曲線積分與曲面積分重點總結(jié)+例題

第十章曲線積分與曲面積分［教學(xué)目標(biāo)與要求］理解兩類曲線積分的概念,了解兩類曲線積分的性質(zhì)與兩類曲線積分的關(guān)系掌握計算兩類曲線積分的方法.熟練掌握格林公式并會運用平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件，會求全微分的原函數(shù).了解第一類曲面積分的概念、性質(zhì)，掌握計算第一類曲面積分的方法.［教學(xué)重點］兩類曲線積分的計算方法；格林公式與其應(yīng)用；第一類曲面積分的計算方法；［教學(xué)難點］兩類曲線積分的關(guān)系與第一類曲面積分的關(guān)系；對坐標(biāo)的曲線積分與對坐標(biāo)的曲面積分的計算；應(yīng)用格林公式計算對坐標(biāo)的曲線積分；兩類曲線積分的計算方法；格林公式與其應(yīng)用格林公式計算對坐標(biāo)的曲線積分；［參考書］［1］ 同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系.《高等數(shù)學(xué)〔下〕》，第五版.高等教育.［2］ 同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系.《高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)輔導(dǎo)與習(xí)題選解》，第六版.高等教育.［3］ 同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系.《高等數(shù)學(xué)習(xí)題全解指南〔下〕》，第六版.高等教育§11.1對弧長的曲線積分一、對弧長的曲線積分的概念與性質(zhì)曲線形構(gòu)件的質(zhì)量：設(shè)一曲線形構(gòu)件所占的位置在xQy面內(nèi)的一段曲線弧L上，已知曲線形構(gòu)件在點vx,y>處的線密度為po,y>.求曲線形構(gòu)件的質(zhì)量.把曲線分成n小段,△*,△%???,△*<△%也表示弧長〉；任取V&叫>￡尊，得第i小段質(zhì)量的近似值^v^.,n>As.;整個物質(zhì)曲線的質(zhì)量近似為mK誠i,n網(wǎng)；i=1令A(yù)=max{AS］,As2,…，A、}t0,則整個物質(zhì)曲線的質(zhì)量為M=lim￡R&,,n.)As.項i '' 1—這種和的極限在研究其它問題時也會遇到.定義設(shè)函數(shù)六x,y＞定義在可求長度的曲線L上，并且有界.，將L任意分成n個弧段:As1,As2,---,Asn,并用As.表示第i段的弧長；在每一弧段As.上任取一點＜與,吒＞,作和￡f(§m,)As,；令X—max{As1,As2,-,Asw},如果當(dāng)A-0時，這和的極限總存在，則稱此極限為函i—1數(shù)六x,y＞在曲線弧L上對弧長的曲線積分或第一類曲線積分，記作jJ(x,y)ds,即jf(x,y)ds—lim￡f&.m.)As..l XT0— '' 1i—1其中六x,y＞叫做被積函數(shù)，乙叫做積分弧段.曲線積分的存在性:當(dāng)六x,y＞在光滑曲線弧L上連續(xù)時，對弧長的曲線積分[f(x,y)ds是存在的.以后我們總假定六x,y＞在L上是連續(xù)的.根據(jù)對弧長的曲線積分的定義，曲線形構(gòu)件的質(zhì)量就是曲線積分jR(x,y)ds的值，其中L^＜x,y＞為線密度.對弧長的曲線積分的推廣:jf(x,y,z)ds—lim￡f&.E*.)As..r 梧0.-1 1111如果L＜或「＞是分段光滑的，則規(guī)定函數(shù)在乙＜或「＞上的曲線積分等于函數(shù)在光滑的各段上的曲線積分的和?例如設(shè)L可分成兩段光滑曲線弧L1與L2,則規(guī)定j f(x,y)ds—jf(x,y)ds+jf(x,y)ds.L1+L2 L1 L閉曲線積分:如果L是閉曲線，那么函數(shù)六x,y＞在閉曲線L上對弧長的曲線積分記作jf(x,y)ds.