4，陰天的概率為0.2，下雨的概率為0.4，試寫出銷售這批西瓜獲利的分布列．2．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表所示，求a的值．X123P0.3a0.53．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）拋一枚均勻的硬幣，設(shè)寫出X的分布列．4．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）若隨機(jī)變量ξ只能取兩個(gè)值0，1，又知ξ取0的概率是取1的概率的3倍，寫出ξ的分布列.5．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知離散型隨機(jī)變量ξ的分布列如下，求k的值．ξ12…nPk2k…2n－1·k6．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）某射擊運(yùn)動(dòng)員射擊一次所得環(huán)數(shù)的分布列如下表所示．45678910P0.030.050.070.080.26a0.23（1）求常數(shù)a的值；（2）求．7．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）從裝有6個(gè)白球和4個(gè)紅球的口袋中任取1個(gè)球，用X表示取得的白球數(shù)，求X的分布列．8．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知X服從參數(shù)為0.3的兩點(diǎn)分布．（1）求；（2）若，寫出Y的分布列．9．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）分別判斷下列表格是否可能是隨機(jī)變量X的分布列，并說(shuō)明理由：（1）X0123P0.20.20.20.20.3（2）X012345P0.10.30.40.20.210．（2021·全國(guó)·高二單元測(cè)試）設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為X01234P0.20.10.10.3m求：（1）的分布列；（2）的值．練提升TIDHNEG練提升TIDHNEG1．（2022·江蘇·高三專題練習(xí)）設(shè)ξ為隨機(jī)變量，從棱長(zhǎng)為1的正方體的12條棱中任取兩條，當(dāng)兩條棱相交時(shí)，ξ＝0；當(dāng)兩條棱平行時(shí)，ξ的值為兩條棱之間的距離；當(dāng)兩條棱異面時(shí)，ξ＝1，則隨機(jī)變量ξ的取值對(duì)應(yīng)的概率正確的是（）．A．P(ξ＝0)＝ B．P(ξ＝)＝C．P(ξ＝1)＝ D．P(ξ＝)＝2．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）若隨機(jī)變量X的分布列如下表所示：X0123Pab則a2＋b2的最小值為_(kāi)_______．3．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）將3個(gè)小球任意地放入4個(gè)大玻璃杯中，一個(gè)杯子中球的最多個(gè)數(shù)記為X，則X的分布列是________.4.（2017課標(biāo)3，理18選）某超市計(jì)劃按月訂購(gòu)一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶4元，售價(jià)每瓶6元，未售出的酸奶降價(jià)處理，以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn)，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫（單位：℃）有關(guān).如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間[20，25），需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購(gòu)計(jì)劃，統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率.（1）求六月份這種酸奶一天的需求量X（單位：瓶）的分布列；5.（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）拋一枚均勻的硬幣2次，設(shè)正面朝上的次數(shù)為X．（1）說(shuō)明表示的是什么事件，并求出；（2）求X的分布列．6．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）某射擊運(yùn)動(dòng)員在一次射擊訓(xùn)練中，共有5發(fā)子彈，如果命中就停止射擊，否則一直到子彈用盡．若已知每次射擊命中的概率均為0.9，求該運(yùn)動(dòng)員這次訓(xùn)練耗用的子彈數(shù)X的分布列．7.（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）某商店試銷某種商品20天，獲得如下數(shù)據(jù)：日銷售量(件)0123頻數(shù)1595試銷結(jié)束后(假設(shè)該商品的日銷售量的分布規(guī)律不變)，設(shè)某天開(kāi)始營(yíng)業(yè)時(shí)有該商品3件，當(dāng)天營(yíng)業(yè)結(jié)束后檢查存貨，若發(fā)現(xiàn)存量少于2件，則當(dāng)天進(jìn)貨補(bǔ)充至3件，否則不進(jìn)貨，將頻率視為概率.（1）求當(dāng)天商店不進(jìn)貨的概率；（2）記X為第二天開(kāi)始營(yíng)業(yè)時(shí)該商品的件數(shù)，求X的分布列.8．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）從集合的所有非空子集中，隨機(jī)地取出一個(gè).（1）求所取出的非空子集中所有元素之和為10的概率；（2）記所取出的非空子集中的元素個(gè)數(shù)為，求的分布列.9．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）同時(shí)擲兩個(gè)均勻的骰子，設(shè)所得點(diǎn)數(shù)之和為X．（1）寫出X的分布列；（2）求；（3）求“點(diǎn)數(shù)和大于9”的概率．10.（2021·全國(guó)·高二單元測(cè)試）某市高考模擬考試數(shù)學(xué)試卷解答題的網(wǎng)上評(píng)卷采用“雙評(píng)+仲裁”的方式：兩名老師獨(dú)立評(píng)分，稱為一評(píng)和二評(píng)，當(dāng)兩者所評(píng)分?jǐn)?shù)之差的絕對(duì)值小于或等于1分時(shí)，取兩者平均分為該題得分；當(dāng)兩者所評(píng)分?jǐn)?shù)之差的絕對(duì)值大于1分時(shí)，再由第三位老師評(píng)分，稱之為仲裁，取仲裁分?jǐn)?shù)和一、二評(píng)中與之接近的分?jǐn)?shù)的平均分為該題得分；當(dāng)一、二評(píng)分?jǐn)?shù)和仲裁分?jǐn)?shù)差值的絕對(duì)值相同時(shí)，取仲裁分?jǐn)?shù)和一、二評(píng)中較高的分?jǐn)?shù)的平均分為該題得分．有的學(xué)生考試中會(huì)做的題目答完后卻得不了滿分，原因多為答題不規(guī)范，比如：語(yǔ)言不規(guī)范、缺少必要文字說(shuō)明、卷面字跡不清、得分要點(diǎn)缺失等等，把這樣的解答稱為“缺憾解答”．該市教育研訓(xùn)部門通過(guò)大數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，滿分為12分的題目，這樣的“缺憾解答”，閱卷老師所評(píng)分?jǐn)?shù)及各分?jǐn)?shù)所占比例如表：老師評(píng)分11109分?jǐn)?shù)所占比例將這個(gè)表中的分?jǐn)?shù)所占比例視為老師對(duì)滿分為12分題目的“缺憾解答”所評(píng)分?jǐn)?shù)的概率，且一、二評(píng)與仲裁三位老師評(píng)分互不影響．已知一個(gè)同學(xué)的某道滿分為12分題目的解答屬于“缺憾解答”．（1）求該同學(xué)這個(gè)題目需要仲裁的概率；（2）求該同學(xué)這個(gè)題目得分X的分布列．練真題TIDHNEG練真題TIDHNEG1．（2021·湖南·高考真題）端午節(jié)吃粽子是我國(guó)的傳統(tǒng)習(xí)俗.設(shè)一盤中裝有6個(gè)粽子，其中肉粽1個(gè)，蛋黃粽2個(gè)，豆沙粽3個(gè)，這三種粽子的外觀完全相同，從中任意選取2個(gè).（1）用表示取到的豆沙粽的個(gè)數(shù)，求的分布列；（2）求選取的2個(gè)中至少有1個(gè)豆沙粽的概率.2.（2019年高考北京卷理選）改革開(kāi)放以來(lái)，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變．近年來(lái)，移動(dòng)支付已成為主要支付方式之一．為了解某校學(xué)生上個(gè)月A，B兩種移動(dòng)支付方式的使用情況，從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人，發(fā)現(xiàn)樣本中A，B兩種支付方式都不使用的有5人，樣本中僅使用A和僅使用B的學(xué)生的支付金額分布情況如下：支付金額（元）支付方式（0，1000]（1000，2000]大于2000僅使用A18人9人3人僅使用B10人14人1人（1）從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)該學(xué)生上個(gè)月A，B兩種支付方式都使用的概率；（2）從樣本僅使用A和僅使用B的學(xué)生中各隨機(jī)抽取1人，以X表示這2人中上個(gè)月支付金額大于1000元的人數(shù)，求X的分布列；（3）已知上個(gè)月樣本學(xué)生的支付方式在本月沒(méi)有變化．現(xiàn)從樣本僅使用A的學(xué)生中，隨機(jī)抽查3人，發(fā)現(xiàn)他們本月的支付金額都大于2000元．根據(jù)抽查結(jié)果，能否認(rèn)為樣本僅使用A的學(xué)生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化？說(shuō)明理由．3.