數(shù)學(xué)建模教學(xué) 18.微分方程

數(shù)學(xué)建模微分方程模型微分方程模型一微分方程模型二微分方程模型穩(wěn)定性精選ppt微分方程模型一微分方程模型精選ppt在研究實(shí)際問(wèn)題時(shí)，常常會(huì)聯(lián)系到某些變量的變化率或?qū)?shù)，這樣所得到變量之間的關(guān)系式就是微分方程模型。模型的使用背景

微分方程模型反映的是變量之間的間接關(guān)系，因此，要得到直接關(guān)系，就需要求解微分方程。微分方程建模是數(shù)學(xué)建模的重要方法，在科技工程，經(jīng)濟(jì)管理，生態(tài)環(huán)境，人口，交通等領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用。精選ppt微分方程模型的建立方法

根據(jù)規(guī)律列方程利用數(shù)學(xué)、力學(xué)、物理、化學(xué)等學(xué)科中的定理或經(jīng)過(guò)實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)的規(guī)律等來(lái)建立微分方程模型。微元分析法利用已知的定理與規(guī)律尋找微元之間的關(guān)系式，與第一種方法不同的是對(duì)微元而不是直接對(duì)函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)應(yīng)用規(guī)律。精選ppt微分方程模型的建立方法模擬近似法在生物、經(jīng)濟(jì)等學(xué)科的實(shí)際問(wèn)題中，許多現(xiàn)象的規(guī)律性不很清楚，即使有所了解也是極其復(fù)雜的，建模時(shí)在不同的假設(shè)下去模擬實(shí)際的現(xiàn)象，建立能近似反映問(wèn)題的微分方程，然后從數(shù)學(xué)上求解或分析所建方程及其解的性質(zhì)，再去同實(shí)際情況對(duì)比，檢驗(yàn)此模型能否刻畫(huà)、模擬某些實(shí)際現(xiàn)象。精選ppt案例分析

緝私問(wèn)題

一艘緝私艦雷達(dá)發(fā)現(xiàn)距c

km處有一艘走私船正以勻速

akm/min沿直線行駛。緝私艦立即以最大的速度

b

km/min追趕，若用雷達(dá)進(jìn)行跟蹤，保持船的瞬時(shí)速度方向始終指向走私船，試求緝私艦追逐路線和追上的時(shí)間。精選ppt緝私問(wèn)題模型建立建立如右坐標(biāo)系，緝私船在(c,0)處發(fā)現(xiàn)走私船在(0,0)處，走私船逃跑方向?yàn)閥軸方向。在t時(shí)刻，走私船到達(dá)R(0,at)，緝私艦到達(dá)D(x,y)精選ppt緝私問(wèn)題根據(jù)題意有如下關(guān)系式化簡(jiǎn)得：又因

，s為弧長(zhǎng)（1）（2）精選ppt將（2）代入（1）得：模型求解：1)求解析解（1）當(dāng)，緝私問(wèn)題精選ppt當(dāng)x=0時(shí)，

緝私問(wèn)題精選pptc=3km，a=0.4(km/min)，分別取b=0.6,0.8,1.2(km/min)，緝私艇追趕路線圖形如下：緝私問(wèn)題精選ppt（2）當(dāng)，緝私艇不可能追趕上走私船2）求數(shù)值解假設(shè)a=60公里/小時(shí)，b=80公里/小時(shí)，c=500公里用MATLAB軟件編程求數(shù)值解1.zhuiji.mfunctionf=zhuiji(x,y)%建立微分方程組函數(shù)，函數(shù)名為'zhuiji'f=[y(2);0.75*sqrt(1-y(2)^2)/x];緝私問(wèn)題精選ppt2.zhui.m[x,y]=ode23('zhuiji',[500,1],[0,0]);%調(diào)用ode23求解器求解方程組plot(x,y(:,1))%畫(huà)出圖形運(yùn)行結(jié)果如右圖：緝私問(wèn)題精選ppt人口增長(zhǎng)模型據(jù)考古學(xué)家論證，地球上出現(xiàn)生命距今已有20億年，而人類的出現(xiàn)距今卻不足200萬(wàn)年.縱觀人類人口總數(shù)的增長(zhǎng)情況，我們發(fā)現(xiàn)：1000年前人口總數(shù)為2.75億.經(jīng)過(guò)漫長(zhǎng)的過(guò)程到1830年，人口總數(shù)達(dá)10億，又經(jīng)過(guò)100年，在1930年，人口總數(shù)達(dá)20億；30年之后，在1960年，人口總數(shù)為30億；又經(jīng)過(guò)15年，1975年的人口總數(shù)是40億，12年之后即1987年，人口已達(dá)50億.我們自然會(huì)產(chǎn)生這樣一個(gè)問(wèn)題：人類人口增長(zhǎng)的規(guī)律是什么？如何在數(shù)學(xué)上描述這一規(guī)律.精選ppt英國(guó)人口學(xué)家Malthus模型假設(shè)人口自然增長(zhǎng)率r為常數(shù)

