2024屆福建省福州第八中學(xué)高三上學(xué)期質(zhì)檢卷二數(shù)學(xué)試題（解析版）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第Page\*MergeFormat1頁共NUMPAGES\*MergeFormat20頁2024屆福建省福州第八中學(xué)高三上學(xué)期質(zhì)檢卷二數(shù)學(xué)試題一、單選題1．若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實數(shù)（）A． B． C．6 D．【答案】D【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運算求出，再結(jié)合復(fù)數(shù)的概念求解作答.【詳解】依題意，，因為復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，且，則且，解得，所以.故選：D2．已知集合，集合則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合分式不等式的求解即可得到答案.【詳解】因為，則，所以因為，則，解得，所以，所以，故選：B.3．在跳水比賽中，有8名評委分別給出某選手原始分，在評定該選手的成績時，從8個原始分中去掉1個最高分和1個最低分（最高分和最低分不相等），得到6個有效分，這6個有效分與8個原始分相比較，下列說法正確的是（

）A．中位數(shù)，平均分，方差均不變 B．中位數(shù)，平均分，方差均變小C．中位數(shù)不變，平均分可能不變，方差變小 D．中位數(shù)，平均分，方差都發(fā)生改變【答案】C【分析】根據(jù)題意結(jié)合中位數(shù)、平均數(shù)和方差的定義分析判斷.【詳解】不妨設(shè)原始分為，且，則其中位數(shù)為，則有效分為，則其中位數(shù)為，兩者相等，所以中位數(shù)不變，例如：原始分為，則其平均數(shù)為2，則有效分為，則其平均數(shù)為2，兩者相等，所以平均數(shù)可能不變，因為從8個原始分中去掉1個最高分和1個最低分（最高分和最低分不相等），得到6個有效分，即把波動最大的兩個值去掉，則有效分比原始分更集中，波動性減小，根據(jù)方差的定義可知：有效分的方差小于原始分的方差，即方差變小.故選：C.4．已知圓，直線上動點，過點作圓的一條切線，切點為，則的最小值為（

）A．1 B． C． D．2【答案】C【分析】首先得出切線長的表達式，再以二次函數(shù)求值域的方法解之即可.【詳解】圓：中，圓心，半徑設(shè)，則，則,當時，，故選：C5．已知的頂點在拋物線上，若拋物線的焦點恰好是的重心，則的值為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】易知焦點坐標，根據(jù)三角形重心性質(zhì)以及拋物線焦半徑公式可知.【詳解】設(shè)，拋物線，則，焦點恰好是的重心，則，故．故選：A．6．已知數(shù)列的前項和為，若，，則有（

）A．為等差數(shù)列 B．為等比數(shù)列C．為等差數(shù)列 D．為等比數(shù)列【答案】D【分析】根據(jù)得到，即可判斷AB選項；根據(jù)，得到即可判斷CD選項.【詳解】由題意，數(shù)列的前項和滿足，當時，，兩式相減，可得，可得，即，又由，當時，，所以，所以數(shù)列的通項公式為，故數(shù)列既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列，所以AB錯.當時，，又由時，，適合上式，所以數(shù)列的前項和為；又由，所以數(shù)列為公比為3的等比數(shù)列，故D正確，C錯.故選：D.7．若，則當，1，2，…，100時（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用比大小的方法，即可求出k的值.【詳解】解：由題意得：即，化簡得：，又k為整數(shù),可得,所以，故選：C．8．若兩曲線y=x2-1與y=alnx-1存在公切線，則正實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分別求出導(dǎo)數(shù)，設(shè)出切點，得到切線方程，再由兩點的斜率公式，結(jié)合切點滿足曲線方程，運用導(dǎo)數(shù)求的單調(diào)區(qū)間、極值、最值即可得出a的取值范圍.【詳解】設(shè)切線：，即切線：，即，令在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以故選：A．二、多選題9．已知平面向量，，則下列說法正確的是（

