冀教版九年級數(shù)學(xué)上冊 （解直角三角形的應(yīng)用）教學(xué)課件(第2課時)

26.4解直角三角形的應(yīng)用第2課時

直角三角形中諸元素之間的關(guān)系：（1）三邊之間的關(guān)系：a2+b2=c2(勾股定理)；（2）銳角之間的關(guān)系：∠A+∠B=90°；（3）邊角之間的關(guān)系：

知識回顧ACBabc

如圖，從山腳到山頂有兩條路AB與BC，問哪條路比較陡？如何用數(shù)量來刻畫哪條路陡呢？ABC情景導(dǎo)入坡面αlhi=h:l1.坡角坡面與水平面的夾角叫做坡角，記作α.2.坡度（或坡比）坡度通常寫成1∶m的形式，如i=1∶6.

如圖所示，坡面的鉛垂高度（h）和水平長度（l）的比叫做坡面的坡度（或坡比）,記作i,即

3.坡度與坡角的關(guān)系坡度等于坡角的正切值，坡度越大，則坡角α

越大，坡面越陡。水平面坡度和坡角有什么區(qū)別？新課講解例1

如圖，一山坡的坡度為

i=1:2.小剛從山腳A出發(fā)，沿山坡向上走了240m到達(dá)點C.這座山坡的坡角是多少度？小剛上升了多少米（角度精確到0.01°，長度精確到0.1m）？ACi=1:2解：用α表示坡角的大小，由題意可得，因此α≈26.57°.在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=26.57°，AC=240m，BC=240×sin26.57°≈107.3（m）．答：這座山坡的坡角約為26.57°，小剛上升了約107.3m．例題講解例2

如圖所示，鐵路路基的橫斷面為四邊形ABCD，其中，BC//AD,∠A=∠D,根據(jù)圖中標(biāo)注的數(shù)據(jù)計算路基下底的寬和坡角.（角的度數(shù)精確到度）（參考數(shù)據(jù)：tan38°≈0.8）BCAD101：1.254想一想：如何添加輔助線，可以使坡角及已知的長度4到直角三角形中？例題講解BCAD101：1.254解：如圖，作BE⊥AD,CF⊥AD,垂足分別為E,F.由題意可知，四邊形BEFC為矩形.∴EF=BC=10，BE=CF=4FE∵∠A=∠D,∠BEA=∠CFD,BE=CF∴△ABE≌△DCF∴AE=DF在Rt△ABE中,∴α=38°AE=BE÷0.8=5∴AD=AE+EF+FD=5+10+5=20答：路基下底的寬為20m,坡角α約為38°.例題講解（2）有關(guān)部門規(guī)定，文化墻距天橋底部小于3m時應(yīng)拆除，天橋改造后，該文化墻PM是否需要拆除？BCAP1：1M1：√3D6分析：PM是否需要拆除，要看AP的長度是否超過3m,解題的關(guān)鍵就轉(zhuǎn)化為求線段PA的長度.在Rt△BCD中，由tan∠BCD=1:1,可得，BD=CD=6.

例題講解

100隨堂練習(xí)

2.如圖，一名滑雪運動員沿著傾斜角為34°的斜坡，從A滑行至B，已知AB＝500米，則這名滑雪運動員的高度下降了______米．(參考數(shù)據(jù)：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67)280隨堂練習(xí)C

3.某商場為方便消費者購物，準(zhǔn)備將原來的階梯式自動扶梯改造成斜坡式自動扶梯.如圖，已知原階梯式自動扶梯AB長為10m，坡角∠ABD=30°，改造后的斜坡式自動扶梯的坡角∠ACB=15°，請你計算改造后的斜坡式自動扶梯AC的長度.（結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27）隨堂練習(xí)答：改造后的斜坡式自動扶梯AC的長度約為19.2m.解：在Rt△ABD中，∵∠ABD=30°，AB=10m，∴AD=AB·sin∠ABD=10×sin30°=5（m）.在Rt△ACD中，∵∠ACD=15°，∴AC=ADsin∠ACD=5sin15°≈50.26≈19.2（m）.隨堂練習(xí)解答含有仰角、俯角問題的方法1、仰角和俯角是指視線相對于水平線而言的，不同位置的仰角和俯角是不同的；可巧記為“上仰下俯”．在測量物體的高度時，要善于將實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題．2、視線、水平線、物體的高構(gòu)成直角三角形，已知仰角(俯角)和另一邊，利用解直角三角形的知識就可以求出物體的高度．3、弄清仰角、俯角的定義，根據(jù)題意畫出幾何圖形，將實際問題中的數(shù)量關(guān)系歸結(jié)到直角三角形中來求解．

