河北省廊坊市香河縣2021-2022學(xué)年高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁河北省廊坊市香河縣2021-2022學(xué)年高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題第I卷（選擇題）請點(diǎn)擊修改第I卷的文字說明評卷人得分一、單選題1．已知全集，函數(shù)的定義域?yàn)镸，集合，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．2．下列說法中正確的是（

）A．“”是“”的必要不充分條件B．命題“對，恒有”的否定是“，使得”C．在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱D．若冪函數(shù)過點(diǎn)，則3．隨著人們生活水平的提高，產(chǎn)生的垃圾也越來越多，而進(jìn)行垃圾分類管理能將這些垃圾轉(zhuǎn)化為新能源，同時(shí)還能讓這些垃圾得到有效的處理，這樣能減少對土壤的危害，防止污染空氣，但是人們對垃圾分類知識了解不多，所以某社區(qū)通過公益講座的形式對社區(qū)居民普及垃圾分類知識，為了解講座的效果，隨機(jī)抽取了10位社區(qū)居民，讓他們在講座前和講座后各回答一份垃圾分類知識問卷，這10位社區(qū)居民在講座前和講座后問卷答題的正確率如下圖所示，則（

）A．講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)小于B．講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于C．講座前問卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差小于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差D．講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差4．如圖所示，在長方體中，，點(diǎn)E是棱的中點(diǎn)，則點(diǎn)E到平面的距離為（

）A．1 B． C． D．5．函數(shù)的圖像可能是A． B．C． D．6．某病毒研究所為了更好地研究“新冠”病毒，計(jì)劃改建十個(gè)實(shí)驗(yàn)室，每個(gè)實(shí)驗(yàn)室的改建費(fèi)用分為裝修費(fèi)和設(shè)備費(fèi)，每個(gè)實(shí)驗(yàn)室的裝修費(fèi)都一樣，設(shè)備費(fèi)從第一到第十實(shí)驗(yàn)室依次構(gòu)成等比數(shù)列，已知第五實(shí)驗(yàn)室比第二實(shí)驗(yàn)室的改建費(fèi)用高42萬元，第七實(shí)驗(yàn)室比第四實(shí)驗(yàn)室的改建費(fèi)用高168萬元，并要求每個(gè)實(shí)驗(yàn)室改建費(fèi)用不能超過1700萬元.則該研究所改建這十個(gè)實(shí)驗(yàn)室投入的總費(fèi)用最多需要A．3233萬元 B．4706萬元 C．4709萬元 D．4808萬元7．已知的兩個(gè)極值點(diǎn)分別為且，則函數(shù)A． B． C．1 D．與b有關(guān)8．高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，例如：，，已知函數(shù)，，則下列敘述正確的是（

）A．是偶函數(shù) B．在上是增函數(shù)C．的值域是 D．的值域是評卷人得分二、多選題9．已知復(fù)數(shù)，為z的共軛復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．對應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面的第二象限 B．C．的實(shí)部為 D．的虛部為10．在中，點(diǎn)滿足，當(dāng)點(diǎn)在線段上（不含點(diǎn)）移動(dòng)時(shí)，記，則（

）A． B．C．的最小值為 D．的最小值為11．已知正數(shù)，滿足，則（

）A． B．C． D．12．已知函數(shù)，以下結(jié)論中正確的是（

）A．是偶函數(shù) B．有無數(shù)個(gè)零點(diǎn)C．的最小值為 D．的最大值為1第II卷（非選擇題）請點(diǎn)擊修改第II卷的文字說明評卷人得分三、填空題13．已知隨機(jī)變量，則________.14．寫出一個(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì)①②的函數(shù)__________.①；

