高中數(shù)學(xué)中的小概率事件+教學(xué)反思

高中數(shù)學(xué)中的小概率事件小概率事件的概念在概率論中我們把概率很接近于0，（即在大量重復(fù)試驗(yàn)中出現(xiàn)的頻率非常低）的事件稱為小概率事件，一般多采用0.01~0.05兩個(gè)值，即事件發(fā)生的概率在0.01以下或0.05以下的事件（P≤0．05或P≤0．01），稱為小概率事件，這兩個(gè)值稱為小概率標(biāo)準(zhǔn)。在正態(tài)分布中σ代表標(biāo)準(zhǔn)差,μ代表均值x=μ即為圖像的對(duì)稱軸。隨機(jī)變量出現(xiàn)在期望減3倍標(biāo)準(zhǔn)差到期望加3倍標(biāo)準(zhǔn)差區(qū)間內(nèi)的概率是0.9975，即3σ原則：數(shù)值分布在（μ—σ,μ+σ)中的概率為0.6526數(shù)值分布在（μ—2σ,μ+2σ)中的概率為0.9544數(shù)值分布在（μ—3σ,μ+3σ)中的概率為0.9974可以認(rèn)為，Y的取值幾乎全部集中在（μ-3σ,μ+3σ)]區(qū)間內(nèi)，超出這個(gè)范圍的可能性僅占不到0.3%，所以出現(xiàn)在此區(qū)間外的事件是小概率事件。小概率事件發(fā)生的概率很小，那么它在一次試驗(yàn)中實(shí)際幾乎不會(huì)發(fā)生，在數(shù)學(xué)上，我們稱這個(gè)原理為小概率事件原理。小概率事件原理是概率論中具有實(shí)際應(yīng)用意義的基本理論，例如，若事件A是小概率事件，但在一次或少數(shù)次試驗(yàn)中小概率事件A居然發(fā)生了，就有理由認(rèn)為情況不正常，事件A不應(yīng)該發(fā)生。小概率事件的應(yīng)用直接應(yīng)用小概率的臨界值 解析：μ=0.1×2+0.2×6+0.4×10+0.2×14+0.1×18=10σ2=2×(82×0.1+42×0.2)+(10-10)×0.4=19.2μ+σ=10+4.38=14.38設(shè)10名乘客中有3名乘客候車時(shí)間超過(guò)15分鐘的事件為A。P(X>14.38)=(1-0.6826)/2=0.1587P(A)=C103(0.1587)3(0.8413)7≈利用小概率事件與不可能事件的區(qū)別小概率事件幾乎不可能發(fā)生，但這并不說(shuō)明它不會(huì)發(fā)生，只要獨(dú)立的試驗(yàn)次數(shù)無(wú)限增多，那么小概率事件就會(huì)發(fā)生，所以小概率事件不是不可能事件。例題：改革開(kāi)放以來(lái)，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變．近年來(lái)，移動(dòng)支付已成為主要支付方式之一．為了解某校學(xué)生上個(gè)月A，B兩種移動(dòng)支付方式的使用情況，從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人，發(fā)現(xiàn)樣本中A，B兩種支付方式都不使用的有5人，樣本中僅使用A和僅使用B的學(xué)生的支付金額分布情況如下：支付金額（元）支付方式（0，1000]（1000，2000]大于2000僅使用A18人9人3人僅使用B10人14人1人（Ⅰ）從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)該學(xué)生上個(gè)月A，B兩種支付方式都使用的概率；（Ⅱ）從樣本僅使用A和僅使用B的學(xué)生中各隨機(jī)抽取1人，以X表示這2人中上個(gè)月支付金額大于1000元的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（Ⅲ）已知上個(gè)月樣本學(xué)生的支付方式在本月沒(méi)有變化．現(xiàn)從樣本僅使用A的學(xué)生中，隨機(jī)抽查3人，發(fā)現(xiàn)他們本月的支付金額都大于2000元．根據(jù)抽查結(jié)果，能否認(rèn)為樣本僅使用A的學(xué)生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化？說(shuō)明理由．解析：（Ⅰ）由題意知，樣本中僅使用A的學(xué)生有18+9+3=30人，僅使用B的學(xué)生有10+14+1=25人，A，B兩種支付方式都不使用的學(xué)生有5人.故樣本中A，B兩種支付方式都使用的學(xué)生有100?30?25?5=40人.