對弧長的曲線積分的性質(zhì)：性質(zhì)1設(shè)C]、C2為常數(shù)，貝gj[Cf(x,y)+eg(x,y)]ds=cjf(x,y)ds+cjg(x,y)ds；L1 2 1L 2L性質(zhì)2若積分弧段L可分成兩段光滑曲線弧L1和L2,則jf(x,y)ds=jf(x,y)ds+jf(x,y)ds；L L L2性質(zhì)3設(shè)在L上f<x,y><g<x,y>,則jf(x,y)ds<jg(x,y)ds.特別地，有二、對弧長的曲線積分的計算法根據(jù)對弧長的曲線積分的定義，如果曲線形構(gòu)件L的線密度為f<x,y>,則曲線形構(gòu)件L的質(zhì)量為［f(x,y)ds.另一方面，若曲線L的參數(shù)方程為x=^<t>,y=W<t><a<t<p>,則質(zhì)量元素為f(x,y)ds=f[W),W(t)L：O2(t)+w'2(t)dt,曲線的質(zhì)量為“f［甲(t),W(t)k'V2(t)+W，2(t)dt.即(f(x,y)ds="f［甲(t),W(t)］加'2(t)+w'2(t)dt.定理設(shè)f<x,y>在曲線弧L上有定義且連續(xù),L的參數(shù)方程為x=^<t>,y=W<t><a<t<p>,其中g(shù)t>、W<t>在［a,p］上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且V2<t>+W'2<tx0，則曲線積分jf(x,y)ds存在,且jLf(x,y)ds=jpf［甲(t),W(t)\S'2(t)+W'2(t)dt<a<p>.應(yīng)注意的問題:定積分的下限a一定要小于上限p.討論：<1>若曲線L的方程為y=W<x><a<x<b>,則jf(x,y)ds=?提示:L的參數(shù)方程為x=x,y=W<x><a<x<b>,jf(x,y)ds=\bf[x,W(x)]J1+W'2(x)dx.<2>若曲線L的方程為x=gy><c<y<d>,則jJ代y)ds=?提示:L的參數(shù)方程為x=^<y>,y=y<c<y<d>,[f(x,y)ds=\df[甲(y),y]J'2(y)+1dy.<3>若曲「的方程為x=^<t>,y=v<t>,z=?<t><a<t<p>,則jf(x,y,z)ds=?提示：J「f(x,y,z)ds="f[甲(t),w(t),rn(t)]j02(t)+w'2(t)+='2(t)dt.例1計算j*ds，其中L是拋物線y=x2上點0<0,0>與點B<1,1>之間的一段弧.L解曲線的方程為y=x2<0<x<1>,因此j'yds=]\，次2：'1+(x2)，2dx=f1x?'1+4x2dx=【(5<5—1)L0 0 12、、例2計算半徑為人、中心角為2a的圓弧L對于它的對稱軸的轉(zhuǎn)動慣量氏設(shè)線密度為目=1>.解取坐標(biāo)系如圖所示，則/=[y2ds.曲線L的參數(shù)方程為x=RcosO,y=RsinO<—a<0<a>.于是I=jy2ds=jaR2sin2。<(—Rsin0)2+(Rcos。)2d0=R3jasin20d0=R3<a—sinacosa>.一a例3計算曲線積分j(x2+y2+z2)ds，其中「為螺旋線x=acost、y=asint、z=kt上相應(yīng)于t從r0到達2兀的一段弧.解在曲線r上有x2+y2+z2=<acost>2+<asint>2+<kt>2=a2+k2t2,并且ds=<(—asint)2+(acost)2+k2dt=Va2+k2dt,于是j(x2+y2+z2)ds=f2(a2+k2t2)*''a2+k2dt2=2兀Ja2+k2(3a2+4兀2k2).小結(jié)用曲線積分解決問題的步驟：<1>建立曲線積分；<2>寫出曲線的參數(shù)方程<或直角坐標(biāo)方程〉，確定參數(shù)的變化范圍;<3>將曲線積分化為定積分；<4>計算定積分.教學(xué)方式與教學(xué)過程中應(yīng)注意的問題在教學(xué)過程中要注意曲線積分解決問題的步驟，要結(jié)合實例，反復(fù)講解.