2574蜘蛛網(wǎng)的環(huán)形與螺旋結(jié)構(gòu)

第五屆“認證杯”數(shù)學(xué)中國數(shù)學(xué)建模網(wǎng)絡(luò)挑戰(zhàn)賽承諾書我們仔細閱讀了第五屆“認證杯”數(shù)學(xué)中國數(shù)學(xué)建模網(wǎng)絡(luò)挑戰(zhàn)賽的競賽規(guī)則。我們完全明白，在競賽開始后參賽隊員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規(guī)則的,如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻的表述方式在正文引用處和參考文獻中明確列出。我們鄭重承諾，嚴格遵守競賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴肅處理。我們允許數(shù)學(xué)中國網(wǎng)站（）公布論文，以供網(wǎng)友之間學(xué)習(xí)交流，數(shù)學(xué)中國網(wǎng)站以非商業(yè)目的的論文交流不需要提前取得我們的同意。我們的參賽隊號為：參賽隊員（簽名）：隊員1隊員2：隊員3：參賽隊教練員（簽名）：參賽隊伍組別：第五屆“認證杯”數(shù)學(xué)中國數(shù)學(xué)建模網(wǎng)絡(luò)挑戰(zhàn)賽編號專用頁參賽隊伍的參賽隊號：競賽統(tǒng)一編號（由競賽組委會送至評委團前編號）競賽評閱編號（由競賽評委團評閱前進行編號）：題目蜘蛛網(wǎng)的環(huán)形與螺旋結(jié)構(gòu)摘要蜘蛛網(wǎng)的結(jié)構(gòu)是由n條橫線和多條縱線組成的，各縱線之間的夾角0相等,夾在相鄰縱線之間的橫線是一條直線段，并且相鄰橫線之間的距離d都相等。本文針對蜘蛛網(wǎng)的環(huán)形結(jié)構(gòu)建立數(shù)學(xué)模型一，考慮到蜘蛛網(wǎng)的受力情況，把模型一分為兩種情形。第一種情形是昆蟲被懸掛在蜘蛛網(wǎng)上，第二種情形是昆蟲在正常飛行時意外撞擊網(wǎng)而被粘住的過程。我們使用的求解工具是，使用的畫圖工具是和程序。模型一具有穩(wěn)定性強并節(jié)約材料的特點。在模型一的基礎(chǔ)上，本文提出了模型二，在模型二中蜘蛛網(wǎng)的橫線構(gòu)成螺旋結(jié)構(gòu)。螺旋結(jié)構(gòu)中蜘蛛網(wǎng)同樣擁有n條橫線，在縱線上搭一條螺旋延伸向外的曲線，這條螺旋線的起點在距離網(wǎng)心的d1并在水平正方向的骨架開始圍繞著網(wǎng)心盤旋延伸向外，夾在相鄰縱線之間的螺旋線是一段弧，螺旋模型具有覆蓋面積廣和蜘蛛織網(wǎng)快速方便的特點，這就為蜘蛛捕食帶來方便。而兩個模型都是有n條骨架的支撐，具有足夠的承受力和穩(wěn)固能力。在兩個模型的建立中我們都做了相應(yīng)的合理的假設(shè)，即假設(shè)模型是都在理想條件下做出的，如此就為計算帶來便捷。所以模型二的建立可用阿基米德螺旋線知識。蜘蛛織成這樣的結(jié)構(gòu)是科學(xué)的，也是最合適的。蜘蛛結(jié)網(wǎng)是為了捕食，由此我們聯(lián)想到了生活中人類與商品及食物的捕食關(guān)系，同時蛛網(wǎng)的彈性特點給了我們啟示，從而建立模型的推廣。商品供需與價格漲幅之間正好是此消彼長的彈性關(guān)系，建立這兩者的函數(shù)表達式，從圖形直觀反映到對函數(shù)模型客觀的分析過程中我們就能感受到蛛網(wǎng)模型在經(jīng)濟領(lǐng)域的微觀存在，從而領(lǐng)略蛛網(wǎng)模型的奧妙萬千。關(guān)鍵詞：蜘蛛網(wǎng)環(huán)形螺旋形阿基米德螺旋線參賽隊號 2574 參賽密碼 （由組委會填寫）所選題目 A參賽密碼 （由組委會填寫）SummaryWebRing-likestructureofthebuildingismadeupof50framesandcircle,equaltotheangle0betweentheadjacentskeleton,trappedintheadjacentlooplineisastraightlinesegmentbetweentheskeletonanddisthedistancebetweentheadjacentlinks.ThisessaybuildsamathematicalmodelIforring-likestructureoftheWeb,takingintoaccounttheforceofthespider'sWeb,thefirst,speciesofinsectsarehangingonaspider'sWeb,thesecondscenarioistheinsectwasstuckinnormalflightaccidentwhenimpactnetwork.UsingMatlabandc#winFormprogramtodrawandtosolvetheproblemofthemodelI.Consequently,wefoundwhenn=50,and0=7.2theSpiderWeb'sskeletonsgettotheoptimum.ModelIhastheabilitytoconsolidateandsavematerialcharacteristics.OnthebasisofmodelI,wepresentedmodelII,whichisspiralstructure.SpiralstructureintheSpiderWebalsohas50sectionskeleton,upontheskeleton,takeasectionspiralextendsfirstoutsideofcurve,thissectionspiralofstartingpointindistancenetworkheartofd1andaredirectionofskeletonbeganaroundwithnetworkheartcirclingextendstooutsideinlevel,endandstartingpointfallsinsamerootskeleton,clipinadjacentskeletonofspiralisaarc,spiralmodelhasthefeatureofcoveringareawide,whichbringsconveniencesforSpiderpredator.Whilethetwomodelsare50skeletonofsupport,withadequateenduranceandsternability,wehavedonethereasonableassumptionduringtheestablishmentoftwomodels,thatassumptionmodelismadeinidealconditions,sobringconveniencetothecalculation.ModelIItakesadvantagesofArchimedeanspiralsavailableknowledge.However,Spidersweavesuchascientificstructure,whichisthemostappropriate.Spiderisjumpingtoapredator;wecometothinkofalivinghumanandpredator-preyrelationshipsforgoodsandfood,atthesametimeelasticcharacteristicoftheWebhasgivenusinspirationtobuildmodelsofpromoting.Betweensupplyanddemandandpriceofgoodsthisshifthappenstobeelastic,establishedthefunctionsofthetwoexpressions,reflectedfromthegraphicstotheobjectivefunctionmodelanalysisintheprocesswewillbeabletofeeltheCobwebmodelinthefieldofeconomicexistence,thereby,todiscoverthewondersoftheCobwebmodel.問題重述曾看到這樣一則謎語：“小小諸葛亮，穩(wěn)坐軍中帳。擺下八卦陣，只等飛來將?！眲右幌履X筋，這說的是什么呢？原來是蜘蛛，后兩句正是講的蜘蛛結(jié)網(wǎng)捕食的生動情形。眾所周知，蜘蛛網(wǎng)不僅是蜘蛛棲息的地方，而且是它賴以捕食生存的工具。