②.15．若實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為____.評卷人得分四、雙空題16．倡導(dǎo)環(huán)保意識、生態(tài)意識，構(gòu)建全社會(huì)共同參與的環(huán)境治理體系，讓生態(tài)環(huán)保思想成為社會(huì)生活中的主流文化.為使排放的廢氣中含有的污染物量減少，某化工企業(yè)探索改良工藝，已知改良前所排放的廢氣中含有的污染物量為，首次改良后所排放的廢氣中含有的污染物量為.設(shè)改良前所排放的廢氣中含有的污染物量為（單位：），首次改良后所排放的廢氣中含有的污染物量為（單位：），則第n次改良后所排放的廢氣中的污染物量（單位：）滿足函數(shù)模型.（1）_________；（2）依據(jù)當(dāng)?shù)丨h(huán)保要求，企業(yè)所排放的廢氣中含有的污染物量不能超過，則至少進(jìn)行____________次改良才能使該企業(yè)所排放的廢氣中含有的污染物量達(dá)標(biāo).（參考數(shù)據(jù)：）評卷人得分五、解答題17．已知，設(shè).(1)若“”是“”的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若“”是“”的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.18．已知是定義在上的奇函數(shù)，且，若，且時(shí)，有恒成立．（Ⅰ）用定義證明函數(shù)在上是增函數(shù)；（Ⅱ）解不等式：；（Ⅲ）若對所有恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．19．某校為了解高三學(xué)生周末在家學(xué)習(xí)情況，隨機(jī)抽取高三年級甲?乙兩班學(xué)生進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)問卷調(diào)查，統(tǒng)計(jì)了甲?乙兩班各40人每天的學(xué)習(xí)時(shí)間(單位：小時(shí))，并將樣本數(shù)據(jù)分成，，，，五組，整理得到如下頻率分布直方圖：（1）將學(xué)習(xí)時(shí)間不少于6小時(shí)和少于6小時(shí)的學(xué)生數(shù)填入下面的列聯(lián)表：不少于6小時(shí)少于6小時(shí)總計(jì)甲班乙班總計(jì)能以95%的把握認(rèn)為學(xué)習(xí)時(shí)間不少于6小時(shí)與班級有關(guān)嗎？為什么？（2）此次問卷調(diào)查甲班學(xué)生的學(xué)習(xí)時(shí)間大致滿足，其中等于甲班學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)間的平均數(shù)，求甲班學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)間在區(qū)間的概率.參考公式：，.參考數(shù)據(jù)①：②若，則，.20．△ABC中，內(nèi)角為A，B，C，所對的三邊分別是a，b，c，已知，．（1）求；（2）設(shè)·,求．21．已知（Ⅰ）求函數(shù)上的最小值；（Ⅱ）若對一切恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（Ⅲ）證明：對一切，都有成立.22．已知函數(shù)，.（1）若在處取得極值，求的值；（2）設(shè)，試討論函數(shù)的單調(diào)性；（3）當(dāng)時(shí)，若存在正實(shí)數(shù)滿足，求證：.答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁參考答案：1．A【解析】【分析】求出，，或，然后根據(jù)集合的運(yùn)算逐項(xiàng)判斷可得答案.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，集合，而或，對于A，，故正確；對于B，