課堂小結(jié)解答含有方位角問題的方法解決與方位角有關(guān)的實際問題時，必須先在每個位置中心建立方向標(biāo)，然后根據(jù)方位角標(biāo)出圖中已知角的度數(shù)，最后在某個直角三角形內(nèi)利用銳角三角函數(shù)解決問題課堂小結(jié)與坡度有關(guān)的問題坡面的鉛垂高度(h)和水平長度

(l)的比叫做坡面的坡度(或坡比)，記作i坡面與水平面的夾角叫做坡角課堂小結(jié)典型例題剖析題型一方案選擇問題

題型一方案選擇問題（1）求牧民區(qū)到公路的最短距離？

x典型例題剖析

典型例題剖析題型二最短距離問題例2如圖所示，公路AB為東西走向，在點A北偏東36.50方向上，距離5千米處是村莊M；在點A北偏東53.50方向上，距離10千米處是村莊N。（1）求M、N兩村之間的距離；（參考數(shù)據(jù)：sin36.50≈0.6，cos36.50≈0.8）典型例題剖析

（1）求M、N兩村之間的距離；（參考數(shù)據(jù)：sin36.50≈0.6，cos36.50≈0.8）典型例題剖析例2如圖所示，公路AB為東西走向，在點A北偏東36.50方向上，距離5千米處是村莊M；在點A北偏東53.50方向上，距離10千米處是村莊N。（2）要在公路AB旁修建一個土特產(chǎn)收購站P，使得M，N兩村到P站的距離之和最短，求這個最短距離。

典型例題剖析題型三仰角、俯角與坡角的綜合應(yīng)用

13.1m

典型例題剖析題型四直角三角形與函數(shù)、方程的綜合應(yīng)用例4如圖所示，在Rt△ABC中，∠C=900，AC=3，BC=4，點E在AC上（點E與A，C都不重合），點F在斜邊AB上（點F與A，B都不重合）。（1）若EF平分Rt△ABC的周長，設(shè)AE=x，△AEF的面積為y，請寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系，并指出x的取值范圍。

典型例題剖析例4如圖所示，在Rt△ABC中，∠C=900，AC=3，BC=4，點E在AC上（點E與A，C都不重合），點F在斜邊AB上（點F與A，B都不重合）。（2）試問：是否存在直線EF將Rt△ABC的周長和面積同時平分？若存在，請求出AE的長，若不存在，請說明理由。

典型例題剖析26.4解直角三角形的應(yīng)用第1課時

學(xué)習(xí)目標(biāo)12能運用解直角三角形知識解決仰角、俯角和方向角有關(guān)的實際問題，在解題過程中進(jìn)一步體會數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化、方程的

數(shù)學(xué)思想，并從這些問題中歸納出常見的基本模型及解題思路.(重難點)理解仰角、俯角及方向角的概念.(重點)（2）兩銳角之間的關(guān)系：∠A＋∠B＝90°.（3）邊角之間的關(guān)系：（1）三邊之間的關(guān)系：

（勾股定理）.ABabcC在解直角三角形的過程中，一般要用到下面一些關(guān)系：知識回顧；；；；；.水平線視線視線︶︶仰角俯角鉛垂線仰角：在視線與水平線所形成的角中，視線在水平線上方的角.俯角：在視線與水平線所形成的角中，視線在水平線下方的角.知識講解眼睛巧記：上仰下俯1.仰角和俯角的概念【探究】如圖，某飛機于空中A處探測到目標(biāo)C，此時飛行高度AC＝1200m，從飛機上看地平面控制點B的俯角α＝30°，求飛機A到控制點B的距離.解：由題意知∠B＝∠α＝30°.在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，sinB＝∴AB＝2AC＝2400m．

答：飛機A到控制點B的距離為2400m．知識講解如圖所示,小明在距旗桿4.5m的點D處,仰視旗桿頂端A,仰角(∠AOC)為50°;俯視旗桿底部B,俯角(∠BOC)為18°.求旗桿的高.(結(jié)果精確到0.1m)知識講解【思考】(1)要求旗桿的高,實際是要求圖中哪條線段的長度?圖中有哪些已知條件?(2)在Rt△AOC中,如何求線段AC的長度?(3)在Rt△BOC中,如何求線段BC的長度?知識講解例1熱氣球的探測器顯示，從熱氣球看一棟高樓頂部的仰角為30°，看這棟高樓底部的俯角為60°，熱氣球與高樓的水平距離為120m，這棟高樓有多高（結(jié)果精確到0.1m）.ABCDαβ仰角水平線俯角

類似地Rt△ACD中由β=60°求出CD的長度，進(jìn)而求出BC的長度，即求出這棟樓的高度.

