任意角和弧度制

角1.角的定義

角是由平面內(nèi)一條射線繞其端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所組成的圖形.AOBα始邊終邊頂點(diǎn)角是平面幾何中的一個(gè)基本圖形，角是可以度量其大小的.在平面幾何中，角的取值范圍如何？

但在實(shí)際問題中還會(huì)遇到其他角．探究一：角的形成結(jié)果；在齒輪傳動(dòng)中，被動(dòng)輪與主動(dòng)輪是按相反方向旋轉(zhuǎn)的.一般地，一條射線繞其端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，既可以按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，也可以按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn).你認(rèn)為將一條射線繞其端點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60度所形成的角，與按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60度所形成的角是否相等？如在體操、花樣滑冰、跳臺(tái)跳水等比賽中，常常聽到“轉(zhuǎn)體10800”、“轉(zhuǎn)體12600”這樣的解說．因此，僅有0°～360°范圍內(nèi)的角是不夠的．角的形成過程規(guī)定：按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做正角，按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做負(fù)角．如果一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)，則稱它形成了一個(gè)零角.１.角的方向任意角度量一個(gè)角的大小，既要考慮旋轉(zhuǎn)方向，又要考慮旋轉(zhuǎn)量，通過上述規(guī)定，角的范圍就擴(kuò)展到：任意大小.βB2γAB1αO

對于你能用圖形表示這些角嗎？你能總結(jié)一下作圖的要點(diǎn)嗎？

畫圖表示一個(gè)大小一定的角:(1)先畫一條射線作為角的始邊，(2)再由角的正負(fù)確定角的旋轉(zhuǎn)方向，(3)再由角的絕對值大小確定角的旋轉(zhuǎn)量，(4)畫出角的終邊，并用帶箭頭的螺旋線加以標(biāo)注.問題1：鐘表經(jīng)過4小時(shí)，時(shí)針與分針各轉(zhuǎn)

(填度).

問題２：如果你的手表慢了20分鐘，或快了1.25小時(shí)，你應(yīng)該將分鐘分別旋轉(zhuǎn)多少度才能將時(shí)間校準(zhǔn)？

－120°，450°.

－120°，-1440°.探究二：象限角

思考1：為了進(jìn)一步研究角的需要，我們常在直角坐標(biāo)系內(nèi)討論角，并使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，那么對一個(gè)任意角，角的終邊可能落在哪些位置？

xoy象限角：角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，角的始邊為x軸的正半軸，這樣一來，角的終邊落在第幾象限，我們就說這個(gè)角是第幾象限角。如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何象限，或稱這個(gè)角為軸線角.那么下列各角：-50°，405°，210°,-200°，－450°分別是第幾象限的角？－50°xyoxyo210°xyo405°xyo－200°xyo問題３：第二象限的角一定比第一象限的角大嗎？象限角只能反映角的終邊所在象限(位置)，不能反映角的大小.問題2：銳角是第幾象限的角？第一象限的角是否都是銳角？小于90°的角是銳角嗎？

思考４：在直角坐標(biāo)系中，135°角的終邊在什么位置？終邊在該位置的角一定是135°嗎？xyo探究三：終邊相同的角

思考1：－32°，328°，－392°是第幾象限的角？這些角有什么內(nèi)在聯(lián)系？－32°－392°xyo328°與－32°角終邊相同的角有多少個(gè)？這些角與－32°角在數(shù)量上相差多少？

思考2：所有與－32°角終邊相同的角，連同－32°角在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S，你能用描述法表示集合S嗎？

S={β|β=α＋k·360°，k∈Z}，即任一與α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數(shù)個(gè)周角的和.思考3：一般地，所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)所構(gòu)成的集合S可以怎樣表示？

129°48′，第二象限角.

300°，-60°.例題分析例1．在0°～360°范圍內(nèi)，找出與－950°12′角終邊相同的角，并判定它是第幾象限角.

例2．求與3900°終邊相同的最小正角和最大負(fù)角.例2:

寫出終邊在Y軸上的角的集合

分析:首先寫出在Y軸的正半軸上的角的集合,然后寫出在Y軸的負(fù)半軸上的角的集合解答:終邊在Y軸的正半軸上的角的集合為終邊在Y軸的負(fù)半軸上的角的集合為xyoxyo所以,終邊在Y軸上的角的集合為xyo鞏固與提高寫出終邊在X軸上的角的集合寫出終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合xyoxyoxyoxyo小結(jié)1:終邊在軸線上的角的集合xyoxyo例4：已知

與240°角的終邊相同，判斷是第幾象限的角。110°，230°，350°.例5．已知角θ的終邊與30°角的終邊關(guān)于x軸對稱試在0°～360°范圍內(nèi)，找出與終邊相同的角.

弧度制一）問題的提出

1、度量角的方法——度分秒制——把圓周角分為360等份——1度的角——60等份——1分的角——60等份——1秒的角.2、在同一個(gè)圓中，圓心角的大小與它所對的弧長一一對應(yīng).

當(dāng)半徑不同時(shí)，同樣大的圓心角所對的弧長不相等.半徑rr1=1r2=2r3=3r4=4弧長L弧長與半徑的比值當(dāng)n=300時(shí)練習(xí):當(dāng)n=600時(shí)呢?可以計(jì)算弧長L=3、實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：當(dāng)半徑不同時(shí)，同樣的圓心角所對的弧長與半徑的比是常數(shù).稱這個(gè)常數(shù)為該角的弧度數(shù).能否用弧長來定義角的大小呢?二、1弧度角的定義我們把等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角。1弧度單位符號(hào)是rad,讀作弧度弧度把角度單位與長度單位統(tǒng)一起來.三）弧度數(shù)1、在單位圓中，當(dāng)圓心角為周角時(shí)，它所對的弧長為2π，所以周角的弧度數(shù)為2π，周角是2πrad的角.2、任意一個(gè)00~3600的角的弧度數(shù)必然適合不等式0≤x<2π.3、任一正角的弧度數(shù)都是一個(gè)正實(shí)數(shù)；任一負(fù)角的弧度數(shù)都是一個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)；零角的弧度數(shù)是0.

弧度制下的角與實(shí)數(shù)之間的關(guān)系是怎樣的呢?4、用弧度來度量角，實(shí)際上角的集合與實(shí)數(shù)集R之間建立一一對應(yīng)的關(guān)系：實(shí)數(shù)集R角的集合正角零角負(fù)角正實(shí)數(shù)零負(fù)實(shí)數(shù)對應(yīng)角的弧度數(shù)角度制與弧度制的換算

用“弧度”與“度”去度量每一個(gè)角時(shí)，除了零角以外，所得到的量數(shù)都是不同的，但它們既然是度量同一個(gè)角的結(jié)果，二者就可以相互換算．

若弧是一個(gè)整圓，它的圓心角是周角，其弧度數(shù)是，而在角度制里它是，

因此．

因?yàn)椋?/p>

1度角等于多少弧度？1弧度角等于多少度？度把化成弧度．例1解：∵∴

角度制與弧度制互化時(shí)要抓住弧度這個(gè)關(guān)鍵．把化成度．例2解：角度

弧度