師生活動設(shè)計_X2 v2已知橢圓L\ +—=1周長為a,求』：(2xv+3x2+4v?ds.L設(shè)C是由極坐標(biāo)系下曲線r=a,9=0與0=：所圍成區(qū)域的邊界，求4I=je-x2+y2dsC講課提綱、板書設(shè)計作業(yè)P190:3〔1〕⑶⑸⑺§11.2對坐標(biāo)的曲線積分一、對坐標(biāo)的曲線積分的概念與性質(zhì)變力沿曲線所作的功：設(shè)一個質(zhì)點在xOy面內(nèi)在變力F<x,y>=P<x,y>i+Q<x,y>j的作用下從點A沿光滑曲線弧L移動到點8,試求變力F<x,y>所作的功.用曲線L上的點A=A0,Al,A2，-,A-l,A=B把L分成n個小弧段，設(shè)A^<xk,y^，有向線段Ak代+1的長度為As爐它與x軸的夾角為凡，則Ak代1={cosTk,sinTk}Ask<k=0,1,2,…，n-1>.顯然，變力F<x,y>沿有向小弧段A/*所作的功可以近似為F(x,y)?A近 =[P(x,y)cosT+Q(x,y)sinT]As;kkkk+1 kkkkkkk于是，變力F<x,y>所作的功W=￡f(x ,y )?A ~A a￡[P(x ,y)cosT +Q(x ,y)sinT ]As ,kkkk+1 kkkkkkkk=1 k=1從而W=j[P(x,y)cosT+Q(x,y)sinT]ds.這里T=T<x,y>,{cost,sinT}是曲線L在點<x,y>處的與曲線方向一致的單位切向量.把L分成n個小弧段:L],L2，…，Ln；變力在L,?上所作的功近似為：F＜?小〉可=尸＜饋吒＞心+。＜??孔.＞，;變力在L上所作的功近似為：Y[P&,n)Ax.+Q&,,n.)Ay.]；III III?二1變力在L上所作的功的精確值：.m.)Ax.+Q&.m.)Ay],III III其中入是各小弧段長度的最大值.提示：用&=｛Ax.,Ay.｝表示從L.的起點到其終點的的向量.用As,表示As.的模.對坐標(biāo)的曲線積分的定義：定義設(shè)函數(shù)六x,y＞在有向光滑曲線L上有界.把L分成n個有向小弧段L「L2…,L〃;小弧段L?.的起點為＜x._1,y??_]＞,終點為＜x.,y.＞,Ax.=x-x._1,Ay廠y-y,_1;＜?m＞為L?.上任意一點人為各小弧段長度的最大值.如果極限limYf&.m.)Ax.總存在，則稱此極限為函數(shù)f＜x,y＞在有向曲線L上對坐標(biāo)x的….=1 ZZZ曲線積分，記作jf(x,y)dx,即jf(x,y)dx=lim2f(§,叫)Ax.,L 人T0.=1設(shè)L為xOy面上一條光滑有向曲線，｛cost,sim｝是與曲線方向一致的單位切向量，函數(shù)P＜x,y＞、Q＜x,y＞在L上有定義.如果下列二式右端的積分存在，我們就定義jP(x,y)dx=jP(x,y)cosTds,jQ(x,y)dy=jQ(x,y)sinTds,前者稱為函數(shù)P＜x,y＞在有向曲線L上對坐標(biāo)x的曲線積分，后者稱為函數(shù)Q＜x,y＞在有向曲線L上對坐標(biāo)y的曲線積分，對坐標(biāo)的曲線積分也叫第二類曲線積分.定義的推廣：設(shè)「為空間內(nèi)一條光滑有向曲線，｛cosa,cosp,cosy｝是曲線在點＜x,y必＞處的與曲線方向一致的單位切向量，函數(shù)P＜x,y,z＞、Q＜x,y,z＞、R＜x,y,z＞在「上有定義.我們定義＜假如各式右端的積分存在＞jP(x,y,z)dx=jP(x,y,z)cosods,jQ(x,y,z)dy=JQ(x,y,z)cospds,jR(x,y,z)dz=jR(x,y,z)cosyds.jf(x,y,z)dx=limYf&,n,。.)Ax.Jf(x,y,z)dy=lim工f&,,n*,)Ay.,

