九上教師相似三角形講義

第1講相似圖形與成比例線段【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、從生活中形狀一樣的圖形的實(shí)例中認(rèn)識(shí)圖形的相似,理解相似圖形概念。2、了解成比例線段的概念，會(huì)確定線段的比?！緦W(xué)習(xí)重點(diǎn)】相似圖形的概念與成比例線段的概念?！緦W(xué)習(xí)難點(diǎn)】成比例線段概念?！緦W(xué)習(xí)過(guò)程】知識(shí)點(diǎn)一：比例線段定義：對(duì)于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比〔即它們長(zhǎng)度的比〕與另外兩條線段的比相等，如果，則就說(shuō)這四條線段a、b、c、d叫做成比例線段，簡(jiǎn)稱比例線段。例：如四條線段的長(zhǎng)度分別是4cm、8cm、3cm、6cm判斷這四條線段是否成比例？解：這四條線段是成比例線段練習(xí)一：1、如下圖：〔1〕求線段比、、、〔2〕試指出圖中成比例線段2、線段a、b、c、d的長(zhǎng)度分別是30mm、2cm、0.8cm、12mm判斷這四條線段是否成比例？3、線段a、b、c、d的長(zhǎng)度分別是、、2、判斷這四條線段是否成比例？4、A、B兩地的實(shí)際距離是250m假設(shè)畫(huà)在圖上的距離是5cm，則圖上距離與實(shí)際距離的比是___________5、線段a=、b=、c=、假設(shè)，則=_________假設(shè)，則=__________6、以下四組線段中，不成比例的是〔〕Aa=3b=6c=2d=4 Ba=1b=c=d=Ca=4b=6c=5d=10 Da=b=c=2d=知識(shí)點(diǎn)二：比例線段的性質(zhì)比例性質(zhì)是根據(jù)等式的性質(zhì)得到的，推理過(guò)程如下：根本性質(zhì)：如果，則〔兩邊同乘，〕在的情況下，還有以下幾種變形、、合比性質(zhì)：如果，則等比性質(zhì)：如果，則例2填空：如果，則=、=、=、=練習(xí)二：1、，求2、假設(shè)，則=_________3、，則以下各式中不正確的選項(xiàng)是〔〕A B C D4、，則=_______5、，求=________第2講平行線分線段成比例【學(xué)習(xí)目標(biāo)】理解掌握平行線分線段成比例定理，會(huì)用符號(hào)“∽〞表示相似三角形，如△ABC∽△;知道相似多邊形的主要特征3.會(huì)根據(jù)相似多邊形的特征識(shí)別兩個(gè)多邊形是否相似，并會(huì)運(yùn)用其性質(zhì)進(jìn)展相關(guān)的計(jì)算。【學(xué)習(xí)重點(diǎn)】理解掌握平行線分線段成比例定理及應(yīng)用．相似多邊形的主要特征與識(shí)別?！緦W(xué)習(xí)難點(diǎn)】掌握平行線分線段成比例定理應(yīng)用．運(yùn)用相似多邊形的特征進(jìn)展相關(guān)的計(jì)算?！緦W(xué)習(xí)過(guò)程】知識(shí)點(diǎn)三：平行線分三角形兩邊成比例線段如圖27.2-1),任意畫(huà)兩條直線l1,l2,再畫(huà)三條與l1,l2相交的平行線l3,l4,l5.分別量度l3,l4,l5.在l1上截得的兩條線段AB,BC和在l2上截得的兩條線段DE,EF的長(zhǎng)度,AB︰BC與DE︰EF相等嗎"任意平移l5,再量度AB,BC,DE,EF的長(zhǎng)度,AB︰BC與DE︰EF相等嗎"(2)問(wèn)題，AB︰AC=DE︰〔〕，BC︰AC=〔〕︰DF．強(qiáng)調(diào)“對(duì)應(yīng)線段的比是否相等〞(3)歸納總結(jié)：平行線分線段成比例定理三條_________截兩條直線，所得的________線段的比________。應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注：平行線分線段成比例定理中相比線段同線；4〕例1如圖、假設(shè)AB=3cm，BC=5cm，EK=4cm，寫(xiě)出==_____、BCEKFA=______。求BCEKFA[活動(dòng)2]平行線分線段成比例定理推論思考：1、如果把圖27.2-1中l(wèi)1,l2兩條直線相交，交點(diǎn)A剛落到l3上，如圖27.2-2〔1〕，，所得的對(duì)應(yīng)線段的比會(huì)相等嗎？依據(jù)是什么？2、如果把圖27.2-1中l(wèi)1,l2兩條直線相交，交點(diǎn)A剛落到l4上，如圖27.2-2〔2〕，所得的對(duì)應(yīng)線段的比會(huì)相等嗎？依據(jù)是什么？3、任意平移l5,再量度AB,BC,DE,EF的平行于三角形一邊的直線截其他兩邊〔或兩邊的延長(zhǎng)線〕所截得的對(duì)應(yīng)線段成比例3、歸納總結(jié)：平行線分線段成比例定理推論平行于三角形一邊的直線截其他兩邊〔或兩邊延長(zhǎng)線〕，所得的___對(duì)應(yīng)____線段_成比例_____。例1:如圖在中,，求EA的長(zhǎng)解：//DEEA=例2如圖，在△ABC中，DE∥BC，AD=EC，DB=1cm，AE=4cm，BC=5cm，求DE的長(zhǎng)．分析：由DE∥BC，可得△ADE∽△ABC，再由相似三角形的性質(zhì)，有，又由AD=EC可求出AD的長(zhǎng)，再根據(jù)求出DE的長(zhǎng)．