（2018年理數(shù)天津卷選）已知某單位甲、乙、丙三個(gè)部門的員工人數(shù)分別為24，16，16.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7人，進(jìn)行睡眠時(shí)間的調(diào)查.（I）應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)部門的員工中分別抽取多少人？（II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，現(xiàn)從這7人中隨機(jī)抽取3人做進(jìn)一步的身體檢查.（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的員工人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列；（ii）設(shè)A為事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的員工，也有睡眠不足的員工”，求事件A發(fā)生的概率.4.（2017山東，理18選）在心理學(xué)研究中，常采用對(duì)比試驗(yàn)的方法評(píng)價(jià)不同心理暗示對(duì)人的影響，具體方法如下：將參加試驗(yàn)的志愿者隨機(jī)分成兩組，一組接受甲種心理暗示，另一組接受乙種心理暗示，通過(guò)對(duì)比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來(lái)評(píng)價(jià)兩種心理暗示的作用，現(xiàn)有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，從中隨機(jī)抽取5人接受甲種心理暗示，另5人接受乙種心理暗示.（I）求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含的頻率.（II）用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù)，求X的分布列.5．（2017北京，理17選）為了研究一種新藥的療效，選100名患者隨機(jī)分成兩組，每組各50名，一組服藥，另一組不服藥.一段時(shí)間后，記錄了兩組患者的生理指標(biāo)x和y的數(shù)據(jù)，并制成下圖，其中“*”表示服藥者，“+”表示未服藥者.（Ⅰ）從服藥的50名患者中隨機(jī)選出一人，求此人指標(biāo)y的值小于60的概率；（Ⅱ）從圖中A，B，C，D四人中隨機(jī)選出兩人，記為選出的兩人中指標(biāo)x的值大于1.7的人數(shù)，求的分布列.6．（2017·天津高考真題（理））從甲地到乙地要經(jīng)過(guò)個(gè)十字路口，設(shè)各路口信號(hào)燈工作相互獨(dú)立，且在各路口遇到紅燈的概率分別為，，．（）設(shè)表示一輛車從甲地到乙地遇到紅燈的個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列和均值．（）若有輛車獨(dú)立地從甲地到乙地，求這輛車共遇到個(gè)紅燈的概率．專題11.5離散型隨機(jī)變量的分布列練基礎(chǔ)練基礎(chǔ)1．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）某商店購(gòu)進(jìn)一批西瓜，預(yù)計(jì)晴天西瓜暢銷，可獲利1000元；陰天銷路一般，可獲利500元；下雨天西瓜滯銷，會(huì)虧損500元，根據(jù)天氣預(yù)報(bào)，未來(lái)數(shù)日晴天的概率為0.4，陰天的概率為0.2，下雨的概率為0.4，試寫出銷售這批西瓜獲利的分布列．【答案】答案見(jiàn)解析．【分析】根據(jù)已知數(shù)據(jù)列表格．【詳解】用表示獲利，則的取值分別是1000，500，－500，分布列如下表：1000500－5000.40.20.42．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表所示，求a的值．X123P0.3a0.5【答案】0.2【分析】由分布列中所有概率和為1計(jì)算．【詳解】由題意，解得3．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）拋一枚均勻的硬幣，設(shè)寫出X的分布列．【答案】答案見(jiàn)解析．【分析】的值分別為，1，求出概率后得分布列．【詳解】拋一枚均勻的硬幣，有兩種可能，正面向上或反面向上，兩種情況的可能性相同，或，，分布列如下：014．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）若隨機(jī)變量ξ只能取兩個(gè)值0，1，又知ξ取0的概率是取1的概率的3倍，寫出ξ的分布列.【答案】答案見(jiàn)解析【分析】根據(jù)概率之和為1可求出.【詳解】由題意及分布列滿足的條件知P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＝3P(ξ＝1)＋P(ξ＝1)＝1，所以，故.所以ξ的分布列為ξ01P5．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知離散型隨機(jī)變量ξ的分布列如下，求k的值．ξ12…nPk2k…2n－1·k【答案】【分析】根據(jù)離散型隨機(jī)變量ξ的概率性質(zhì)即可求解參數(shù)．【詳解】因?yàn)?＝k＋2k＋…＋2n－1k＝k(1＋2＋…＋2n－1)＝k·＝(2n－1)k，所以．6．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）某射擊運(yùn)動(dòng)員射擊一次所得環(huán)數(shù)的分布列如下表所示．45678910P0.030.050.070.080.26a0.23（1）求常數(shù)a的值；（2）求．【答案】（1）0.28（2）0.85【分析】（1）由分布列中所有概率和為1計(jì)算；（2）計(jì)算即可．（1）由題意，解得；（2）＝．7．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）從裝有6個(gè)白球和4個(gè)紅球的口袋中任取1個(gè)球，用X表示取得的白球數(shù)，求X的分布列．【答案】答案見(jiàn)解析．【分析】確定的可能值，計(jì)算出概率后得分布列．【詳解】的所有可能值是0，1．，，所以的分布列如下：018．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知X服從參數(shù)為0.3的兩點(diǎn)分布．（1）求；（2）若，寫出Y的分布列．【答案】（1）0.7（2）答案見(jiàn)解析．【分析】（1）根據(jù)二項(xiàng)分布的概念求解；（2）求出的可能值，寫出分布列即可．（1）．（2）時(shí)，，時(shí)，，所以的分布列為：130.70.39．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）分別判斷下列表格是否可能是隨機(jī)變量X的分布列，并說(shuō)明理由：（1）X0123P0.20.20.20.20.3（2）X012345P0.10.30.40.20.2【答案】（1）不是，理由見(jiàn)解析．（2）不是，理由見(jiàn)解析．【分析】（1）根據(jù)分布列中所有概率和為1說(shuō)明；（2）由概率的范圍說(shuō)明．（1）由于，因此此表格不是隨機(jī)變量的分布列（2）表格中事件的概率是，這是不可能的，概率在范圍內(nèi)．因此此表格不是隨機(jī)變量的分布列．10．（2021·全國(guó)·高二單元測(cè)試）設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為X01234P0.20.10.10.3m求：（1）的分布列；（2）的值．【答案】（1）分布列見(jiàn)解析；（2）0.7.【分析】(1)先由分布列的性質(zhì)解出，然后按步驟寫出分布列即可；（2）根據(jù)（1）中的分布列可計(jì)算出答案.【詳解】由分布列的性質(zhì)知，，解得．（1）由題意可知，，，，，，所以的分布列為：13579P0.20.10.10.30.3（2）.練提升TIDHNEG練提升TIDHNEG1．（2022·江蘇·高三專題練習(xí)）設(shè)ξ為隨機(jī)變量，從棱長(zhǎng)為1的正方體的12條棱中任取兩條，當(dāng)兩條棱相交時(shí)，ξ＝0；當(dāng)兩條棱平行時(shí)，ξ的值為兩條棱之間的距離；當(dāng)兩條棱異面時(shí)，ξ＝1，則隨機(jī)變量ξ的取值對(duì)應(yīng)的概率正確的是（）．A．P(ξ＝0)＝ B．P(ξ＝)＝C．P(ξ＝1)＝ D．P(ξ＝)＝【答案】ABC【分析】根據(jù)題設(shè)，結(jié)合正方體的性質(zhì)求兩條棱相交、平行、異面的可能情況數(shù)，再寫出對(duì)應(yīng)ξ＝0、ξ＝1、ξ＝的情況數(shù)，應(yīng)用古典概型的概率求法求它們的概率值即可.【詳解】由題設(shè)，ξ的可能取值為0，1，．若兩條棱相交，交點(diǎn)必在正方體的頂點(diǎn)處，過(guò)任意一個(gè)頂點(diǎn)的棱有3條，則P(ξ＝0)＝＝，若兩條棱平行，它們的距離為1或，而距離為的共有6對(duì)，∴P(ξ＝)＝＝，故P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝)＝1－－＝，ξ分布列如下：ξ01P故選：ABC2．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）若隨機(jī)變量X的分布列如下表所示：X0123Pab則a2＋b2的最小值為_(kāi)_______．【答案】【分析】首先根據(jù)分布列的性質(zhì)得到，再利用基本不等式的性質(zhì)求解即可.【詳解】由分布列的性質(zhì)，知，即.因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).所以的最小值為.故答案為：3．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）將3個(gè)小球任意地放入4個(gè)大玻璃杯中，一個(gè)杯子中球的最多個(gè)數(shù)記為X，則X的分布列是________.【答案】X123P【分析】將3個(gè)小球任意地放入4個(gè)玻璃杯中，杯子中球的個(gè)數(shù)最多為3個(gè)，那么對(duì)于各種情況下的概率值進(jìn)行計(jì)算得到分布列．