專題09導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性（重難點(diǎn)突破）

專題09導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性【重難點(diǎn)知識點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)】：【重難點(diǎn)題型突破】：一、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的的單調(diào)性（1）利用導(dǎo)數(shù)判斷或證明一個函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性，實質(zhì)上就是判斷或證明不等式（）在給定區(qū)間上恒成立．一般步驟如下：①求導(dǎo)數(shù)；②判斷的符號；③給出單調(diào)性結(jié)論．（2）在利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，首先要確定函數(shù)的定義域，解題過程中，只能在定義域內(nèi)討論，定義域為實數(shù)集可以省略不寫．在對函數(shù)劃分單調(diào)區(qū)間時，除必須確定使導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)外，還要注意在定義域內(nèi)的不連續(xù)點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)．（3）當(dāng)求得的單調(diào)區(qū)間不止一個時，單調(diào)區(qū)間要用“，”或“和”字等隔開，不要用符號“∪”連接．例1.(1)、（2022秋·高二?？计谀┖瘮?shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】求出函數(shù)的定義域，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)小于0求出x的范圍，寫出區(qū)間形式即得到函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間．【詳解】函數(shù)的定義域為，，令，∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，故選：A(2)、（2023·江蘇蘇州·蘇州中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知，若，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先證明此函數(shù)為偶函數(shù)，再利用其導(dǎo)函數(shù)得到其單調(diào)性，利用其是偶函數(shù)得到，，通過指數(shù)函數(shù)單調(diào)性得，再根據(jù)冪函數(shù)性質(zhì)證明出，同取對數(shù)得到，則有，再利用單調(diào)性即可得到大小關(guān)系.【詳解】因為，定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，，所以為上的偶函數(shù)，當(dāng)時,，設(shè)，則，，，所以即在上單調(diào)遞減,所以,所以在上單調(diào)遞減,又因為為偶函數(shù),所以在上單調(diào)遞增，又因為,,又因為,因為,，所以,所以，即,所以,所以,即.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題首先證明函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，對于其單調(diào)性的求解需要二次求導(dǎo)，其次就是利用函數(shù)的奇偶性對進(jìn)行一定的變形得，,然后就是比較的大小關(guān)系，需要結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性以及冪函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行合理放縮，對于這種較為接近的數(shù)字比較大小問題，通常需要利用函數(shù)的單調(diào)性以及尋找合適的中間量放縮.(3)、（2022秋·上海浦東新·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍是___________.【答案】【分析】先由函數(shù)奇偶性的判斷得到是奇函數(shù)，再由導(dǎo)數(shù)得到在上單調(diào)遞增，從而利用的奇偶性與單調(diào)性即可解得不等式得到的取值范圍.【詳解】因為，所以的定義域為，顯然關(guān)于原點(diǎn)對稱，又，所以是奇函數(shù)，又，所以在上單調(diào)遞增，所以由得，則，所以，即，解得，即.故答案為：.【變式訓(xùn)練1-1】、（2022·全國·高二假期作業(yè)）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)小于0，即可得到單調(diào)遞減區(qū)間.【詳解】解：由題意，在中，當(dāng)時，解得（舍）或當(dāng)即時，函數(shù)單調(diào)遞減∴單調(diào)遞減區(qū)間為故選：B.【變式訓(xùn)練1-2】、（2021秋·陜西渭南·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，，，，則，，的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再比較的大小，再利用函數(shù)的單調(diào)性可得結(jié)果.【詳解】由，得，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，因為在上單調(diào)遞增，且，所以，即，因為，所以，所以，即，故選：A.【變式訓(xùn)練1-3】、（2022秋·新疆巴音郭楞·高二新疆和靜高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為________.【答案】【分析】求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)小于等于0，即可求解.【詳解】由題意得，令，解得，所以單調(diào)遞減區(qū)間為，故答案為：例2．（2022秋·北京·高三?？计谥校┮阎瘮?shù)．(1)求在點(diǎn)處的切線方程；(2)判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并說明理由；(3)求證：．