解：[穩(wěn)固練習(xí)]1.如圖，在△ABC中，DE∥BC，AC=4，AB=3，EC=1.求AD和BD.2．如圖，在□ABCD中，EF∥AB，DE:EA=2:3，EF=4，求CD的長(zhǎng)．[能力提升]1．如圖，△ABC∽△AED,其中DE∥BC，找出對(duì)應(yīng)角并寫(xiě)出對(duì)應(yīng)邊的比例式．2．如圖，△ABC∽△AED，其中∠ADE=∠B，找出對(duì)應(yīng)角并寫(xiě)出對(duì)應(yīng)邊的比例式．[歸納]判定三角形相似的〔預(yù)備〕定理：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所成的三角形與原來(lái)三角形相似。這個(gè)定理提醒了有三角形一邊的平行線，必構(gòu)成相似三角形，因此在三角形相似的解題中，常作平行線構(gòu)造三角形與三角形相似．練習(xí)2：如圖，在Rt中，，DE⊥AC交AB于D，交AC于E，如果DE=5，AE=12，AC=28.求AB的長(zhǎng)2、在中，DE//BC，交AB于D，交AC于E，F(xiàn)為BC上一點(diǎn)，DE交AF于G，AD=2BD，AE=5，求〔1〕；〔2〕AC的長(zhǎng)如圖：在中，點(diǎn)D、E分別在AB、AC上，AD=3，AB=5，AE=2，EC=，由此判斷DE與BC的關(guān)系是___________,理由是____________________________如圖：AM：MB=AN：NC=1：3，則MN：BC=__________如圖：在中，，四邊形EDFC為接正方形，AC=5，BC=3，求：AE：DF的比值。6、在中，D、E分別在AB、AC上，且DE//BC，如果，且AC＝10，求AE及EC的長(zhǎng)。7．如圖，DE∥BC，〔1〕如果AD=2，DB=3，求DE:BC的值；〔2〕如果AD=8，DB=12，AC=15，DE=7，求AE和BC的長(zhǎng)．8、如圖，小明在打網(wǎng)球時(shí)，使球恰好能打過(guò)網(wǎng)，而且落在離網(wǎng)5米的位置上，求球拍擊球的高度h．(設(shè)網(wǎng)球是直線運(yùn)動(dòng))第3講相似多邊形【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．知道相似多邊形的主要特征，即：相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等。2．會(huì)根據(jù)相似多邊形的特征識(shí)別兩個(gè)多邊形是否相似，并會(huì)運(yùn)用其性質(zhì)進(jìn)展相關(guān)的計(jì)算?！緦W(xué)習(xí)重點(diǎn)】相似多邊形的主要特征與識(shí)別?！緦W(xué)習(xí)難點(diǎn)】運(yùn)用相似多邊形的特征進(jìn)展相關(guān)的計(jì)算?！緦W(xué)習(xí)過(guò)程】[探究研討][活動(dòng)1]觀察，圖27.1-4(1)中的△A1B1C1是由正△ABC放大后得到的,觀察這兩個(gè)圖形,它們的對(duì)應(yīng)角有什么關(guān)系？對(duì)應(yīng)邊又有什么關(guān)系呢？知識(shí)點(diǎn)四：相似多邊形相似形定義：具有一樣形狀的圖形稱為相似形相似多邊形：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的多邊形叫相似多邊形相似多邊形的性質(zhì)：eq\o\ac(○,1)相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等反過(guò)來(lái)，如果兩個(gè)多邊形滿足對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等，則這兩個(gè)多邊形相似。3．【結(jié)論】：〔1〕相似多邊形的特征：相似多邊形的對(duì)應(yīng)角______，對(duì)應(yīng)邊的比_______．反之，如果兩個(gè)多邊形的對(duì)應(yīng)角______，對(duì)應(yīng)邊的比_______，則這兩個(gè)多邊形_______．幾何語(yǔ)言：在⊿ABC和⊿A1B1C1中假設(shè)．則⊿ABC和⊿A1B1C1相似〔2〕相似比：相似多邊形________的比稱為相似比．問(wèn)題：相似比為1時(shí)，相似的兩個(gè)圖形有什么關(guān)系？結(jié)論：相似比為1時(shí)，相似的兩個(gè)圖形______，因此________形是一種特殊的相似形．[例題]例1、〔選擇題〕以下說(shuō)確的是〔〕A．所有的平行四邊形都相似B．所有的矩形都相似C．所有的菱形都相似D．所有的正方形都相似分析：A中平行四邊形各角不一定對(duì)應(yīng)相等，因此所有的平行四邊形不一定都相似，故A錯(cuò)；B中矩形雖然各角都相等，但是各對(duì)應(yīng)邊的比不一定相等，因此所有的矩形不一定都相似，故B錯(cuò)；C中菱形雖然各對(duì)應(yīng)邊的比相等，但是各角不一定對(duì)應(yīng)相等，因此所有的菱形不一定都相似，故C也錯(cuò)；D中任兩個(gè)正方形的各角都相等，且各邊都對(duì)應(yīng)成比例，因此所有的正方形都相似，故D說(shuō)確，因此此題應(yīng)選D．