L "0/=11111L ….=1'Ijf(x,y,z)dz=limYf(§,叫,匚.)Az..L 人t。.=1對坐標(biāo)的曲線積分的簡寫形式：jP(x,y)dx+jQ(x,y)dy=jP(x,y)dx+Q(x,y)dy；LLL=jP(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz.r對坐標(biāo)的曲線積分的性質(zhì)：<1>如果把L分成L]和L2,則jLPd+戮y+Qdy+jL2Pdx+邸.<2>設(shè)L是有向曲線弧,-L是與L方向相反的有向曲線弧，則jP(x,y)dx+Q(x,y)d=-jP(x,y)dx+Q(x,y)dy.-L L兩類曲線積分之間的關(guān)系：設(shè)｛cost.,sinT.｝為與國同向的單位向量，我們注意到｛Axqy.UA^,所以Ax.=cosT.-As.，Ay.=sinT.-As.,=limYf&,門)cosTAs=jf(x,y)cosTdsE.=] I、11L=limYf(&m)sin「As.=jf(x,y)sinTds"0.i 「iL ?i=1jPdx+Qdy=j[Pcost+Qsine]ds,或jAd=jA-1ds.L L

其中A={P,Q},t={cost,sine}為有向曲線弧L上點＜x,j＞處單位切向量,dr=tds={dx,dy}.類似地有[Pcosa+Qcosp+Rcosy]ds,[Pcosa+Qcosp+Rcosy]ds,r ，jA?dr=jA?tds=jA^^ds.A={P,Q,R},T={cosa,cosp,cosy}為有向曲線弧r上點＜x,y,z＞處單們切向量r其中,dr=Tds={dx,dy,dz},At為向量A在向量t上的投影.二、對坐標(biāo)的曲線積分的計算：定理:設(shè)P<x,y>、Q<x,y>是定義在光滑有向曲線L:x=^<t>,y=^<t>,上的連續(xù)函數(shù)，當(dāng)參數(shù)t單調(diào)地由a變到p時，點M<x,y>從L的起點A沿L運動到終點8,則jP(x,y)dx=jpP［(p(t),W(t)”'(t)dt,jQ(x,y)dy=jpQMt)^(t)^(t)dt.L a討論:jJ(x,y)dx+Q(x,y)dy=？提示:'尸3,y)dx+Q(x,y)dy=jp{P［甲(t),v(t訴'(t)+Q［甲(t),w(t)W(t)}dt.定理：若P<x,y>是定義在光滑有向曲線L:x=^<t>,y=v<t><a<t<p>上的連續(xù)函數(shù)，L的方向與t的增加方向一致，則jP(x,y)dx=jpP［頓t),w(t)”'(t)dt.簡要證明：不妨設(shè)a<p.對應(yīng)于t點與曲線L的方向一致的切向量為{9<t>,W，<t>},甲0)所以cosx= ,W'2(t)+W'2(t)從而jP(x,y)dx=jP(x,y)coseds=jpPQ(t),w(t訴0)dt.a應(yīng)注意的問題：下限。對應(yīng)于L的起點，上限p對應(yīng)于L的終點,a不一定小于p.討論：若空間曲線r由參數(shù)方程xwt>,y刊<t>,z=?<t>給出，那么曲線積分

jP(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz=?如何計算？提示：』P(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz=j'{P[甲(t),W(t),①(t)W'(t)+Q[W),W"(W0)+R[W),W(t),^(t)^(t)}dt,a其中a對應(yīng)于「的起點,p對應(yīng)于「的終點.例題：例1.計算\jydx，其中L為拋物線y2=x上從點A<1,-1>到點B<1,1>的一段弧.例2.計算jy2dx.<1>L為按逆時針方向繞行的上半圓周X2+y2=Q2；<2>從點A<a,0>沿x軸到點B<-a,0>的直線段.例3計算j2xydx+x2dy.<1>拋物線y=x2上從O<0,0>到B<1,1>的一段弧；<2>拋物線x=y2上從O<0,0>到B<1,1>的一段弧;<3>從O<0,0>到A<1,0>,再到R<1,1>的有向折線OAB.例4.計算jx3dx+3zy2dy-x2ydz，其中「是從點A<3,2,1>到點B<0,0,0>的直線段AB.r例5.設(shè)一個質(zhì)點在肱</)>處受到力F的作用，F(xiàn)的大小與M到原點O的距離成正比，F(xiàn)的方向恒指向原點.此質(zhì)點由點A<a,0>沿橢圓欄+尹=1按逆時針方向移動到點B<0,b>,求力F