蜘蛛于身就有的結(jié)網(wǎng)本能令我們?nèi)祟惏V迷。蜘蛛結(jié)網(wǎng)所用的蛛絲，比頭發(fā)絲還細，但經(jīng)過精細的組織形成的蜘蛛網(wǎng)的強度卻超過同等粗細的鋼鐵。因此歷來以比鋼鐵結(jié)實、其編織形式巧奪天工、比“凱夫拉”纖維堅韌而著稱。但是，單單這一點還不足以解釋蜘蛛網(wǎng)是怎樣承受住例如一根墜落樹枝突如其來的切力的。蜘蛛網(wǎng)常見的結(jié)構(gòu)，即由一個中心伸出的若干放射狀絲線和圍繞這個中心的螺旋狀絲線構(gòu)成的網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)，也保證了蜘蛛網(wǎng)經(jīng)久耐用。實驗顯示，整張蜘蛛網(wǎng)能對抗颶風(fēng)的襲擊。另外，盡管局部受力有可能致使網(wǎng)中的一條蜘蛛絲斷裂，但整張網(wǎng)的其他部分仍完好無損，可以繼續(xù)發(fā)揮作用。而且，令人驚奇的是，科學(xué)家們發(fā)現(xiàn)，從蜘蛛網(wǎng)上不同的地方抽走10%的蜘蛛絲，不僅不會讓蜘蛛網(wǎng)變得更弱，反而會讓其強度增加10%。然而蜘蛛也有自己不同的蜘蛛網(wǎng)類型以適應(yīng)不同的環(huán)境和情況。第一種是我們最常見到的圓網(wǎng)，也就是所說的八卦網(wǎng)，網(wǎng)在一個平面上，蛛絲由中央向四周輻射狀排列，中間再聯(lián)以很多橫絲。第二種叫漏斗網(wǎng)，網(wǎng)的形狀象個漏斗，旁邊還有一個絲質(zhì)的管，供蜘蛛在網(wǎng)上行動時的出入口。第三種網(wǎng)呈三角形，叫三角網(wǎng)。第四種叫華蓋網(wǎng)，把絲織成絲層，排于一平面上，其他的絲不規(guī)則地向各方伸延。第五種網(wǎng)是不規(guī)則狀的向各方伸出，就叫不規(guī)則網(wǎng)。不管那一種網(wǎng)，在捕捉昆蟲上都是卓有成效的。每當(dāng)一個小昆蟲撞到網(wǎng)上，被粘住后，蜘蛛就快速地爬過去將它抓住。如果獵獲物還在網(wǎng)上掙扎，蜘蛛就會通過腹部排出的一束白絲將獵物牢牢地纏起來。那么到底哪一種才是最穩(wěn)固最牢固的結(jié)構(gòu)呢？又是如何運用這種結(jié)構(gòu)達到穩(wěn)固的效果的呢？蜘蛛網(wǎng)之間的絲應(yīng)該如何構(gòu)造使得蜘蛛網(wǎng)的承受力達到最大，不至要捕捉的昆蟲沖破網(wǎng)逃走。在蜘蛛網(wǎng)的覆蓋面積達到最大的情況下網(wǎng)絲之間的距離和角度應(yīng)該如何安排才能不使捕捉物從絲與絲之間的縫隙逃走。二、 符號規(guī)定F表示合力NF表示蛛絲的最大承受力絲F、F表示網(wǎng)絲的受力12r為昆蟲半徑V表示昆蟲體積v表示昆蟲碰撞蜘蛛網(wǎng)時的速度s蟲表示昆蟲碰撞蜘蛛網(wǎng)時發(fā)生的位移0骨架之間的圓周角d蜘蛛網(wǎng)的兩橫線之間的距離a縱線與水平線之間的夾角n表示網(wǎng)絲縱線的總條數(shù)d表示螺旋線旋轉(zhuǎn)一周向外延伸的距離1S 表示模型一中蛛絲總長度1S表示模型二中蛛絲總長度2S螺旋線的總長度a螺旋線每轉(zhuǎn)動1。時，螺線極經(jīng)增加的量t螺線旋轉(zhuǎn)的角度01、02分別為積分上下限K勁度系數(shù)R蜘蛛網(wǎng)的半徑。A阿基米德螺旋系數(shù)，皿表示每轉(zhuǎn)】。時極經(jīng)的增加量。t極角，單位為度，表示阿基米德螺旋線轉(zhuǎn)過的總度數(shù)。卩0當(dāng)t-0。時的極經(jīng)，mm。k表示縱線和橫線的彈性系數(shù)p表示昆蟲密度。m表示昆蟲質(zhì)量g表示重力加速度S表示蜘蛛網(wǎng)的有效捕捉面積效S表示縱線的重疊面積縱S表示橫線之間的重疊面積橫n2表示環(huán)數(shù)三、 模型假設(shè)蜘蛛在結(jié)網(wǎng)的過程中不會受到外界因素的影響，并且蜘絲足夠?？v線之間的夾角相等。橫線之間的距離相等。每根蛛絲最大承受力度相同且均為F。假設(shè)蜘蛛在蛛網(wǎng)過程中它的大小對整個網(wǎng)無影響。假設(shè)蜘蛛網(wǎng)是圓周形的。在昆蟲碰撞蜘蛛網(wǎng)的時候，不考慮蜘蛛的重力的影響。假設(shè)昆蟲是球形的。