例2、如圖：，四邊形ABCD與四邊形相似，求，長(zhǎng)和大小5解：四邊形ABCD四邊形5即穩(wěn)固練習(xí)11．在比例尺為1﹕10000000的地圖上，量得甲、乙兩地的距離是30cm，求兩地的實(shí)際距離．2．如下圖的兩個(gè)直角三角形相似嗎？為什么？3．如下圖的兩個(gè)五邊形相似，求未知邊、、、的長(zhǎng)度．4如圖，四邊形ABCD和EFGH相似，求角的大小和EH的長(zhǎng)度．27.1-6練習(xí)2：1、以下說(shuō)確的是〔〕A任意兩個(gè)菱形一定相似 B任意兩個(gè)矩形一定相似C有一個(gè)角是的兩個(gè)等腰三角形相似 D任意兩個(gè)等腰直角三角形一定相似2、，在放大鏡里看到的的度數(shù)是___________3、在中，BC＝15cm，AC＝45cm,AB＝54ｃｍ，另一個(gè)與它相似的三角形最短邊是5ｃｍ，則最長(zhǎng)一邊是4、用一個(gè)放大鏡看一個(gè)四邊形ABCD，假設(shè)該四邊形的邊長(zhǎng)放大10倍后，以下說(shuō)確的是〔〕A是原來(lái)的10倍 B周長(zhǎng)是原來(lái)的10倍 C每個(gè)角都發(fā)生了變化 D以上說(shuō)法都不對(duì)5.四邊形ABCD與四邊形相似圖形，且A與、B與、C與是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，AB＝10、BC＝8、CD＝８、AD＝６、，求四邊形的其余三邊的邊長(zhǎng)及周長(zhǎng)。6.正五邊形ABCDE∽正五邊形，且，假設(shè)，則CD＝＿＿＿eq\o\ac(○,2)相似多邊形對(duì)應(yīng)邊，周長(zhǎng)的比等于相似比，相似多邊形面積的比等于相似比的平方例5：如圖：在等腰梯形ABCD中，上底為5，下底為13，腰長(zhǎng)為5，等腰梯形與它相似，相似比為，求等腰梯形的周長(zhǎng)及面積。解：eq\o\ac(○,1)由得AB＝5、AD＝BC＝5、DC＝12等腰梯形ABCD的周長(zhǎng)為5+5+5+12＝28等腰梯形ABCD∽等腰梯形設(shè)等腰梯形周長(zhǎng)為l，則有即等腰梯形的周長(zhǎng)為42eq\o\ac(○,2)過(guò)A、B分別作、則EF＝AB＝5DE＝CF＝在Rt中，AD＝５、DE＝４AE＝３等腰梯形ABCD的面積為等腰梯形ABCD∽等腰梯形設(shè)等腰梯形面積為S，則有S＝即等腰梯形的面積為練習(xí)3：1、多邊形A與多邊形B相似，且多邊形A與多邊形B的周長(zhǎng)比為1：3，則＝＿＿＿2、兩個(gè)相似多邊形的相似比為5：7，假設(shè)較小的一個(gè)多邊形的周長(zhǎng)為35，則較大的一個(gè)多邊形的周長(zhǎng)為＿＿＿＿＿，假設(shè)較大的一個(gè)多邊形的面積是4，則較小的一個(gè)多邊形的面積是＿＿＿＿＿3、兩個(gè)相似多邊形的最長(zhǎng)邊分別是70和28，它們的周長(zhǎng)和為280，則它們的周長(zhǎng)分別為＿4、如果把一個(gè)12ｃｍ21ｃｍ的矩形按相似比為進(jìn)展變換，得到的新矩形的周長(zhǎng)為＿＿面積為＿＿＿＿5、兩個(gè)相似多邊形一組對(duì)應(yīng)邊的長(zhǎng)分別是3cm和4cm，它們的面積相差28，求這兩個(gè)多邊形的面積分別是多少？知識(shí)點(diǎn)五：相似三角形1、相似三角形的定義：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形。2、相似三角形的判定方法：〔1〕判定方法一：定義判定〔2〕判定方法二：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊〔或兩邊反向延長(zhǎng)線〕所構(gòu)成的三角形與原三角形相似例題6：如圖：DE//BC，交AB于D、交AC于E，假設(shè)AD：DB＝2：３，BC＝１５，求DE的長(zhǎng)解：DE//BC△ADE∽△ABCAD：DB＝2：３第1題圖DE：BC＝2：5第1題圖BC＝15DE＝6練習(xí)題4：1、如圖：DE//BC，則圖中________∽__________,理由是__________2、如圖：AB//EF//DC，則圖中相似三角形有_______對(duì)，它們分別是________3、如圖：在中，DE//BC，AD＝EC、BD＝1cm，AE＝4cm、BC＝5cm,求DE的長(zhǎng)第2題圖第2題圖4、如圖：AB//CD，OA：OD＝1：2，AB＝4cm，則CD的長(zhǎng)為〔〕A2cm B6cm C8cm D10cm5、如圖：AB//CD，則圖中有_______對(duì)相似三角形第4課時(shí)相似三角形的判定：【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．初步掌握“三組對(duì)應(yīng)邊的比相等的兩個(gè)三角形相似〞“兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且它們的夾角相等的兩個(gè)三角形相似〞兩角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形相似的判定方法．的判定方法，2．