所以從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，該學(xué)生上個(gè)月A，B兩種支付方式都使用的概率估計(jì)為.（Ⅱ）X的所有可能值為0，1，2.記事件C為“從樣本僅使用A的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，該學(xué)生上個(gè)月的支付金額大于1000元”，事件D為“從樣本僅使用B的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，該學(xué)生上個(gè)月的支付金額大于1000元”.由題設(shè)知，事件C，D相互獨(dú)立，且.所以，=0.4×（1?0.6）+（1?0.4）×0.6=0.52，.所以X的分布列為X012P0.240.520.24故X的數(shù)學(xué)期望E（X）=0×0.24+1×0.52+2×0.24=1.（Ⅲ）記事件E為“從樣本僅使用A的學(xué)生中隨機(jī)抽查3人，他們本月的支付金額都大于2000元”.假設(shè)樣本僅使用A的學(xué)生中，本月支付金額大于2000元的人數(shù)沒(méi)有變化，則由上個(gè)月的樣本數(shù)據(jù)得.答案示例1：可以認(rèn)為有變化.理由如下：P（E）比較小，概率比較小的事件一般不容易發(fā)生.一旦發(fā)生，就有理由認(rèn)為本月的支付金額大于2000元的人數(shù)發(fā)生了變化.所以可以認(rèn)為有變化.答案示例2：無(wú)法確定有沒(méi)有變化.理由如下：事件E是隨機(jī)事件，P（E）比較小，一般不容易發(fā)生，但還是有可能發(fā)生的，所以無(wú)法確定有沒(méi)有變化.此題中就是對(duì)小概率事件的不同處理態(tài)度。根據(jù)小概率事件發(fā)生的概率極小，幾乎不可能發(fā)生，但是現(xiàn)在發(fā)生了，那極有可能是樣本出現(xiàn)了變化，因此答案1正確。而小概率事件不是不可能事件，他可以發(fā)生，因此答案2正確。小概率事件在假設(shè)檢驗(yàn)中的應(yīng)用 基于小概率反證法來(lái)研究樣本間存在差異情的原因。而反證法的思路是先提出假設(shè)檢驗(yàn)，然后運(yùn)用適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)方法來(lái)求解該檢驗(yàn)成立的概率。通過(guò)概率計(jì)算判斷，如果概率很小，是一個(gè)小概率事件，那么提出的假設(shè)就不成立。例題：為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進(jìn)行動(dòng)物實(shí)驗(yàn)，試驗(yàn)方案如下:每一輪選取兩只白鼠對(duì)藥效進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn)，對(duì)于兩只白鼠，隨機(jī)選一只施以甲藥，另一只施以乙藥.一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗(yàn)。當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時(shí)，就停止試驗(yàn)，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效。為了方便描述問(wèn)題，約定：對(duì)于每輪試驗(yàn)，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得-1分;若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得-1分﹔若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分.甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β，一輪試驗(yàn)中甲藥的得分記為X。1.求X的分布列;2.若甲藥、乙藥試驗(yàn)開(kāi)始時(shí)都賦予4分pi，(i=0,1,…,8）表示“甲藥的累計(jì)得分為i最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率，則p1=0,p8=1，pi=api-1+b其中a=P(X=-1)，b=P(X=0)，c=P(X=1).假設(shè)α=0.5，β=0.8.(i)證明:{pi+1-pi}(i(ii）求p4，并根據(jù)p4的值解