，故錯(cuò)誤；對于C，或，故錯(cuò)誤；

對于D，由，或，所以不是的子集，故錯(cuò)誤.故選：A.2．D【解析】【分析】根據(jù)從充分必要條件判斷A選項(xiàng)；利用全稱命題的否定形式判斷B選項(xiàng)；利用對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系判斷C選項(xiàng)；由冪函數(shù)的定義求參數(shù)即可判斷D選項(xiàng).【詳解】對于A選項(xiàng)：“”是“”的充分不必要條件，所以A選項(xiàng)不正確；對于B選項(xiàng)：命題“對，恒有”的否定是“，使得”，所以B選項(xiàng)不正確；對于C選項(xiàng)：在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱，所以C選項(xiàng)不正確；對于D選項(xiàng)：因?yàn)閮绾瘮?shù)過點(diǎn)，所以，且，解得，即，所以D選項(xiàng)正確；故選：D.3．B【解析】【分析】對于A，求出講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)進(jìn)行判斷；對于B，求出講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)進(jìn)行判斷；對于C，由圖形知講座前問卷答題的正確率相對分散，講座后問卷答題的正確率相對集中，進(jìn)行判斷；對于D，求出講座后問卷答題的正確率的極差和講座前正確率的極差，由此判斷D．【詳解】解：對于A，講座前問卷答題的正確率從小到大為：，，，，，，，，，，講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)為：，故A錯(cuò)誤；對于B，講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)為：，故B正確；對于C，由圖形知講座前問卷答題的正確率相對分散，講座后問卷答題的正確率相對集中，講座前問卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差大于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差，故C錯(cuò)誤；對于D，講座后問卷答題的正確率的極差為：，講座前正確率的極差為：，講座后問卷答題的正確率的極差小于講座前正確率的極差，故D錯(cuò)誤．故選：B.4．B【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)E到平面的距離為h，根據(jù)，利用等體積法即可得出答案.【詳解】解：設(shè)點(diǎn)E到平面的距離為h，因?yàn)辄c(diǎn)E是棱的中點(diǎn)，所以點(diǎn)E到平面的距離等于點(diǎn)B到平面的距離的一半，又平面過的中點(diǎn)，所以點(diǎn)B到平面的距離等于點(diǎn)D到平面的距離，由等體積法，所以，，，在中，，所以，則解得，即點(diǎn)E到平面的距離為.故選：B.5．A【解析】【分析】判斷函數(shù)的奇偶性和對稱性，利用特征值的符號是否一致進(jìn)行排除即可．【詳解】解：f（﹣x）f（x），則函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，排除B，D，函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠0且x≠±1}，由f（x）＝0得sinx＝0，得距離原點(diǎn)最近的零點(diǎn)為π，則f（）0，排除C，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)圖象的識別和判斷，利用對稱性以及特殊值進(jìn)行排除是解決本題的關(guān)鍵．6．C【解析】【分析】設(shè)備費(fèi)為萬元，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得，由此可求出；設(shè)每個(gè)實(shí)驗(yàn)室的裝修費(fèi)用為萬元，由題意可知，即，再根據(jù)等比數(shù)列前項(xiàng)和，即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)每個(gè)實(shí)驗(yàn)室的裝修費(fèi)用為萬元，設(shè)備費(fèi)為萬元，則所以解得故.依題意，即.所以總費(fèi)用為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)和等比數(shù)列的前和公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.7．B【解析】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用韋達(dá)定理得到滿足的方程組，解方程組可以得到，從而可求．【詳解】，故，，且，又，所以，故，解得（舎）或者．此時(shí)，，故故選B．【點(diǎn)睛】如果在處及附近可導(dǎo)且的左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的符號發(fā)生變化，則必為函數(shù)的極值點(diǎn)且．極大值點(diǎn)、極小值點(diǎn)的判斷方法如下：（1）在的左側(cè)附近，有，在的右側(cè)附近，有，則為函數(shù)的極大值點(diǎn)；（2）在的左側(cè)附近，有，在的右側(cè)附近，有，則為函數(shù)的極小值點(diǎn)．