【答案】(1)(2)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)；理由見解析(3)證明見解析【分析】（1）求導(dǎo)得到導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)計算切線斜率，得到直線方程.（2）求導(dǎo)得到導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)大于零恒成立得到證明.（3）題目轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最大值，求導(dǎo)得到導(dǎo)函數(shù)，構(gòu)造，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到存在唯一實數(shù)，使得，根據(jù)單調(diào)性得到最值點(diǎn)，代換得到，再計算最值得到答案.【詳解】（1），得，，，切線方程為：．（2）函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)．理由如下：因為，所以，，因此，，故恒成立，故在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)．（3）證明“”等價于證明“”．由題意可得，，因為，再令，則，所以在上單調(diào)遞減．因為，，所以存在唯一實數(shù)，使得，其中．，，變化如下表所示：0極大值所以為函數(shù)的極大值．因為函數(shù)在有唯一的極大值，所以．因為，所以．設(shè)，，，故在上單調(diào)遞增，故，因為，所以．所以．【點(diǎn)睛】本題參考了切線方程，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，證明函數(shù)不等式，意在考查學(xué)生的計算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中將不等式轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值是解題的關(guān)鍵.【變式訓(xùn)練2-1】、（2022·湖北十堰·丹江口市第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)且，求證：．【答案】(1)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為(2)證明見解析【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)即可求解單調(diào)性，（2）根據(jù)式子恒等變形可得，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，根據(jù)單調(diào)性即可求證.（1），令，解得．當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增．所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．（2）證明：由，得，即，所以，令，則，且．要證，即只需證，即只需證，因為，且在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以只需證，即只需證，即證．設(shè)，則，當(dāng)時，，．故，因此在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，故當(dāng)時，，因此，命題得證．【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用，以及函數(shù)問題的證明，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、邏輯推理能力與計算能力，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個角度進(jìn)行：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求解曲線在某點(diǎn)處的切線方程；(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)；(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決函數(shù)的恒成立與有解問題，同時注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.例3、（2022秋·廣東佛山·高三順德一中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)我們知道，函數(shù)的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對稱的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)成中心對稱的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)．依據(jù)推廣結(jié)論，求函數(shù)圖像的對稱中心，并說明理由．(3)請利用函數(shù)的對稱性，求的值；【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間是，；單調(diào)遞減區(qū)間是(2)對稱中心為，理由見解析(3)4042【分析】（1）求導(dǎo)之后解不等式可求解；（2）根據(jù)定義可證明并求得對稱中心；（3）由對稱中心的性質(zhì)可求解.（1），則．令，可解得或所以的單調(diào)遞增區(qū)間是，；令，可解得所以的單調(diào)遞減區(qū)間是；綜上，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，；單調(diào)遞減區(qū)間是（2）設(shè)的圖象的對稱中心為，則為奇函數(shù)，所以，即，所以，即，整理得，（對函數(shù)定義域內(nèi)的任意都成立），所以，解得，所以函數(shù)的圖象的對稱中心為；（3）由（2）知函數(shù)圖象的對稱中心為，所以，則，又，所以；【變式訓(xùn)練3-1】、（2022·全國·高二假期作業(yè)）求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(1).(2).