a2b2所作的功W.小結(jié)第二類曲線積分的定義；第二類曲線積分的計算方法.教學(xué)方式與教學(xué)過程中應(yīng)注意的問題在教學(xué)過程中要注意第二類曲線積分的定義和計算方法，要結(jié)合實例，反復(fù)講解.師生活動設(shè)計1.已知r為折線ABCOA,計算I=jdx—dy+ydz講課提綱、板書設(shè)計作業(yè)講課提綱、板書設(shè)計作業(yè)P200:3〔1〕⑶⑸⑺，4§11.3格林公式與其應(yīng)用一、格林公式單連通與復(fù)連通區(qū)域：設(shè)D為平面區(qū)域，如果D內(nèi)任一閉曲線所圍的部分都屬于D,則稱D為平面單連通區(qū)域，否則稱為復(fù)連通區(qū)域.對平面區(qū)域D的邊界曲線L,我們規(guī)定L的正向如下:當(dāng)觀察者沿L的這個方向行走時,D內(nèi)在他近處的那一部分總在他的左邊.區(qū)域D的邊界曲線L的方向：定理1設(shè)閉區(qū)域D由分段光滑的曲線L圍成，函數(shù)P<x,y>與Q<x,y>在D上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有jjd^-0P)dxdy=jPdx+QdyOxOy l ，D其中L是D的取正向的邊界曲線.簡要證明:僅就D即是X一型的又是Y一型的區(qū)域情形進行證明.設(shè)D={<x,y>\^1<x><y<^2<x>,a<x<b}.因為￡連續(xù)，所以由二重積分的計算法有jj°Pdxdy=jb{j^2(x)OP牛,y)dy}dx=jb{P[x,甲(x)]-P[x,^(x)]}dx.DOy a%x) Oy a2 1另一方面，由對坐標(biāo)的曲線積分的性質(zhì)與計算法有=jb{P[x,^1(x)]-P[x,甲2(x)]}dx.a因此-jj絲dxdy=jPdxoy lD設(shè)D={<x,y>\v1<y><x<V2<y>,c<y<d}.類似地可證W^OXdxdy=jQdx.d L由于D即是X一型的又是Y一型的，所以以上兩式同時成立,兩式合并即得dxdy=jPdx+Qdy.Ljj"dxdy=jPdx+Qdy.L應(yīng)注意的問題：對復(fù)連通區(qū)域Q,格林公式右端應(yīng)包括沿區(qū)域D的全部邊界的曲線積分，且邊界的方向?qū)^(qū)域D來說都是正向.設(shè)區(qū)域D的邊界曲線為L,取P=-y,Q=x,則由格林公式得2打dxdy=Jxdy-ydx,或A=jjdxdy=!Jxdy一ydx.TOC\o"1-5"\h\zl 2LD D例1.橢圓x=acosO,y=bsin0所圍成圖形的面積A.\o"CurrentDocument"分析:只要孚-獸=1,就有jj（孚-獸）dxdy=jjdxdy=A.oxoy dxdyD D例2設(shè)L是任意一條分段光滑的閉曲線，證明J2xydx+x2dy=0.L例3.計算』"-y2dxdy，其中d是以O(shè)<0,0>,A<1,1>,B<0,1>為頂點的三角形閉區(qū)域.D分析:要使岑號="y2，只需P=0，Q5一卜2.例4計算jxdy-ydx，其中L為一條無重點、分段光滑且不經(jīng)過原點的連續(xù)閉曲線，L的方Lx2+y2向為逆時針方向.解：令P=云%，Q=五%.則當(dāng)5堀時，有岑=芝專2=斧.x^+y人匕^+y x（入匕+y）y記L所圍成的閉區(qū)域為D.當(dāng)<0,0>WD時，由格林公式得jxdy-ydx=0;Lx2+y2當(dāng)<0，0>gD時，在D內(nèi)取一圓周l:x2+y2=r2<r>0>.由L與l圍成了一個復(fù)連通區(qū)域D1,應(yīng)用格林公式得jxdy-ydxjxdy-ydx=°Lx2+y2 Jlx2+y2 ，其中l(wèi)的方向取逆時針方向.