8．B【解析】計(jì)算得出判斷選項(xiàng)A不正確；通過分離常數(shù)結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，可得出在R上是增函數(shù)，判斷選項(xiàng)B正確；由的范圍，利用不等式的關(guān)系，可求出，進(jìn)而判斷選項(xiàng)CD不正確，即可求得結(jié)果.【詳解】對于A，根據(jù)題意知，.∵，，，∴函數(shù)不是偶函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對于B，在上是增函數(shù)，則在上是減函數(shù)，則在上是增函數(shù)，故B正確；對于C，，，，即的值域是，故C錯(cuò)誤；對于D，的值域是，則的值域是，故D錯(cuò)誤.故選：B.【點(diǎn)睛】本題要注意對函數(shù)的新定義的理解，研究函數(shù)的單調(diào)性和值域常用分離常數(shù)，屬于較難題.9．BC【解析】【分析】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義及復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部的定義即可判斷CD；根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可判斷A；根據(jù)復(fù)數(shù)的模的計(jì)算公式可判斷B.【詳解】解：因?yàn)?，所以，所以，即?shí)部為，虛部為，對應(yīng)的點(diǎn)為在第三象限，，故AD錯(cuò)誤；BC正確.故選：BC.10．BC【解析】【分析】根據(jù)中點(diǎn)和向量共線，可得，進(jìn)而可得，的關(guān)系，然后根據(jù)基本不等式以及對勾函數(shù)可求最小值.【詳解】是中點(diǎn),則,又點(diǎn)在線段上,即三點(diǎn)共線,設(shè),故,.故B對A錯(cuò).,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),即,故C對.在上單調(diào)遞減，當(dāng)取最小值，故D錯(cuò).故答案為：BC11．AC【解析】【分析】令，根據(jù)指對互化和換底公式得：，再依次討論各選項(xiàng)即可.【詳解】由題意，可令，由指對互化得：，由換底公式得：，則有，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)A，，所以，又，所以，所以，故選項(xiàng)A正確；對于選項(xiàng)C?D，因?yàn)?，所以，所以，所以，則，則，所以選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選：AC.【點(diǎn)睛】本題考查指對數(shù)的運(yùn)算，換底公式，作差法比較大小等，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.本題解題的關(guān)鍵在于令，進(jìn)而得，再根據(jù)題意求解.12．ABD【解析】【分析】利用函數(shù)的性質(zhì)，三角函數(shù)的性質(zhì)及導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性及極值，及最值關(guān)系檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷.【詳解】對于A選項(xiàng)：因?yàn)榈亩x域?yàn)?，則，所以是偶函數(shù)，A選項(xiàng)正確；對于B選項(xiàng)：令，則，所以，解得，所以有無數(shù)個(gè)零點(diǎn)，B選項(xiàng)正確；對于C選項(xiàng)：因?yàn)椋匀舻淖钚≈禐?，則是的一個(gè)極小值點(diǎn)，而，則，不是函數(shù)的極小值點(diǎn)，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于D選項(xiàng)：因?yàn)?，?dāng)時(shí)，取到最大值1，取到最小值1，所以此時(shí)取到最大值1，D選項(xiàng)正確；故選：ABD.13．##【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布的概率公式求出，再根據(jù)二項(xiàng)分布的方差公式計(jì)算可得.【詳解】解：隨機(jī)變量，則，即，所以，而.故答案為：14．（答案不唯一）【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的的單調(diào)性和奇偶性求出函數(shù)的解析式即可.【詳解】解：若，則，滿足性質(zhì)①；，滿足性質(zhì)②.故答案為：（答案不唯一）15．4【解析】【分析】由已知可知，2（a﹣1）+b﹣2＝2，從而有（）[2（a﹣1）+b﹣2]，利用基本不等式可求最小值.【詳解】解：∵a＞1，b＞2滿足2a+b﹣6＝0，∴2（a﹣1）+b﹣2＝2，a﹣1＞0，b﹣2＞0，則（）[2（a﹣1）+b﹣2]，（4），當(dāng)且僅當(dāng)且2a+b﹣6＝0即a，b＝3時(shí)取得最小值為4．故答案為4．【點(diǎn)睛】本題主要考查了基本不等式求解最值的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是配湊基本不等式的應(yīng)用條件．16．

