一課時空間向量及其運算

一課時空間向量及其運算TOC\o"1-3"\h\u題型1空間向量的基本概念 3題型2空間向量的加法、減法與數(shù)乘運算 8◆類型1空間向量的加法、減法與數(shù)乘運算 8◆類型2含參運算 14題型3空間向量共線問題 16◆類型1共線的判定 16◆類型2已知向量共線求參數(shù) 21知識點一．空間向量(1)定義：空間中既有大小又有方向的量稱為空間向量．(2)模(或長度)：向量的大小．(3)表示方法：①幾何表示法：可以用有向線段來直觀的表示向量，如始點為A終點為B的向量，記為eq\o(AB,\s\up7(→))，模為|eq\o(AB,\s\up7(→))|．②字母表示法：可以用字母a，b，c，…表示，模為|a|，|b|，|c|，…．知識點二．幾類特殊的向量(1)零向量：始點和終點相同的向量稱為零向量，記作0．(2)單位向量：模等于1的向量稱為單位向量．(3)相等向量：大小相等、方向相同的向量稱為相等向量．(4)相反向量：方向相反，大小相等的向量稱為相反向量．(5)平行向量：方向相同或者相反的兩個非零向量互相平行，此時表示這兩個非零向量的有向線段所在的直線平行或重合．通常規(guī)定零向量與任意向量平行．注意：1.空間向量表示空間內(nèi)具有大小和方向的量,平面向量表示平面內(nèi)具有大小和方向的量,空

間向量是在平面向量基礎(chǔ)上進一步學習的知識內(nèi)容,它們的運算規(guī)律完全相同,空間向量的

相關(guān)定理及公式與平面向量類似,可以類比學習;2.在空間中,零向量、單位向量、向量的模、相等向量、相反向量等概念和平面向量中相對應的概念完全相同;3.由于向量是由其模和方向確定的,所以解答空間向量有關(guān)概念問題時,通常抓住這兩點來解決;4.零向量是一個特殊向量,其方向是任意的,且與任何向量共線,這一點說明向量共線不具有傳遞性.知識點三.空間向量的加法、減法與數(shù)乘運算名稱運算法則特點圖示加法運算三角形法則收尾相接收尾連（通過平移）平行四邊形法則起點相同（共起點）（通過平移）減法運算平行四邊形法則起點相同連終點，被減向量定指向。數(shù)乘運算實數(shù)λ的作用：正負定方向，數(shù)值定模比知識點四.空間向量的加法和數(shù)乘的運算律（1）加法交換律：（2）加法結(jié)合律：（3）數(shù)乘運算律：①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μv；③λ(a＋b)＝λa＋λb；知識點五.共線向量及共線向量定理如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，那么這些向量叫作共線向量或平行向量.向量a與b平行，記作a//b.規(guī)定，零向量與任意向量共線.對空間任意兩個向量a，b（a≠0），b與a共線的充要條件是存在實數(shù)λ，使b=λa.知識點六.空間向量的線性運算的理解類似于平面向量，可以定義空間向量的加法、減法及數(shù)乘運算．圖1圖2(1)如圖1，eq\o(OB,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→))＝a＋b，eq\o(CA,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))－eq\o(OC,\s\up7(→))＝a－b．(2)如圖2，eq\o(DA,\s\up7(→))＋eq\o(DC,\s\up7(→))＋eq\o(DD1,\s\up7(→))＝eq\o(DB1,\s\up7(→))．即三個不共面向量的和，等于以這三個向量為鄰邊的平行六面體中，與這三個向量有共同始點的對角線所表示的向量．(3)給定一個實數(shù)λ與任意一個空間向量a，則實數(shù)λ與空間向量a相乘的運算稱為數(shù)乘向量，記作λa．其中：①當λ≠0且a≠0時，λa的模為|λ||a|，而且λa的方向：(ⅰ)當λ＞0時，與a的方向相同；(ⅱ)當λ＜0時，與a的方向相反．②當λ＝0或a＝0時，λa＝0．題型1空間向量的基本概念【方法總結(jié)】（1）關(guān)鍵點：緊緊抓住向量的兩個要素，即大小和方向.（2）注意點：注意一些特殊向量的特性.①零向量不是沒有方向，而是它的方向是任意的，且與任何向量都共線，這一點說明了共線向量不具備傳遞性.②單位向量方向雖然不一定相同，但它們的長度都是1.③兩個向量模相等，不一定是相等向量；反之，若兩個向量相等，則它們不僅模相等，方向也相同．若兩個向量模相等，方向相反，則它們?yōu)橄喾聪蛄浚纠}1】（2022春·山西·高二校聯(lián)考期中）下列關(guān)于空間向量的說法中錯誤的是（