【詳解】由題意知X的可能取值為1，2，3；；故答案為：X123P4.（2017課標(biāo)3，理18選）某超市計(jì)劃按月訂購(gòu)一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶4元，售價(jià)每瓶6元，未售出的酸奶降價(jià)處理，以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn)，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫（單位：℃）有關(guān).如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間[20，25），需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購(gòu)計(jì)劃，統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率.（1）求六月份這種酸奶一天的需求量X（單位：瓶）的分布列；【答案】(1)見(jiàn)解析.【解析】（1）由題意知，所有的可能取值為200,300,500，由表格數(shù)據(jù)知，，.因此的分布列為0.20.40.45.（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）拋一枚均勻的硬幣2次，設(shè)正面朝上的次數(shù)為X．（1）說(shuō)明表示的是什么事件，并求出；（2）求X的分布列．【答案】（1）事件見(jiàn)解析，；（2）分布列見(jiàn)解析．【分析】（1）根據(jù)表示的意義確定事件，并計(jì)算概率．（2）的可能值為0，1，2，求出各概率后得分布列．（1）表示正面向上的次數(shù)為1的事件，．（2）的可能值為0，1，2，則，，的分布列如下：0126．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）某射擊運(yùn)動(dòng)員在一次射擊訓(xùn)練中，共有5發(fā)子彈，如果命中就停止射擊，否則一直到子彈用盡．若已知每次射擊命中的概率均為0.9，求該運(yùn)動(dòng)員這次訓(xùn)練耗用的子彈數(shù)X的分布列．【答案】答案見(jiàn)詳解.【分析】X的可能取值為，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出耗用的子彈數(shù)X的分布列.【詳解】根據(jù)題意，，，，，.X的分布列為：7.（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）某商店試銷某種商品20天，獲得如下數(shù)據(jù)：日銷售量(件)0123頻數(shù)1595試銷結(jié)束后(假設(shè)該商品的日銷售量的分布規(guī)律不變)，設(shè)某天開(kāi)始營(yíng)業(yè)時(shí)有該商品3件，當(dāng)天營(yíng)業(yè)結(jié)束后檢查存貨，若發(fā)現(xiàn)存量少于2件，則當(dāng)天進(jìn)貨補(bǔ)充至3件，否則不進(jìn)貨，將頻率視為概率.（1）求當(dāng)天商店不進(jìn)貨的概率；（2）記X為第二天開(kāi)始營(yíng)業(yè)時(shí)該商品的件數(shù)，求X的分布列.【答案】（1）；（2）答案見(jiàn)解析.【分析】（1）由古典概型概率公式與互斥事件的概率公式求解即可；（2）求出X的可能取值，再用古典概型概率公式與互斥事件的概率公式求出概率，即可求解【詳解】（1）記“當(dāng)天商品銷售量為0件”為事件A，“當(dāng)天商品銷售量為1件”為事件B，“當(dāng)天商店不進(jìn)貨”為事件C，則；（2）由題意知，X的可能取值為2，3.P(X＝2)＝P(當(dāng)天商品銷售量為1件)＝；P(X＝3)＝P(當(dāng)天商品銷售量為0件)＋P(當(dāng)天商品銷售量為2件)＋P(當(dāng)天商品銷售量為3件)＝，故X的分布列為：X23P8．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）從集合的所有非空子集中，隨機(jī)地取出一個(gè).（1）求所取出的非空子集中所有元素之和為10的概率；（2）記所取出的非空子集中的元素個(gè)數(shù)為，求的分布列.【答案】（1）；（2）答案見(jiàn)解析.【分析】（1）計(jì)算基本事件總數(shù)和滿足條件的基本事件數(shù)，利用古典概型的概率公式即得解；（2）的所有可能取值為1，2，3，4，5，計(jì)算對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列即可.【詳解】（1）記“所取出的非空子集中所有元素之和為10”為事件.基本事件總數(shù)，事件包含的基本事件有，，，共3個(gè)，故.（2）依題意，的所有可能取值為1，2，3，4，5.，，，，.故的分布列為123459．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）同時(shí)擲兩個(gè)均勻的骰子，設(shè)所得點(diǎn)數(shù)之和為X．（1）寫出X的分布列；（2）求；（3）求“點(diǎn)數(shù)和大于9”的概率．【答案】（1）答案見(jiàn)解析（2）（3）．【分析】（1）的可能值為，分別計(jì)算出概率后可得分布列；（2）由可得；（3）由可得．（1）由題意的可能值依次為，兩枚骰子的點(diǎn)數(shù)和列表如下（第一行是一個(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)，第一列是另一個(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)，其他格子中為兩個(gè)骰子點(diǎn)數(shù)和，共36個(gè)：123456123456723456783456789456789105678910116789101112由表可得，，，，，，的分布列如下：23456789101112（2）；（3）．10.（2021·全國(guó)·高二單元測(cè)試）某市高考模擬考試數(shù)學(xué)試卷解答題的網(wǎng)上評(píng)卷采用“雙評(píng)+仲裁”的方式：兩名老師獨(dú)立評(píng)分，稱為一評(píng)和二評(píng)，當(dāng)兩者所評(píng)分?jǐn)?shù)之差的絕對(duì)值小于或等于1分時(shí)，取兩者平均分為該題得分；當(dāng)兩者所評(píng)分?jǐn)?shù)之差的絕對(duì)值大于1分時(shí)，再由第三位老師評(píng)分，稱之為仲裁，取仲裁分?jǐn)?shù)和一、二評(píng)中與之接近的分?jǐn)?shù)的平均分為該題得分；當(dāng)一、二評(píng)分?jǐn)?shù)和仲裁分?jǐn)?shù)差值的絕對(duì)值相同時(shí)，取仲裁分?jǐn)?shù)和一、二評(píng)中較高的分?jǐn)?shù)的平均分為該題得分．有的學(xué)生考試中會(huì)做的題目答完后卻得不了滿分，原因多為答題不規(guī)范，比如：語(yǔ)言不規(guī)范、缺少必要文字說(shuō)明、卷面字跡不清、得分要點(diǎn)缺失等等，把這樣的解答稱為“缺憾解答”．該市教育研訓(xùn)部門通過(guò)大數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，滿分為12分的題目，這樣的“缺憾解答”，閱卷老師所評(píng)分?jǐn)?shù)及各分?jǐn)?shù)所占比例如表：老師評(píng)分11109分?jǐn)?shù)所占比例將這個(gè)表中的分?jǐn)?shù)所占比例視為老師對(duì)滿分為12分題目的“缺憾解答”所評(píng)分?jǐn)?shù)的概率，且一、二評(píng)與仲裁三位老師評(píng)分互不影響．已知一個(gè)同學(xué)的某道滿分為12分題目的解答屬于“缺憾解答”．（1）求該同學(xué)這個(gè)題目需要仲裁的概率；（2）求該同學(xué)這個(gè)題目得分X的分布列．【答案】（1）；（2）分布列見(jiàn)解析.【分析】（1）記表示事件："該同學(xué)這個(gè)解答題需要仲裁"，設(shè)—評(píng)、二評(píng)所打分?jǐn)?shù)分別為由題設(shè)知事件的所有可能情況有：或由此能求出該同學(xué)這個(gè)題目需要仲裁的概率；（2）隨機(jī)事件的可能取值為分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列.【詳解】（1）設(shè)事件A表示“該同學(xué)這個(gè)題目需要仲裁”，一評(píng)、二評(píng)所打分?jǐn)?shù)分別為x，y，由題意知事件A的所有可能情況有或，∴．（2）隨機(jī)事件X的取值范圍為，設(shè)仲裁所打分?jǐn)?shù)為z，則，，，，，∴X的分布列為：X99.51010.511P練真題TIDHNEG練真題TIDHNEG1．（2021·湖南·高考真題）端午節(jié)吃粽子是我國(guó)的傳統(tǒng)習(xí)俗.設(shè)一盤中裝有6個(gè)粽子，其中肉粽1個(gè)，蛋黃粽2個(gè)，豆沙粽3個(gè)，這三種粽子的外觀完全相同，從中任意選取2個(gè).（1）用表示取到的豆沙粽的個(gè)數(shù)，求的分布列；（2）求選取的2個(gè)中至少有1個(gè)豆沙粽的概率.【答案】（1）分布列見(jiàn)解析；（2）.【分析】（1）首先求隨機(jī)變量，再利用古典概型求概率；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果求概率.【詳解】（1）由條件可知，，，，所以的分布列，如下表，（2）選取的2個(gè)中至少有1個(gè)豆沙粽的對(duì)立事件是一個(gè)都沒(méi)有，則選取的2個(gè)中至少有1個(gè)豆沙粽的概率.2.（2019年高考北京卷理選）改革開(kāi)放以來(lái)，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變．近年來(lái)，移動(dòng)支付已成為主要支付方式之一．