函數(shù)的表示法

求函數(shù)解析式的常用方法(1)待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型，可用待定系數(shù)法求解，即由函數(shù)類型設(shè)出函數(shù)解析式，再根據(jù)條件列方程(或方程組)，通過解方程(組)求出待定系數(shù)，進(jìn)而求出函數(shù)解析式.求函數(shù)解析式問題(2)換元法(有時可用“配湊法”)：已知函數(shù)f(g(x))的解析式求f(x)的解析式可用換元法(或“配湊法”),即令g(x)=t，反解出x，然后代入f(g(x))中求出f(t),從而求出f(x).

利用換元法、配湊法求函數(shù)解析式時要注意新元的取值范圍，即所求函數(shù)的定義域.【例1】已知f(x)是一次函數(shù),且滿足3f(x+1)-f(x)=2x+9，求f(x).【審題指導(dǎo)】本題已知函數(shù)類型，故可用待定系數(shù)法求解.即設(shè)出函數(shù)關(guān)系式，代入已知條件，建立關(guān)于x的恒等式求解.【規(guī)范解答】由題意，設(shè)函數(shù)為f(x)=ax+b(a≠0),∵3f(x+1)-f(x)=2x+9,∴3a(x+1)+3b-ax-b=2x+9,即2ax+3a+2b=2x+9,由恒等式性質(zhì)，得∴a=1,b=3.∴所求函數(shù)解析式為f(x)=x+3.【變式訓(xùn)練】已知f(x)是二次函數(shù)，且滿足f(0)=0,f(x+1)-f(x)=2x，求f(x)的解析式.【解析】由題意，設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a≠0),∵f(0)=0,∴c=0,又∵f(x+1)-f(x)=2x,∴a(x+1)2+b(x+1)-ax2-bx=2x,即2ax+a+b=2x,∴a=1,b=-1,從而f(x)=x2-x.【例2】(2011·大連高一檢測)已知f(x+1)=x2+4x+1,求f(x)的解析式.【審題指導(dǎo)】解決此類題型的方法多為換元法，解題過程中要注意換元的準(zhǔn)確性.【規(guī)范解答】設(shè)x+1=t,則x=t-1,f(t)=(t-1)2+4(t-1)+1,即f(t)=t2+2t-2.∴所求函數(shù)為f(x)=x2+2x-2.【變式訓(xùn)練】設(shè)f(x)=2x+3，g(x+2)=f(x)，則g(x)等于()(A)2x+1 (B)2x-1(C)2x-3 (D)2x+7【解析】選B.由已知得g(x+2)=2x+3,令x+2=t,∴x=t-2,∴g(t)=2(t-2)+3=2t-1,∴g(x)=2x-1.