于曰|xdy-ydx=Jxdy-ydx=j2兀r2cos20+r2sin20腮_&正lx2+y2 1x2+y2 0 '記L所圍成的閉區(qū)域為D.當(dāng)＜0,0XD時,由格林公式得Jxdy-ydx_jj(啤-g)dxdy_0lx2+y2 exayD分析:這里p_;當(dāng)x2+y2更0時，有eQ_y2—x2_epdx(分析:這里p_;當(dāng)x2+y2更0時，有二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的條件曲線積分與路徑無關(guān)：設(shè)G是一個開區(qū)域,P＜x,y＞、Q＜x,y＞在區(qū)域G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù).如果對于G內(nèi)任意指定的兩個點A、B以與G內(nèi)從點A到點B的任意兩條曲線L1、L2,等式恒成立，就說曲線積分JPdx+Qdy在G內(nèi)與路徑無關(guān)，否則說與路徑有關(guān).L設(shè)曲線積分^Pdx+Qdy在G內(nèi)與路徑無關(guān),L1和L2是G內(nèi)任意兩條從點A到點B的曲線,則有TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"JL,^^x+奶_JL2 +四,因為JPdx+Qdy_JPdx+Qdy0JPdx+Qdy-JPdx+Qdy_0LL LL1 2 1 20JPdx+Qdy+JPdx+Qdy_00J Pdx+Qdy_0L1 L Li+(L2-)所以有以下結(jié)論：曲線積分JPdx+Qdy在G內(nèi)與路徑無關(guān)相當(dāng)于沿G內(nèi)任意L閉曲線C的曲線積分JPdx+Qdy等于零.L定理2設(shè)開區(qū)域G是一個單連通域，函數(shù)尸＜%)＞與Q＜x,y＞在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則曲線積分JPdx+Qdy在G內(nèi)與路徑無關(guān)〔或沿G內(nèi)任意閉曲線的曲線積分為零〕的充分L必要條件是等式在G內(nèi)恒成立.充分性易證：若獸=孚，則孚號=°，由格林公式，對任意閉曲線L,有oyox oxdyjPdx+Qdy=jj空-Op^\dxdy=0.l voxoyJD必要性：OQOP 八 OQOP假設(shè)存在一點m0gg,使詼—oy=n^0，不妨設(shè)n>0,則由瓦~~oy的連續(xù)性，存在m0的一…，,、 OQop門一一,、 個8鄰域U<MQ,5>,使在此鄰域內(nèi)有豐-Op^.于是沿鄰域U<M,5>邊界/的閉曲線積0 OxOy2 0分jPdx+Qdy=jj(^^-里)dxdy>^-k82>0i OxOy 72 ，u(M°8)這與閉曲線積分為零相矛盾，因此在g內(nèi)OQQ一冬=o.應(yīng)注意的問題：定理要求，區(qū)域G是單連通區(qū)域，且函數(shù)P<x,y>與Q<x,y>在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù).如果這兩個條件之一不能滿足，那么定理的結(jié)論不能保證成立.破壞函數(shù)P、Q與票、孚連續(xù)性的點稱為奇點.Oy Ox例5計算j2xydx+x2dy,其中L為拋物線y=x2上從。<0,0>到B<1,1>的一段弧.解:因為Op=°x=2*在整個x°y面內(nèi)都成立，所以在整個xOy面內(nèi)，積分j2xydx+x2dy與路徑無關(guān).L=j112dy=1.0

討論：設(shè)L為一條無重點、分段光滑且不經(jīng)過原點的連續(xù)閉曲線,L的方向為逆時針方向,問,，l*=。是否一定成立?提示:這里P=擊和Q=占在點〈°’0>不連續(xù).因為當(dāng)x2因為當(dāng)x2+y2^0時,dQ_y2-x2_Qp