）A．零向量與任意向量平行B．任意兩個空間向量一定共面C．零向量是任意向量的方向向量D．方向相同且模相等的兩個向量是相等向量【答案】C【分析】根據(jù)個選項，可判斷選項A、B、D正確，選項C，零向量方向是無限的，但是任意向量方向是確定的，故可作出判斷.【詳解】由已知，選項A，零向量方向是任意的，所以零向量任意向量平行，該選項正確；選項B，平面由兩個不平行的向量確定，任意兩個向量可通過平移形成相交，故一定可以確定一個平面，該選項正確；選項C，在直線l上取非零向量a，把與向量a平行的非零向量稱為直線l的方向向量，該選項錯誤；選項D，方向相同且模相等的兩個向量是相等向量，該選項正確.故選：C.【變式1-1】1．（2022·廣東肇慶·校考模擬預測）下列命題中是假命題的是（

）A．任意向量與它的相反向量不相等B．和平面向量類似，任意兩個空間向量都不能比較大小C．如果a=0，則D．兩個相等的向量，若起點相同，則終點也相同【答案】A【分析】由零向量的定義可判斷AC，由向量的性質(zhì)可判斷BD.【詳解】對于A，零向量0的相反向量是它本身，A錯誤；對于B，空間向量是有向線段，不能比較大小，B正確；對于C，如果a=0，則a對于D，兩個相等的向量，若起點相同，則終點也相同，D正確.故選：A.【變式1-1】2．（2022春·北京·高二校考階段練習）給出下列命題：①將空間中所有的單位向量平移到同一個點為起點，則它們的終點構(gòu)成一個圓；②若空間向量a，?b滿足a=③在正方體ABCD?A1④若空間向量a，b，c滿足a=⑤空間中任意兩個單位向量必相等；其中假命題的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)空間向量的定義，逐個命題進行判斷即可.【詳解】對于①，根據(jù)空間向量的定義，空間中所有的單位向量平移到同一個點為起點，則它們的終點構(gòu)成一個球面，故①為假命題；對于②，向量相等即模相等和方向相同，故②為假命題；對于③，根據(jù)正方體的定義，上下底面的對角線必定相等，結(jié)合向量的方向，所以，AC=對于④，根據(jù)向量相等的定義，明顯成立，故④為真命題.對于⑤，向量相等即模相等和方向相同，故空間中任意兩個單位向量必相等是假命題，故⑤為假命題故選：C【變式1-1】3．（2022春·河北石家莊·高二石家莊二十三中?？茧A段練習）下列命題中為真命題的是（

）A．空間向量AB與BA的長度相等B．將空間中所有的單位向量移到同一個起點，則它們的終點構(gòu)成一個圓C．空間向量就是空間中的一條有向線段D．不相等的兩個空間向量的模必不相等【答案】A【分析】由于向量的長度與向量的方向無關(guān)，相反向量的長度相，由此可判斷AD，將空間所有的單位向量平移到一個起點，則它們的終點構(gòu)成一個球面，由此可判斷B，由向量與有向線段的關(guān)系判斷C.【詳解】對于A，因為空間向量AB與BA互為相反向量，所以空間向量AB與BA的長度相等，所以A正確，對于B，將空間所有的單位向量平移到一個起點，則它們的終點構(gòu)成一個球面，所以B錯誤，對于C，空間向量可以用空間中的一條有向線段表示，但空間向量不是有向線段，所以C錯誤，對于D，兩個空間向量不相等，它們的?？赡芟嗟龋部赡懿幌嗟?，如向量AB與BA的模相等，所以D錯誤，故選：A【變式1-1】4．（2022春·湖北咸寧·高二?？茧A段練習）下列命題中，正確的是（