作函數(shù)圖象時應(yīng)注意的事項：(1)畫函數(shù)圖象時首先關(guān)注函數(shù)的定義域，即在定義域內(nèi)作圖；(2)圖象是實線或?qū)嶞c，定義域外的部分有時可用虛線來襯托整個圖象；(3)要標(biāo)出某些關(guān)鍵點，例如圖象的頂點、端點、與坐標(biāo)軸的交點等.要分清這些關(guān)鍵點是實心點還是空心點.函數(shù)圖象的作法及應(yīng)用【例3】作出下列函數(shù)的圖象:(1)y=1-x,x∈Z;(2)y=;(3)y=x2-4x+3,x∈［1,3］.【審題指導(dǎo)】(1)函數(shù)的定義域是整數(shù)集，因此函數(shù)圖象是一些點；(2)函數(shù)是反比例函數(shù);(3)函數(shù)定義域是［1,3］，只需畫出二次函數(shù)在區(qū)間［1,3］上的圖象即可.【規(guī)范解答】(1)因為x∈Z，所以圖象為一條直線上的孤立點，如圖1所示;(2)y=為反比例函數(shù)，其圖象如圖2所示；(3)y=x2-4x+3=(x-2)2-1,當(dāng)x=1，3時，y=0；當(dāng)x=2時，y=-1，其圖象如圖3所示.【互動探究】你能求出上述幾個函數(shù)的值域嗎？【解析】結(jié)合上述幾個函數(shù)的圖象可得，(1)值域為{y|y∈Z};(2)值域為(-∞,0)∪(0,+∞).(3)值域為［-1,0］.【例】若x∈R,f(x)是y=2-x2,y=x這兩個函數(shù)的較小者，則f(x)的最大值為()(A)2 (B)1(C)-1 (D)無最大值【審題指導(dǎo)】此類問題求解可采用數(shù)形結(jié)合的方法，畫出圖象，由圖象觀察求解.【規(guī)范解答】選B.在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y=2-x2,y=x的圖象，如圖，根據(jù)題意，坐標(biāo)系中實線部分即為函數(shù)f(x)的圖象，∴x=1時，f(x)max=1.【變式備選】已知函數(shù)f(x)的圖象如圖所示,則f(x)的解析式為______.【解析】觀察圖象，0<x≤2,利用待定系數(shù)法，求出解析式；當(dāng)0<x≤2時，f(x)=-x.答案：f(x)=-x,x∈(0,2］【典例】已知g(x-1)=2x+6，則g(3)=______.【審題指導(dǎo)】此類問題的解答，可先求出函數(shù)解析式，再求值，或直接在原式中構(gòu)造出g(3)來求值.【規(guī)范解答】方法一：∵g(x-1)=2x+6,令x-1=t,則x=t+1,∴g(t)=2(t+1)+6=2t+8，即g(x)=2x+8，∴g(3)=2×3+8=14.方法二：∵g(x-1)=2x+6,∴g(3)=g(4-1)=2×4+6=14.答案：14【誤區(qū)警示】對解答本題時易犯的錯誤具體分析如下：【即時訓(xùn)練】若g(x+1)=2x-2，g(x)=4，則x的值為______.【解析】令x+1=t,則x=t-1,∴g(t)=2(t-1)-2=2t-4,∴g(x)=2x-4,∴2x-4=4,∴x=4.答案：41.如果二次函數(shù)的圖象開口向上且關(guān)于直線x=1對稱，且過點(0，0)，則此二次函數(shù)的解析式可以是()(A)f(x)=x2-1(B)f(x)=-(x-1)2+1(C)f(x)=(x-1)2+1(D)f(x)=(x-1)2-1【解析】選D.由題意設(shè)f(x)=a(x-1)2+b(a＞0),由于點(0,0)在圖象上，所以a+b=0,a=-b，故符合條件的是D.2.已知函數(shù)f(x)由下表給出，則f(2)等于()(A)1 (B)2(C)3 (D)不存在【解析】選B.本題實際上是用列表法表示的函數(shù)，由表可知，當(dāng)x=2時，f(2)=2.3.已知f(x-1)=(x-1)2，則f(x)的解析式為______.【解析】∵f(x-1)=(x-1)2,∴f(x)=x2.答案：f(x)=x24.已知一次函數(shù)f(x)=ax+b的圖象經(jīng)過點A(0,-1)，B(1,1)，則f(x)=______.【解析】∵圖象經(jīng)過點A(0,-1),B(1,1),∴b=-1,a=2,即f(x)=2x-1.答案：2x-15.已知f(x)=x+a,(1)求f(x-1);(2)若f(x-1)=x+2,求a的值.【解析】(1)f(x-1)=x-1+a.(2)∵f(x-1)=x+2=x-1+a,∴a-1=2,∴a=3.一、選擇題(每小題4分，共16分)1.已知f(x)是反比例函數(shù)，且f(-3)=-1，則f(x)的解析式為()(A)-(B)(C)3x(D)-3x【解析】選B.設(shè)f(x)=(k≠0),由f(-3)=-1,得k=3,∴f(x)=.2.(2011·北京高一檢測)已知f(x-1)=x2，則f(x)的解析式為()(A)f(x)=x2+2x+1(B)f(x)=x2-2x+1(C)f(x)=x2+2x-1(D)f(x)=x2-2x-1【解析】選A.令x-1=t，則x=t+1,∴f(t)=(t+1)2=t2+2t+1,∴f(x)=x2+2x+1.【解析】選C.令=t(t≠0)，則x=,∴f(t)=，(t≠-1，且t≠0)即f(x)=(x≠-1且x≠0).4.已知函數(shù)f(x)對任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)，且f(2)=4，則f(1)=()(A)-2(B)1(C)0.5(D)2【解析】選D.在f(x+y)=f(x)+f(y)中，令x=y=1，則f(2)=f(1)+f(1)=4,∴f(1)=2.二、填空題(每小題4分，共8分)5.(2011·本溪高一檢測)某工廠8年來某產(chǎn)品總產(chǎn)量y與時間t(年)的函數(shù)關(guān)系如圖，則:①前3年總產(chǎn)量增長速度越來越快;②前3年總產(chǎn)量增長速度越來越慢；③第3年后，這種產(chǎn)品停止生產(chǎn)；④第3年后，這種產(chǎn)品年產(chǎn)量保持不變.以上說法中正確的是__________.【解析】從圖象看，前三年總產(chǎn)量增長速度越來越快，從第三年開始，總產(chǎn)量不變，說明這種產(chǎn)品已經(jīng)停產(chǎn).故①③正確.答案：①③