假設(shè)縱線和橫線的承受能力相同。假設(shè)縱線和橫線的彈性系數(shù)相同。四、 定義網(wǎng)心：蜘蛛網(wǎng)的中心，也就是蜘蛛網(wǎng)各星射線的焦點。縱線:從蜘蛛網(wǎng)的網(wǎng)心向四周發(fā)出的星射線。橫線：搭在從蜘蛛網(wǎng)的縱線之間的圍著網(wǎng)心圍繞的網(wǎng)絲蛛絲：包括縱線和橫線。結(jié)點：兩蛛絲的交點。五、 問題分析與模型建立為了使蜘蛛使用相同蛛絲的前提下，能夠捕獲更多的昆蟲，根據(jù)數(shù)學(xué)中的等周長定理“在同等的周長條件下圓的面積最大”和定理“兩點間的距離，直線段最短”，我們提出了環(huán)形模型和螺旋形模型。在環(huán)形模型和螺旋形模型中，蜘蛛網(wǎng)都是由縱線和橫線構(gòu)成的，縱線是星射線狀的蛛絲，構(gòu)成蜘蛛網(wǎng)的骨架，沒有粘性，橫線是粘在縱線之間的蛛絲，構(gòu)成環(huán)形或者螺旋形，且有粘性。并且縱線夾角相等且為，相鄰且平行的橫線之間的距離都為d。由于昆蟲碰撞蜘蛛網(wǎng)的時候，最脆弱的部分是單條蛛絲，所以我們首先從昆蟲碰撞單條蛛絲開始分析。假設(shè)蜘蛛網(wǎng)是水平的，這時有一只半徑為r的昆蟲墜落并碰撞蜘蛛網(wǎng)，然后被橫線粘住。我們把這一過程分為以下三種情形：情形一是昆蟲碰撞蜘蛛網(wǎng)的位置在任意一條縱線的相鄰兩結(jié)點之間。此時此條縱線情形二是昆蟲碰撞蜘蛛網(wǎng)的位置在任意一條橫線上。此時此條橫線將承受整個昆蟲的沖擊力。如圖二所示：情形三是昆蟲碰撞蜘蛛網(wǎng)的位置在網(wǎng)心。此時各縱線共同分擔(dān)此沖擊力，且各縱線的受力大小相等。如圖三所示：蜘蛛結(jié)網(wǎng)的目的是為了捕捉食物，這要求蜘蛛網(wǎng)要承受得住懸掛昆蟲的重力以及昆蟲飛行時對其的沖力。F1，F(xiàn)2為蛛絲的受力，當(dāng)物體懸掛在網(wǎng)心時，物體受力平衡。為方便分析，本文將懸掛物視為質(zhì)點，此時的受力平衡圖為（圖二）。當(dāng)昆蟲在勻速飛行中意外被蜘蛛網(wǎng)網(wǎng)住，昆蟲從這一瞬間開始做變速運動所受矢量如圖三。

圖二圖二模型一本文針對圖一建立數(shù)學(xué)模型，蜘蛛網(wǎng)的結(jié)構(gòu)由n條縱線構(gòu)成，縱線之間的夾角都為,各橫線之間的距離為d,蛛絲總長度S,這些量決定了蜘蛛網(wǎng)的整體結(jié)構(gòu)。當(dāng)昆蟲垂直向下撞擊蜘蛛網(wǎng)時，昆蟲的速度由v變?yōu)?,發(fā)生的位移為s。蜘蛛網(wǎng)蟲受到的沖擊力分別為F1和F2。由于昆蟲碰撞蜘蛛網(wǎng)的位置具有不確定性，以至于F1和F2中有一個力會更大，另一個較小。我們做最壞情況下考慮，就是一個力為蛛絲最大承受能力F，另一個為0，此時就只有一邊受力。絲根據(jù)能量守恒定律得：J(0-x)ksds=l/2mv"2+mgs蟲蟲 蟲可計算出昆蟲質(zhì)量m。根據(jù)密度公式：p=m/vv=4nr3/3可計算出昆蟲的半徑r。為了使蜘蛛網(wǎng)的有效捕捉面積S效達到最大，d的大小必須合適。如果d<2r，兩橫線之間將會效有重疊區(qū)域，沒有完全利用橫線。如果d>2r，昆蟲就可以從兩橫線之間穿過，而且在每一個網(wǎng)孔中會浪費d-2r的蛛絲。如果d=2r，既充分利用了橫線，又沒有浪費蛛絲，所以此時S才能達到最效大。所以得出以下結(jié)論：d=2rS=2rX2rcot((180￡)/2)XnXn2橫2S=rXrcot(0/2)Xn縱

S-S效S橫+s縱為了使S-S達到最小，可計算出縱線條數(shù)n即最佳縱線條數(shù)。效到此我們已經(jīng)計算出了d和n即解出了模型一。圖六模型二蜘蛛素來都有“八卦飛將軍”的美稱，在觀察現(xiàn)實生活中的蜘蛛網(wǎng)結(jié)構(gòu)發(fā)現(xiàn)蜘蛛網(wǎng)的橫線并不是很規(guī)則，本文中的圖七是現(xiàn)實中的蜘蛛網(wǎng)。橫線在蜘蛛網(wǎng)心的四周密集地纏繞著并延伸向外?；谀Ｐ鸵惶岢鲋┲刖W(wǎng)是由縱線和螺旋線構(gòu)成，如圖八所示。圖七圖八圖七圖八蜘蛛網(wǎng)的縱線相鄰之間的角度為7.2度，相鄰螺旋線截得縱線的長度為的d。，這樣就可以用阿基米德螺旋線亦稱“等速螺線”和數(shù)學(xué)積分計算知識建立模型