為了解某校學(xué)生上個(gè)月A，B兩種移動(dòng)支付方式的使用情況，從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人，發(fā)現(xiàn)樣本中A，B兩種支付方式都不使用的有5人，樣本中僅使用A和僅使用B的學(xué)生的支付金額分布情況如下：支付金額（元）支付方式（0，1000]（1000，2000]大于2000僅使用A18人9人3人僅使用B10人14人1人（1）從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)該學(xué)生上個(gè)月A，B兩種支付方式都使用的概率；（2）從樣本僅使用A和僅使用B的學(xué)生中各隨機(jī)抽取1人，以X表示這2人中上個(gè)月支付金額大于1000元的人數(shù)，求X的分布列；（3）已知上個(gè)月樣本學(xué)生的支付方式在本月沒(méi)有變化．現(xiàn)從樣本僅使用A的學(xué)生中，隨機(jī)抽查3人，發(fā)現(xiàn)他們本月的支付金額都大于2000元．根據(jù)抽查結(jié)果，能否認(rèn)為樣本僅使用A的學(xué)生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化？說(shuō)明理由．【答案】（1）0.4；（2）分布列見(jiàn)解析，E（X）=1；（3）見(jiàn)解析．【解析】（1）由題意知，樣本中僅使用A的學(xué)生有18+9+3=30人，僅使用B的學(xué)生有10+14+1=25人，A，B兩種支付方式都不使用的學(xué)生有5人．故樣本中A，B兩種支付方式都使用的學(xué)生有100?30?25?5=40人．所以從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，該學(xué)生上個(gè)月A，B兩種支付方式都使用的概率估計(jì)為．（2）X的所有可能值為0，1，2．記事件C為“從樣本僅使用A的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，該學(xué)生上個(gè)月的支付金額大于1000元”，事件D為“從樣本僅使用B的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，該學(xué)生上個(gè)月的支付金額大于1000元”．由題設(shè)知，事件C，D相互獨(dú)立，且．所以，，．所以X的分布列為X012P0.240.520.24（3）記事件E為“從樣本僅使用A的學(xué)生中隨機(jī)抽查3人，他們本月的支付金額都大于2000元”．假設(shè)樣本僅使用A的學(xué)生中，本月支付金額大于2000元的人數(shù)沒(méi)有變化，則由上個(gè)月的樣本數(shù)據(jù)得．答案示例1：可以認(rèn)為有變化．理由如下：P（E）比較小，概率比較小的事件一般不容易發(fā)生．一旦發(fā)生，就有理由認(rèn)為本月的支付金額大于2000元的人數(shù)發(fā)生了變化，所以可以認(rèn)為有變化．答案示例2：無(wú)法確定有沒(méi)有變化．理由如下：事件E是隨機(jī)事件，P（E）比較小，一般不容易發(fā)生，但還是有可能發(fā)生的，所以無(wú)法確定有沒(méi)有變化．3.（2018年理數(shù)天津卷選）已知某單位甲、乙、丙三個(gè)部門的員工人數(shù)分別為24，16，16.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7人，進(jìn)行睡眠時(shí)間的調(diào)查.（I）應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)部門的員工中分別抽取多少人？（II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，現(xiàn)從這7人中隨機(jī)抽取3人做進(jìn)一步的身體檢查.（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的員工人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列；（ii）設(shè)A為事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的員工，也有睡眠不足的員工”，求事件A發(fā)生的概率.【答案】（Ⅰ）從甲、乙、丙三個(gè)部門的員工中分別抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）答案見(jiàn)解析；（ii）67【解析】（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三個(gè)部門的員工人數(shù)之比為3∶2∶2，由于采用分層抽樣的方法從中抽取7人，因此應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)部門的員工中分別抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）隨機(jī)變量X的所有可能取值為0，1，2，3．P（X=k）=C4k?C33?kC73（所以，隨機(jī)變量X的分布列為X0123P112184（ii）設(shè)事件B為“抽取的3人中，睡眠充足的員工有1人，睡眠不足的員工有2人”；事件C為“抽取的3人中，睡眠充足的員工有2人，睡眠不足的員工有1人”，則A=B∪C，且B與C互斥，由（i）知，P(B)=P(X=2)，P(C)=P(X=1)，故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=67．所以，事件A發(fā)生的概率為64.（2017山東，理18選）在心理學(xué)研究中，常采用對(duì)比試驗(yàn)的方法評(píng)價(jià)不同心理暗示對(duì)人的影響，具體方法如下：將參加試驗(yàn)的志愿者隨機(jī)分成兩組，一組接受甲種心理暗示，另一組接受乙種心理暗示，通過(guò)對(duì)比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來(lái)評(píng)價(jià)兩種心理暗示的作用，現(xiàn)有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，從中隨機(jī)抽取5人接受甲種心理暗示，另5人接受乙種心理暗示.（I）求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含的頻率.（II）用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù)，求X的分布列.【答案】（I）(II)X的分布列為X01234P【解析】因此X的分布列為X01234P5．（2017北京，理17選）為了研究一種新藥的療效，選100名患者隨機(jī)分成兩組，每組各50名，一組服藥，另一組不服藥.一段時(shí)間后，記錄了兩組患者的生理指標(biāo)x和y的數(shù)據(jù)，并制成下圖，其中“*”表示服藥者，“+”表示未服藥者.（Ⅰ）從服藥的50名患者中隨機(jī)選出一人，求此人指標(biāo)y的值小于60的概率；（Ⅱ）從圖中A，B，C，D四人中隨機(jī)選出兩人，記為選出的兩人中指標(biāo)x的值大于1.7的人數(shù)，求的分布列.【答案】（Ⅰ）0.3.（Ⅱ）見(jiàn)解析.【解析】（Ⅰ）由圖知，在服藥的50名患者中，指標(biāo)y的值小于60的有15人，所以從服藥的50名患者中隨機(jī)選出一人，指標(biāo)y的值小于60的有15人，所以從概率為.（Ⅱ）由圖知，A,B,C,D四人中，指標(biāo)的值大于1.7的有2人：A和C.所以的所有可能取值為0,1,2..所以的分布列為0126．（2017·天津高考真題（理））從甲地到乙地要經(jīng)過(guò)個(gè)十字路口，設(shè)各路口信號(hào)燈工作相互獨(dú)立，且在各路口遇到紅燈的概率分別為，，．（）設(shè)表示一輛車從甲地到乙地遇到紅燈的個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列和均值．（）若有輛車獨(dú)立地從甲地到乙地，求這輛車共遇到個(gè)紅燈的概率．【答案】(1)見(jiàn)解析；（2）.【解析】（Ⅰ）解：隨機(jī)變量的所有可能取值為0,1,2,3.，，，.所以，隨機(jī)變量的分布列為0123隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望.（Ⅱ）解：設(shè)表示第一輛車遇到紅燈的個(gè)數(shù)，表示第二輛車遇到紅燈的個(gè)數(shù)，則所求事件的概率為.所以，這2輛車共遇到1個(gè)紅燈的概率為.專題11.6離散型隨機(jī)變量的均值與方差練基礎(chǔ)練基礎(chǔ)1．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）一個(gè)籃球運(yùn)動(dòng)員投籃一次得3分的概率為a，得2分的概率為b，不得分的概率為，已知他投籃一次得分的均值為2（不計(jì)其他得分情況），則ab的最大值為（）A． B． C． D．2．（2021·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知隨機(jī)變量的分布列如下：X123Pab2b—a則的最大值為（）A． B．3C．6 D．53．（2021·云南·峨山彝族自治縣第一中學(xué)高三月考（理））設(shè)，隨機(jī)變量的分布列如表所示，隨機(jī)變量滿足，則當(dāng)在上增大時(shí)，關(guān)于的表述，下列正確的是（）-2-10A．增大 B．減小 C．先增大后減小 D．先減小后增大4．（2021·浙江·高三期中）將2名科學(xué)家和3名航天員從左到右排成一排合影留念，用表示兩名科學(xué)家之間的航天員人數(shù)，則_______，_______．5．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p的兩點(diǎn)分布，求．6.（2021·全國(guó)·高二學(xué)業(yè)考試）陽(yáng)澄湖大閘蟹又名金爪蟹，產(chǎn)于江蘇省蘇州市，蟹身青殼白肚，肉質(zhì)膏膩，營(yíng)養(yǎng)豐富，深受消費(fèi)者喜愛(ài).某水產(chǎn)品超市購(gòu)進(jìn)一批重量為100千克的陽(yáng)澄湖大閘蟹，隨機(jī)抽取了50只統(tǒng)計(jì)其重量，得到的結(jié)果如下表所示：規(guī)格中蟹大蟹特大蟹重量/克[160，180）[180，200）[200，220）[220，240）[240，260）[260，280]數(shù)量/只32152073（1）估計(jì)該批大閘蟹有______只；（結(jié)果保留整數(shù)）；（2）某顧客從抽取的10只特大蟹中隨機(jī)購(gòu)買了4只，記重量在區(qū)間[260，280]內(nèi)的大閘蟹數(shù)量為X，則______.7．