【答案】(1)減區(qū)間為，增區(qū)間為(2)減區(qū)間為：和，增區(qū)間為【分析】利用導(dǎo)數(shù)求得（1）（2）中函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【詳解】（1）的定義域為，，所以在區(qū)間遞減；在區(qū)間遞增.所以的減區(qū)間為，增區(qū)間為.（2）的定義域為，，所以在區(qū)間和，遞減；在區(qū)間，遞增.所以的減區(qū)間為：和，增區(qū)間為.二、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)圖像的關(guān)系判斷函數(shù)與導(dǎo)數(shù)圖象間對應(yīng)關(guān)系時，首先要弄清所給圖象是原函數(shù)的圖象還是導(dǎo)函數(shù)的圖象，其次對于原函數(shù)，要注意其圖象在哪個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在哪個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；而對于導(dǎo)函數(shù)，則應(yīng)注意其函數(shù)值在哪個區(qū)間內(nèi)大于零，在哪個區(qū)間內(nèi)小于零，并分析這些區(qū)間與原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是否一致．例4.(1)、（陜西省漢中市2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期第四次校際聯(lián)考文科數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，那么函數(shù)（

）A．在上單調(diào)遞增 B．在上單調(diào)遞減C．在上單調(diào)遞增 D．在上單調(diào)遞減【答案】D【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)圖象判斷出原函數(shù)的單調(diào)性.【詳解】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖象可知，在區(qū)間上遞減，在區(qū)間上，遞增，所以D選項正確，ABC選項錯誤.故選：D(2)、（2022春·廣西玉林·高二?？茧A段練習(xí)）己知函數(shù)的圖象如圖所示（其中是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)），則下面四個圖象中，的圖象大致是（

）A．B．C． D．【答案】C【分析】先利用函數(shù)的圖象求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而得到正確選項.【詳解】由題給函數(shù)的圖象，可得當(dāng)時，，則，則單調(diào)遞增；當(dāng)時，，則，則單調(diào)遞減；當(dāng)時，，則，則單調(diào)遞減；當(dāng)時，，則，則單調(diào)遞增；則單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為故僅選項C符合要求.故選：C【變式訓(xùn)練4-1】、（2017·遼寧沈陽·高二東北育才學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知是的導(dǎo)數(shù)，且的圖象如圖所示，則下列關(guān)于說法正確的是（

）A．在上是增函數(shù) B．在上是增函數(shù)C．在上是增函數(shù) D．在上是減函數(shù)【答案】D【分析】結(jié)合圖象求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可．【詳解】解：結(jié)合圖象：時，，故，時，，故，時，，故，時，，故，故在遞增，在遞減，在遞增，在遞減；故選：D．【變式訓(xùn)練4-2】、（2022春·四川綿陽·高二?？计谥校┮阎瘮?shù)（是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)）的圖象如圖所示，則的大致圖象可能是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】設(shè)函數(shù)的圖象在軸上最左邊的一個零點(diǎn)為，根據(jù)函數(shù)的圖象得到的正負(fù)，即得解.【詳解】解：設(shè)函數(shù)的圖象在軸上最左邊的一個零點(diǎn)為，且.當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減.故選：C三、導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用（1）已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的值或取值范圍問題，是一類非常重要的題型，其基本解法是利用分離參數(shù)法，將或的參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題．（2）利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的零點(diǎn)問題時，一般先由零點(diǎn)的存在性定理說明在所求區(qū)間內(nèi)至少有一個零點(diǎn)，再利用導(dǎo)數(shù)判斷在所給區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性，由此求解．例5.(1)、（2022秋·河南·高三期末）函數(shù)在上不單調(diào)，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】函數(shù)定義域為，由函數(shù)在上不單調(diào)，則在上有零點(diǎn)，即方程在上有根，所以，進(jìn)而求解.【詳解】函數(shù)定義域為，由題意，函數(shù)在上不單調(diào)，所以在上有零點(diǎn)，即方程在上有根，即方程在上有根，所以，即，所以實數(shù)的取值范圍為.故選：C.(2)、（2021秋·吉林四平·高三四平市第一高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】確定函數(shù)定義域，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)小于0，即可求得答案.【詳解】由題意函數(shù)的定義域為，，當(dāng)時，，故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，故選：D.