【誤區(qū)警示】初學(xué)者對函數(shù)圖象認(rèn)知較陌生，易對坐標(biāo)軸表示的含義理解不到位而致錯，如本題易錯填②④.6.已知f(x)+2f()=3x，則f(x)的解析式_________.【解題提示】以代替x，建立方程組求解.【解析】將f(x)+2f()=3x①中x和互換，得f()+2f(x)=②,由①②解得f(x)=-x(x≠0).答案：f(x)=-x(x≠0)

【方法技巧】消元法的應(yīng)用若所給函數(shù)的解析式中含有f(x),f(),f(-x)等形式，可將式子中的x用,-x等去代換，得到另一個方程，再通過解方程組得到f(x)，此種方法稱為消元法，體現(xiàn)了方程的思想.三、解答題(每小題8分，共16分)7.(2011·開原高一檢測)已知f(x)是一次函數(shù)并且f(f(x))=4x+6，試求f(x)的解析式.【解題提示】此類問題求解時，關(guān)鍵是弄清f(f(x))的含義，設(shè)出f(x)的解析式，再用待定系數(shù)法求解.【解析】設(shè)f(x)=ax+b(a≠0),則f(f(x))=f(ax+b)=a(ax+b)+b=a2x+ab+b,∴a2x+ab+b=4x+6,∴a2=4,ab+b=6,解得a=2,b=2或a=-2,b=-6.∴f(x)=2x+2或f(x)=-2x-6.8.已知某人某年1月份至6月份的月經(jīng)濟(jì)收入如下：1月份為1000元；從2月份起每月的收入是其上一個月的2倍，用表格、圖象、解析式三種形式表示該人1月份至6月份的月經(jīng)濟(jì)收入y(元)與月份序號x的函數(shù)關(guān)系，并指出函數(shù)的定義域、值域、對應(yīng)關(guān)系.【解析】依題意，該人1～6月份的月經(jīng)濟(jì)收入分別是：1000元，2000元，4000元，8000元，16000元，32000元.該人1～6月份的月經(jīng)濟(jì)收入y元與月份序號x的函數(shù)關(guān)系及定義域、值域、對應(yīng)關(guān)系如下：(1)表格形式:(2)圖象形式:(3)解析式形式y(tǒng)=1000×2x-1(1≤x≤6,x∈N*)，定義域是{1,2,3,4,5,6},對應(yīng)關(guān)系是x→y=1000×2x-1.∴函數(shù)y的值域為{1000,2000,4