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）醫(yī)學(xué)上發(fā)現(xiàn)，某種病毒侵入人體后，人的體溫會(huì)升高．記病毒侵入后人體的平均體溫為（攝氏度）．醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，X的分布列如下．X37383940P0.10.50.30.1（1）求出，；（2）已知人體體溫為時(shí)，相當(dāng)于，求，．8．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）一臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)某種產(chǎn)品，如果生產(chǎn)一件甲等品可獲利50元，生產(chǎn)一件乙等品可獲利30元，生產(chǎn)一件次品會(huì)虧損20元，已知這臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)甲等品、乙等品和次品的概率分別為0.6，0.3和0.1，求這臺(tái)機(jī)器每生產(chǎn)一件產(chǎn)品的平均預(yù)期收入．9．（2021·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）甲、乙兩臺(tái)半自動(dòng)車床加工同一型號(hào)的產(chǎn)品，各生產(chǎn)1000只產(chǎn)品中次品數(shù)分別用x和y表示.經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的觀察，發(fā)現(xiàn)x和y的頻率分布如下表，問(wèn)：哪一臺(tái)車床的產(chǎn)品質(zhì)量較好？x0123P0.70.10.10.1y0123P0.50.30.2010．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）若離散型隨機(jī)變量X的概率分布是，其中，求證：．練提升TIDHNEG練提升TIDHNEG1．【多選題】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）甲盒中裝有3個(gè)紅球、1個(gè)黃球、乙盒中裝有1個(gè)紅球、3個(gè)黃球，同時(shí)從甲、乙兩盒中取出（）個(gè)球交換，分別記交換后甲、乙兩個(gè)盒子中紅球個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望為，，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．C． D．2．（2021·廣東·高三月考）已知某闖關(guān)游戲，第一關(guān)在兩個(gè)情境中尋寶．每位參賽選手先在兩個(gè)情境中選擇一個(gè)開(kāi)始第一關(guān)，若尋寶失敗則比賽結(jié)束；若尋寶成功則進(jìn)入另一個(gè)情境，無(wú)論尋寶成功與否，第一關(guān)比賽結(jié)束．情境尋寶成功獲得經(jīng)驗(yàn)值分，否則得分；情境尋寶成功獲得經(jīng)驗(yàn)值分，否則得分．已知某玩家在情境中尋寶成功的概率為，在情境中尋寶成功的概率為，且每個(gè)情境中尋寶成功的概率與選擇初始情境的次序無(wú)關(guān)．（1）若該玩家選擇從情境開(kāi)始第一關(guān)，記為經(jīng)驗(yàn)值累計(jì)得分，求的分布列；（2）為使經(jīng)驗(yàn)值累計(jì)得分的期望最大，該玩家應(yīng)選擇從哪個(gè)情境開(kāi)始第一關(guān)？并說(shuō)明理由．3．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知5只動(dòng)物中有1只患有某種疾病，需要通過(guò)血液化驗(yàn)來(lái)確定患病的動(dòng)物，血液化驗(yàn)結(jié)果呈陽(yáng)性的為患病動(dòng)物．下面是兩種化驗(yàn)方案：方案甲：將各動(dòng)物的血液逐個(gè)化驗(yàn)，直到查出患病動(dòng)物為止．方案乙：先取3只動(dòng)物的血液進(jìn)行混合，然后檢查，若呈陽(yáng)性，對(duì)這3只動(dòng)物的血液再逐個(gè)化驗(yàn)，直到查出患病動(dòng)物；若不呈陽(yáng)性，則檢查剩下的2只動(dòng)物中1只動(dòng)物的血液．分析哪種化驗(yàn)方案更好．4．（2021·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）2021年7月24日，中國(guó)選手楊倩在東京奧運(yùn)會(huì)女子10米氣步槍決賽中，為中國(guó)代表團(tuán)攬入本界奧運(yùn)會(huì)第一枚金牌.受奧運(yùn)精神的鼓舞，某射擊俱樂(lè)部組織200名射擊愛(ài)好者進(jìn)行一系列的測(cè)試，并記錄他們的射擊技能分?jǐn)?shù)（單位：分），將所得數(shù)據(jù)分成7組：，，…，，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求這200名射擊愛(ài)好者中射擊技能分?jǐn)?shù)低于60分的人數(shù)；（2）從樣本中射擊技能分?jǐn)?shù)在的射擊愛(ài)好者中采用分層抽樣的方法抽取8人，再?gòu)倪@8人中隨機(jī)抽取3人進(jìn)一步進(jìn)行射擊訓(xùn)練，記抽取的3人中射擊技能分?jǐn)?shù)不低于70分的人數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.5．（2021·福建省福州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高三月考）某單位組織外出參加公差的12位職工在返回崗位前先讓他們進(jìn)行體檢普查某病毒，費(fèi)用全部由單位承擔(dān)，假定這12名職工的血液中每個(gè)人都不含有病毒（結(jié)果呈陰性）的概率都為p，若對(duì)每一個(gè)人的血樣都進(jìn)行檢查，則每一個(gè)人都要耗費(fèi)比較高的一份化驗(yàn)費(fèi)，經(jīng)過(guò)合理的分析后，提出一份改進(jìn)方案：先將每一個(gè)人的血樣各取出一部分，k個(gè)人為一組混合后再化驗(yàn)，如果結(jié)果都呈陰性，則k個(gè)人同時(shí)通過(guò)，每個(gè)人平均化驗(yàn)了次，如果呈陽(yáng)性再將k個(gè)人的血樣分別化驗(yàn)，以找出血樣中含病毒者，這樣每個(gè)人化驗(yàn)（1+）次.（1）當(dāng)p=時(shí)且采用改進(jìn)方案時(shí)取k=2，求此時(shí)每位職工化驗(yàn)次數(shù)X的分布列（2）當(dāng)k=3時(shí)，求采用改進(jìn)方案能達(dá)到節(jié)約化驗(yàn)費(fèi)目的，且此時(shí)滿足條件的p的取值范圍6.（2020·山西應(yīng)縣一中高二期中（理））甲、乙兩家外賣公司，其送餐員的日工資方案如下：甲公司的底薪80元，每單抽成4元；乙公司無(wú)底薪，40單以內(nèi)（含40單）的部分每單抽成6元，超出40單的部分每單抽成7元，假設(shè)同一公司送餐員一天的送餐單數(shù)相同，現(xiàn)從兩家公司各隨機(jī)抽取一名送餐員，并分別記錄其50天的送餐單數(shù)，得到如下頻數(shù)表：甲公司送餐員送餐單數(shù)頻數(shù)表送餐單數(shù)3839404142天數(shù)101510105乙公司送餐員送餐單數(shù)頻數(shù)表送餐單數(shù)3839404142天數(shù)51010205（1）現(xiàn)從甲公司記錄的50天中隨機(jī)抽取3天，求這3天送餐單數(shù)都不小于40的概率；（2）若將頻率視為概率，回答下列兩個(gè)問(wèn)題：①記乙公司送餐員日工資為（單位：元），求的分布列和數(shù)學(xué)期望；②小王打算到甲、乙兩家公司中的一家應(yīng)聘送餐員，如果僅從日工資的角度考慮，請(qǐng)利用所學(xué)的統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)為小王作出選擇，并說(shuō)明理由．7．（2021·湖南·高三月考）某單位有員工50000人，一保險(xiǎn)公司針對(duì)該單位推出一款意外險(xiǎn)產(chǎn)品，每年每位職工只需要交少量保費(fèi)，發(fā)生意外后可一次性獲得若干賠償金.保險(xiǎn)公司把該單位的所有崗位分為，，三類工種，從事三類工種的人數(shù)分布比例如餅圖所示，且這三類工種每年的賠付概率如下表所示：工種類別賠付概率對(duì)于，，三類工種，職工每人每年保費(fèi)分別為元?元?元，出險(xiǎn)后的賠償金額分別為100萬(wàn)元?100萬(wàn)元?50萬(wàn)元，保險(xiǎn)公司在開(kāi)展此項(xiàng)業(yè)務(wù)過(guò)程中的固定支出為每年20萬(wàn)元.（1）若保險(xiǎn)公司要求每年收益的期望不低于保費(fèi)的，證明：.（2）現(xiàn)有如下兩個(gè)方案供單位選擇：方案一：?jiǎn)挝徊慌c保險(xiǎn)公司合作，職工不交保險(xiǎn)，出意外后單位自行拿出與保險(xiǎn)公司提供的等額賠償金賠付給出意外的職工，單位開(kāi)展這項(xiàng)工作的固定支出為每年35萬(wàn)元；方案二：?jiǎn)挝慌c保險(xiǎn)公司合作，，，單位負(fù)責(zé)職工保費(fèi)的，職工個(gè)人負(fù)責(zé)，出險(xiǎn)后賠償金由保險(xiǎn)公司賠付，單位無(wú)額外專項(xiàng)開(kāi)支.根據(jù)該單位總支出的差異給出選擇合適方案的建議.8．（2021·四川·成都七中高三期中（理））某企業(yè)有甲、乙兩條生產(chǎn)線，其產(chǎn)量之比為.現(xiàn)從兩條生產(chǎn)線上按分層抽樣的方法得到一個(gè)樣本，其部分統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表（單位：件），且每件產(chǎn)品都有各自生產(chǎn)線的標(biāo)記.