P=at+p0則p=p+a(2n兀+1)i2 2 2 22+dt\-di2 2 2 22+dt\-d+4a2兀+4ad兀t+d2產(chǎn))—=(-2a兀JHd2+4a2兀2+2a?！阣2+4a2兀2+4ad兀t+d2t2i1 2 2 2 2i1 2 2 2 2log(2a兀+d+4a兀)+dlog(2a兀i22 2 2+dt+(4a兀+4ad兀+d(1+t)))(1)化簡（1），令a+d0t=2,則,得S二卩2((S二卩2((91d2兀2 t)d9二(-4 d兀pt2+m2+m2/d兀ln(t+12一m2)+c)le291(2)t的范圍為[0—2"],其中積分變量是屈2+d2,即^〃2t2+d2對9積分，觀察91，92與極軸的夾角，參數(shù)方程中積分上下限局部變動時，可以先固定91上限變動知道得到一個最小的s值，這時蛛網(wǎng)結(jié)構(gòu)穩(wěn)定且用絲少。優(yōu)化根據(jù)數(shù)學(xué)定理“兩點間的距離直線段最短”，本文對阿基米德螺旋模型進行優(yōu)化。在圖九中，C、D分別是極坐標網(wǎng)格中（0,3）和（3,0）的點，直線CD的長為3V[2]弧CD=3n/4.為了節(jié)約資源所以將螺旋型結(jié)構(gòu)中相鄰縱線之間的弧線改為直線。圖九圖十圖九圖十六、 模型檢驗及評價為了比較模型一與模型二的優(yōu)缺點，本文采用控制變量法進行比較。設(shè)此二模型的半徑R相同，骨架條數(shù)相同，二模型中絲纏繞的周數(shù)相同，目的是比較哪個模型更節(jié)省材料。S1表示模型一中環(huán)型用絲的長度，s2表示模型二中螺旋模型用絲的長度。運用C#的winForm程序計算得當(dāng)縱線條數(shù)=50條，相鄰環(huán)的距離=20個單位，環(huán)數(shù)=13，在上述參數(shù)下計算得S1=26168S2=26949所以s1s2，也就是在相同環(huán)數(shù)的條件下，模型一要比模型二節(jié)省材料。計算的過程中發(fā)現(xiàn)環(huán)形的模型一與螺旋的模型二在環(huán)數(shù)相同的條件下，螺旋模型要比環(huán)形模型向外延伸多出一周20個單位。也就是模型二的覆蓋面積要比模型一大。模型的合理性在兩個模型中都假設(shè)蛛網(wǎng)是近乎圓周形的，這個假設(shè)是合理的。由數(shù)學(xué)知識知道周長相同的情況下圓的面積是最大的，而面積相同的情況下圓的周長是最短的，蜘蛛在同等用絲織網(wǎng)時，織成圓周形時就可以捕獲最多的食物，同樣在捕獲同樣多食物時，蜘蛛網(wǎng)織成圓周形就會節(jié)省很多蛛絲和時間。假設(shè)獵物每次都撞擊在蛛網(wǎng)的結(jié)點上這也是合理的。模型的優(yōu)缺點模型的優(yōu)點：利用了matlab、幾何畫板、VisualC#等工具制圖，通過直觀的感受和客觀的分析發(fā)現(xiàn)所建立的這二模型具有節(jié)約材料鞏固性好的特點。利用了阿基米德螺旋線原理也稱為“等速螺線”，其中有的數(shù)據(jù)是固定的，這樣為我們的計算帶來方便。模型的缺點：1)蛛網(wǎng)由網(wǎng)心以螺旋線向外織成，蜘蛛捕食的策略和效率大多反應(yīng)在捕絲的間距上，一般的捕絲間距越大越容易捕獲大的多的獵物，鋪絲間距小則會捕獲小而少的獵物，但我們的建立的蛛網(wǎng)模型都是理想環(huán)境下的，即鋪絲間的距離都是均勻的。七、 模型推廣蜘蛛織網(wǎng)最主要是為了捕食生存，它織的網(wǎng)抗毀能力、穩(wěn)定性都很強，結(jié)構(gòu)幾乎接近黃金分割比例，偌大的獵物在蛛網(wǎng)面前都無能為力。這樣強大的蛛網(wǎng)模型如果應(yīng)用到