）A．B．在方向上的投影向量為C．與垂直的單位向量的坐標為D．若向量與向量共線，則【答案】AD【分析】根據(jù)向量的坐標運算求，，對于A：根據(jù)向量的夾角公式運算求解；對于B：根據(jù)投影向量的定義分析運算；對于C：根據(jù)向量垂直的坐標運算求解；對于D：根據(jù)向量共線的判定定理分析運算.【詳解】由題意知，，對于選項A：，故A正確；對于選項B：在方向上的投影向量為，故B錯誤；對于選項C：設(shè)與垂直的單位向量的坐標為，可得，解得或，所以與垂直的單位向量的坐標為或，故C錯誤；對于選項D：因為向量與向量共線，所以若存在，使得，則，解得，故D正確．故選：AD.10．已知函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．為函數(shù)的一個周期B．是曲線的一個對稱中心C．若函數(shù)在區(qū)間,上單調(diào)遞增，則實數(shù)的最大值為D．將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后，得到一個偶函數(shù)的圖象【答案】AD【分析】A根據(jù)是否成立判斷；B整體法求函數(shù)零點橫坐標即可判斷；C由正弦函數(shù)性質(zhì)求增區(qū)間，結(jié)合已知確定參數(shù)最大值；D由圖象平移寫出平移后的解析式，進而判斷奇偶性.【詳解】A：由已知得，所以為函數(shù)的一個周期，正確；B：令，解得，顯然不是曲線的一個對稱中心，錯誤；C：由，得，令得：，因為在區(qū)間,上單調(diào)遞增，所以實數(shù)的最大值為，錯誤；D：將向右平移個單位長度后，得，因為，且的定義域為，所以函數(shù)為偶函數(shù)，正確．故選：AD11．如圖，在正方體中，點在線段上運動，有下列判斷，其中正確的是（

）A．平面平面B．平面C．異面直線與所成角的取值范圍是D．三棱錐的體積不變【答案】ABD【分析】對于A，利用線面垂直的判定定理證得平面，從而利用面面垂直的判定定理即可判斷；對于B，利用線面平行與面面平行的判定定理證得平面平面，從而得以判斷；對于C，利用線線平行將異面直線與所成角轉(zhuǎn)化為與所成的角，從而在等邊中即可求得該角的范圍，由此判斷即可；對于D，先利用線線平行得到點到面平面的距離不變，再利用等體積法即可判斷.【詳解】對于A，連接，如圖，因為在正方體中，平面，又平面，所以，因為在正方形中，又與為平面內(nèi)的兩條相交直線，所以平面，因為平面，所以，同理可得，因為與為平面內(nèi)兩條相交直線，可得平面，又平面，從而平面平面，故A正確；.

對于B，連接，，如圖，因為，，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，同理平面，又、為平面內(nèi)兩條相交直線，所以平面平面，因為平面，所以平面，故B正確；對于C，因為，所以與所成角即為與所成的角，因為，所以為等邊三角形，當與線段的兩端點重合時，與所成角取得最小值；當與線段的中點重合時，與所成角取得最大值；所以與所成角的范圍是，故C錯誤；對于D，由選項B得平面，故上任意一點到平面的距離均相等，即點到面平面的距離不變，不妨設(shè)為，則，所以三棱錐的體積不變，故D正確．故選：ABD.【點睛】關(guān)鍵點睛：解答本題關(guān)鍵在于熟練掌握線面垂直與面面垂直的判定定理、線面平行與面面平行的判定定理，能夠利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化嚴密推理.12．函數(shù)與的定義域為，且，．若的圖象關(guān)于點對稱．則（