產(chǎn)品件數(shù)一等品二等品總計(jì)甲生產(chǎn)線乙生產(chǎn)線總計(jì)（1）請(qǐng)將列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)估計(jì)；大約有多大把握認(rèn)為產(chǎn)品的等級(jí)差異與生產(chǎn)線有關(guān)?（2）為進(jìn)一步了解產(chǎn)品出現(xiàn)等級(jí)差異的原因，現(xiàn)將樣本中所有二等品逐個(gè)進(jìn)行技術(shù)檢驗(yàn)（隨機(jī)抽取且不放回）.設(shè)甲生產(chǎn)線的兩個(gè)二等品恰好檢驗(yàn)完畢時(shí)，已檢驗(yàn)乙生產(chǎn)線二等品的件數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望.參考公式：.9．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）假設(shè)在A軍與B軍的某次戰(zhàn)役中，A軍有8位將領(lǐng)，善用騎兵的將領(lǐng)有5人；B軍有8位將領(lǐng)，善用騎兵的將領(lǐng)有4人.（1）現(xiàn)從A軍將領(lǐng)中隨機(jī)選取4名將領(lǐng)，求至多有3名是善用騎兵的將領(lǐng)的概率；（2）在A軍和B軍的將領(lǐng)中各隨機(jī)選取2人，X為善用騎兵的將領(lǐng)的人數(shù)，寫出X的分布列，并求.10．（2021·北京通州·高三期中）某蔬菜批發(fā)商分別在甲、乙兩個(gè)市場(chǎng)銷售某種蔬菜（兩個(gè)市場(chǎng)的銷售互不影響），已知該蔬菜每售出1噸獲利500元，未售出的蔬菜降價(jià)處理，每噸虧損100元．現(xiàn)分別統(tǒng)計(jì)該蔬菜在甲、乙兩個(gè)市場(chǎng)以往100個(gè)周期的市場(chǎng)需求量，制成頻數(shù)分布條形圖如下：以市場(chǎng)需求量的頻率代替需求量的概率．設(shè)批發(fā)商在下個(gè)銷售周期購(gòu)進(jìn)噸該蔬菜，在甲、乙兩個(gè)市場(chǎng)同時(shí)銷售，以（單位：噸）表示下個(gè)銷售周期兩個(gè)市場(chǎng)的總需求量，（單位：元）表示下個(gè)銷售周期兩個(gè)市場(chǎng)的銷售總利潤(rùn)．（1）求變量概率分布列；（2）當(dāng)時(shí)，求與的函數(shù)解析式，并估計(jì)銷售利潤(rùn)不少于8900元的概率；（3）以銷售利潤(rùn)的期望作為決策的依據(jù)，判斷與應(yīng)選用哪一個(gè)．練真題TIDHNEG練真題TIDHNEG1．（2020·全國(guó)高考真題（文））設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差為0.01，則數(shù)據(jù)10x1，10x2，…，10xn的方差為（）A．0.01 B．0.1 C．1 D．102．（2020·全國(guó)高考真題（理））在一組樣本數(shù)據(jù)中，1，2，3，4出現(xiàn)的頻率分別為，且，則下面四種情形中，對(duì)應(yīng)樣本的標(biāo)準(zhǔn)差最大的一組是（）A． B．C． D．3.（2020·浙江省高考真題）盒子里有4個(gè)球，其中1個(gè)紅球，1個(gè)綠球，2個(gè)黃球，從盒中隨機(jī)取球，每次取1個(gè)，不放回，直到取出紅球?yàn)橹?設(shè)此過(guò)程中取到黃球的個(gè)數(shù)為，則_______；______．4.（2021·全國(guó)·高考真題）某學(xué)校組織“一帶一路”知識(shí)競(jìng)賽，有A，B兩類問(wèn)題，每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問(wèn)題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答，若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類問(wèn)題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答，無(wú)論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束.A類問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得20分，否則得0分；B類問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得80分，否則得0分，己知小明能正確回答A類問(wèn)題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問(wèn)題的概率為0.6，且能正確回答問(wèn)題的概率與回答次序無(wú)關(guān).（1）若小明先回答A類問(wèn)題，記為小明的累計(jì)得分，求的分布列；（2）為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問(wèn)題？并說(shuō)明理由.5.（2021·北京·高考真題）在核酸檢測(cè)中,“k合1”混采核酸檢測(cè)是指：先將k個(gè)人的樣本混合在一起進(jìn)行1次檢測(cè),如果這k個(gè)人都沒(méi)有感染新冠病毒，則檢測(cè)結(jié)果為陰性，得到每人的檢測(cè)結(jié)果都為陰性，檢測(cè)結(jié)束:如果這k個(gè)人中有人感染新冠病毒，則檢測(cè)結(jié)果為陽(yáng)性，此時(shí)需對(duì)每人再進(jìn)行1次檢測(cè),得到每人的檢測(cè)結(jié)果，檢測(cè)結(jié)束.現(xiàn)對(duì)100人進(jìn)行核酸檢測(cè)，假設(shè)其中只有2人感染新冠病毒，并假設(shè)每次檢測(cè)結(jié)果準(zhǔn)確.（I）將這100人隨機(jī)分成10組，每組10人，且對(duì)每組都采用“10合1”混采核酸檢測(cè).(i)如果感染新冠病毒的2人在同一組，求檢測(cè)的總次數(shù);(ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一組的概率為.設(shè)X是檢測(cè)的總次數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望E(X).(II）將這100人隨機(jī)分成20組，每組5人，且對(duì)每組都采用“5合1”混采核酸檢測(cè).設(shè)Y是檢測(cè)的總次數(shù)，試判斷數(shù)學(xué)期望E(Y)與(I)中E(X)的大小.(結(jié)論不要求證明)6．（2020·江蘇省高考真題）甲口袋中裝有2個(gè)黑球和1個(gè)白球，乙口袋中裝有3個(gè)白球．現(xiàn)從甲、乙兩口袋中各任取一個(gè)球交換放入另一口袋，重復(fù)n次這樣的操作，記甲口袋中黑球個(gè)數(shù)為Xn，恰有2個(gè)黑球的概率為pn，恰有1個(gè)黑球的概率為qn．（1）求p1·q1和p2·q2；（2）求2pn+qn與2pn-1+qn-1的遞推關(guān)系式和Xn的數(shù)學(xué)期望E(Xn)(用n表示)．專題11.6離散型隨機(jī)變量的均值與方差練基礎(chǔ)練基礎(chǔ)1．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）一個(gè)籃球運(yùn)動(dòng)員投籃一次得3分的概率為a，得2分的概率為b，不得分的概率為，已知他投籃一次得分的均值為2（不計(jì)其他得分情況），則ab的最大值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題設(shè)可得，結(jié)合基本不等式即可求ab的最大值，注意等號(hào)成立條件.【詳解】由題意，得，即，∴，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，∴ab的最大值為.故選：D2．（2021·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知隨機(jī)變量的分布列如下：X123Pab2b—a則的最大值為（）A． B．3C．6 D．5【答案】C【分析】根據(jù)概率和為1得到，再計(jì)算，得到，，計(jì)算最值得到答案.【詳解】，只需求的最大值即可，根據(jù)題意：，，，所以，當(dāng)時(shí)，其最大值為，故的最大值為．故選：C.3．（2021·云南·峨山彝族自治縣第一中學(xué)高三月考（理））設(shè)，隨機(jī)變量的分布列如表所示，隨機(jī)變量滿足，則當(dāng)在上增大時(shí)，關(guān)于的表述，下列正確的是（）-2-10A．增大 B．減小 C．先增大后減小 D．先減小后增大【答案】A【分析】由分布列的性質(zhì)求得，再求、關(guān)于的表達(dá)式，由及得到關(guān)于的二次函數(shù)，即可判斷的單調(diào)性.【詳解】由分布列的性質(zhì)：，可得，∴，，∴，又，∴在上增大時(shí)，增大.故選：A4．（2021·浙江·高三期中）將2名科學(xué)家和3名航天員從左到右排成一排合影留念，用表示兩名科學(xué)家之間的航天員人數(shù)，則_______，_______．【答案】11【分析】根據(jù)題意可得的所有可能取值為0，1，2，3，求出對(duì)應(yīng)的概率，進(jìn)而求出和，根據(jù)計(jì)算即可.【詳解】解：的所有可能取值為0，1，2，3．；；；．得，所以，所以．故答案為：1；15．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p的兩點(diǎn)分布，求．【答案】【分析】利用離散型隨機(jī)變量期望及方差公式即得.【詳解】∵隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p的兩點(diǎn)分布，∴，所以．6.（2021·全國(guó)·高二學(xué)業(yè)考試）陽(yáng)澄湖大閘蟹又名金爪蟹，產(chǎn)于江蘇省蘇州市，蟹身青殼白肚，肉質(zhì)膏膩，營(yíng)養(yǎng)豐富，深受消費(fèi)者喜愛(ài).某水產(chǎn)品超市購(gòu)進(jìn)一批重量為100千克的陽(yáng)澄湖大閘蟹，隨機(jī)抽取了50只統(tǒng)計(jì)其重量，得到的結(jié)果如下表所示：規(guī)格中蟹大蟹特大蟹重量/克[160，180）[180，200）[200，220）[220，240）[240，260）[260，280]數(shù)量/只32152073（1）估計(jì)該批大閘蟹有______只；（結(jié)果保留整數(shù)）；（2）某顧客從抽取的10只特大蟹中隨機(jī)購(gòu)買了4只，記重量在區(qū)間[260，280]內(nèi)的大閘蟹數(shù)量為X，則______.