）.A．若a≠b，則a≠b C．若a=b，則a=b 【答案】C【分析】根據(jù)向量模長的定義以及向量的定義即可逐一判斷.【詳解】對于A;比如a=(0,0,1),b=(1,0,0),a對于B;向量的模長可以有大小之分，但是向量不可以比較大小，所以B錯誤；對于C;向量相等，則其模長相等，方向相同，故C正確；對于D；若a=(0,0,1),b=(1,0,0)，a故選：C【變式1-1】5．（2022春·河南鄭州·高二鄭州外國語學校?？茧A段練習）下列命題中正確的是（）A．若a//b，b//c，則B．向量a、b、c共面即它們所在直線共面C．空間任意兩個向量共面D．若a//b【答案】C【分析】根據(jù)空間向量的相關(guān)觀念逐一判斷即可.【詳解】對于A，若a∥b，b∥c，當b=對于B，向量a、b、c共面，則它們所在直線可能共面，也可能不共面，因此不正確；對于C，根據(jù)共面向量基本定理可知：空間任意兩個向量共面，正確；對于D，若a∥b且b≠故選：C．【變式1-1】6．（2021春·重慶沙坪壩·高二重慶南開中學?？茧A段練習）給出下列命題：①兩個空間向量相等，則它們的起點相同，終點也相同；②若空間向量a,b滿足a=b，則a=b；③在正方體ABCD?A1B1A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【分析】由相等向量的定義依次判斷各個選項即可得到結(jié)果.【詳解】對于①，當兩個空間向量起點相同，終點也相同時，這兩個向量必相等；但兩個向量相等，它們的起點和終點都不一定相同，①錯誤；對于②，根據(jù)向量相等的定義，要保證兩個向量相等，不僅模要相等，而且方向還要相同，但②中向量a與b的方向不一定相同，②錯誤；對于③，根據(jù)正方體的性質(zhì)，在正方體ABCD?A1B1C1對于④，由向量相等關(guān)系可知m=故選：C.題型2空間向量的加法、減法與數(shù)乘運算【方法總結(jié)】空間任意兩個向量都是共面向量，所以它們可用同一平面內(nèi)的兩條有向線段表示。因此凡是涉及空間任意兩個向量的問題，平面向量中有關(guān)結(jié)論仍適用于它們.◆類型1空間向量的加法、減法與數(shù)乘運算【例題2-1】（2022春·湖南懷化·高二校考階段練習）在空間四邊形ABCD中下列表達式化簡結(jié)果與AB相等的是（