實際生活中來那將會給人類帶來不可預(yù)知的財富。無獨有偶，在經(jīng)濟學(xué)中人類與商品尤其是食物之間也存在著捕食關(guān)系，我們是否覺察到這樣的現(xiàn)象：一個時期由于大蔥的上市量遠大于需求，銷售不暢導(dǎo)致價格下降，農(nóng)民覺得種蔥賠錢，于是轉(zhuǎn)而經(jīng)營其他農(nóng)副產(chǎn)品。過一段時間后大蔥上市量大減，供不應(yīng)求導(dǎo)致大蔥價格上漲。原來的種植戶看到有利可圖，又重操舊業(yè)。這樣下一個時期會出重現(xiàn)供大于求，價格下降的局面。在沒有外界干預(yù)的情況下，這種現(xiàn)象將如此重復(fù)下去。人們對于商品的需求和商品的供應(yīng)關(guān)系決定了市場經(jīng)濟中商品的數(shù)量和價格必然是震蕩的。在現(xiàn)實經(jīng)濟世界里這樣的震蕩出現(xiàn)不同的形式，有的振幅漸小，趨于平衡，有的則振幅越來越大導(dǎo)致經(jīng)濟崩潰。我們就用圖形方法建立“蛛網(wǎng)模型”對上述現(xiàn)象進行分析，討論市場趨于穩(wěn)定的條件。其中用差分方程建模，對結(jié)果進行解釋。蛛網(wǎng)模型設(shè)第k時段商品的數(shù)量為Xkk=l,2, 。我們把時間離散化為時段，一個時段相當(dāng)于商品的一個生產(chǎn)周期，如一年可以是大蔥的一個生長周期。同一時段商品的價格Yk取決于數(shù)量Xk,設(shè)Yk=Yk=f(Xk)1）它反映消費者對這種商品的需求關(guān)系,稱為需求函數(shù)。因為商品的數(shù)量越多價格越低,所以在圖10-1中用一條下降曲線f表示它，f為需求曲線。下一時段商品的數(shù)量Xk+1由上一時段價格Yk決定，設(shè)Xk+1=h（Yk），或Yk=g（Xk+1）⑵它反映生產(chǎn)者的供應(yīng)關(guān)系,稱供應(yīng)函數(shù)。因為價格越高生產(chǎn)產(chǎn)量才越大,所以在圖中供應(yīng)曲線是一條上升曲線。圖中兩個曲線相交于P（X,Y）點。p是平衡點，因為一段對0000某個k有Xk二X0，則由⑴、⑵可知Yk=Y0,Xk+1=X0,Yk+1=Y0, ?，即商品的數(shù)量和價格將永遠保持在P（X,Y）點。而在實際經(jīng)濟世界中的各種干擾使得000X,Y不可能停止在Po點，不妨設(shè)X1偏離Xo（如圖）。可以分析隨著k的增大Xk、Yk的變化。圖十一需求曲線f和供應(yīng)曲線圖十一需求曲線f和供應(yīng)曲線gP是穩(wěn)定的平衡點0數(shù)量X1給定后，價格Y1由曲線f上的P1點決定，下一時段的X2由曲線g上P2點決定，Y2又由f上的P3點決定,這樣得到一系列的點P1（X1，Y1）,P2（X2，Y1）,P3（X2,Y2）,P4（X3,Y2）, ,在圖十一這些點將按箭頭所示方向趨于P（X，Y），這表明P是穩(wěn)定平衡點，意味著市場經(jīng)濟（商品的數(shù)目和價格）將趨于0 0 0 o穩(wěn)定。一般來說，f取決于消費對這種商品的需求程度和他們的消費水平，g則與生產(chǎn)者的生產(chǎn)能力、經(jīng)營水平等因素有關(guān)。一旦需求曲線確定下來，如何判斷它們的交點是平衡點P呢？從圖10-1不難發(fā)現(xiàn)當(dāng)市場經(jīng)濟偏離P點不大時（|X1-XI較?。琍0點o o 0 0的穩(wěn)定取決于f和g在P0的斜率。設(shè)f在P0點的斜率的絕對值（因為它是下降的）為Kf,g在卩點的斜率為Kg,則當(dāng)0(3)Kf<kg(3)時P點是穩(wěn)定的，而當(dāng)0KfKf<kg(4)時P點是不穩(wěn)定的，如圖十二。由此可見，需求曲線越平，供應(yīng)線越陡，越有利于經(jīng)濟0穩(wěn)定，在對這種現(xiàn)象作出解釋前建立差分方程將蜘蛛網(wǎng)模型的結(jié)果用公式表示出來。圖十二P是不穩(wěn)定的平衡點0差分方程在P點附近取函數(shù)f和h的線性近似，設(shè)（1）、（2）式分別近似為0Yk-Y=?（Xk-X） °〉o ⑸00Xk+1-X=卩（Yk-Y）卩〉°00可合并（5），（6）為Xk+ .姜啟源，謝金星，葉俊等，《數(shù)學(xué)建模》，高等教育出版社，2007年 .[美]熱威爾．內(nèi)茲等，曾曉彪譯，《阿基米德羊皮書》，湖南科學(xué)技術(shù)出版社，2008年5月第一版 .文摘編號：[1005-913X（2007）11-0052-CA]丁巖，《市場經(jīng)濟中蛛網(wǎng)模型的探討北方經(jīng)濟丨貿(mào)易策論》52頁-53頁，2007年出版 .刑建德，棒絡(luò)新婦（Nephilaclavata）拖牽絲的SEM掃描及其機械性能與蜘蛛體重的關(guān)系研究，/Thesis_Y1212089.aspx .