即單位時(shí)間內(nèi)人口的增長(zhǎng)量與當(dāng)時(shí)的人口呈正比。模型建立1.指數(shù)增長(zhǎng)模型人口以幾何級(jí)數(shù)增加！人口增長(zhǎng)模型精選ppt模型分析人口將按指數(shù)規(guī)律無(wú)限增長(zhǎng)！人口將始終保持不變！人口將按指數(shù)規(guī)律減少直至絕滅！模型求解人口增長(zhǎng)模型精選pptMalthus模型預(yù)測(cè)美國(guó)人口精選pptMalthus模型預(yù)測(cè)美國(guó)人口精選pptMalthus模型預(yù)測(cè)的優(yōu)缺點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)短期預(yù)報(bào)比較準(zhǔn)確缺點(diǎn)不適合中長(zhǎng)期預(yù)報(bào)原因預(yù)報(bào)時(shí)假設(shè)人口增長(zhǎng)率r

為常數(shù)。沒(méi)有考慮環(huán)境對(duì)人口增長(zhǎng)的制約作用。精選ppt2.阻滯增長(zhǎng)模型假設(shè)人口增長(zhǎng)率r(t)是t時(shí)刻人口x(t)的減函數(shù)：其中，xm

為考慮到受自然資源和環(huán)境條件限制所能容納的最大人口數(shù)量（稱最大人口容量）

模型假設(shè)模型建立人口增長(zhǎng)模型精選ppt模型分析（定性分析）人口將遞減并趨向于xm！人口將始終保持xm不變！人口將遞增并趨向于xm！無(wú)論在哪種情況下，人口最終將趨向于最大人口容量！模型求解人口增長(zhǎng)模型精選ppt人口增長(zhǎng)率達(dá)到最大值人口增長(zhǎng)模型精選ppt阻滯增長(zhǎng)模型預(yù)測(cè)美國(guó)人口精選ppt阻滯增長(zhǎng)模型預(yù)測(cè)美國(guó)人口精選ppt阻滯增長(zhǎng)模型預(yù)測(cè)的優(yōu)缺點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)中期預(yù)報(bào)比較準(zhǔn)確缺點(diǎn)理論上很好，實(shí)用性不強(qiáng)原因預(yù)報(bào)時(shí)假設(shè)固有人口增長(zhǎng)率r以及最大人口容量xm為定值。實(shí)際上這兩個(gè)參數(shù)（特別是xm