）A．AC+CD C．AC+CD?【答案】B【分析】根據(jù)空間向量運算求得正確答案.【詳解】AC+AC+AC+AC+故選：B【變式2-1】1．（2022春·江西上饒·高二校聯(lián)考階段練習）如圖.空間四邊形OABC中，OA=a,OB=A．12a?C．12a+【答案】D【分析】由M，N在線段OA，BC上的位置，用a，b，c表示OM，ON，進而表示出MN.【詳解】因為OM=2MA，所以又因為點N為BC的中點，所以O(shè)N=所以MN=故選：D.【變式2-1】2．（2022春·河南鄭州·高二鄭州市第一〇六高級中學校考階段練習）在空間四邊形ABCD中，連接AC，BD，若△BCD是正三角形，且E為其重心，則ABA．AB B．2BD C．0 D．【答案】C【分析】根據(jù)向量的加減法運算法則即可求解.【詳解】取BC的中點為F,則12又因為E為△BCD的重心，即DF上靠近F32則AB+故選:C.【變式2-1】3．（2022春·北京昌平·高二北京市昌平區(qū)第二中學校考期末）如圖所示,在正方體ABCD?A1B1C1A．a(chǎn)+12b+12c 【答案】A【分析】根據(jù)空間向量基本定理將AF轉(zhuǎn)化為a,【詳解】解:由題知,點F是側(cè)面CDD∴F為D則AF=a故選:A【變式2-1】4．（2022春·湖北·高二校聯(lián)考期中）在空間四邊形OABC中，E,F分別是OA,BC的中點，P為線段EF上一點，且PF=2EP，設(shè)A．OF=12C．FP=?13【答案】C【分析】對于A，由OF=12(OB+OC)計算即可；對于B，根據(jù)題意可得【詳解】解：對于A，由題意可知：OF=對于B，由題意可得EF=又因為PF=2所以EP=所以EP=對于C，由題意可得FP=?對于D，由題意可得OP=故選：C.【變式2-1】5．（2022春·北京·高二日壇中學?？计谥校┰谌庵鵄1B1C1?ABC中，D是四邊形BB1A．12a+C．12a+【答案】D【分析】利用空間向量線性運算計算即可.【詳解】A=?A故選：D.【變式2-1】6．（多選）（2022春·全國·高二期中）如圖，平面ABC內(nèi)的小方格均為邊長是1的正方形，A,B,C，D,A．AEB．CDC．PFD．PD【答案】ABD【分析】根據(jù)給定條件，在平面ABC內(nèi)選取兩個互相垂直的單位向量i,j且【詳解】在平面ABC內(nèi)選取兩個互相垂直的單位向量i,j，且AE=?2CD=?2i=2iAF=i=PF?iAD=2j=PA故選：ABD◆類型2含參運算【例題2-2】（2022春·陜西商洛·高二統(tǒng)考期末）在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，點PA．34 B．1 C．54 【答案】C【分析】根據(jù)空間向量的加法、減法、數(shù)乘運算即可求解.【詳解】如圖，AP=3所以x=所以x+故選:C.【變式2-2】1．（2022春·湖南長沙·高二長沙一中校聯(lián)考期中）如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，ACA．?12,12,1 B．1【答案】C【分析】由已知，根據(jù)題意，將C1M利用線性運算表示成AB,【詳解】由已知，在平行六面體ABCD?A1B1C1所以C1M=故選：C.【變式2-2】2．（遼寧省大連市2022-2023學年高二上學期期末數(shù)學試題）已知平行六面體ABCD?A1【答案】1【分析】根據(jù)平行六面體的性質(zhì)和空間向量的線性運算求m即可.【詳解】AC1=故答案為：1.【變式2-2】3．（2022春·河南·高二校聯(lián)考階段練習）如圖，在長方體ABCD?A1B1C1D1中，P是AD的中點，點M【答案】1【分析】根據(jù)向量的加法與減法的三角形法則轉(zhuǎn)化即可.【詳解】因為PQ=PM=所以PQ+所以a=43，b所以a+故答案為：1題型3空間向量共線問題【方法總結(jié)】向量共線的判定及應用（1）判斷或證明兩向量a，b（b≠0）共線，就是尋找實數(shù)λ，使a=λb成立，為此常結(jié)合題目圖形，運用空間向量的線性運算法則將目標向量化簡或用同一組向量表達.（2）判斷或證明空間中的三點（如P，A，B）共線的方法：是否存在實數(shù)λ，使PA=◆類型1共線的判定【例題3-1】（山東·高考真題）已知空間向量a，b，且AB=a+2b，A．A、B、C B．B、C【答案】C【分析】根據(jù)向量共線判斷三點共線即可．【詳解】解：BD=2(a又AB與BD過同一點B，∴A、B、D三點共線．故選：C．【變式3-1】1．（2022·高二課時練習）已知空間四邊形ABCD，點E?F分別是AB與AD邊上的點，M?N分別是BC與CD邊上的點，若AE=λAB，AF=λAD，CM=A．EF=MN B．EF∥MN C．【答案】B【分析】由空間向量減法運算法則，得EF、DB共線、MN、【詳解】由AE=λAB，AF=λAD，得EF=AF?AE=λAD?AB故選：B.【變式3-1】2．（2022·全國·高二專題練習）對于空間任意一點O，以下條件可以判定點P?A?B共線的是___________（填序號）.①OP=②5OP③OP=④OP=?【答案】①③【分析】由空間共線向量定理即可求解.【詳解】對于①，因為OP=OA+tABt∈對于②，因為5OP=OA+AB對于③，因為OP=OA?tABt∈對于④，因為OP=?OA+AB，所以O(shè)P=?OA+OB?OA得故答案為：①③.【變式3-1】3．（2022·高二單元測試）如圖，已知M，N分別為四面體A?BCD的面BCD與面ACD的重心，G為AM上一點，且GM:GA=1:3.求證：B【答案】證明見解析.【分析】設(shè)AB=a，AC=b，AD=【詳解】證明：取CD的中點E，連接AE,因為M，N分別為四面體A?BCD的面BCD與面所以M在BE上，N在AE上，設(shè)AB=a，AC=b，AD=所以AM=因為GM:GA=1:3所以BG=因為N為△ACD所以BN=∴BN∥BG.又BN∩BG=B，∴【變式3-1】4．（2022春·全國·高二專題練習）如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，M，N分別是C1D1,AB的中點，【答案】共線【分析】根據(jù)空間向量的線性運算法則，化簡得到ME=?【詳解】由空間向量的線性運算法則，可得ME==?NB+CB又由向量的共線定理，可得ME與NF共線．【變式3-1】5．（2023·全國·高三專題練習）如圖，四邊形ABCD?ABEF都是平行四邊形且不共面，M?N分別是AC?BF的中點，判斷CE與MN是否共線？【答案】共線.【分析】利用空間向量的線性運算，結(jié)合空間向量的共線定理，即可判斷.【詳解】因為M?N分別是AC?BF的中點，而四邊形ABCD?ABEF都是平行四邊形，所以MN=又MN=所以12所以CE=即CE=2MN，即CE與【變式3-1】6．（多選）（2022春·安徽·高二合肥市第八中學校聯(lián)考期中）如圖，在三棱柱ABC?A1B1A．當λ=1時，點P在棱BB1上 B．當μC．當λ+μ=1時，點P在線段B1C上 【答案】BCD【分析】由空間向量共線定理