姜啟源，謝金星，葉俊等，《數(shù)學(xué)建?！罚叩冉逃霭嫔?，2007年 .[美]熱威爾．內(nèi)茲等，曾曉彪譯，《阿基米德羊皮書》，湖南科學(xué)技術(shù)出版社，2008年5月第一版 .文摘編號：[1005-913X（2007）11-0052-CA]丁巖，《市場經(jīng)濟中蛛網(wǎng)模型的探討北方經(jīng)濟丨貿(mào)易策論》52頁-53頁，2007年出版 .刑建德，棒絡(luò)新婦（Nephilaclavata）拖牽絲的SEM掃描及其機械性能與蜘蛛體重的關(guān)系研究，/Thesis_Y1212089.aspx，20120（7）是一節(jié)線性差分方程，對k遞推可得Xk+1=（f）kX1+1（8）由此得，當(dāng)k*時XktX，使得P0穩(wěn)定的條件是001Ab<1亠a<_AP或B（9）給（5）、（6）式中a、P定義，有Kf=a Kg-1，Kg-B（10）模型解釋首先可由a、卩的含義開始。需求函數(shù)f的斜率a（絕對值）表示商品供應(yīng)量減少1個單位時價格的上漲幅度；供應(yīng)函數(shù)h的斜率卩表示價格上漲1個單位時下個時段商品供應(yīng)的增加量。故a的數(shù)值反映的是消費者對商品需求的靈敏度，即若該商品質(zhì)量好，價格合理為生活必需品，消費者就會蜂擁購買，商品量少，a值則會比較大。B的數(shù)值反映的是生產(chǎn)經(jīng)營者對商品價格的靈敏度，即若他們一味的追求貨多利高，大量增加生產(chǎn)，b值則會比較大。根據(jù)a、B的意義很容易對市場經(jīng)濟是否穩(wěn)定的條件（9）、（10）做出解釋。從這一分析中我們可以在市場經(jīng)濟不穩(wěn)定時，由政府及其他手段進行干預(yù)：第一，使a盡量小，需求曲線f就會變的平緩，所以用行政手段控制價格不變；第二，使卩盡量小，供應(yīng)曲線g變的豎直，所以鼓勵生產(chǎn)經(jīng)營者靠經(jīng)濟實力控制商品數(shù)量不變。使市場經(jīng)濟達到相對平衡的狀態(tài)，不致以引起經(jīng)濟網(wǎng)絡(luò)的崩潰，減少商品生產(chǎn)經(jīng)意者的損失。八、 參考文獻年4月15日.[TP391.9]尤德祥等，《一種改進的蜘蛛網(wǎng)格建模方法》，《天津理工大學(xué)學(xué)報》2008,24(1).[TU7]石研,《淺析螺旋模型》，《中國科技財富》，2010年第4期九、 附錄蜘蛛網(wǎng)環(huán)形結(jié)構(gòu)圖(圖三)代碼畫畫具結(jié)構(gòu)蜘蛛網(wǎng)模型的環(huán)形結(jié)構(gòu)圖的工具是C#的winForm程序。代碼如下：環(huán)形程序畫出來的。代碼如下：namespace蜘蛛網(wǎng){publicpartialclassForm1:Form{PointcenterPoint;//定義蜘蛛網(wǎng)模型結(jié)構(gòu)圖的網(wǎng)心的坐標Graphicsg;//創(chuàng)建畫板Penp=newPen(Color.Black,1);//定義并初始化一個顏色為黑色、寬度為1的畫筆intn;//定義蜘蛛網(wǎng)模型結(jié)構(gòu)圖縱線的條數(shù)nintR;//定義蜘蛛網(wǎng)模型結(jié)構(gòu)圖的半徑Rdoubled;//定義蜘蛛網(wǎng)模型結(jié)構(gòu)圖中縱線上兩結(jié)點之間的距離dpublicForm1(){InitializeComponent();}privatevoidForm1_Load(objectsender,EventArgse){g=panell.CreateGraphics();//給畫板賦值textBox_n.Text="15";//初始化蜘蛛網(wǎng)模型結(jié)構(gòu)圖中縱線的條數(shù)textBox_R.Text="300";//初始化蜘蛛網(wǎng)模型結(jié)構(gòu)圖的半徑textBox_d.Text="20";//初始化蜘蛛網(wǎng)模型結(jié)構(gòu)圖中縱線上兩結(jié)點之間的距離centerPoint=newPoint(300,300);//初始化蜘