）A．的圖象關(guān)于直線對稱 B．C．的一個周期為4 D．的圖象關(guān)于點對稱【答案】AC【分析】對于A，利用題設(shè)條件得到即可判斷；對于B，結(jié)合A中結(jié)論得到的一個周期為4即可判斷；對于C，利用B中結(jié)論得到即可判斷；對于D，取反例排除即可.【詳解】對于A，由，得，又，所以，則的圖象關(guān)于直線對稱，選項A正確；對于B，由于的圖象關(guān)于點對稱，則，由選項A的結(jié)論可知，，則，所以，則，所以函數(shù)的一個周期為4，因為，所以，，即，所以，選項B錯誤；對于C，由，及，得，則函數(shù)的一個周期為4，選項C正確；對于D，取，，滿足題設(shè)要求，但，與的圖象關(guān)于點對稱矛盾，則選項D錯誤．故選：AC．三、填空題13．已知，則的值為.【答案】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和余弦的倍角公式求解.【詳解】因為，所以，所以.故答案為：.14．若的二項展開式中的系數(shù)是，則實數(shù)的值是．【答案】2【分析】利用二項式展開式通項，結(jié)合對應(yīng)項的值列方程求參數(shù)即可.【詳解】題設(shè)二項式展開式通項為，，所以，即，故，則.故答案為：215．已知雙曲線的左、右焦點分別為，P是C右支上一點，線段與C的左支交于點M．若，且，則的離心率為．【答案】【分析】根據(jù)題意和雙曲線定義求得且，在中，利用余弦定理列出方程，化簡得到，即可求得雙曲線的離心率.【詳解】因為點是右支上一點，線段與的左支交于點，且，，所以為等邊三角形，所以由雙曲線定義得，又由，解得，則且，在中，由余弦定理得，整理得，所以雙曲線的離心率為.故答案為：.【點睛】求離心率是圓錐曲線一類?？碱}，也是一個重點、難點問題，求解橢圓或雙曲線的離心率，一般有以下幾種方法：①直接求出、，可計算出離心率；②構(gòu)造、的齊次方程，求出離心率；③利用離心率的定義以及橢圓、雙曲線的定義來求解．16．“數(shù)列”是每一項均為或的數(shù)列，在通信技術(shù)中應(yīng)用廣泛．設(shè)是一個“數(shù)列”，定義數(shù)列：數(shù)列中每個都變?yōu)椤啊保忻總€都變?yōu)椤啊保玫降男聰?shù)列．例如數(shù)列，則數(shù)列．已知數(shù)列，且數(shù)列，，記數(shù)列的所有項之和為，則．【答案】【分析】設(shè)數(shù)列中，的個數(shù)為，的個數(shù)為，可利用表示出，兩式分別作和、作差，結(jié)合等比數(shù)列通項公式可推導(dǎo)求得，從而得到，整理可得最終結(jié)果.【詳解】設(shè)數(shù)列中，的個數(shù)為，的個數(shù)為，則，，兩式相加得：，又，數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，；兩式相減得：，又，數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，；，，，.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題求解的關(guān)鍵是能夠根據(jù)所定義的變化規(guī)律，得到與所滿足的遞推關(guān)系，利用遞推關(guān)系式證得數(shù)列和均為等比數(shù)列，從而推導(dǎo)得到的通項公式.四、解答題17．已知在中，角的對邊分別為，為的面積，且.(1)求角的大小；(2)若與的內(nèi)角平分線交于點，的外接圓半徑為2，求周長的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用三角形的面積公式以及同角三角函數(shù)關(guān)系式，求出tanC的值，即可得到答案（2）由已知利用正弦定理得，由題意可求，設(shè)，則，由正弦定理，三角函數(shù)恒等變換可求的周長為，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解其最大值．【詳解】（1），，又，，，又，.（2）的外接圓半徑為，由正弦定理，，，.，，與的內(nèi)角平分線交于點，