答：這棟樓高約為277.1m.ABCDαβ變式如圖，兩建筑物AB和CD的水平距離為120米，已知從A頂部看C的仰角為30°，從A頂部看D的俯角為60°，求建筑物AB、CD的高度.DBCAE120米300α仰角600β俯角解：如圖，a=30°,β=60°，AE＝120．．．．．．即學(xué)即練1如圖，直升飛機在跨江大橋AB的上方P點處，此時飛機離地面的高度PO=450米，且A,B,O三點在一條直線上，測得大橋兩端的俯角分別為α=30°，β=45°，求大橋的長AB.450米解：由題意得，在Rt△PAO與Rt△PBO中,答：大橋的長AB為βαPABO．．．．2.方位角

指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90°的角叫做方位角.以正南或正北為基準(zhǔn)線東西北南O（1）正東，正南，正西，正北（2）西北方向:_________

西南方向:__________

東南方向:__________

東北方向:__________

射線OAABCDOBOCOD45°射線OE射線OF射線OG射線OHEGFH45°45°45°2.認(rèn)識方向角O北南西東

（3）南偏西25°25°

北偏西70°

南偏東60°ABC射線OA射線OB射線OC70°60°方向角通常都寫成：北偏……，南偏……的形式.例1如圖所示,一艘漁船以30海里/時的速度由西向東航行.在A處看見小島C在船北偏東60°的方向上.40min后,漁船行駛到B處,此時小島C在船北偏東30°的方向上.已知以小島C為中心,10海里為半徑的范圍內(nèi)是多暗礁的危險區(qū).如果這艘漁船繼續(xù)向東航行,有沒有進(jìn)入危險區(qū)的可能?(Rt△BCD中,∠CBD=60°;Rt△ACD中,∠CAD=30°)(1)如何判斷有沒有進(jìn)入危險區(qū)的可能?(點C到直線AB的距離與10海里比較大小)(2)要求點C到直線AB的距離,需要作什么輔助線?(過點C作CD⊥AB,交AB的延長線于點D)(3)要求CD的長,CD在哪個直角三角形中?(Rt△BCD和Rt△ACD中)(4)Rt△BCD和Rt△ACD中,有什么已知條件?知識講解(5)設(shè)CD=x,則直角三角形中的邊長能否用x表示?(，)

(6)題目中的等量關(guān)系是什么？你能列方程求解嗎？（AB=AD-BD，）.知識講解解:

如圖所示,過點C作CD⊥AB,交AB的延長線于點D,則∠CBD=60°,

在Rt△ACD中，∠CAD=30°，所以,即.∵，

∴.解得.因為10＜所以這艘漁船繼續(xù)向東航行，不會進(jìn)入危險區(qū).

知識講解歸納：

利用解直角三角形的知識解決實際問題的一般過程是:1.將實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題;(畫出平面圖形,轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題)2.根據(jù)條件的特點,適當(dāng)選用銳角三角函數(shù)等去解直角三角形;3.得到數(shù)學(xué)問題的答案;4.得到實際問題的答案.隨堂訓(xùn)練1.如圖所示,由D點測塔頂A點和塔基B點仰角分別為60°和30°.已知塔基距地平面20米(即BC為20米),則塔身AB的高為 (

)A.60米

B.4米C.40米 D.20米解析:由題意知BC=20米,∠ADC=60°,∠BDC=30°,∠ACD=90°,所以∠ADB=∠A=30°,所以AB=BD,在Rt△BCD中,BD==40(米),所以AB=BD=40米,所以塔身AB的高為40米.故選C.C2.如圖①，在高出海平面100米的懸崖頂A處，觀測海平面上一艘小船B，并測得它的俯角為45°，則船與觀測者之間的水平距離BC=_________米.3.如圖②，兩建筑物AB和CD的水平距離為30米，從A點測得D點的俯角為30°，測得C點的俯角為60°，則建筑物CD的高為_____米.100圖①BCA圖②BCAD30°60°隨堂訓(xùn)練4.某鐵塔由塔身和塔座兩部分組成（如左圖所示）.為了測得鐵塔的高度，小瑩利用自制的測角儀，在C點測得塔頂E的仰角為45°，在D點測得塔頂E的仰角為60°，已知測角儀AC的高為1.6m，CD的長為6m，CD所在的水平線CG⊥EF于點G（如右圖所示），求鐵塔EF的高（結(jié)果精確到0.1m）.5.小明在熱氣球A上看到正前方橫跨河流兩岸的大橋BC，

并測得B，C兩點的俯角分別為45°，35°，如圖所示．已知大橋BC與地面在同一水平面上，其長度為100m．請求出熱氣球離地面的高度．(結(jié)果保留整數(shù)．

參考數(shù)據(jù)：sin35°≈0.574，cos35°≈0.819，tan35°≈0.700)隨堂訓(xùn)練過點A作AD⊥BC于點D，熱氣球離地面的高度即為AD的長．利用BC長度轉(zhuǎn)化為CD－BD＝BC，由輔助線構(gòu)造