蛛網(wǎng)模型結(jié)構(gòu)圖的網(wǎng)心privatevoidbuttonl_Click(objectsender,EventArgse)//畫環(huán)形結(jié)構(gòu)蜘蛛網(wǎng)模型{g.Clear(panell.BackColor);//清除畫板上已畫圖形initArguments();//初始化蜘蛛網(wǎng)模型結(jié)構(gòu)的3個參數(shù)：n,R,dpaintFrame();//畫蜘蛛網(wǎng)模型的縱線paintRoundModel();//畫蜘蛛網(wǎng)環(huán)形模型結(jié)構(gòu)圖的邊}voidpaintRoundModel()//畫蜘蛛網(wǎng)環(huán)形模型結(jié)構(gòu)圖的邊{for(inti=0;i<R/d;i++)//“R/d”為蜘蛛網(wǎng)模型結(jié)構(gòu)圖中的環(huán)數(shù)for(intj=0;j<n;j++)g.DrawLine(p,nextPoint(j,(int)d*i),nextPoint(j+1,(int)d*i));//畫蜘蛛網(wǎng)環(huán)形模型結(jié)構(gòu)圖的邊}voidinitArguments()//初始化蜘蛛網(wǎng)模型結(jié)構(gòu)的3個參數(shù)：n，R，d{R=Convert.Tolnt32(textBox_R.Text);//給蜘蛛網(wǎng)模型結(jié)構(gòu)圖的半徑R賦值n=Convert.Tolnt32(textBox_n.Text);//n為蜘蛛網(wǎng)模型結(jié)構(gòu)圖中縱線的條數(shù)d=Convert.Tolnt32(textBox_d.Text);//d為蜘蛛網(wǎng)模型結(jié)構(gòu)圖中縱線上兩結(jié)點之間的距離}voidpaintFrame()//畫蜘蛛網(wǎng)模型結(jié)構(gòu)圖的縱線{for(inti=0;i<n;i++)g.DrawLine(p,centerPoint,nextPoint(i,R));//畫蜘蛛網(wǎng)模型結(jié)構(gòu)圖的縱線}//畫蜘蛛網(wǎng)模型結(jié)構(gòu)圖時，返回蜘蛛網(wǎng)模型結(jié)構(gòu)圖的下一個結(jié)點//i表示下一個點是第幾個點//r表示下一個點處的半徑PointnextPoint(inti,intr){doubleangle=360.0/n;//定義并初始化蜘蛛網(wǎng)模型結(jié)構(gòu)圖中兩條縱線的夾角intx=centerPoint.X+Convert.ToInt32(Math.Cos(Math.PI*i*angle/180.0)*r);//定義并初始化要求的點的x坐標inty=centerPoint.Y+Convert.ToInt32(Math.Sin(Math.PI*i*angle/180.0)*r);//定義并初始化要求的點的y坐標returnnewPoint(x,y);//返回要求的點的坐標}}}(a)蜘蛛網(wǎng)螺旋結(jié)構(gòu)圖(圖六)代碼畫畫具結(jié)構(gòu)蜘蛛網(wǎng)模型的螺旋結(jié)構(gòu)圖的工具是C#的winForm程序。代碼如下：namespace蜘蛛網(wǎng){publicpartialclassForm1:Form{PointcenterPoint;//定義蜘蛛網(wǎng)模型結(jié)構(gòu)圖的網(wǎng)心的坐標Graphicsg;//創(chuàng)建畫板Penp=newPen(Color.Black,1);//定義并初始化一個顏色為黑色、寬度為1的畫筆intn;//定義蜘蛛網(wǎng)模型結(jié)構(gòu)圖縱線的條數(shù)nintR;//定義蜘蛛網(wǎng)模型結(jié)構(gòu)圖的半徑Rdoubled;//定義蜘蛛網(wǎng)模型結(jié)構(gòu)圖中縱線上兩結(jié)點之間的距離dpublicForm1(){InitializeComponent();}privatevoidForm1_Load(objectsender,EventArgse){g=panel1.CreateGraphics();//給畫板賦值textBox_n