，，設(shè)，則，且，在中，由正弦定理得，，，，的周長為，，，當，即時，的周長取得最大值，最大值為，故的周長的最大值為.18．已知數(shù)列是首項的等比數(shù)列，且是首項為的等差數(shù)列，.（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由求出數(shù)列的公比，數(shù)列的公差，從而求出數(shù)列的通項公式；（2）根據(jù)（1）中求得的結(jié)果代入中，用錯位相減法求出前項和.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公比為的公差為，則由已知條件得：，解之得：．（2）由（1）知①②①-②得：，，..19．如圖，在四棱錐中，底面，底面是直角梯形，，，，是上的點.(1)若平面，求的值；(2)若是的中點，且二面角的余弦值為，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)(2)【分析】（1）連接，交于點，由線面平行性質(zhì)可證得，又，由平行線分線段成比例可求得結(jié)果；（2）取中點，可證得四邊形為矩形，則以坐標原點可建立空間直角坐標系，利用線面垂直的判定可證得平面，可知平面的一個法向量為；設(shè)，利用二面角的向量求法可構(gòu)造方程求得；利用線面角的向量求法可求得結(jié)果.【詳解】（1）連接，交于點，連接；平面，平面，平面平面，，；，，，，即的值為.（2）取中點，連接；，，四邊形為平行四邊形，，又，四邊形為矩形，則，則以為坐標原點，正方向為軸，可建立如圖所示空間直角坐標系，，，即；平面，平面，；平面，，平面；設(shè)，則，，，，，，，，設(shè)平面的法向量，則，令，則，，；又平面的一個法向量為，，解得：；，，，直線與平面所成角的正弦值為.20．根據(jù)社會人口學(xué)研究發(fā)現(xiàn)，一個家庭有個孩子的概率模型為：1230概率其中，.每個孩子的性別是男孩還是女孩的概率均為且相互獨立，事件表示一個家庭有個孩子，事件表示一個家庭的男孩比女孩多（例如：一個家庭恰有一個男孩，則該家庭男孩多.）(1)為了調(diào)控未來人口結(jié)構(gòu)，其中參數(shù)受到各種因素的影響（例如生育保險的增加，教育、醫(yī)療福利的增加等），是否存在的值使得，請說明理由.(2)若，求，并根據(jù)全概率公式，求.【答案】(1)不存在的值使得，理由見解析(2)，【分析】（1）由概率之和為1和期望公式得到方程組，聯(lián)立得到，令，，求導(dǎo)得到其單調(diào)性和極值，最值情況，從而得到答案；（2）由和求出，并用全概率公式求出.【詳解】（1）不存在的值使得，理由如下：由題意得，①，且②，由②得到，將其代入①，整理得到，令，，則，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，故在處取得極小值，也是最小值，又，故無解，所以不存在的值使得（2）若，則，解得，，，，由全概率公式可得，因為，，所以.21．已知點，點是圓：上任意一點，線段的垂直平分線交于點，點的軌跡記為曲線．（1）求曲線的方程；（2）過的直線交曲線于不同的，兩點，交軸于點，已知，，求的值．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)及幾何關(guān)系，結(jié)合橢圓的定義，求得曲線的方程；（2）過的直線斜率為0時，直接求出，可得，斜率不為0時可設(shè)為，，再聯(lián)立方程組，運用根與系數(shù)的關(guān)系，化簡向量式并表示出，化簡可得.【詳解】解：（1）由題意知，，故由橢圓定義知，點的軌跡是以點，為焦點，長軸為6，焦距為4的橢圓，從而長半軸長為，短半軸長為，∴曲線的方程為：．（2）由題意知，若直線恰好過原點，則，，，∴，，則，，，則，∴．若直線不過原點，設(shè)直線：，，，，．則，，，，由，得，從而；由，得，從而；故．聯(lián)立方程組得：整理得，∴，，∴．綜上所述，．【點睛】本題考查了橢圓的定義，直線與橢圓的位置關(guān)系，向量共線的坐標表示，橢圓中的定值問題，還考查了設(shè)而不解，聯(lián)立方程組，