能夠運(yùn)用三角形相似的條件解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題．【學(xué)習(xí)重點(diǎn)】掌握3種判定方法，會(huì)運(yùn)用3種判定方法判定兩個(gè)三角形相似?！緦W(xué)習(xí)難點(diǎn)】〔1〕三角形相似的條件歸納、證明；〔2〕會(huì)準(zhǔn)確的運(yùn)用兩個(gè)三角形相似的條件來(lái)判定三角形是否相似．【學(xué)習(xí)過(guò)程】[知識(shí)回憶](méi)(1)兩個(gè)三角形全等有哪些判定方法？(2)我們學(xué)習(xí)過(guò)哪些判定三角形相似的方法？(3)相似三角形與全等三角形有怎樣的關(guān)系？探究研討1[活動(dòng)1]1、如圖，如果要判定△ABC與△A’B’C’相似，是不是一定需要一一驗(yàn)證所有的對(duì)應(yīng)角和對(duì)應(yīng)邊的關(guān)系？2、可否用類似于判定三角形全等的SSS方法，能否通過(guò)一個(gè)三角形的三條邊與另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)的比相等，來(lái)判定兩個(gè)三角形相似呢？[活動(dòng)2]任意畫(huà)一個(gè)三角形，再畫(huà)一個(gè)三角形，使它的各邊長(zhǎng)都是原來(lái)三角形各邊長(zhǎng)的k倍，度量這兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)角，它們相等嗎？這兩個(gè)三角形相似嗎？與同學(xué)交流一下，看看是否有同樣的結(jié)論?！?〕問(wèn)題：怎樣證明這個(gè)命題是正確的呢？〔2〕探求證明方法．〔、求證、證明〕如圖27.2-4，在△ABC和△A′B′C′中，，求證△ABC∽△A′B′C′證明：【歸納】三角形相似的判定方法1如果兩個(gè)三角形的三組對(duì)應(yīng)邊的比相等，則這兩個(gè)三角形相似．判定方法2：如果一個(gè)三角形的兩條邊與另外一個(gè)三角形的兩條邊對(duì)應(yīng)成比例，并且這兩條邊的夾角相等，則這兩個(gè)三角形相似，簡(jiǎn)單說(shuō)成：兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等，兩三角形相似。例1：如圖，在四邊形ABCD中，∠B=∠ACD，AB=6，BC=4，AC=5，CD=，求AD的長(zhǎng)．分析：由一對(duì)對(duì)應(yīng)角相等及四條邊長(zhǎng)，猜測(cè)應(yīng)用“兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且它們的夾角相等〞來(lái)證明．計(jì)算得出，結(jié)合∠B=∠ACD，證明△ABC∽△DCA，再利用相似三角形的定義得出關(guān)于AD的比例式，從而求出AD的長(zhǎng)．解：例題2：如圖：BC平分，AB＝4、BD＝10、BC＝，求證：△ABC∽△CBD證明：BC平分AB＝4、BD＝10、BC＝、△ABC∽△CBD三角形相似的判定方法3：如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，則這兩個(gè)三角形相似．簡(jiǎn)單說(shuō)成：“兩角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形相似〞假設(shè)則直角三角形相似判定方法：如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，這兩個(gè)直角三角形相似。簡(jiǎn)單說(shuō)成：斜邊與一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，則兩直角三角形相似。假設(shè)：則例3.：如圖，矩形ABCD中，E為BC上一點(diǎn)，DF⊥AE于F，假設(shè)AB=4，AD=5，AE=6，求DF的長(zhǎng)．〔分析：要求的是線段DF的長(zhǎng)，觀察圖形，我們發(fā)現(xiàn)AB、AD、AE和DF這四條線段分別在△ABE和△AFD中，因此只要證明這兩個(gè)三角形相似，再由相似三角形的性質(zhì)可以得到這四條線段對(duì)應(yīng)成比例，從而求得DF的長(zhǎng)．由于這兩個(gè)三角形都是直角三角形，故有一對(duì)直角相等，再找出另一對(duì)角對(duì)應(yīng)相等，即可用“兩角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形相似〞的判定方法來(lái)證明這兩個(gè)三角形相似．〕[穩(wěn)固練習(xí)]1、填一填〔1〕如圖3，點(diǎn)D在AB上，當(dāng)∠＝∠時(shí)，△ACD∽△ABC?！?〕如圖4，點(diǎn)E在AC上，假設(shè)點(diǎn)D在AB上，則滿足條件，就可以使△ADE與原△ABC相似。AABDC圖3ABCE圖42.。判斷與是否相似并說(shuō)明理由。 AB＝5cm AC=15cm3．以下說(shuō)法是否正確，并說(shuō)明理由．〔1〕有一個(gè)銳角相等的兩直角三角形是相似三角形；〔2〕有一個(gè)角相等的兩等腰三角形是相似三角形．4.