第四五章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征

第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的概率分布反映了隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，但是在實(shí)際問題中，要確定一個(gè)隨機(jī)變量的分布不是一件容易的事情．在許多情況下，并不需要求出隨機(jī)變量的分布，只須知道從不同角度反映隨機(jī)變量取值特征的若干個(gè)數(shù)字就夠了，這些數(shù)字就稱為隨機(jī)變量的數(shù)字特征．本章將討論隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望、方差、矩以及相關(guān)系數(shù)，它們在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中起著重要的作用．第一節(jié)數(shù)學(xué)期望一、離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望例1一臺機(jī)床加工某種零件，已知它加工出優(yōu)質(zhì)品、合格品和廢品的概率依次為0.2、0.7和0.1．如果出售優(yōu)質(zhì)品和合格品，每一個(gè)零件可分別獲利0.40元和0.20元；如果加工出一件廢品則要損失0.10元．問這臺機(jī)床每加工出一個(gè)零件，平均可獲利多少元？解以X表示加工出一個(gè)零件所獲得的利潤，則X的分布律為X－0.100.200.40

Y

0.10.70.2現(xiàn)假設(shè)該機(jī)床加工

個(gè)零件，其中廢品

件，合格品

件，優(yōu)質(zhì)品件，這里

.則這個(gè)零件可以獲得總利潤為，平均每個(gè)零件可獲利為.其中，和分別是事件、和出現(xiàn)的頻率．當(dāng)很大時(shí)，，和分別接近于0.1、0.7和0.2，于是可以期望該機(jī)床加工出的每一個(gè)零件所獲得的平均利潤為（元）上述結(jié)果稱為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望．定義1設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為則稱（要求此級數(shù)絕對收斂） （1）為X的數(shù)學(xué)期望(或均值)．

例2設(shè)X服從參數(shù)為p的(0－1)分布，求X的數(shù)學(xué)期望．解

X的分布律為

X01

P1－pp.例3設(shè)，求．解

X的分布律為例4設(shè)，求．解

例5已知10件產(chǎn)品中有2件次品，求任意取3件中次品數(shù)的數(shù)學(xué)期望．解以X表示任取3件中次品的個(gè)數(shù)，可取值為0,1,2，其分布律為因此.二、連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望

例6設(shè)X在[a,b]上服從均勻分布，求E(X)．解

X的概率密度為

.例7設(shè)X服從參數(shù)為的指數(shù)分布，求E(X)．定義2設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為f(

x

),則稱（要求此積分絕對收斂)為X的數(shù)學(xué)期望(或均值)．(2)解

X的概率密度為

例8設(shè)，求．解

三、隨機(jī)變量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望例9設(shè)X的分布律為

X－2

－1

0

1

/2

1P1/61/31/41/121/6求、．

定理1設(shè)隨機(jī)變量Y是隨機(jī)變量X的函數(shù):Y=g(X

);

（1）若X為離散型,且分布律為則

.（2）若X為連續(xù)型，其密度為f

(x)，則．(3)(4)解

.例10設(shè)，求．解.例11設(shè)X在區(qū)間(0,a)上服從均勻分布，求的數(shù)學(xué)期望．解

X的密度為則.例12設(shè)X的概率密度為，求、．解

例13設(shè)(X,Y)的聯(lián)合密度為求E(X)、E(XY)．定理2設(shè)隨機(jī)變量Z是X、Y的函數(shù)Z=g

(X,Y)；（1）若(X,Y)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，聯(lián)合密度為f(x,y)，則

.

（2）若(X,Y)為二維離散型隨機(jī)變量，聯(lián)合分布律為．則（5）解

.

四、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)（設(shè)、存在）

性質(zhì)1設(shè)C為常數(shù)，則有E

(C)=C．性質(zhì)2．性質(zhì)3．證只對連續(xù)型隨機(jī)變量的情形來證明,離散型的證明從略．設(shè)(X,Y)的概率密度為f

(x,y)，則有性質(zhì)4若X、Y相互獨(dú)立，則E(XY)=E(X)E(Y)．證只對連續(xù)型加以證明．設(shè)(X,Y)的聯(lián)合密度為f(x,y),關(guān)于X、Y的邊緣密度分別為fX(x)、fY(y).則有f(x,y)=fX(x)

fY(y)，于是例14設(shè)X與Y獨(dú)立，求．

思考題是否任何一個(gè)隨機(jī)變量都存在數(shù)學(xué)期望？請研究隨機(jī)變量X，其概率密度為解第二節(jié)方差

一、方差的定義定義3

D(X)=E{[X－E(X)]2}(6)稱為隨機(jī)變量X的方差．稱為X的均方差或標(biāo)準(zhǔn)差．二、方差的計(jì)算公式1．設(shè)X為離散型隨機(jī)變量，分布律為則

.(7)2．設(shè)X為連續(xù)型隨機(jī)變量，概率密度為f(x),則

.（8）3． ．（9）證明如下例1設(shè)X服從參數(shù)為p的(0－1)分布，求D(X)．

X

0

1

p1－p

p解E(X)=p,

例2設(shè)，求D(X)．解，．.例3設(shè)X在[a,b]上服從均勻分布，求D(X)．解,例4設(shè)X服從參數(shù)為

的指數(shù)分布，求D(X)．解，．例5設(shè)，求D(X)．解,..三、方差的性質(zhì)性質(zhì)1設(shè)C為常數(shù)，則D(C)=0．證．性質(zhì)2.證.性質(zhì)3設(shè)X與Y相互獨(dú)立，則有

.

證例6設(shè)，求．解設(shè)服從參數(shù)為p的

分布，且相互獨(dú)立，則．于是

.例7設(shè)X與Y相互獨(dú)立，，，求．解

.例8設(shè)E(X)、D(X)均存在，且D(X)＞0，，求、．解

.稱為X的標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量．例9設(shè)相互獨(dú)立，并且具有相同的期望與方差，，求、、．解

...（11）為X與Y的相關(guān)系數(shù)或標(biāo)準(zhǔn)協(xié)方差．稱.（12）

.性質(zhì)1．．（a,b為常數(shù)）．性質(zhì)2，．性質(zhì)3若X與Y相互獨(dú)立，則．定義4稱為X與Y的協(xié)方差，記作．（10）第三節(jié)協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)例1設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率分布為

Y－101

X－1

1/81/81/8

01/801/811/81/81/8證明X與Y不相關(guān)，但X與Y不相互獨(dú)立．證

(X,Y)關(guān)于X

和Y的邊緣分布為

X－1

01

P3/82/83/8性質(zhì)4的充分必要條件是：存在常數(shù)a,b，使得=1．當(dāng)時(shí)，稱X與Y不相關(guān)．由于即有,所以X與Y不相互獨(dú)立．Y－1

01P3/82/83/8

于是有因此，即X與Y