(3)、（2022秋·遼寧沈陽·高三沈陽市第一二〇中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)，則不等式的解集為__________.【答案】【分析】首先判斷的奇偶性，再利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性，則不等式等價于，再令，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)的最大值，從而求出不等式的解集.【詳解】解：定義域為，且，所以是奇函數(shù)，又，所以在上單調(diào)遞增，則不等式，即，等價于，即，令，，，當(dāng)時，，此時單調(diào)遞增，當(dāng)時，，此時單調(diào)遞減.所以,又因為需要,所以又，所以不等式的解集為.故答案為：【變式訓(xùn)練5-1】、（2022秋·河南鄭州·高三安陽一中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由題意可知不等式在上恒成立，對稱軸為.分別對、、三種情況討論函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)對應(yīng)的最小值，結(jié)合m的取值范圍分別求出、取值范圍即可.【詳解】因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以不等式在上恒成立，令，，對稱軸為.當(dāng)即時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，得，所以，由知，，無法判斷的取值范圍；，由知，，無法判斷的取值范圍；當(dāng)即時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，得，所以，由知，，；當(dāng)即時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，所以，.故選：D.【變式訓(xùn)練5-2】、（2022·全國·高二假期作業(yè)）已知在區(qū)間上為單調(diào)遞增函數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，推出在區(qū)間上恒成立，構(gòu)造函數(shù)，求解函數(shù)的最值，從而求出實數(shù)的取值范圍．【詳解】在區(qū)間上為單調(diào)遞增函數(shù)則在區(qū)間上恒成立即在區(qū)間上恒成立設(shè)，函數(shù)在上是減函數(shù)，則所以．故選：D．【變式訓(xùn)練5-3】、（2023·全國·模擬預(yù)測）若函數(shù)在上存在單調(diào)遞減區(qū)間，則m的取值范圍是______．【答案】【分析】先對求導(dǎo)，將問題轉(zhuǎn)化為在上有解，即在上有解，利用換元法與基本不等式求出的最大值即可得解.【詳解】因為，所以，則原向題等價于在上有解，即在上有解，即在上有解，令，則，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，此時，所以，則，所以，即.故答案為：.例6．（2022秋·廣東東莞·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)設(shè)函數(shù)，若對任意的，恒成立（，分別是，的導(dǎo)函數(shù)），求實數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)答案見解析；(2)．【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，分類討論確定的正負(fù)，得單調(diào)性；（2）時不等式成立，時，不等式變形為，然后引入函數(shù)，證明時，，從而得，由此可得的范圍．【詳解】（1）的定義域是，，時，時，，時，，的減區(qū)間是，增區(qū)間是；時，由得或，時，，或時，，時，，的增區(qū)間是和，減區(qū)間是；時，，恒成立，的增區(qū)間是，無減區(qū)間；時，，或時，，時，，的增區(qū)間是和，減區(qū)間是；綜上所述，時，在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)；時，在區(qū)間和上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)；時，在區(qū)間上是增函數(shù)；時，在區(qū)間和上是增函數(shù)，在區(qū)間是減函數(shù)；（2），，即，，時，此不等式成立，時，不等式變形為，設(shè)，則，令，則，時，，即，所以單調(diào)遞增，所以，即，所以單調(diào)遞增，所以時，，所以時，，，∴，所以，．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：不等式恒成立求參數(shù)范圍問題的兩種思路：一是用分離參數(shù)法，轉(zhuǎn)化為求新函數(shù)的最值，從而得出參數(shù)范圍，二是直接求函數(shù)的最值，由這個最值滿足的不等關(guān)系求得參數(shù)范圍．【變式訓(xùn)練6-1】、（2022·全國·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知(1)若，討論的單調(diào)性；(2)若對任意恒成立，求a的取值范圍.【答案】(1)在上單調(diào)遞增(2)【分析】（1）求導(dǎo)可得，再求導(dǎo)分析的最小值，進(jìn)而可得的單調(diào)性；（2）將題意轉(zhuǎn)化為對任意恒成立，再構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)分析單調(diào)性，結(jié)合求解即可.【詳解】（1），令，則，易得為增函數(shù)，令有，故當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增.故.又，故，即，在上單調(diào)遞增.（2）即，對任意恒成立.設(shè)，則.，令，則，故為增函數(shù).又，且，故若要恒成立，則，即.此時對任意恒成立.【點(diǎn)睛】本題主要考查了求導(dǎo)分析函數(shù)單調(diào)性的問題，同時也考查了構(gòu)造函數(shù)解決恒成立問題，需要根據(jù)題意將所證明不等式移到不等號的同一側(cè)，再構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)分析單調(diào)性，結(jié)合特殊點(diǎn)處的函數(shù)值進(jìn)行證明.屬于難題.例7．（2022秋·江蘇·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)