dx(x2+y2)2By所以如果<0,0>不在L所圍成的區(qū)域內(nèi)，則結(jié)論成立，而當(dāng)<0,0>在L所圍成的區(qū)域內(nèi)時，結(jié)論未必成立.三、二元函數(shù)的全微分求積曲線積分在G內(nèi)與路徑無關(guān)，表明曲線積分的值只與起點從點<x0,y0>與終點<x,y>有關(guān).如果』Pdx+Qdy與路徑無關(guān)，則把它記為J(x,y)Pdx+QdyL (x0，y0)即JPdx+Qdy_J(x,y)Pdx+Qdy.L (x0，y0)若起點<x0,y0>為G內(nèi)的一定點，終點<x,y>為G內(nèi)的動點，則u<x,y>_f(x，y)Pdx+Qdy(x0,y0)為G內(nèi)的的函數(shù).二元函數(shù)u<x,y>的全微分為du<x,y>=u<x,y>dx+u<x,y>dy.x y表達式P<x,y>dx+Q<x,y>dy與函數(shù)的全微分有相同的結(jié)構(gòu)，但它未必就是某個函數(shù)的全微分.那么在什么條件下表達式P<x,y>dx+Q<x,y>dy是某個二元函數(shù)u<x,y>的全微分呢？當(dāng)這樣的二元函數(shù)存在時怎樣求出這個二元函數(shù)呢？定理3設(shè)開區(qū)域G是一個單連通域，函數(shù)P<x,y>與Q<x,y>在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則P<x,y>dx+Q<x,y>dy在G內(nèi)為某一函數(shù)u<x,y>的全微分的充分必要條件是等式在G內(nèi)恒成立.簡要證明：必要性:假設(shè)存在某一函數(shù)u<x,y>,使得du=P<x,y>dx+Q<x,y>dy,則有BP_B(Bu)_B2u6Q_B人ByByBx則有BP_B(Bu)_B2u6Q_B人ByByBxBxBy，BxBxd^Bx.因為~BxBy~iy^sy^x~ix連續(xù)’所以d2g_d^udP_dQdxdydydx，dydxyP(x,y)dx+Q(x,y)dy.(3。)充分性:因為在G內(nèi)畚詈，所以積分在G內(nèi)與路徑無關(guān).在G內(nèi)從點＜x0,y0＞到點＜x,y＞yP(x,y)dx+Q(x,y)dy.(3。)因為u<x,y>==「Q{x^y)dy+\XP(x,y)dx,所I因為u<x,y>==「Q{x^y)dy+\XP(x,y)dx,所I強OXox(x,y)v,o7o7Xx?oxP(x,y)dx=P(x,y).yQ(xy)dy+-^~xP(x,y)dx=P(x,y).y0 OXx七 08" -4~Uz類似地有和=0尤,V)，從而du=P<x,y>dx+Q<x,y>dy.即P<x,y>dx+Qvx,y>dy是某一函數(shù)的全微分.求原函數(shù)的公式：〃3,y)=Jg)P(x,y)dx+Q(x,y)dy,件)w(x,y)=J'P(x,y^)dx+\yQ(x,y)dy,w(x,y)=JvQ(%,y)dy+卜F(x,y)dx.%%例6驗證:虹*在右半平面<x>0>內(nèi)是某個函數(shù)的全微分，并求出一個這樣的函數(shù).入2+y2解：這里尸=鹽Q=解：這里尸=鹽Q=x2+y2因為P、。在右半平面內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且有dQy2-x2_Qpdx(x2+y2)2dy，所以在右半平面內(nèi)，弟3是某個函數(shù)的全微分.取積分路線為從A＜l,o＞到g＜e＞再到Cvx,y＞的折線，則所求函數(shù)為15/20

心,力=匕)Xg清=。+f名"tanX.問:為什么。0%>不取<0,0>?例7驗證:在整個xQy面內(nèi),xy2dx+x2ydy是某個函數(shù)的全微分，并求出一個這樣的函數(shù).解這里P=xy2,Q=x2y.因為P、Q在整個xOy面內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且有8Q_°_ap否==ay，所以在整個xOy面內(nèi),xy2dx+x2ydy是某個函數(shù)的全微分.取積分路線為從0<。,。>到A<x,Q>再到B<x,y>的折線，則所求函數(shù)為u(x,y)=j3,y)xy2dx+x2ydy=Q+Jyx2ydy=x2fyydy=x2y2.(Q,Q) Q Q 2思考與練習(xí)：1.在單連通區(qū)域1.在單連通區(qū)域G內(nèi)，如果P<x,y>和Q<x,y>具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且恒有8Q=dP