在中，、AB＝8cm、AC=10cm、DE=4cm、DF=5cm當(dāng)______時(shí)△ABC∽△DE5如圖：正方形ABCD中，P是BC上一點(diǎn)，且BP＝3PC、Q是CD的中點(diǎn)，則____6．如果在△ABC中∠B=30°，AB=5㎝，AC=4㎝，在△A’B’C’中，∠B’=30°A’B’=10㎝，A’C’=8㎝，這兩個(gè)三角形一定相似嗎？試著畫(huà)一畫(huà)、看一看？7．如圖，△ABC中，點(diǎn)D、E、F分別是AB、BC、CA的中點(diǎn)，求證：△ABC∽△DEF．8.(1)如圖，△ABC中，點(diǎn)D在AB上，如果AC2=AD?AB，則△ACD與△ABC相似嗎？說(shuō)說(shuō)你的理由．〔2〕如圖，△ABC中，點(diǎn)D在AB上，如果∠ACD=∠B，則△ACD與△ABC相似嗎？[能力提升]1．如圖，AB?AC=AD?AE，且∠1=∠2，求證：△ABC∽△AED．2．：如圖，P為△ABC中線AD上的一點(diǎn)，且BD2=PD?AD，求證：△ADC∽△CDP．3、在△ABC和△A′B′C′中，如果∠A＝80°，∠C＝60°，∠A′＝80°，∠B′＝40°，則這兩個(gè)三角形是否相似？為什么？4、：如圖，△ABC的高AD、BE交于點(diǎn)F．求證：．5.：如圖，∠1=∠2=∠3，求證：△ABC∽△ADE．第5講相似三角形的性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)六：相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的性質(zhì)〔1〕相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比例題1：與相似，CE＝15、AE＝30、DE＝40、AD＝20、DE//BC，求的周長(zhǎng)解：DE//BC△ADE∽△ABC相似比CE＝15、AE＝30AE＝30、DE＝40、AD＝20的周長(zhǎng)為20+40+30＝90設(shè)周長(zhǎng)為l則有l(wèi)＝135即的周長(zhǎng)為135練習(xí)1：1、兩個(gè)相似三角形的相似比為3：5，則周長(zhǎng)比為_(kāi)_________2、兩個(gè)相似三角形的相似比的平方等于2，周長(zhǎng)之比為,則=__________3、兩個(gè)相似三角形一對(duì)對(duì)應(yīng)邊的長(zhǎng)分別為35cm和15cm，它們的周長(zhǎng)差為60cm，則這兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)分別是_____________4、如圖：在中，D、E、F分別是邊AB、BC、AC的中點(diǎn)，假設(shè)的周長(zhǎng)為20cm,則的周長(zhǎng)為〔〕A5cm B10cm C12cm D15cm5、如圖：在梯形ABCD中，AD//BC，AC與BD相交于O，假設(shè)與的周長(zhǎng)之比為1：4，且BD＝12cm，則BO的長(zhǎng)為_(kāi)_________cm相似三角形的性質(zhì)〔2〕：相似三角形的面積比等于相似比的平方例題2：兩個(gè)相似三角形一組對(duì)應(yīng)邊的長(zhǎng)分別是3cm和4.5cm，假設(shè)它們的面積和是78，則較大的三角形的面積是〔〕A42 B52 C54 D56練習(xí)2：相似三角形的周長(zhǎng)比等于________面積比等于___________兩個(gè)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比為1：2則它們的周長(zhǎng)比為_(kāi)_____面積比為_(kāi)_______3、△ABC∽△A`B`C`，它們的周長(zhǎng)分別為56cm、72cm，則它們的面積比為_(kāi)________4、在比例尺為1：1000的地圖上有一塊周長(zhǎng)為6cm，面積為1.2cm的區(qū)域，這塊區(qū)域的實(shí)際周長(zhǎng)為_(kāi)__________面積為_(kāi)_________5、如圖：在中，DE//FG//BC、且AD＝DF＝FB，則＝_______相似三角形的性質(zhì)〔3〕：相似三角形對(duì)應(yīng)邊上的高、對(duì)應(yīng)邊上的中線對(duì)應(yīng)邊上的角平分線的比等于相似比例題3：如圖：在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，E為AB的中點(diǎn)，BMCE、MNBE，求BM：MN解：四邊形ABCD正方形，邊長(zhǎng)為2，E是AB的中點(diǎn)BE＝1在中，BC＝2、BE＝1CE＝過(guò)點(diǎn)M作MNBE∽練習(xí)3：兩個(gè)相似三角形的對(duì)應(yīng)高的比為2：3，則對(duì)應(yīng)角平分線的比為_(kāi)_____,對(duì)應(yīng)中線的比為_(kāi)________,面積比為_(kāi)___________兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)角平分線的比為4：5，周長(zhǎng)和為18cm,則這兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)分別是____________假設(shè)△ABC∽△A`B`C`，它們對(duì)應(yīng)中線之比為m,則對(duì)應(yīng)周長(zhǎng)比為_(kāi)_____,對(duì)應(yīng)面積比為_(kāi)____如圖：在中，DE垂直且平分AC、AE//DF,則DF：BE＝________如圖：在中，DE//BC、與的相似比為5：4，交DE于M、MN＝2，求AN的長(zhǎng)。