6【解析】【分析】（1）先由，求出，即可得到的表達(dá)式；（2）由題意可得，兩邊取對數(shù)，解不等式得到，即可得到答案.【詳解】（1）由題意得，所以當(dāng)時(shí)，，即，解得，所以.（2）由題意可得，整理得，即，可得，即，由，得，又，所以，故至少進(jìn)行6次改良才能使該企業(yè)所排放的廢氣中含有的污染物量達(dá)標(biāo).故答案為：；6.17．(1)(2)【解析】【分析】（1）先分別解出集合，，由“”是“”的充分不必要條件，得到，列不等式，即可求得；（2）先求出，由“”是“”的必要不充分條件，得到，即可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.（1）（1）因?yàn)椋獾茫?，所?又因?yàn)?，即，所以或，即，因?yàn)椤啊笔恰啊钡某浞植槐匾獥l件，則有，所以有，即且，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.（2）因?yàn)?，所以，又“”是“”的必要不充分條件，則，即，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.18．（Ⅰ）見解析

（Ⅱ）

（Ⅲ）或【解析】【詳解】試題分析：（Ⅰ）由在上是增函數(shù)；（Ⅱ）原不等式可化為，解得

；（Ⅲ）原命題轉(zhuǎn)化為恒成立的取值范圍為或.試題解析：（Ⅰ）證明：設(shè)任意且，由于是定義在上的奇函數(shù)，∴因?yàn)?，所以，由已知?∵，∴，即，所以函數(shù)在上是增函數(shù).

（Ⅱ）由不等式得，解得

（Ⅲ）由以上知最大值為，所以要使對所有，只需恒成立，得實(shí)數(shù)m的取值范圍為或.19．（1）列聯(lián)表答案見解析，沒有95%的把握認(rèn)為學(xué)習(xí)時(shí)間不少于6小時(shí)與班級有關(guān)，理由見解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用頻率分布直方圖計(jì)算出甲班學(xué)習(xí)時(shí)間不少于6小時(shí)的人數(shù)和乙班學(xué)習(xí)時(shí)間不少于6小時(shí)的人數(shù)，可得列聯(lián)表；計(jì)算，對照臨界值表可得結(jié)果；（2）根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算，再根據(jù)計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】（1）由頻率分布直方圖可知，甲班學(xué)習(xí)時(shí)間不少于6小時(shí)的人數(shù)為：人，則甲班學(xué)習(xí)時(shí)間少于6小時(shí)的人數(shù)為28人；同理得乙班學(xué)習(xí)時(shí)間不少于6小時(shí)的人數(shù)為人，則甲班學(xué)習(xí)時(shí)間少于6小時(shí)的人數(shù)為22人.由此得到列聯(lián)表：不少于6小時(shí)少于6小時(shí)總計(jì)甲班122840乙班182240總計(jì)305080因?yàn)椋詻]有95%的把握認(rèn)為學(xué)習(xí)時(shí)間不少于6小時(shí)與班級有關(guān).（2）甲班學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)間的平均數(shù).，所以.即甲班學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)間在區(qū)間的概率為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：（1）中掌握獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想是解題關(guān)鍵；（2）中利用正態(tài)分布的兩個(gè)特殊概率求解是解題關(guān)鍵.20．（1）；（2）．【解析】【詳解】試題分析：（1）根據(jù)條件，采取化角的策略，由正弦定理得：，又，所以，所以，展開兩邊同除以即可；（2）因?yàn)椤ぃ?，則，由余弦定理得，所以，．試題解析：（1）∴（2）∵·，∴，則∴∴，考點(diǎn)：1、正弦定理；2、余弦定理；3、兩角和正弦公式；4、數(shù)量積公式．21．（I）；（Ⅱ）；（Ⅲ）證明見解析.【解析】【分析】（I）求出，分別令得增區(qū)間，得減區(qū)間，分三種情況討論，從而可得函數(shù)在區(qū)間上的最小值；（Ⅱ）等價(jià)于，只需以即可；（Ⅲ）問題等價(jià)于證明，由的最小值是，最大值為.【詳解】（I），當(dāng)，，單調(diào)遞減，當(dāng)，，單調(diào)遞增．①無解；②，即時(shí)，；③，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，，所以．（Ⅱ），則，設(shè)，則，，，單調(diào)遞增，，，單調(diào)遞減，所以，因?yàn)閷σ磺?，恒成立，所以；（Ⅲ）問題等價(jià)于證明，由⑴可知的最小值是，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到，設(shè)，則，易得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到，從而對一切，都有成立．22．（1）．（2）見解析（3）見解析【解析】【分析】（Ⅰ）由題意，求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)，即可求解；（Ⅱ）由