）很難確定，而且會(huì)隨著社會(huì)發(fā)展情況變化而變化。前面圖中曲線末端分叉就是由于這個(gè)原因。精選ppt利用MATLAB求解Malthus模型和Logistic模型，預(yù)測(cè)美國(guó)人口數(shù)量，程序如下所示：k=197.273;%xm=197.273r=0.03134;%r=0.03134t=0:10:160;%時(shí)間間隔為10年n0=3.929;n1=[3.9295.3087.2407.63812.86617.06923.19231.44338.55850.15662.94875.99591.972105.711122.775131.669150.697];%實(shí)際統(tǒng)計(jì)資料n2=n0*exp(r*t);%Malthus模型n3=k./(1+((k/n0)-1).*exp(-r.*t));%Logistic模型t=t+1790;plot(t,n1,'k*-',t,n2,'go-',t,n3)精選ppt運(yùn)行結(jié)果黑色星號(hào)--Logistic模型預(yù)測(cè)值，綠色圓圈--Malthus模型預(yù)測(cè)值，藍(lán)色曲線為實(shí)際統(tǒng)計(jì)值。精選ppt傳染病模型隨著衛(wèi)生設(shè)施的改善，醫(yī)療水平的提高及人類文明的不斷發(fā)展，諸如霍亂、天花等曾經(jīng)肆虐全球的傳染性疾病已經(jīng)得到了有效的控制。但是一些新的、不斷變異著的傳染病毒卻悄悄地向人類襲來(lái)，20世紀(jì)80年代十分險(xiǎn)惡的艾滋病毒開(kāi)始肆虐全球，至今仍在蔓延；2003年春來(lái)歷不明的SARS病毒突襲人間，給人們的生命財(cái)產(chǎn)帶來(lái)了極大的危害。長(zhǎng)期以來(lái)，建立傳染病的數(shù)學(xué)模型來(lái)描述傳染病的傳播過(guò)程、分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律、探索制止傳染病蔓延的手段等，一直是有關(guān)專家關(guān)注的一個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題。精選ppt已感染人數(shù)(病人)i(t)每個(gè)病人每天有效接觸(足以使人致病)人數(shù)為

模型1假設(shè)若有效接觸的是病人，則不能使病人數(shù)增加必須區(qū)分已感染者(病人)和未感染者(健康人)建模?傳染病模型精選ppt模型2區(qū)分已感染者(病人)和未感染者(健康人)假設(shè)1）總?cè)藬?shù)N不變，病人和健康人的比例分別為2）每個(gè)病人每天有效接觸人數(shù)為

,且使接觸的健康人致病建模

~日接觸率SI模型傳染病模型精選ppt模型2Logistic模型當(dāng)時(shí)，用Matlab程序?yàn)?y=dsolve('Dy=0.1*y*(1-y)','y(0)=0.09','x')%求解此微分方程ezplot(y,[0,60])%畫(huà)出微分方程的圖像ezplot('0.1*y*(1-y)',[0,1])%畫(huà)出y的導(dǎo)數(shù)的圖像傳染病模型精選ppttm~傳染病高潮到來(lái)時(shí)刻

(日接觸率)tm

t=tm,di/dt最大傳染病模型精選ppt傳染病模型II的函數(shù)圖像?精選ppt模型3傳染病無(wú)免疫性——病人治愈成為健康人，健康人可再次被感染增加假設(shè)SIS模型3）病人每天治愈的比例為

~日治愈率建模

~日接觸率1/

~感染期

~一個(gè)感染期內(nèi)每個(gè)病人的有效接觸人數(shù)，稱為接觸數(shù)。傳染病模型精選ppt編寫(xiě)MATLAB程序如下：y=dsolve('Dy=0.01*y*(1-y)-0.05*y','y(0)=0.7','x');%ezplot(y,[0,120])y2=dsolve('Dy=0.3*y*(1-y)-0.15*y','y(0)=0.7','x');y3=dsolve('Dy=0.3*y*(1-y)-0.15*y','y(0)=0.3','x');figure,ezplot(y2,[0,25]);figure,ezplot(y3,[0,25])傳染病模型精選ppt傳染病模型不難看出，接觸數(shù)

=1~閾值精選ppt模型4傳染病有免疫性——病人治愈后即移出感染系統(tǒng)，稱移出者SIR模型假設(shè)1）總?cè)藬?shù)N不變，病人、健康人和移出者的比例分別為2）病人的日接觸率