第6課時(shí)相似三角形應(yīng)用舉例〔一〕【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．進(jìn)一步穩(wěn)固相似三角形的知識(shí)．2．能夠運(yùn)用三角形相似的知識(shí)，解決不能直接測(cè)量物體的長(zhǎng)度和高度〔如測(cè)量金字塔高度問(wèn)題、測(cè)量河寬問(wèn)題、盲區(qū)問(wèn)題〕等的一些實(shí)際問(wèn)題．3.通過(guò)把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成有關(guān)相似三角形的數(shù)學(xué)模型，進(jìn)一步了解數(shù)學(xué)建模的思想，培養(yǎng)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力．【學(xué)習(xí)重點(diǎn)】運(yùn)用三角形相似的知識(shí)計(jì)算不能直接測(cè)量物體的長(zhǎng)度和高度．【學(xué)習(xí)難點(diǎn)】靈活運(yùn)用三角形相似的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題【學(xué)習(xí)過(guò)程】[知識(shí)回憶](méi)1、判斷兩三角形相似有哪些方法"2、相似三角形有什么性質(zhì)？探究研討11、問(wèn)題1：學(xué)校操場(chǎng)上的國(guó)旗旗桿的高度是多少？你有什么方法測(cè)量？例3：據(jù)史料記載，古希臘數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家泰勒斯曾經(jīng)利用相似三角形的原理，在金字塔影子的頂部立一根木桿，借助太線構(gòu)成的兩個(gè)相似三角形來(lái)測(cè)量金字塔的高度．如圖，如果木桿EF長(zhǎng)2m，它的影長(zhǎng)FD為3m，測(cè)得OA為201m，求金字塔的高度BO．〔思考如何測(cè)出OA的長(zhǎng)？〕分析：根據(jù)太的光線是互相平行的特點(diǎn)，可知在同一時(shí)刻的下，豎直的兩個(gè)物體的影子互相平行，從而構(gòu)造相似三角形，再利用相似三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)條件，求出金字塔的高度．解：[穩(wěn)固練習(xí)]在*一時(shí)刻，有人測(cè)得一高為1.8米的竹竿的影長(zhǎng)為3米，*一高樓的影長(zhǎng)為90米，則高樓的高度是多少米"〔在同一時(shí)刻物體的高度與它的影長(zhǎng)成正比例．〕探究研討2左、右并排的兩棵大樹(shù)的高分別是AB=8m和CD=12m，兩樹(shù)根部的距離BD=5m．一個(gè)身高1.6m的人沿著正對(duì)這兩棵樹(shù)的一條水平直路l從左向右前進(jìn)，當(dāng)他與左邊較低的樹(shù)的距離小于多少時(shí)，就不能看到右邊較高的樹(shù)的頂端點(diǎn)C？左邊較低的樹(shù)的距離小于多少時(shí)，就不能看到右邊較高的樹(shù)的頂端點(diǎn)C？解：注意：認(rèn)真體會(huì)這一生活實(shí)際中常見(jiàn)的場(chǎng)景，借助圖形把這一實(shí)際中常見(jiàn)的場(chǎng)景，抽象成數(shù)學(xué)圖形，利用相似的性質(zhì)解決這一實(shí)際問(wèn)題，圖形可以滯后給出，先經(jīng)歷這一抽象的過(guò)程．如果你們對(duì)于如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述有一定的困難，應(yīng)與教師一起認(rèn)真板書(shū)解答過(guò)程．經(jīng)典例題例題1：小強(qiáng)用以下方法來(lái)測(cè)量教學(xué)樓AB的高度，如下圖：在水平地面上放一面平面鏡與教學(xué)樓的距離EA=21m，當(dāng)他與鏡子的距離CE=2.5m時(shí)，他剛好能從鏡子中看到教學(xué)大樓的頂端B，他眼睛距地面的高度DC=1.6m，請(qǐng)你幫助小強(qiáng)計(jì)算出教學(xué)樓的高度AB為多少米？解：由題意可知、EA=21m、CE=2.5m、DC=1.6mAB=13.44m即教學(xué)大樓的高度AB是13.44m例題2：如圖，為了估算河的寬度，我們可以在河對(duì)岸選定一個(gè)目標(biāo)P，在近岸取點(diǎn)Q和S，使點(diǎn)P、Q、S共線且直線PS與河垂直，接著在過(guò)點(diǎn)S且與PS垂直的直線a上選擇適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)T，確定PT與過(guò)點(diǎn)Q且垂直P(pán)S的直線b的交點(diǎn)R．如果測(cè)得QS=45m，ST=90m，QR=60m，求河的寬度PQ．