【答案】446【分析】（1）由頻率直方表求大閘蟹的平均重量，進(jìn)而求100千克的陽(yáng)澄湖大閘蟹大概數(shù)量.（2）由題設(shè)有X的范圍是{0，1，2，3}，進(jìn)而求其分布列，根據(jù)分布列求期望即可.【詳解】7．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）醫(yī)學(xué)上發(fā)現(xiàn)，某種病毒侵入人體后，人的體溫會(huì)升高．記病毒侵入后人體的平均體溫為（攝氏度）．醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，X的分布列如下．X37383940P0.10.50.30.1（1）求出，；（2）已知人體體溫為時(shí)，相當(dāng)于，求，．【答案】（1）38.4，0.64.（2）101.12，2.0736.【分析】（1）利用期望及方差公式即求；（2）由可得,即求.（1）由題可得，.（2）由可知，，.8．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）一臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)某種產(chǎn)品，如果生產(chǎn)一件甲等品可獲利50元，生產(chǎn)一件乙等品可獲利30元，生產(chǎn)一件次品會(huì)虧損20元，已知這臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)甲等品、乙等品和次品的概率分別為0.6，0.3和0.1，求這臺(tái)機(jī)器每生產(chǎn)一件產(chǎn)品的平均預(yù)期收入．【答案】37元.【分析】根據(jù)已知條件，可設(shè)這臺(tái)機(jī)器每生產(chǎn)一件產(chǎn)品可獲利，且得出的可能值和對(duì)應(yīng)的概率，根據(jù)離散型隨機(jī)變量直接求出數(shù)學(xué)期望，即可得出這臺(tái)機(jī)器每生產(chǎn)一件產(chǎn)品的平均預(yù)期收入.【詳解】解：由題可知，一臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)甲等品、乙等品和次品分別獲利50元，30元和-20元，這臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)甲等品、乙等品和次品的概率分別為0.6，0.3和0.1，可設(shè)這臺(tái)機(jī)器每生產(chǎn)一件產(chǎn)品可獲利，則的可能值為50，30，-20，則，，，所以臺(tái)機(jī)器每生產(chǎn)一件產(chǎn)品的平均預(yù)期收入為：（元）.9．（2021·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）甲、乙兩臺(tái)半自動(dòng)車床加工同一型號(hào)的產(chǎn)品，各生產(chǎn)1000只產(chǎn)品中次品數(shù)分別用x和y表示.經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的觀察，發(fā)現(xiàn)x和y的頻率分布如下表，問(wèn)：哪一臺(tái)車床的產(chǎn)品質(zhì)量較好？x0123P0.70.10.10.1y0123P0.50.30.20【答案】乙比甲質(zhì)量好【分析】利用數(shù)學(xué)期望計(jì)算公式可得比較其大小即可得得出結(jié)論.【詳解】由表格可得：，即乙比甲質(zhì)量好.10．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）若離散型隨機(jī)變量X的概率分布是，其中，求證：．【答案】詳見(jiàn)解析.【分析】利用離散型隨機(jī)變量X的概率分布的性質(zhì)及期望公式即得.【詳解】練提升TIDHNEG練提升TIDHNEG1．【多選題】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）甲盒中裝有3個(gè)紅球、1個(gè)黃球、乙盒中裝有1個(gè)紅球、3個(gè)黃球，同時(shí)從甲、乙兩盒中取出（）個(gè)球交換，分別記交換后甲、乙兩個(gè)盒子中紅球個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望為，，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】分別就，2，3計(jì)算概率得出數(shù)學(xué)期望，憨厚逐一分析各選項(xiàng)即可得出結(jié)論．【詳解】解：X表示交換后甲盒子中的紅球數(shù)，Y表示交換后乙盒子中的紅球數(shù)，當(dāng)時(shí)，則，，，∴，，故A正確，C正確；當(dāng)時(shí)，，，，∴，，故B正確；當(dāng)時(shí)，，，，∴，∴，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.2．（2021·廣東·高三月考）已知某闖關(guān)游戲，第一關(guān)在兩個(gè)情境中尋寶．每位參賽選手先在兩個(gè)情境中選擇一個(gè)開(kāi)始第一關(guān)，若尋寶失敗則比賽結(jié)束；若尋寶成功則進(jìn)入另一個(gè)情境，無(wú)論尋寶成功與否，第一關(guān)比賽結(jié)束．情境尋寶成功獲得經(jīng)驗(yàn)值分，否則得分；情境尋寶成功獲得經(jīng)驗(yàn)值分，否則得分．已知某玩家在情境中尋寶成功的概率為，在情境中尋寶成功的概率為，且每個(gè)情境中尋寶成功的概率與選擇初始情境的次序無(wú)關(guān)．（1）若該玩家選擇從情境開(kāi)始第一關(guān)，記為經(jīng)驗(yàn)值累計(jì)得分，求的分布列；（2）為使經(jīng)驗(yàn)值累計(jì)得分的期望最大，該玩家應(yīng)選擇從哪個(gè)情境開(kāi)始第一關(guān)？并說(shuō)明理由．【答案】（1）分布列見(jiàn)解析；（2）應(yīng)從情境開(kāi)始第一關(guān)，理由見(jiàn)解析.【分析】（1）確定所有可能的取值，并求出對(duì)應(yīng)的概率，從而得到分布列；（2）分別求得從兩個(gè)情境開(kāi)始的得分期望值，根據(jù)大小關(guān)系可得結(jié)論.（1）由題意知：所有可能的取值為，，，；；，的分布列為：（2）由（1）得：從情境開(kāi)始第一關(guān)，則；若從情境開(kāi)始第一關(guān)，記為經(jīng)驗(yàn)值累計(jì)得分，則所有可能的取值為，，，；；，；，應(yīng)從情境開(kāi)始第一關(guān).3．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知5只動(dòng)物中有1只患有某種疾病，需要通過(guò)血液化驗(yàn)來(lái)確定患病的動(dòng)物，血液化驗(yàn)結(jié)果呈陽(yáng)性的為患病動(dòng)物．下面是兩種化驗(yàn)方案：方案甲：將各動(dòng)物的血液逐個(gè)化驗(yàn)，直到查出患病動(dòng)物為止．方案乙：先取3只動(dòng)物的血液進(jìn)行混合，然后檢查，若呈陽(yáng)性，對(duì)這3只動(dòng)物的血液再逐個(gè)化驗(yàn)，直到查出患病動(dòng)物；若不呈陽(yáng)性，則檢查剩下的2只動(dòng)物中1只動(dòng)物的血液．分析哪種化驗(yàn)方案更好．【答案】方案乙更好.【分析】用，分別表示兩個(gè)方案所需化驗(yàn)的次數(shù)，通過(guò)比較的大小即得.【詳解】用表示方案甲所需化驗(yàn)的次數(shù)，則可取1,2,3,4，∴；用表示方案乙所需化驗(yàn)的次數(shù)，則可取2,3若，有兩種可能：先化驗(yàn)3只結(jié)果為陽(yáng)性，再?gòu)闹兄饌€(gè)化驗(yàn)時(shí)，恰好一次驗(yàn)中的概率為，先化驗(yàn)3只結(jié)果為陰性，再?gòu)钠溆?只中取1只化驗(yàn)的概率為，故，若，只有一種可能：先化驗(yàn)3只結(jié)果為陽(yáng)性，再?gòu)闹兄饌€(gè)化驗(yàn)時(shí)，恰好兩次驗(yàn)出時(shí)的概率為，∴，∴，故方案乙更好.4．（2021·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）2021年7月24日，中國(guó)選手楊倩在東京奧運(yùn)會(huì)女子10米氣步槍決賽中，為中國(guó)代表團(tuán)攬入本界奧運(yùn)會(huì)第一枚金牌.受奧運(yùn)精神的鼓舞，某射擊俱樂(lè)部組織200名射擊愛(ài)好者進(jìn)行一系列的測(cè)試，并記錄他們的射擊技能分?jǐn)?shù)（單位：分），將所得數(shù)據(jù)分成7組：，，…，，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求這200名射擊愛(ài)好者中射擊技能分?jǐn)?shù)低于60分的人數(shù)；（2）從樣本中射擊技能分?jǐn)?shù)在的射擊愛(ài)好者中采用分層抽樣的方法抽取8人，再?gòu)倪@8人中隨機(jī)抽取3人進(jìn)一步進(jìn)行射擊訓(xùn)練，記抽取的3人中射擊技能分?jǐn)?shù)不低于70分的人數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）（2）分布列答案見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望：【分析】（1）先根據(jù)頻率分布直方圖得到射擊技能分?jǐn)?shù)低于60分的頻率，然后可得射擊技能分?jǐn)?shù)低于60分的人數(shù)；（2）根據(jù)頻率分布直方圖及分層抽樣的知識(shí)得到抽取的8人中射擊技能分?jǐn)?shù)不低于70分的人數(shù)和射擊技能分?jǐn)?shù)低于70分的人數(shù)，然后寫出X的所有可能取值，根據(jù)超幾何分布的概率公式分別求出各個(gè)取值對(duì)應(yīng)的概率，最后可得分布列和數(shù)學(xué)期望.