,日治愈率

,

接觸數(shù)=/建模需建立的兩個(gè)方程傳染病模型精選ppt模型4SIR模型無(wú)法求出的解析解求數(shù)值解精選pptMATLAB程序如下：ts=0:50;x0=[0.02,0.98];[t,x]=ode45('ill',ts,x0)%調(diào)用ode45求解'ill'方程組plot(t,x(:,1),t,x(:,2)),grid,%畫(huà)出健康者和病人的變化曲線figure,plot(x(:,2),x(:,1)),grid%畫(huà)出相圖functiony=ill(t,x)%函數(shù)ill，表示模型IVa=1;b=0.3;y=[a*x(1)*x(2)-b*x(1),-a*x(1)*x(2)]';傳染病模型精選ppt畫(huà)出健康者和病人的變化曲線精選ppt結(jié)論：在初始時(shí)刻健康者和病人百分比的總和為1；病人的數(shù)量先增加然后下降，說(shuō)明在某時(shí)刻傳染病得到抑制；而治愈的人群退出此系統(tǒng)，所以最后系統(tǒng)的人群數(shù)量為0；這時(shí)所有的人群均是免疫者。傳染病模型精選ppt意大利生物學(xué)家Ancona曾致力于魚(yú)類種群相互制約關(guān)系的研究，他從第一次世界大戰(zhàn)期間,地中海各港口捕獲的幾種魚(yú)類捕獲量百分比的資料中，發(fā)現(xiàn)鯊魚(yú)等的比例有明顯增加（見(jiàn)下表），而供其捕食的食用魚(yú)的百分比卻明顯下降.顯然戰(zhàn)爭(zhēng)使捕魚(yú)量下降，食用魚(yú)增加，鯊魚(yú)等也隨之增加，但為何鯊魚(yú)的比例大幅增加呢？他無(wú)法解釋這個(gè)現(xiàn)象，于是求助于著名的意大利數(shù)學(xué)家V.Volterra，希望建立一個(gè)食餌—捕食系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，定量地回答這個(gè)問(wèn)題.地中海鯊魚(yú)問(wèn)題精選ppt地中海鯊魚(yú)問(wèn)題精選ppt地中海鯊魚(yú)問(wèn)題精選ppt模型（二）考慮人工捕獲設(shè)表示捕獲能力的系數(shù)為e，相當(dāng)于食餌的自然增長(zhǎng)率由r1降為r1-e，捕食者的死亡率由r2增為r2+e設(shè)戰(zhàn)前捕獲能力系數(shù)e=0.3,戰(zhàn)爭(zhēng)中降為e=0.1,則戰(zhàn)前與戰(zhàn)爭(zhēng)中的模型分別為:地中海鯊魚(yú)問(wèn)題精選ppt實(shí)線為戰(zhàn)前的鯊魚(yú)比例，“*”線為戰(zhàn)爭(zhēng)中的鯊魚(yú)比例結(jié)論：戰(zhàn)爭(zhēng)中鯊魚(yú)的比例比戰(zhàn)前高！地中海鯊魚(yú)問(wèn)題精選ppt微分方程模型穩(wěn)定性二微分方程模型穩(wěn)定性精選ppt常微分方程模型平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性如果則稱平衡點(diǎn)x0是穩(wěn)定的.稱代數(shù)方程

f(x)=0的實(shí)根x=x0為方程(4-1)的平衡點(diǎn)(或奇點(diǎn)).它也是方程(4-1)的解.設(shè)精選ppt由于在討論方程(4-1)的來(lái)代替.穩(wěn)定性時(shí)，可用一階微分方程模型平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性精選ppt一階微分方程模型平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性易知

x0也是方程(4-2)的平衡點(diǎn).(4-2)的通解為關(guān)于x0是否穩(wěn)定有以下結(jié)論：①若則x0是穩(wěn)定的；②

若則x0是不穩(wěn)定的.這個(gè)結(jié)論對(duì)于(4-1)也是成立的.精選ppt代數(shù)方程組的實(shí)根x=x0,y=y0稱為方程(4-3)的平衡點(diǎn),記作P0(x0,y0).它也是方程(4-3)的解.微分方程組的平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性精選ppt如果則稱平衡點(diǎn)P0是穩(wěn)定的.微分方程組的平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性精選ppt判別平衡點(diǎn)P0是否穩(wěn)定的判別準(zhǔn)則.

則當(dāng)p＞0且q＞0時(shí)，平衡點(diǎn)P0是穩(wěn)定的；當(dāng)p＜0或q＜0時(shí)，平衡點(diǎn)P0是不穩(wěn)定的.微分方程組的平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性精選ppt穩(wěn)定性模型建模目的是研究時(shí)間充分長(zhǎng)以后過(guò)程的變化趨勢(shì)——平衡狀態(tài)是否穩(wěn)定。不求解微分方程