分析：設(shè)河寬PQ長(zhǎng)為*m，由于此種測(cè)量方法構(gòu)造了三角形中的平行截線，故可得到相似三角形，因此有，即．再解*的方程可求出河寬．解：例題3：小強(qiáng)用以下方法來(lái)測(cè)量教學(xué)樓AB的高度，如下圖：在水平地面上放一面平面鏡與教學(xué)樓的距離EA=21m，當(dāng)他與鏡子的距離CE=2.5m時(shí)，他剛好能從鏡子中看到教學(xué)大樓的頂端B，他眼睛距地面的高度DC=1.6m，請(qǐng)你幫助小強(qiáng)計(jì)算出教學(xué)樓的高度AB為多少米？解：由題意可知、EA=21m、CE=2.5m、DC=1.6mAB=13.44m即教學(xué)大樓的高度AB是13.44m練習(xí)：第1題圖如圖：AB為樹(shù)、AC是它的影長(zhǎng)，AD是一段樹(shù)干，AD的影長(zhǎng)為AE，AC=8m、AE=2m、AD=1.5m,求樹(shù)高AB的長(zhǎng)第1題圖2.如圖，測(cè)得BD=120m，DC=60m，EC=50m，求河寬AB。[能力提高]ABCD1.為了測(cè)量一池塘的寬AB,在岸邊找到了一點(diǎn)C,使AC⊥ABCDE第1題圖2、如圖，一條河的兩岸有一段是平行的，在河的南岸邊每隔5米有一棵樹(shù)，在北岸邊每隔50米有一根電線桿．小麗站在離南岸邊15米的點(diǎn)處看北岸，發(fā)現(xiàn)北岸相鄰的兩根電線桿恰好被南岸的兩棵樹(shù)遮住，并且在這兩棵樹(shù)之間還有三棵樹(shù)，則河寬為米．第3題圖第3題圖第2題圖3、馬戲團(tuán)讓獅子和公雞表演蹺蹺板節(jié)目，如圖：蹺蹺板支柱AB的高度為1.2米，〔1〕假設(shè)吊環(huán)高度為2米，支點(diǎn)A為PQ中點(diǎn)獅子能否將公雞送到吊環(huán)上？為什么？〔2〕假設(shè)吊環(huán)高度為3.6米，在不改變其他條件的前提下，移動(dòng)支柱，當(dāng)支點(diǎn)A移到PQ的什么位置時(shí)，獅子剛好能將公雞送到吊環(huán)上？第4題圖4.*社區(qū)擬籌資金2000元，方案在一塊上、下底分別為10m、20m的梯形空地上種植花木，如圖：他們想在和地帶種植價(jià)格為10元/m2的太陽(yáng)花，當(dāng)?shù)貛ХN滿花后已經(jīng)花了500元，請(qǐng)預(yù)算一下，假設(shè)繼續(xù)在地帶種植同樣的太陽(yáng)花，資金地否夠用？并說(shuō)明理由。第4題圖5、樂(lè)同學(xué)要在校園里測(cè)量一棵大樹(shù)的高度，他發(fā)現(xiàn)樹(shù)旁有一根高2.5m的電線桿，當(dāng)他與大樹(shù)和電線桿站在同一條直線上時(shí)，其前后距離，恰好使他的頭頂、樹(shù)頂、電線桿的頂點(diǎn)也都在一條直線上，他又用皮尺量得他和電線桿之間的水平距離為3m，電線桿與樹(shù)間的水平距離為10m，同時(shí)他借助他1.7m的身高，確定了樹(shù)的高度，你能分析他是如何計(jì)算出來(lái)的嗎？6、小明想利用樹(shù)影測(cè)量樹(shù)高，他在*一時(shí)刻測(cè)得長(zhǎng)為1m的竹竿影長(zhǎng)0.9m，但當(dāng)他馬上測(cè)量樹(shù)影時(shí)，因樹(shù)靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一局部影子在墻上，如圖，他先測(cè)得留在墻上的影高1.2m，又測(cè)得地面局部的影長(zhǎng)2.7m，他求得的樹(shù)高是多少？第8課時(shí)位似〔一〕【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、了解位似圖形及其有關(guān)概念，了解位似與相似的聯(lián)系和區(qū)別，掌握位似圖形的性質(zhì)．2、掌握位似圖形的畫(huà)法，能夠利用作位似圖形的方法將一個(gè)圖形放大或縮?。緦W(xué)習(xí)重點(diǎn)】位似圖形的有關(guān)概念、性質(zhì)與作圖．【學(xué)習(xí)難點(diǎn)】利用位似將一個(gè)圖形放大或縮?。緦W(xué)習(xí)過(guò)程】[探究研討][活動(dòng)1]提出問(wèn)題：生活中我們經(jīng)常把自己好看的照片放大或縮小，由于沒(méi)有改變圖形的形狀，我們得到的照片是真實(shí)的.觀察圖27.3-2圖中有多邊形相似嗎？如果有，則這種相似什么共同的特征？圖27.3-2通過(guò)觀察了解到有一類相似圖形，除具備相似的所有性質(zhì)外，還有其特性，學(xué)生自己歸納出位似圖形的概念：如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且是每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線相交于一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊互相平行，則這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形.這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心.這時(shí)的相似比又稱為相似比.〔位似中心可在形上、形外、形.)