dxdy，那么<1>在G內(nèi)的曲線積分fP(x,y)dx+Q(x,y)dy是否與路徑無關(guān)？L<2>在G內(nèi)的閉曲線積分fP(x,y)dx+Q(x,y)dy是否為零？L<3>在G內(nèi)P<x,y>dx+Q<x,y>dy是否是某一函數(shù)u<x,y>的全微分?2.在區(qū)域2.在區(qū)域G內(nèi)除Mq點外，如果P<x,y>和Q<x,y>具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且恒有8Q=dP

dxdy，Gi是G內(nèi)不含Mq的單連通區(qū)域，那么<1>在G1內(nèi)的曲線積分fP(x,y)dx+Q(x,y)dy是否與路徑無關(guān)？<2>在Gi內(nèi)的閉曲線積分fP(x,y)dx+Q(x,y)dy是否為零？<3>在G1內(nèi)P<x,y>dx+Q<x,y>dy是否是某一函數(shù)u<x,y>的全微分?3.在單連通區(qū)域G內(nèi)，如果尸<￥)>和Q<x,y>具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),dP邛,但字號非常簡單，那么dydxdxdy<1>如何計算G內(nèi)的閉曲線積分？<2>如何計算G內(nèi)的非閉曲線積分？<3>計算』(exsiny-2y)dx+(excosy-2)dy，其中l(wèi)為逆時針方向的上半圓周<x-a>2+y2=a2,y>0,小結(jié). ..Mqap\格林公式 EPdx+Qdy=" 丁-丁dxdy山11一一7 l daxay格林公式中的等價條件. * )教學(xué)方式與教學(xué)過程中應(yīng)注意的問題在教學(xué)過程中要注意格林公式和其中的等價條件，要結(jié)合實例，反復(fù)講解.師生活動設(shè)計講課提綱、板書設(shè)計作業(yè)P214:2<1>;3;4<3>;5<1>,<4>;6<2>,<5>§11.4對面積的曲面積分一、對面積的曲面積分的概念與性質(zhì)物質(zhì)曲面的質(zhì)量問題:設(shè)￡為面密度非均勻的物質(zhì)曲面，其面密度為P<x,y,z>，求其質(zhì)量:把曲面分成n個小塊:AS1,AS2，-ASn<AS.也代表曲面的面積>;求質(zhì)量的近似值:￡P(guān)g,，,。.)AS.<<&叫,g>是AS,.上任意一點>;取極限求精確值i=1:M=Hm￡pq,，*)ASQ為各小塊曲面直徑的最大值〉.梧0.=1 ? '定義設(shè)曲面￡是光滑的，函數(shù)f<x,y,z>在￡上有界.把￡任意分成n小塊:AN，AS2，-,ASn<AS.也代表曲面的面積〉，在AS.上任取一點<饋，,。>,如果當(dāng)各小塊曲面的直徑的最大值入-0時,n極限lim￡fqqKjAS,總存在，則稱此極限為函數(shù)f<x,y,z>在曲面￡上對面積的曲面積i=1分或第一類曲面積分，記作hf(x,y,z)dS,即￡njjf(x,y,z)dS=lim￡f&,，,。心5..￡ f=1 'z其中f<x,y,z>叫做被積函數(shù),￡叫做積分曲面.對面積的曲面積分的存在性：

我們指出當(dāng)f<x,y,z>在光滑曲面￡上連續(xù)時對面積的曲面積分是存在的.今后總假定，炒〉在￡上連續(xù).根據(jù)上述定義面密度為連續(xù)函數(shù)p<x,y必>的光滑曲面￡的質(zhì)量M可表示為p<x,y必>在￡上對面積的曲面積分：如果￡是分片光滑的我們規(guī)定函數(shù)在￡上對面積的曲面積分等于函數(shù)在光滑的各片曲面上對面積的曲面積分之和?例如設(shè)￡可分成兩片光滑曲面￡1與￡2<記作￡=￡1+￡2>就規(guī)定jjf(x,y,z)dS=jjf(x,y,z)dS+jjf(x,y,z)dS.￡1+￡2 ￡1對面積的曲面積分的性質(zhì)：jjf(x,y,z)dS+c2jjf(x,y,z)dS+c2ffg(x,y,z)dS；￡jj[c1f(x,y,z)+c2g(x,y,z)]dS=c1￡￡<2>若曲面￡可分成兩片光滑曲面￡1與￡2,則jjf(x,y,z)dS=jjf(x,y,z)dS+jjf(x,y,z)dS；￡ ￡1 ￡2<3>設(shè)在曲面￡上f<x,y,z><g<x,y,z>,貝9jjf(x,y,z)dS<jjg(x,y,z)dS；<4>jjdS=A,其中A為曲面￡的面積.￡二、對面積的曲面積分的計算一一n面密度為f<x,y,z>的物質(zhì)曲面的質(zhì)量為M=hmZf0，*「入^=jjf(x,y,z)dS