（1）由頻率分布直方圖可知，射擊技能分?jǐn)?shù)低于60分的頻率為，所以這200名射擊愛(ài)好者中射擊技能分?jǐn)?shù)低于60分的人數(shù)為.（2）由頻率分布直方圖可知，射擊技能分?jǐn)?shù)在，，的頻率分別為0.2，0.4，0.2，由分層抽樣的知識(shí)知抽取的8名射擊愛(ài)好者中，射擊技能分?jǐn)?shù)不低于70分的人數(shù)為，則射擊技能分?jǐn)?shù)低于70分的人數(shù)為.所以X的所有可能取值為1，2，3，；；；X的分布列為X123P所以.5．（2021·福建省福州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高三月考）某單位組織外出參加公差的12位職工在返回崗位前先讓他們進(jìn)行體檢普查某病毒，費(fèi)用全部由單位承擔(dān)，假定這12名職工的血液中每個(gè)人都不含有病毒（結(jié)果呈陰性）的概率都為p，若對(duì)每一個(gè)人的血樣都進(jìn)行檢查，則每一個(gè)人都要耗費(fèi)比較高的一份化驗(yàn)費(fèi)，經(jīng)過(guò)合理的分析后，提出一份改進(jìn)方案：先將每一個(gè)人的血樣各取出一部分，k個(gè)人為一組混合后再化驗(yàn)，如果結(jié)果都呈陰性，則k個(gè)人同時(shí)通過(guò)，每個(gè)人平均化驗(yàn)了次，如果呈陽(yáng)性再將k個(gè)人的血樣分別化驗(yàn)，以找出血樣中含病毒者，這樣每個(gè)人化驗(yàn)（1+）次.（1）當(dāng)p=時(shí)且采用改進(jìn)方案時(shí)取k=2，求此時(shí)每位職工化驗(yàn)次數(shù)X的分布列（2）當(dāng)k=3時(shí)，求采用改進(jìn)方案能達(dá)到節(jié)約化驗(yàn)費(fèi)目的，且此時(shí)滿足條件的p的取值范圍【答案】（1）詳見(jiàn)解析（2）【分析】（1）由題意可知X的可能取值為,，分別求出對(duì)應(yīng)的概率，即得；（2）當(dāng)k=3時(shí)，設(shè)采用改進(jìn)方案檢驗(yàn)次數(shù)為Y，則Y可取1,4，可取其期望，列不等式即可解.（1）由題意可得，X的可能取值為,，則，故X的分布列為：XP（2）當(dāng)k=3時(shí)，采用改進(jìn)方案進(jìn)行檢驗(yàn)，設(shè)檢驗(yàn)的次數(shù)為Y,則Y的可能取值為1,4，，，采用改進(jìn)方案能達(dá)到節(jié)約化驗(yàn)費(fèi)目的，則，解得，故p的取值范圍為.6.（2020·山西應(yīng)縣一中高二期中（理））甲、乙兩家外賣公司，其送餐員的日工資方案如下：甲公司的底薪80元，每單抽成4元；乙公司無(wú)底薪，40單以內(nèi)（含40單）的部分每單抽成6元，超出40單的部分每單抽成7元，假設(shè)同一公司送餐員一天的送餐單數(shù)相同，現(xiàn)從兩家公司各隨機(jī)抽取一名送餐員，并分別記錄其50天的送餐單數(shù)，得到如下頻數(shù)表：甲公司送餐員送餐單數(shù)頻數(shù)表送餐單數(shù)3839404142天數(shù)101510105乙公司送餐員送餐單數(shù)頻數(shù)表送餐單數(shù)3839404142天數(shù)51010205（1）現(xiàn)從甲公司記錄的50天中隨機(jī)抽取3天，求這3天送餐單數(shù)都不小于40的概率；（2）若將頻率視為概率，回答下列兩個(gè)問(wèn)題：①記乙公司送餐員日工資為（單位：元），求的分布列和數(shù)學(xué)期望；②小王打算到甲、乙兩家公司中的一家應(yīng)聘送餐員，如果僅從日工資的角度考慮，請(qǐng)利用所學(xué)的統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)為小王作出選擇，并說(shuō)明理由．【答案】（1）.（2）見(jiàn)解析【解析】（1）記抽取的天送餐單數(shù)都不小于40為事件，則.（2）①設(shè)乙公司送餐員送餐單數(shù)為，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.所以的所有可能取值為228，234，240，247，254.故的分布列為：228234240247254所以②依題意，甲公司送餐員日平均送餐單數(shù)為所以甲公司送餐員日平均工資為元.由①得乙公司送餐員日平均工資為241.8元.因?yàn)椋释扑]小王去乙公司應(yīng)聘.7．（2021·湖南·高三月考）某單位有員工50000人，一保險(xiǎn)公司針對(duì)該單位推出一款意外險(xiǎn)產(chǎn)品，每年每位職工只需要交少量保費(fèi)，發(fā)生意外后可一次性獲得若干賠償金.保險(xiǎn)公司把該單位的所有崗位分為，，三類工種，從事三類工種的人數(shù)分布比例如餅圖所示，且這三類工種每年的賠付概率如下表所示：工種類別賠付概率對(duì)于，，三類工種，職工每人每年保費(fèi)分別為元?元?元，出險(xiǎn)后的賠償金額分別為100萬(wàn)元?100萬(wàn)元?50萬(wàn)元，保險(xiǎn)公司在開(kāi)展此項(xiàng)業(yè)務(wù)過(guò)程中的固定支出為每年20萬(wàn)元.（1）若保險(xiǎn)公司要求每年收益的期望不低于保費(fèi)的，證明：.（2）現(xiàn)有如下兩個(gè)方案供單位選擇：方案一：?jiǎn)挝徊慌c保險(xiǎn)公司合作，職工不交保險(xiǎn)，出意外后單位自行拿出與保險(xiǎn)公司提供的等額賠償金賠付給出意外的職工，單位開(kāi)展這項(xiàng)工作的固定支出為每年35萬(wàn)元；方案二：?jiǎn)挝慌c保險(xiǎn)公司合作，，，單位負(fù)責(zé)職工保費(fèi)的，職工個(gè)人負(fù)責(zé)，出險(xiǎn)后賠償金由保險(xiǎn)公司賠付，單位無(wú)額外專項(xiàng)開(kāi)支.根據(jù)該單位總支出的差異給出選擇合適方案的建議.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）建議單位選擇方案二【分析】（1）求得個(gè)工種對(duì)應(yīng)職工的每份保單保險(xiǎn)公司的收益的期望值，然后結(jié)合職工類別的頻率以及“每年收益的期望不低于保費(fèi)的”列不等式，由此證得.（2）分別求得兩種方案單位總支出的期望值，由此作出選擇.（1）設(shè)工種，，對(duì)應(yīng)職工的每份保單保險(xiǎn)公司的收益分別為隨機(jī)變量，，（單位：元），則，，的分布列分別為，，.所以，整理得.（2）方案一：?jiǎn)挝徊慌c保險(xiǎn)公司合作，則單位每年賠償金支出的期望與固定開(kāi)支共為（元）.方案二：?jiǎn)挝慌c保險(xiǎn)公司合作，則單位支出金額為（元）.因?yàn)?，所以建議單位選擇方案二.8．（2021·四川·成都七中高三期中（理））某企業(yè)有甲、乙兩條生產(chǎn)線，其產(chǎn)量之比為.現(xiàn)從兩條生產(chǎn)線上按分層抽樣的方法得到一個(gè)樣本，其部分統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表（單位：件），且每件產(chǎn)品都有各自生產(chǎn)線的標(biāo)記.產(chǎn)品件數(shù)一等品二等品總計(jì)甲生產(chǎn)線乙生產(chǎn)線總計(jì)（1）請(qǐng)將列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)估計(jì)；大約有多大把握認(rèn)為產(chǎn)品的等級(jí)差異與生產(chǎn)線有關(guān)?（2）為進(jìn)一步了解產(chǎn)品出現(xiàn)等級(jí)差異的原因，現(xiàn)將樣本中所有二等品逐個(gè)進(jìn)行技術(shù)檢驗(yàn)（隨機(jī)抽取且不放回）.設(shè)甲生產(chǎn)線的兩個(gè)二等品恰好檢驗(yàn)完畢時(shí)，已檢驗(yàn)乙生產(chǎn)線二等品的件數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望.參考公式：.【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）分布列見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望為2.【分析】（1）分析題意完成2×2列聯(lián)表,直接套公式求出，對(duì)照參數(shù)下結(jié)論；（2）直接求出概率，寫出分布列，套公式求出數(shù)學(xué)期望.（1）由題意可得，一共抽樣50個(gè)，產(chǎn)量之比為，按分層抽樣抽取，故甲生產(chǎn)線抽取，乙生產(chǎn)線抽取，故甲生產(chǎn)線抽取一等品40-2=38，乙生產(chǎn)線抽取二等品10-7=3，填表如下：產(chǎn)品件數(shù)一等品二等品總計(jì)甲生產(chǎn)線3840乙生產(chǎn)線310總計(jì)455所以，故有97.5％把握認(rèn)為產(chǎn)品的等級(jí)差異與生產(chǎn)線有關(guān)（2）依題意得，檢驗(yàn)順序的所有可能為甲甲乙乙乙，甲乙甲乙乙，乙甲甲乙乙，甲乙乙甲乙，乙甲乙甲乙，乙乙甲甲乙，甲乙乙乙甲，乙甲乙乙甲，乙乙甲乙甲，乙乙乙甲甲，共10種可能.的所有可能取值為：0，1，2，3.故，，，，則的分布列為：0123P所以9．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）假設(shè)在A軍與B軍的某次戰(zhàn)役中，A軍有8位將領(lǐng)，善用騎兵的將領(lǐng)有5人；B軍有8位將領(lǐng)，善用騎兵的將領(lǐng)有4人.（1）現(xiàn)從A軍將領(lǐng)中隨機(jī)選取4名將領(lǐng)，求至多有3名是善用騎兵的將領(lǐng)的概率；（2）在A軍和B軍的將領(lǐng)中各隨機(jī)選取2人，X為善用騎兵的將領(lǐng)的人數(shù)，寫出X的分布列，并求.【答案】（1）（2）分布列見(jiàn)解析，【分析】（1）利用對(duì)立事件來(lái)求得“至多有3名是善用騎兵的將領(lǐng)的概率”.（2）結(jié)合古典概型概率計(jì)算公式，計(jì)算出分布列并求得.（1）若從A軍將領(lǐng)中隨機(jī)選取4名將領(lǐng)，則有4名是善用騎兵的將領(lǐng)的概率為，故從A軍將領(lǐng)中隨機(jī)選取4名將領(lǐng)，至多有3名是善用騎兵的將領(lǐng)的概率為.（2）由題意知，則：，，，，，所