知識(shí)點(diǎn)八：位似位似的定義：兩個(gè)多邊形不僅相似，而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線交于一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊互相平行的兩個(gè)圖形叫做位似圖形。交點(diǎn)叫做位似中心。每對(duì)位似對(duì)應(yīng)點(diǎn)與位似中心共線；不經(jīng)過(guò)位似中心的對(duì)應(yīng)線段平行．位似的性質(zhì)：位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)和位似中心在同一條直線上，它們到位似中心的比等于相似比3、利用位似，可以將一個(gè)圖形放大或縮小4、位似變換與坐標(biāo)的關(guān)系在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為中心，相似比為，則位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于或例題1：和是位似圖形，請(qǐng)找出位似中心A例2：把圖1中的四邊形ABCD縮小到原來(lái)的．分析：把原圖形縮小到原來(lái)的，也就是使新圖形上各頂點(diǎn)到位似中心的距離與原圖形各對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)到位似中心的距離之比為1∶2．作法一：〔1〕在四邊形ABCD外任取一點(diǎn)O；〔2〕過(guò)點(diǎn)O分別作射線OA，OB，OC，OD；〔3〕分別在射線OA，OB，OC，OD上取點(diǎn)A′、B′、C′、D′，使得；〔4〕順次連接A′B′、B′C′、C′D′、D′A′，得到所要畫(huà)的四邊形A′B′C′D′，如圖2．問(wèn)：此題目還可以如何畫(huà)出圖形？作法二：〔1〕在四邊形ABCD外任取一點(diǎn)O；〔2〕過(guò)點(diǎn)O分別作射線OA，OB，OC，OD；〔3〕分別在射線OA，OB，OC，OD的反向延長(zhǎng)線上取點(diǎn)A′、B′、C′、D′，使得；〔4〕順次連接A′B′、B′C′、C′D′、D′A′，得到所要畫(huà)的四邊形A′B′C′D′，如圖3．作法三：〔1〕在四邊形ABCD任取一點(diǎn)O；〔2〕過(guò)點(diǎn)O分別作射線OA，OB，OC，OD；〔3〕分別在射線OA，OB，OC，OD上取點(diǎn)A′、B′、C′、D′，使得；〔4〕順次連接A′B′、B′C′、C′D′、D′A′，得到所要畫(huà)的四邊形A′B′C′D′，如圖4．〔當(dāng)點(diǎn)O在四邊形ABCD的一條邊上或在四邊形ABCD的一個(gè)頂點(diǎn)上時(shí)，作法略——可以讓學(xué)生自己完成〕例題3：如圖：五邊形ABCDE與五邊形是位似圖形，O為位似中心、OD＝，則為〔D〕A2:3 B3:2 C1:2 D2:1例題4：三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為、、、畫(huà)出它的以原點(diǎn)為位似中心，相似比為的位似圖形。解：eq\o\ac(○,1)相似比為點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為即類似的可以確定其他頂點(diǎn)的坐標(biāo)即即eq\o\ac(○,2)相似比為點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為即類似的可以確定其他頂點(diǎn)的坐標(biāo)運(yùn)用位似圖形的有關(guān)概念解決具體問(wèn)題例題5：印刷一矩形的貼廣告，如下圖，它的印刷面積是32dm，上下各空白1dm，兩邊各空白0.5dm，設(shè)印刷局部從上到下的長(zhǎng)是dm，四周空白處的面積為S〔1〕求S和*的關(guān)系式;〔2〕當(dāng)要求四周空白處的面積為18,求用來(lái)印刷這廣告的紙的長(zhǎng)和寬各是多少？〔3〕在〔2〕的條件下，外兩個(gè)矩形的位似圖形嗎？說(shuō)明理由。解：〔1〕印刷局部是矩形，長(zhǎng)為，面積為32寬為矩形的長(zhǎng)為，寬為〔2〕當(dāng)S=18時(shí)，則解得，即即用來(lái)印刷這廣告的紙長(zhǎng)為10dm，寬為5dm〔3〕外兩個(gè)矩形是位似圖形，因?yàn)閮删匦蜗嗨?，且?duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線都經(jīng)過(guò)矩形中心，如下圖穩(wěn)固練習(xí)11．畫(huà)出所給圖中的位似中心．2.把右圖中的五邊形ABCDE擴(kuò)大到原來(lái)的2倍．[能力提升]1．：如圖，△ABC，畫(huà)△A′B′C′，使△A′B′C′∽△ABC，且使相似比為1.5，要求〔1〕位似中心在△ABC的外部；〔2〕位似中心在△ABC的部；〔3〕位似中心在△ABC的一條邊上；〔4〕以點(diǎn)C為位似中心．練習(xí)2：如圖：△ADE∽△ABC，與_______位似圖形〔填“是〞或“不是〞〕利用位似圖形可以將一個(gè)圖形_________或___________以下說(shuō)確的()A相似的兩個(gè)正五邊形一定是位似圖形 B